江苏省泰州市2014届高三上学期期末考试数学试卷(WORD版,有答案)

泰州市2013～2014学年度第一学期期末考试

高三数学试题

(考试时间：120分钟 总分：160分)

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）

1．已知集合{}1,6,9A =，{}1,2B =，则A

B = ▲ ．

2．复数(1i +2)a bi =+（,a b 是实数，i 是虚数单位），则a b +的值为 ▲ ． 3．函数2log (3)y x =-的定义域为 ▲ ．

4

分层抽样的方法抽取300高中三个学段学生人数分别为1200，1000，800抽取的学生人数为 ▲ ．

5．已知一个算法的流程图如右图，则输出的结果S

6．在ABC ?中，2BD DC =，若12AD AB AC λλ=+，7．将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数．8．如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，D 为棱1AA 14AA =，2AB =，则四棱锥1B ACC D -9．以双曲线221916

x y -=的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为 ▲ ． 10．设函数()()f x x a x a b =--+（,a b 都是实数）．

则下列叙述中，正确的序号是 ▲ ．（请把所有叙述正确的序号都填上） ①对任意实数,a b ，函数()y f x =在R 上是单调函数； ②存在实数,a b ，函数()y f x =在R 上不是单调函数；

③对任意实数,a b ，函数()y f x =的图像都是中心对称图形； ④存在实数,a b ，使得函数()y f x =的图像不是中心对称图形． 11．已知在等差数列{}n a 中，若22m n p s t r ++=++，,,,,,m n p s t r ∈N *

则22m n p s t r a a a a a a ++=++，仿此类比，可得到等比数列{}n b 中的一个正确命题：若22m n p s t r ++=++，,,,,,m n p s t r ∈N *，则 ▲ ． 12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2468120a a a a =，且

46826824824611117

60

a a a a a a a a a a a a +++=

，则9S 的值为 ▲ ． 13．在平面直角坐标系中，()0,0,(1,2)A B 两点绕定点P 顺时针方向旋转θ角后，分别到

()4,4,A '(5,2)B '两点，则cos θ的值为 ▲ ．

14．已知函数()3f x x a =+与函数()32g x x a =+在区间(,)b c 上都有零点，

则222

2242a ab ac bc b bc c

+++-+的最小值为 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15． （本题满分14分）已知函数()2sin 24f x x π?

?

=+

??

?

. （1）求函数()y f x =的最小正周期及单调递增区间； （2）若06

()85

f x π

-=-，求0()f x 的值.

16． （本题满分14分）如图，在四棱锥E ABCD -中，

ABD ?为正三角形，,EB ED CB CD ==.

（1）求证：EC BD ⊥；

（2）若A B B C ⊥，,M N 分别为线段,AE AB 的中点，

求证：平面//DMN 平面BEC .

17． （本题满分15分）已知椭圆C ：()

22

2210x y a b a b

+=>>和

圆O ：222x y a +=，()()121,0,1,0F F -分别是椭圆的左、右两焦点，过1F 且倾斜角为α0,

2πα??

??∈ ??????

的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，交圆O 于,P Q 两点（如图所示，点A 在x 轴上方）．当4

π

α=

时，弦PQ

（1）求圆O 与椭圆C 的方程；

（2）若点M 是椭圆C 上一点，求当22,,AF BF AB 成等差数列时，MPQ ?面积的最大值.

18． （本题满分15分）某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是

AB BD l ==，3

B π

∠=

的固定装置，AB 上可滑动的点C 使CD 垂直

于底面（C 不与,A B 重合），且CD 可伸缩（当CD 伸缩时，装置ABD 随之绕D 在同一平面内旋转），利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿D C A →→运送至A 处，货物从D 处至C 处运行速度为v ，从C 处

至A 处运行速度为3v ．为了使运送货物的时间t 最短，需在运送前调整运输装置中

DCB θ∠=的大小.

（1）当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ的函数（用含有v 和l 的式子）； （2）当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？

19． （本题满分16分）设函数x ae x x f +=

4

112

1)(（其中a 是非零常数，e 是自然对数的底），记1()()n n f x f x -'=（2≥n ，n ∈N *）

（1）求使满足对任意实数x ，都有)()(1x f x f n n -=的最小整数n 的值（2≥n ，n ∈N *）； （2）设函数)()()()(54x f x f x f x g n n +?++=，若对5≥?n ，n ∈N *，)(x g y n =都存在极值点n t x =，求证：点))(,(n n n n t g t A （5≥n ，n ∈N *）在一定直线上，并求出该直线方程；

D

C

（注：若函数)(x f y =在0x x =处取得极值，则称0x 为函数)(x f y =的极值点.） （3）是否存在正整数()4k k ≥和实数0x ，使0)()(010==-x f x f k k 且对于n ?∈N *，)(x f n 至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的k 和0x ，若不存在，说明理由．

20． （本题满分16分）己知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，数列{}n b 是等比数列． （1）若()1n n n n c a a b +=-（n ∈N *），求证：{}n c 为等比数列；

（2）设n n n b a c =（n ∈N *），其中n a 是公差为2的整数项数列，n

n b ??

? ??=1312，若

1234516842c c c c c >>>>，且当17n ≥时，{}n c 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式；

（3）若数列{}n c 使得?

?????n n n c b a 是等比数列，数列{}n d 的前n 项和为

n n

n c c a -，且数列{}n d 满足：对任意2n ≥，n ∈N *,或者0n d =恒成立或者存在正常数M ，使M d M

n <<1

恒成立，求证：数列{}n c 为等差数列．

2013～2014学年度第一学期期末考试

高三数学试题(附加题)

21．［选做题］请考生在A 、B 、C 、D 四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．

A ．（本小题满分10分，几何证明选讲）

如图，AB 是O 的一条直径，,C D 是O 上不同于,A B 的两点，过B 作

O 的切线与AD 的延长线相交于点M ，AD

与BC 相交于N 点，BN BM =． （1）求证：NBD DBM ∠=∠； （2）求证：AM 是BAC ∠的角平分线．

B ．（本小题满分10分，矩阵与变换）

已知矩阵21n A m ??

=?

?

??

的一个特征根为2λ=，它对应的一个特征向量为12α??=????． （1）求m 与n 的值； （2）求1A -． C ．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）

己知在平面直角坐标系xOy 中，圆M

的参数方程为2cos 272sin 2

x y θθ?=+????=+??（θ为参数），以Ox 轴为极轴，O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N

是以点3π?

??

为圆心，

且过点)2

,

2(π

的圆．

（1）求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程； （2）求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．

D ．（本小题满分10分，不等式选讲）

已知：1a b c ++=，,,0a b c >． (1)求证：1

27

abc ≤

； (2)

求证：2

2

2

a b c ++≥

［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)

己知直线42:-=x y l 与抛物线:C x y 42

=相交于,A B 两点，(),0(0T t t >且2t ≠）

为x 轴上任意一点，连接,AT BT 并延长与抛物线

C 分别相交于11,A B ．

（1）设11A B 斜率为k ，求证：k t ?为定值；

（2）设直线11,AB A B 与x 轴分别交于,M N ，令

11

1234,,,ATM BTM B TN ATN S S S S S S S S ????====， 若1234,,,S S S S 构成等比数列，求t 的值．

23．(本小题满分10分)

如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ?为直角三角形，2

ACB π

∠=

，顶点1C 在底面ABC ?内的射影是点B ，且

13AC BC BC ===，点T 是平面1ABC 内一点．

（1）若T 是1ABC ?的重心，求直线1AT 与平面1ABC 所成角； （2）是否存在点T ，使1T B T C

=且平面11TAC ⊥平面11ACC A ，

若存在，求出线段TC 的长度，若不存在，说明理由．

2013～2014学年度第一学期期末考试

高三数学参考答案

一、填空题

1．{}1； 2．2； 3．{}|3x x >； 4．100； 5．7；

6． 29；

7．1

6

； 8． 9．22(5)16x y -+=； 10．①③； 11．()()22

m n p s t r b b b b b b =； 12．632

； 13．35- ； 14．1-.

二、解答题 15.（1）22

T π

π=

=， ………………2分 增区间为31,,88k k k Z ππππ??

-++∈????

； ………………6分

（2）06(85f x π

-

=-即03sin(2)5x =-，所以

04

cos(2)5

x =±

， ………………10分 )0000()2sin(2sin 2cos

245

f x x x x π=+=+=或5-. ………14分

M

16.（1）取BD 的中点O ，连结EO ，CO ，∵△ABC 为正三角形，且CD=CB

∴CO ⊥BD ，E O ⊥BD ………………4分 又0CO

EO =，∴BD ⊥平面EOC ，∵?EC 平面EOC

∴BD ⊥EC . ………………7分 （2）∵N 是AB 中点，ABD ?为正三角形，∴DN ⊥AB ，

∵BC ⊥AB ，∴DN //BC ，

∵BC ?平面BCE DN ?平面BCE ，∴BC //平面BCE ， ………………10分 ∵M 为AE 中点，N 为AB 中点，∴MN //BE ，

∵MN ?平面BCE ，BE ?平面BCE ，∴MN //平面BCE ， ………………12分 ∵MN

DN =N ，∴平面MND //平面BCE . ………………14分

17.解：（1）取PQ 的中点D ，连OD ，OP

由4π

α=，1c =

，知OD =

2

2

21444

PQ PQ OQ OD ==+=

224,3a b ∴==

∴椭圆C 的方程为：22

143

x y +

=，22:4O x y +=， ………………4分 （

2）设22,AF s BF t ==，

121224,24AF AF a BF BF a +==+==，

………………6分

22,,AF BF AB 的长成等差数列，8

283

t s s t t ∴=+--∴=

设00(,)B x y ，由22

0022

0064(1)91

43x y x y ?-+=??

??+=??

得4(,3B -，

………………10分

k ∴=:1)PQ y x ∴+，7

2

PQ ∴=

.

………………12分

易求得椭圆上一点到直线PQ 的距离的最大值是

4

，所以MPQ ?的面积的

最大值是16

. ………………15分

18.解：（1）在BCD ?中,,3

BCD B BD l π

θ∠=∠=

=

sin(120)sin l BC θθ?-∴=

，CD = ………………4分

sin(120)

sin l AC AB BC l θθ

?-∴=-=-

，

则sin(120)333sin AC CD l l t v v v v θθ?-=

+=-+

，2()33ππθ<< … ……8分

（2）t =

(16l v +3cos 6sin l v θ

θ

-= ………………10分 令3cos ()sin m θθθ-=

，则'

213cos ()sin m θθθ

-= ………………12分

令'()0m θ=得1cos 3θ=，设01cos 3θ= 02(,)33

ππ

θ∈，

则0(,)3πθθ∈时，'()0m θ<；02(,

)3

π

θθ∈时'()0m θ>

1

cos 3θ∴=

时()m θ有最小值4

8

BC l =. ………………14分

答：当BC =时货物运行时间最短. ………………15分

19．（1）411()12

x f x x ae =

+，321()3x f x x ae =+，23()x

f x x ae =+，

24()2x f x x ae =+，5()2x f x ae =+，6()x f x ae =，

'()(6)x n f x ae n =≥，min 7n ∴=. ………………4分

（2）()(2)(2)x

x

x

x

n g x x ae ae ae ae =+++++???+(22)(3)x

x n ae =++-? ①

………………6分

'()2(3)x n g x n ae =+-存在极值点n x t =?'

()2(3)0n t n n g t n ae =+-= ② '()22(3)2n t n n n n g t t n ae t ?=++-= ………………8分

n A ?在直线2y x =上. ………………9分

（3）()0(6)x n f x ae n ==≥无解，5k ?≤ ………………10分

①当5k =时，00

4500202

()()0120

x x ae f x f x x a e x ae ?+===??=?=-?+=? 而当2

a e

=-

时，165()0()222x x x f x ae f x ae e -=

3()f x ?单调减，而211

3332

2()2,(1)10,(0)20x f x x e f f e e --=--=-

>=-< ()3(1,0),0t f t ?∈-=在(,)t -∞上32()0()f t f x

3121

()23

t f t t e -=-，又

213223211

()20,()(1)033

t f t t e f t t t t t -=-=∴=-=-<

1()f t ∴在R 上单调减

综上所述，∴存在5k =，2

a e

=-

满足条件. ………………13分 ②当4k =时，002400300()2()0x x

f x x ae f x x ae =+==+=，即00x =或2

当00x =时4(0)0f a ==（舍） 当02x =时2

424(2)40f ae a e =+=?=-

2624()40x

x f x e e e

-?=-=-< 25()24x f x e -?=-单调减，且5()0f x =时，2ln 2x =-

4()f x ?在(,2ln 2)-∞-上增，(2ln 2,)-+∞上减，而4(2)0f =

2ln 2m ??<-使得在(,)m -∞上，4()0f x <，在(,2)m 上4()0f x >，

在(2,)+∞上，4()0f x <

3()f x ?在(,)m -∞上减，在(,2)m 上增，在(2,)+∞上减（舍）

∴4k ≠

综上①②所述：存在5k =，2

a e

=-满足条件. ………………16分

20.（1）证明：1()n n n n c b a a +=-，设{}n a 公差为d 且0d ≠，{}n b 公比为q ，

?

11211

1()()n n n n n n n n n n

c b a a b q c b a a b ++++++-===-=常数，{}n c ∴为等比数列………3分 （2）由题意得：12n n c c +>对1,2,3,4n =恒成立且1+>n n c c 对17n ?≥恒成立，…5分

)

2(1312t n b a c n

n n n +????

??==

n t t n t n n

n 282414)2(13122)22(13121

-

?

??>++??

? ???+对4,3,2,1=n 恒成立

7

44

-

++??

? ??>+??? ??+t n t n n n

n t 224->?对17n ≥恒成立

10t ?>- ………… ……9分 44

107

t ∴-<<-

而9,8,7t Z t ∈?=--- 27n a n ?=-或28n a n =-或29n a n =-. ………… ……10分

（3）证明：设22112211,n

n n

n n n n

n n a b A q b A q A q a c c A q ??==?=? ???

不妨设A A A =12，n n

n c Aq a q q q ?=?=121

1n n

n n n i i n Aq c c d Aq c =-?==-∑ ()111

1

(1)(2)n

n n n i i i i d d d A q q n --==?=-=-≥∑∑，即

1

)1(--=n n q

q A d (2)n ≥. ………… ……13分

若1=q ，满足)2(0≥=n d n ， 若1>q ，则对任给正数M ，则n 取(log ,)(1)

q

M

A q +∞-内的正整数时，

M d n >，与

M d M

n <<1

矛盾. 若10<

1

M ，则n 取))

1((log ∞+-q A T q

内的正整数时

T d n <=

1M ，与M d M

n <<1矛盾. 1=∴q ，n n Ac a =∴而n a 是等差数列，设公差为d '，

111()n n n n d c c a a A A

++'

∴-=

-=为定值，n c ∴为等差数列. ………… ……16分 附加题参考答案

21.A ．证明：（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°而BN =BM ?△BNM 为等腰三角形

?BD 为∠NBM 的角平分线?∠DBC =∠DBM. ………………5分 （2）BM 是⊙O 的切线，DBM DAB CBD CAD DAB DAC DBC DBM ∠=∠?

?

∠=∠?∠=∠??∠=∠?

?AM 是∠CAB 的角平分线. ………………10分

21.B .解：（1）由题意得：

211121222n A m αλαλ????????

=?==????????????????2220242n n m m ?+==?????+==??

……5分 （2）设1

a b A

c d -??=?????20102101a b E c d ??????

==??????

??????

1212200201211a a b b a c c b d d ??

==????=??=∴???

+=??=-??

+==????

即110211A -????=??

-??. ………………10分 21.C .解：（1）⊙M

：227(()42x y -

+-=

，)3π

对应直角坐系下的点为3)2

,

(2,)2π对应直角坐系下的点为(0,2)，∴⊙N

：223

(()12

x y +-=.……5分

（2）PQ =MN -3=431-=. ………………10分

21.D .证明：（1

）3a b c ++≥1a b c ++=

127abc ?≤

，当且仅当1

3

a b c ===时取“=”. ………………5分 （2）柯西不等式2222

11()33a b c a b c ++≥++=，由（1

13≤

222a b c ∴++≥a b c ==时取“=”. ………………10分

22.解：（1）2244y x y x

=-???=?(4,4)A ，(1,2)B -，设A 12(,)4m m ，B 12

(,)4n n ，

122444(4)(4)44

AT A T m

k k m t m tm m m t m m

t t =?

=?-=-?-=--- 2

1(,)4

t m t A t ?=-?-，同理：21(,2)B t t 22

34

4.4

t k kt t t

t ?=

=

?=-

定值…5分 （2）A 1B 1：22

42(),0(,0),(2,0)2

t y t x t y N M t -=-=令得而

1212122

A B S y S S S y ==?=，12

22441122488A A t t TN y S t t t S S S TM y t -?==?=?=?-

12

23311(2)222444

B A t

t TN y S t t t S S S TM y t -?==?=?=?- 1234,,,S S S S 构成的等比数列，∴21t =而0t >?1t =. ………………10分

23.解：如图以CB 、CA 分别为x ，y 轴，过C 作直线Cz //BC 1，以Cz 为z 轴

)3,0,3(),0,3,0(),0,0,0(),0,0,3(1C A C B ∴

)3,0,6()3,0,6(111B CC CB ?=+= 111(3,3,3)(3,3,3)CA CC CA A =+=?

（1）T 是△ABC 1重心1(2,1,1)(1

,2,2)T TA ??= 设面ABC 1的法向量为1111(,,),(3,3,0)n x y z AB ==-

1111111133003330x y z x y z x y -==???????-+==??取法向量)0,1,1(1=n

11112cos ,,24

TA n TA n π∴<>=

=

?<>=

设TA 1与面ABC 1所成角为11,2

4

TA n π

π

αα?=

-<>=

. ………………5分

（2）T 在面ABC 1内，()133,3,3CT CB BT CB mBC nBA n n m =+=++=-，

即)3,3,33(m n n T -.由1TB TC =得

222222(33)(3)(3)(33)(3)(33)241n n m n n m m n -++=+++-?-+=-①

设面CAA 1C 1法向量为22221(,,),(0,3,0),(3,0,3)n x y z CA CC ===

22230330

y x z =????+=?取)1,0,1(2-=n 设面TA 1C 1法向量为3333111(,,),(0,3,0),(3,3,33)n x y z C A CT n n m ===--

3330

3(33)0y nx m z =????-+-=?取),0,1(3n m n -=，由平面11TAC ⊥平面11ACC A 得

10)1(21,cos 2

2

32+=?=+-?-->=

m n m n n ②

由①②解得23,21==m n ,∴存在点T ??

?

??29,23,23，TC

=2. ………10分