2016年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试题 (文科)解析版

2016年普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷（文史类）

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1、设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_______. 【答案】(2,4) 【解析】 试题分析：

由题意得：131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4) 考点：绝对值不等式的基本解法.

【名师点睛】解绝对值不等式，关键是去掉绝对值符号，进一步求解，本题也可利用两边平方的方法 .本题较为容易. 2、设i

i

Z 23+=

，期中i 为虚数单位，则Im z =____________. 【答案】3- 【解析】 试题分析：

i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-

考点：1.复数的运算；2.复数的概念.

【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一.

3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________.

【解析】试题分析：

利用两平行线间距离公式得

d ==

=

考点：两平行线间距离公式.

【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即,x y 的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.

4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的

中位数是_________（米）. 【答案】1.76 【解析】试题分析：

将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80，这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数，显然为1.76. 考点：中位数的概念.

【名师点睛】本题主要考查中位数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，涉及统计的题目，往往不难，主要考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.

5、若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =______. 【答案】3±

【解析】试题分析：)sin(16)(2?++=x a x f ，其中4

tan a =

?，故函数)(x f 的最大值为216a +，由已知，5162

=+a ，解得3±=a .

考点：三角函数sin()y A x ω?=+ 的图象和性质.

【名师点睛】三角函数性质研究问题，基本思路是通过化简 ，得到sin()y A x ω?=+，结合角的范围求解.. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.

6、已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x f x f 的反函数. 【答案】2log (x 1)- 【解析】 试题分析：

将点39（，）带入函数()x f x 1a =+的解析式得a 2=，所以()x

f x 12=+，用y 表示x 得

2x log (y 1)=-，所以()12log (f x x 1)-=-.

考点：1.反函数的概念；2.指数函数的图象和性质.

【名师点睛】指数函数与对数函数互为反函数，求反函数的基本步骤是：一解、二换、三注..本题较为容易.

7、若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥??

≥??≥+?

则2x y -的最大值为_______.

【答案】2-

【解析】试题分析：由不等式组画出可行域，如图，令y x z 2-=，当直线z x y 2

1

21-=

经过点)1,0(P

时，z 取得最大值，且为2-.

考点：简单线性规划

【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.

8.方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ . 【答案】

566

ππ或 【解析】 试题分析：

3sinx 1cos 2x =+，即23sinx 22sin x =-，所以22sin x 3sinx 20+-=，解得1

sinx 2

=或sinx 2=-（舍去），所以在区间[]π2,0上的解为566

ππ

或.

考点：1.二倍角公式；2.已知三角函数值求角.

【名师点睛】已知三角函数值求角，基本思路是通过化简 ，得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解.. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.

9、在n

x x ??? ?

?

-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________.

【答案】112 【解析】 试题分析：

因为二项式所有项的二项系数之和为n 2，所以n

2256=，所以n 8=，

二项式展开式的通项为84r r 8r

r r r 33

r 18

82T C ()(2)C x x

--+=-=-，令84r 033-=，得r 2=，所以

3T 112=.

考点：1.二项式定理；2.二项展开式的系数.

【名师点睛】根据二项式展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.

10、已知ABC ?的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________.

【解析】 试题分析：

由已知3,5,7a b c ===，∴2221

cos 22

a b c C ab +-==-，

∴sin C =

，∴2sin c R C == 考点：1.正弦定理；2.余弦定理.

【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目.解答本题，往往要利用三角公式化简三角恒等

式，利用正弦定理实现边角转化，达到解题目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题较易，主要考查考生的基本运算求解能力等.

11、某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______. 【答案】

16

【解析】试题分析：

将4种水果每两种分为一组，有24C 6=种方法，则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相同的概率为

1

6

. 考点：.古典概型

【名师点睛】本题主要考查古典概型概率的计算.解答本题，关键在于能准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用概率的计算公式求解.本题能较好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.

12.如图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,?1),P 是曲线y =OP BA ×uu u r uu r

的取值范围是 .

【答案】[1-

【解析】试题分析：由题意，设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，则(cos ,sin )OP αα=，又(1,1)BA =,

所以cos sin )[4

OP BA αααπ

?=+=

+∈-.

考点：1.平面向量的数量积；2.三角函数的图象和性质；3.数形结合的思想.

【名师点睛】本题解答利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，

利用三角函数的图象和性质，得到OP BA ×uu u r uu r

的取值范围.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等.

13.设a >0,b >0. 若关于x ,y 的方程组1,

1ax y x by ì+=??í

?+=??

无解，则a b +的取值范围是 . 【答案】(2,)+∞ 【解析】

试题分析：方程组无解等价于直线1ax y +=与直线1x by +=平行，所以1ab =且1a b ≠≠.又a ，

b 为正数，所以2a b +>=（1a b ≠≠），即a b +取值范围是(2,)+∞.

考点：方程组的思想以及基本不等式的应用.

【名师点睛】根据方程表示直线，探讨得到方程组无解的条件，进一步应用基本不等式达到解题目的.

易错点在于忽视得到a b ≠.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想等.

14.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*

∈N n ，{}3,2∈n S ，则k

的最大值为________. 【答案】4 【解析】

试题分析：当1n =时，12a =或13a =；当2n …

时，若2n S =，则12n S -=，于是0n a =，若3n S =，则13n S -=，于是0n a =.从而存在N k *∈，当n k …时，0k a =.其中数列{}n a ：2,1,1,0,0,0,-???满足条件，所以max 4k =.

考点：数列的求和.

【名师点睛】从研究n S 与n a 的关系入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列{}n a 由k

个不同的数组成”的不同和“k 的最大值”.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等.

二、选择题（5×4=20）

15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）

（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析：

2211,111a a a a a >?>>?><-或，所以是充分非必要条件，选A.

考点：充要条件

【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及不等关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、逻辑推理能力等.

16.如图，在正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）

(A)直线AA 1

(B)直线A 1B 1 (C)直线A 1D 1 (D)直线B 1C 1

【答案】D 【解析】 试题分析：

只有11B C 与EF 在同一平面内，是相交的，其他A ，B ，C 中直线与EF 都是异面直线，故选D ． 考点：1.正方体的几何特征；2.直线与直线的位置关系.

【名师点睛】本题以正方体为载体，研究直线与直线的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，题目不难，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、空间想象能力等.

17.设a ?R ，[0,2π]b ?.若对任意实数x 都有π

sin(3)=sin()3

x ax b -+，

则满足条件的有序实数对(a ,b )的对数为（ ）

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【答案】B 【解析】

试题分析：5sin(3sin(32)sin(3)333πππx x πx -=-

+=+，5(,)(3,3

πa b =， 又4sin(3sin[(3)]sin(333

3π

ππx πx x -=--=-+，4(,)(3,)3

π

a b =-， 注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B ．

考点：1.三角函数的诱导公式；2.三角函数的图象和性质.

【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b 的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.

18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、

()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）

A 、①和②均为真命题

B 、①和②均为假命题

C 、①为真命题，②为假命题

D 、①为假命题，②为真命题

【答案】D 【解析】

试题分析：①不成立，可举反例

2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>?=??, 0

3,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+?≥=

???

, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>??

? ②()()()()f x g x f x T g x T +=+++ ()()()()f x h x f x T h x T +=+++

考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.

【名师点睛】本题主要考查抽象函数下函数的单调性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于灵活选择方法，如结合选项应用“排除法”，通过举反例应用“排除法”等.

本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.

三、解答题（74分） 19. （本题满分12分）

将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为56

π

，11A B 长为3

π

，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧. （1）求圆柱的体积与侧面积；

（2）求异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小.

【答案】（1；（2）2π．

【解析】

试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高1h =，底面半径1r =．计算体积与侧面积即得. （2）由11//O B OB 得C ∠OB 或其补角为11O B 与C O 所成的角，计算C ∠OB 即得． 试题解析：（1）由题意可知，圆柱的母线长1l =，底面半径1r =．

圆柱的体积22

V 11r l =π=π??=π，

圆柱的侧面积22112S rl =π=π??=π．

（2）设过点1B 的母线与下底面交于点B ，则11//O B OB ， 所以C ∠OB 或其补角为11O B 与C O 所成的角． 由11A B 长为3π，可知1113

π

∠AOB =∠A O B =， 由C A 长为

56π，可知5C 6π∠AO =，C C 2

π∠OB =∠AO -∠AOB =， 所以异面直线11O B 与C O 所成的角的大小为

2

π

．

考点：1.几何体的体积；2.空间的角.

【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力\转化与化归思想及基本运算能力等.

20.（本题满分14分）

有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。于是，菜地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为（1,0），如图 （1）求菜地内的分界线C 的方程

（2）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为

3

8

。设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于1S 面积的经验值

【答案】（1）24y x =（02y <<）．（2）五边形面积更接近于1S 面积的“经验值”． 【解析】

试题分析：（1）由C 上的点到直线EH 与到点F 的距离相等，知C 是以F 为焦点、以

EH 为准线的抛物线在正方形FG E H 内的部分．

（2）计算矩形面积，五边形面积．进一步计算矩形面积与“经验值”之差的绝对值，五边形面积与“经验值”之差的绝对值，比较二者大小即可．

试题解析：（1）因为C 上的点到直线EH 与到点F 的距离相等，所以C 是以F 为焦点、以

考点：1.抛物线的定义及其标准方程；2.面积.

【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高.解答此类题目，往往利用,,,,a b c e p 的关系或曲线的定义，确定圆锥曲线方程是基础，通过联立直线方程与圆锥曲线方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题“出奇”之处在于有较浓的“几何味”，研究几何图形的面积..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力、数学的应用意识等.

21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

双曲线2

2

21(0)y x b b

-=>的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A 、B 两点.

（1）若l 的倾斜角为

2

π

，1F AB △是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

（2）设b =l 的斜率存在，且|AB |=4，求l 的斜率.

【答案】（1）y =．（2）. 【解析】

试题分析：（1）设(),x y A A A ．根据1F ?AB 是等边三角形，得到()

2

4413b

b +=，解得2b ． （2）设()11,x y A ，()22,x y B ，直线:l ()2y k x =-与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据l

与双曲线交于两点，可得2

30k -≠，且()

23610k ?=+>．由4AB =得出k 的方程求解．

试题解析：（1）设(),x y A A A ．

由题意，()2F ,0c ，c ，()

22241y b c b A =-=，

因为1F ?AB 是等边三角形，所以2c A =，

即()

24

413b b +=，解得22b =．

故双曲线的渐近线方程为y =． （2）由已知，()2F 2,0．

设()11,x y A ，()22,x y B ，直线:l ()2y k x =-．

由()2

213

2y x y k x ?-=???=-?

，得()2222

34430k x k x k --++=． 因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()

2

3610k ?=+>．

由212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-，得()()()

22

12223613k x x k +-=-， 故

()2122

6143

k x k +AB =

=-=

=-，

解得235k

=

，故l 的斜率为． 考点：1.双曲线的几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.弦长公式.

【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用,,,a b c e 的关系，确定

双曲线（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与双曲线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系及弦长公式，得到方程.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.

22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

对于无穷数列{n a }与{n b }，记A ={x |x =a ，*

N n ∈}，B ={x |x =n b ，*

N n ∈}，若同时满足条件：①{n a }，{n b }均单调递增；②A B ?=?且*N A

B =，则称{n a }与{n b }是无穷互补数列.

（1）若n a =21n -，n b =42n -，判断{n a }与{n b }是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若n a =2n

且{n a }与{n b }是无穷互补数列，求数列{n b }的前16项的和；

（3）若{n a }与{n b }是无穷互补数列，{n a }为等差数列且16a =36，求{n a }与{n b }得通项公式. 【答案】（1）{}n a 与{}n b 不是无穷互补数列；（2）180；（3）24n a n =+，,5

25,5

n n n b n n ≤?=?->?．

【解析】

试题分析：（1）直接应用及时定义“无穷互补数列”的条件验证即得；（2）转化为等差数列：1，2，…，