夹逼准则两种错误证明方法辨析
夹逼准则两种错误证明方法辨析
作者：陈涛
作者单位：泰山学院数学与系统科学系,山东泰安,271021
刊名：
高等数学研究
英文刊名：STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS
年，卷(期)：2008，11(5)
被引用次数：0次
参考文献(3条)
1.同济大学数学教研室高等数学 2002
2.钱昌本高等数学解题过程的分析和研究 1999
3.曹才翰.章建跃数学教育心理学 2000
相似文献(10条)
1.期刊论文王占京.米香云.WANG Zhan-jing.MI Xiang-yun关于数列与其子列敛散性的讨论-河北经贸大学学报（综合版）2005,5(4)
本文对数列极限的常规结论进行了进一步的研究,得出了关于数列与其子列间更为深入的结论,其构成了数列收敛的新的充分必要条件.
2.期刊论文沈林.谢芳数列积和数列和的极限的求解方法-科教文汇2008,""(8)
本文就数列的积和极限总结出了四种实用且有效的求解方法,并举出了相应的例子给予说明.
3.期刊论文王振福.张建军.Wang Zhenfu.Zhang Jianjun数列的上极限与下极限探析-包头职业技术学院学报2008,9(1)
通过数列上极限与下极限的概念,讨论了数列上极限与下极限存在的充分必要条件及其一些性质与推论,从而补充了一些关于数列极限的知识.
4.期刊论文潘晓玮.PAN Xiao-wei一个包含Smarandache LCM比率数列的极限问题-西北大学学报（自然科学版）2007,37(5)
目的 研究一个包含Smarandache LCM比率数列的极限问题.方法 利用初等解析方法.结果 证明lim[T(n,n)]1/n=lim[L(n)]1/n=e.结论 给出二个包含Smarandache LCM比率数列的极限定理.
5.期刊论文胡莹晶.吴玉海.HU Ying-jing.WU Yu-hai关于数列{Γ(n+1/2)/√nΓ(n/2)}+∞n=1的极限-大学数学2008,24(6)
用单调有界定理证明了数列{Γ(n+1/2)/√nΓ(n/2)}+∞n=1的奇子列和偶子列极限的存在性,并给出了该数列的极限为1/√2.本文所得结果对帮助学生更好理解概率统计论中t分布密度函数的极限函数的证明有一定指导作用.
6.期刊论文霍东华数列的非正常上、下极限的一点应用-牡丹江师范学院学报（自然科学版）2006,""(2)
对文献[1]中的一个问题进行了详细的讨论,相应地得到一个完美的结果.
7.期刊论文张之红数列的极限与函数的不动点-科教导刊2010,""(15)
在常见数学分析的教科书中,关于求数列的极限方法介绍了不少,如单调有界定理、柯西收敛准则、两边夹法则等,另外还有将数列的极限转化为函数的极限,再用洛比达法则来求取的方法.但对于求上、下极限,各种教材均把它作为一种新的概念介绍,虽对其定义及性质有较详细的论述,但对如何运用上、下极限来判断数列的敛散性及如何求极限值这些方面则介绍甚少.本文将求迭代数列的极限与求某函数的不动点联系在一起,给出几个定理,将求迭代数列的极限问题转化为求某一函数的不动点问题,并举例介绍了这种在求(证)数列极限方面的应用,使证明迭代数列的敛散性的过程得到简化.
8.期刊论文朱杏华.ZHU Xing-hua数列{n-n√n!}的单调有界性及极限的证明-高师理科学刊2009,29(2)
讨论数列的单调有界性与极限的方法很多.利用基本极限与比式方法直接证明数列是严格单调递增的且以为极限,而不必借助导数、级数、积分及Stirling公式等工具.
9.期刊论文张国铭若干个数列之间的联系及其极限-高等数学研究2009,12(5)
揭示了若干个数列之间的联系,找到了形成这些数列的背景,求出了这些数列的极限;而后又提供两个例子作为所获得的结论的应用,且其中的一个例子是对一道典型题的错误解法的再讨论.
10.期刊论文吴亚敏m次平均数列的极限-高等数学研究2007,10(5)
讨论m次算术平均数列(1)、m次几何平均数列(2)、m次调和平均数列(3)的极限计算方法,得到三个极限的计算公式(4)、(5)、(6).
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高等数学证明方法
（3）反证法 这种证法是从反面考虑问题。先假设在已知条件成立的情况下，要证的结论不成立，而后从已知条件出发，运用基本概念和基本定理，通过逻辑推理导出矛盾（或与已知条件矛盾；或与某一已知概念、公式、公理、定理等矛盾；或自相矛盾等），这样则否定假设，从而肯定原结论正确。 例如，证明不是的多项式. 事实上，利用反证法，设是的多项式，不妨记此多项式为次多项式，即，则有 于是次多项式有无穷多个不同实根，这与次多项式最多只有个不同实根相矛盾，由此证明了不是的多项式. 又如，证明不存在（为自然数）. 事实上，利用反证法，假设存在且设，则有 又因为 所以有 故 这与产生矛盾，因此不存在. （2）分析法 这种方法基本思路是逆着想。先假设结论正确，运用已有的定义、定理、公式、性质，从后向前一步一步地分析，直至推出已知条件，即由结论找需知，再找需知，……，直至已知。这种“执果溯因”的方法，叫做分析法。 分析法是探求证题途径的重要方法之一。它的优点在于思考过程比较自然，目的明确，较为容易找到证明的思路，但缺点是分析的过程叙述起来往往比较繁琐，因而过程多在草稿纸上进行，不正式写出。在实际解题时，特别对于一些较难的问题，常常先用分析法寻找解题的途径，然后再用综合法叙述解题过程，这种方法也可叫做分析综合法。 例如，设在时连续，且；而在时有单调递增导数，试证在时是单调递增的。 事实上，欲证为单调递增，只需证明就行了，而由于 因此就归结为证明. 利用拉格朗日中值定理及已知条件，有 单调递增 因此在时是单调递增的. 又如，用极限定义证明一数列或函数有已知极限时，多采用分析综合法证明。比如证明，其方法如下： ，欲使不等式成立， 由 所以只需，即成立. 取，于是当时，就有，从而保证了希望的不等式成立. 综合以上分析，就有 ，当时，，根据极限定义，有
考研数学：夹逼准则的推论
https://www.360docs.net/doc/cb14225946.html, 考研数学：夹逼准则的推论 夹逼准则是高等数学里求极限的重要方法之一，适用于函数与数列极限的计算及反常积分的计算。在考研数学中是要求考生重点掌握的一块内容，其考查方式多样，需要考生掌握关于夹逼准则的重点题型和基本的放缩技巧，同时也要会使用并证明夹逼准则的推论：无穷小量乘以有界量仍为无穷小量，下面重点讲解该推论的证明及应用。 一、夹逼准则（函数）：如果 （1）当0000(,)(,)x x x x x δδ∈-?+时， ()()(); g x f x h x ≤≤（2）0lim ()x x g x A →=，0lim ()x x h x A →=，则0 lim ()x x f x →存在，且等于A 。此准则必须对所求极限的函数进行适当放大和缩小，且经放大和缩小得到的函数的极限易求且相等。夹逼准则的关键在于，找两个极限值相同的函数()g x 和()h x ，使得()()()g x f x h x ≤ ≤。二、夹逼准则的推论：无穷小量?有界量=无穷小量 即0lim ()0x x f x →=，且当0000(,)(,)x x x x x δδ∈-?+时，存在0M >，使得()g x M ≤，则 0lim ()()0x x f x g x →=。证明：由条件可得 ()()() f x g x M f x ≤即()()()()M f x f x g x M f x -≤≤因为0lim ()0x x f x →=，故0 0lim ()lim ()0x x x x M f x M f x →→-==，由夹逼准则可得0lim ()()0 x x f x g x →=例：求极限201lim sin x x x →分析：由于0x →时，2x 为无穷小量，1sin x 的极限虽然不存在，但1sin 1x ≤，因此为有界量，根据推论可得该极限为0。 解：由于20lim 0x x →=，且1sin 1x ≤，所以201lim sin 0x x x →=
证明圆的切线的两种类型训练
证明圆的切线的两种类型 类型1 已知直线与圆的交点【方法】“连半径，证垂直，得切线”.“证垂直” 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M. 求证：DM与⊙O相切. 练习1 (湖州中考改编)如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=2，弦AB 垂直平分OC. (1)求BC的长； (2)求证：PB是⊙O的切线. 练习2 (德州中考)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C 是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形. (1)求AD的长； (2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明理由. 练习3 (临沂中考)如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E. (1)证明：DE为⊙O的切线； (2)连接OE，若BC=4，求△OEC的面积. 类型2 未知直线与圆的交点【方法】作垂直，证半径，得切线
如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙D 与AB 切于E 点.求证：AC 与⊙D 相切. 练习4 如图，O 为正方形ABCD 对角线AC 上一点，以O 为圆心，OA 长为半径的⊙O 与BC 相切于点M ，与AB 、AD 分别相交于点E 、F. 求证：CD 与⊙O 相切. 练习5 如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ， E 为AB 上的一点，DE=DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ，AB=5，EB=3. （1）求证：AC 是⊙D 的切线; （2）求线段AC 的长. 圆的有关计算 类型1 动态几何中弧长或扇形的面积问题 练习1 已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50 m ，半圆的直径为4 m ，则圆心O 所经过的路线长是______m.(结果用π表示) 练习2 如图所示，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上， AC=, ∠ACB=90°,∠A=30°,若Rt △ ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线长为______.(结果用含π的式子表示) 3
关于 ^ ^ ^ … n^ 的多种推导证明方法
关于前n 个自然数的平方和公式的证明方法 湘西州花垣县边城高级中学-张秀洲 在《数列》教学过程中，大家都能熟练掌握前n 个自然数的平方和公式：2222211234(1)(21)6 n S n n n n =+++++=++L ，但多数学生不知道如何去证明与推导，为了能让学生了解书本知识，并能有所拓展，特总结如下几种证明方法，一方面解决学生的疑惑，另一方面能使学生举一反三，有所创新。 在和学生探讨证明方法时，许多学生想到了用数学归纳法。 方法一：数学归纳法 当1n =时，左边=211=，右边=11(11)(211)16 ??+??+= 左边=右边 ∴1n =时，原式成立. 当2n =时，左边=221+25=，右边=12(21)(221)56 ??+??+= 左边=右边 ∴2n =时，原式成立. 假设n k =时，22221123(1)(21)6 k k k k ++++=++L 成立， 则1n k =+时， 22222 222 123(1)1 (1)(21)(1)6 17 (1)(1) 36 1(1)(276)61 (1)(2)(23)61 (1)[(1)1][2(1)1]6k k k k k k k k k k k k k k k k k k =++++++= ++++=+++=+++=+++=+++++L 左边 左边=右边 ∴1n k =+时，原式成立.
∴对任意n N +∈，2222211234(1)(21)6 n S n n n n =+++++=++L 都成立。 数学归纳法步骤简单、计算方便。但是，归纳法只适用于知道了这个公式“长什么样”后进行理论证明.当初第一个推导出这个公式的人,肯定不是用归纳法,而是通过等式左边的222221234n +++++L ,一步步把右边的1 (1)(21)6 n n n ++“从无到有”地推算出来的. 方法二：观察规律法 记22222212()12345,()12345S n n S n n =++++++=++++++L L 发现规律 21()()3326 S n S n ∴= =?= 方法三：代数推导法 由公式33223()33a b a a b ab b +=+++，得 33322333322332333223323332233233321(01)030130111 2(11)131131111313113(21)232132112323214(31)33313311333331(11)(1)3(1)13(1)1n n n n n =+=+??+??+==+=+??+??+=+?+?+=+=+??+??+=+?+?+=+=+??+??+=+?+?+=-+=-+?-?+?-?L 23323321(1)3(1)3(1)1(1)331 n n n n n n n +=-+?-+?-++=+++将以上n +1个等式累加，得： 32222(1)3(123)3(123)1n n n n +=?+++++++++++L L 22223(1)(1)(21) 3(123)(1)3122 n n n n n n n n +++∴?++++=+-? ++= L
余弦定理的三种证明
A B C c b a C B A D a b c A B C D a b c △ABC 中的三个内角∠A ，∠B ，∠C 的对边，分别用,,a b c 表示. 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 即 222=+-2cos c a b ab C , 222=+-2cos b a c ac B , 222=+-2cos a b c bc A 证明：按照三角形的分类，分三种情形证明之. (1)在Rt ABC ?中，如图1-1 根据勾股定理: 2 2 2 =+c a b 因为cos =0C ,所以2 2 2 =+-2cos c a b ab C 因为cos = a B c ,所以222 =+-2cos b a c ac B 因为cos =b A c ,所以222 =+-2cos a b c bc A （2）在锐角△ABC 中，如图1-2 作CD AB ⊥于点D ，有 =sin ,=cos CD a B BD a B ，=-=c-cos AD AB BD a B 2222222=+=(sin )+(-cos )=+-2cos b CD AD a B c a B a c ac B 同理可证： 222=+-2cos c a b ab C , 222=+-2cos a b c bc A （3）在钝角△ABC 中，如图1-3 作CD AB ⊥，交AB 的延长线于点D ，则 =sin =sin ,=cos =-acosB CD a CBD a B BD a CBD ∠∠， =+=c-cos AD AB BD a B 2222222=+=(sin )+(-cos )=+-2cos b CD AD a B c a B a c ac B 按照（2）的方法可以证明： 222=+-2cos c a b ab C , 222=+-2cos a b c bc A 综上所述，在任意的三角形中，余弦定理总是成立.
关于^新^全新^…n^的多种推导证明方法
关于^新^全新^…n^的多种推导证明方法 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]
关于前n 个自然数的平方和公式的证明方法 湘西州花垣县边城高级中学-张秀洲 在《数列》教学过程中，大家都能熟练掌握前n 个自然数的平方和公式：222221 1234(1)(21)6 n S n n n n =++++ += ++，但多数学生不知道如何去证明与推导，为了能让学生了解书本知识，并能有所拓展，特总结如下几种证明方法，一方面解决学生的疑惑，另一方面能使学生举一反三，有所创新。 在和学生探讨证明方法时，许多学生想到了用数学归纳法。 方法一：数学归纳法 当1n =时，左边=211=，右边=11(11)(211)16 ??+??+= 左边=右边 ∴1n =时，原式成立. 当2n =时，左边=221+25=，右边=12(21)(221)56??+??+= 左边=右边 ∴2n =时，原式成立. 假设n k =时，22221123(1)(21)6k k k k ++++=++成立， 则1n k =+时， 左边=右边 ∴1n k =+时，原式成立. ∴对任意n N +∈，2222211234(1)(21)6 n S n n n n =+++++=++都成立。 数学归纳法步骤简单、计算方便。但是，归纳法只适用于知道了这个公式“长什么样”后进行理论证明.当初第一个推导出这个公式的人,肯定不是用归纳法,而是通过等式左边的222221234n +++++,一步步把右边的1 (1)(21)6 n n n ++“从无到有”地推算出来的. 方法二：观察规律法 记22222212()12345,()12345S n n S n n =+++++ +=+++++ +
证明不等式的几种常用方法
证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以
不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾．
夹逼定理
第六节 夹逼定理 无穷小的比较 一． 夹逼定理 定理1：如果数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足下列条件： （1）n n n z x y ≤≤,( ,3,2,1=n )。 （2） a y n n =∞ →lim ，a z n n =∞ →lim 。 则数列{}n x 的极限存在，且a x n n =∞ →lim 定理2：设函数)(x f 在点a 的的某一去心邻域),(δ∧ a U 内（或X x ≥时） 满足条件：（1）)()()(x h x f x g ≤≤。 （2） A x g a x =→)(lim ，A x h a x =→)(lim （或A x g x =∞ →)(lim ，A x h x =∞ →)(lim ）。 则)(lim x f a x →存在，且A x f a x =→)(lim （（或)(lim x f x ∞→存在，且A x f x =∞ →)(lim ）。 注：（1）夹逼定理不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的方法。 （2） 定理1中的条件（1）改为：n n n z x y ≤≤,( ,3,2,1=n )，结论仍然成立。 例1： 求下列极限 （1）n n n 11lim + ∞ → （2）)1 (2) 11 1( lim 2 2 2 n n n n n ++ +++ +∞ → 二．两个重要极限 （1）1sin lim =→x x x 。 （2）e x x x =+∞ →)1 1(lim ，（e x x x =+→1 0)1(lim ，e n n n =+∞ →)1 1(lim ）。 例2：求下列极限 （1） x x x tan lim 0 → （2） 3 sin tan lim x x x x -→ （3）2 3cos cos lim x x x x -→ 例3：求下列极限
有关切线的几种常见的证明方法
有关切线的几种常见的证明方法与计算 一、与等腰三角形、平形线的性质有关 1.已知：如图7，在△ABC 中，∠BAC =120°，AB =AC ，BC =43，以A 为圆心，2为半径作⊙A ，试问：直线BC 与⊙A 的关系如何并证明你的结论. A B C D O 2．如图，点D 在O ⊙的直径AB 的延长线上，点C 在O ⊙上，AC CD =，30D ∠=°， 求证：CD 是O ⊙的切线； 3．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为 直径的⊙O 交BC 于点D AC 于点E ． 求证：DE 是⊙O O B
4．已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E点，直线EF⊥AC于F．求证：EF与⊙O相切． 5. 已知：如图，AB为O⊙的直径，AB AC BC =，交O⊙于 点D，AC交O⊙于点45 ，°． E BAC ∠= （1）求EBC =． ∠的度数；（2）求证：BD CD 6．已知：如图，PA切⊙O于A点，PO∥AC，BC是⊙O的直径．请问：直线PB是否与⊙
O 相切说明你的理由． 二、与等弧、垂径定理有关 7.如图，AB 是⊙O 的的直径，BC ⊥AB 于点B ，连接OC 交⊙O 于点E ，弦AD ⊥（1）求证：点E 是 ⌒ BD 的中点；（2）求证：CD 是⊙O 的切线； 8.（2010年浙江杭州）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 为圆上两点，且弧⌒ CB ＝ ⌒ CD 弧 CD ，CF ⊥AB 于点F ，CE ⊥AD 的延长线于点E ．求 证：DE ＝BF ； A O F E D
证明线共面的三种常用方法
证明线共面的三种常用方法 线共面是把“立体”转化为“平面”的重要方法之一。证明方法主要有以下三种： 一、两点法 先据条件作一个平面，再证其余直线上有两个点在此平面内，据公理1，得证￡? 【例1】如图1，过直线l 外一点P 引两条直线PA 、PB 和直线l 分别相交于A 、B 两点，求证：三条直线PA 、PB 、l 共面． 【证明】 PA PB P =, ∴∴∈∈∈∈∴?∴过、确定一个平面，又，、、共面 PA PB A B A l B l l PA PB l α αα α α P A B l 图1 二、辅助平面法 分别据题设条件过某些点和直线作多个平面，再证明这些平面重合 【例2】如图2，已知a//b ，A a B b C b ∈∈∈，，，求证a 、b 、AB 、AC 共面． A a b B C 图2 【证明】 a b //
∴=∴a b AB AC A AB AC A B C 、确定平面、可确定平面、都经过不共线三点，，α β αβ ∴αβ与重合，即、、、共面a b AB AC ∴a 、b 、AB 、AC 共面 三、反证法 否定结论，然后根据题设条件推理，推出与已知条件，已知的公理，性质或已知的事实等矛盾，从而否定假设，肯定结论． 【例3】已知直线a//b//c ，直线l a A l b B l c C ===，，，求证四条直线a b c l 、、、共面． 【证明】 l a A = ∴?∈∈∴=∴???∴l a b B b a b a b a B b B b b b b b B b b c a b c l 与确定平面，假设，则过点在内作，，，，与矛盾 不正确，即同理、、、共面于ααααα α α'////'//' //''
证明圆的切线的两种类型训练
证明圆的切线的两种类型 类型1已知直线与圆的交点【方法】“连半径，证垂直，得切线”.“证垂直” 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M. 求证：DM与⊙O相切. 练习1(湖州中考改编)如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=2，弦AB 垂直平分OC. (1)求BC的长； (2)求证：PB是⊙O的切线. 练习2(德州中考)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C 是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形. (1)求AD的长； (2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明理由. 3(临沂中考)如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB 交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E. (1)证明：DE为⊙O的切线； (2)连接OE，若BC=4，求△OEC的面积.
类型2未知直线与圆的交点【方法】作垂直，证半径，得切线 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切. 练习4如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB、AD分别相交于点E、F. 求证：CD与⊙O相切. 练习5如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE=DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB=5，EB=3. （1）求证：AC是⊙D的切线; （2）求线段AC的长.
23、（本题满分7分）（2014-2015学年（上）厦门市数学九年级质量检测） 如图8，已知AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，C 是⊙O 外一点。 若AD ∥OC ，直线BC 与⊙O 相交，判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由。 23．（本题满分7分）（2015—2016学年(上)厦门市九年级质量检测） 如图7，在□ABCD 中，∠ABC ＝70°，半径为r 的⊙O 经过点A ，B ，D ，︵AD 的长是πr 2 ，延长CB 至点P ，使得PB ＝AB ．判断直线PA 与⊙O 的位置关系，并说明理由． 图7B O B A C 图8D
全等三角形三种证明方法经典例题
全等三角形经典例题 典型例题： 知识点一：全等三角形判定1 例1：如图，在△AFD 和△EBC 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，有下面四个论断：（1）AD ＝CB ；（2）AE ＝CF ；（3）DF ＝BE ；（4）AD ∥BC 。请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一道证明题，并写出证明过程。 思路分析： 1）题意分析：本题一方面考查证明题的条件和结论的关系，另一方面考查全等三角形判定1中的三边对应关系。 2）解题思路：根据全等三角形判定1：三边对应相等的两个三角形全等。首先确定命题的条件为三边对应相等，而四个论断中有且只有三个条件与边有关，因此应把论断中的（1）（2）（3）作为条件，来证明论断（4）。在证明全等之前，要先证明三边分别对应相等。 ; 解答过程： 已知：如图，在△AFD 和△EBC 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，AD ＝CB ，AE ＝CF ，DF ＝BE 。求证：AD ∥BC 。 证明：∵AE ＝CF ∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ∴AF ＝CE 在△AFD 和△CEB 中， ∵ & ∴△AFD ≌△EBC （SSS ） ∴∠A ＝∠C ∴AD ∥BC 解题后的思考：在运用全等三角形判定1判断三角形全等时，一定要找准三边的对应关系，然后给出证明。 小结：本例题一方面考查了命题的书写与证明，另一方面通过本题的严格证明锻炼学生的逻辑思维能力，进一步规范了三角形全等证明题的书写。 知识点二：全等三角形判定2 AD CB AF CE DF BE =??=? ?=?
例2：已知：如图，是和的平分线，。 * 求证：（1）△OAB ≌△OCD ；（2）。 思路分析： 1）题意分析：本题主要考查全等三角形判定2中的对应关系。 2）解题思路：根据全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。在证明三角形全等之前，要先证明两边及夹角分别对应相等。 解答过程：证明：（1）∵OP 是和的平分线， ∴∠AOP ＝∠COP ，∠BOP ＝∠DOP ∴∠AOP －∠BOP ＝∠COP －∠DOP < ∴∠AOB ＝∠COD 在△OAB 和△OCD 中， ∵ ∴△OAB ≌△OCD （SAS ） （2）由（1）知△OAB ≌△OCD ∴AB ＝CD 解题后的思考：在判断三角形全等时，一定要根据全等三角形判定2，找准对应边和对应角。 . 例3：已知：如图，AB ∥CD ，AB ＝CD ，求证：AD ∥BC ，AD ＝BC 思路分析： 1）题意分析：本题主要考查全等三角形判定2的应用。 2）解题思路：根据全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。在证明三角形全等之前，要先将用于证明三角形全等的条件准备好。即如何由已知条件证明出两边和一角相等，以及如何用上AB ∥CD 这个条件。 解答过程： 连接BD ∵ AB ∥CD 、 OP AOC ∠BOD ∠OA OC OB OD ==，AB CD =AOC ∠BOD ∠OA OC AOB COD OB OD =?? ∠=∠??= ?
HL证明方法
海到无边天作岸，山高绝顶我为峰 1 名思教育个性化拓展练习 学生姓名： 年级： 科目： 数学 得分： 练习内容
海到无边天作岸，山高绝顶我为峰 2 1．下列命题中正确的有（ ） ①两直角边对应相等的两直角三角形全等；②两锐角对应相等的两直角三角形全等； ③斜边和一条直角边对应相等的两直角三角形全等； ④一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等. A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 2．如图，ABC ?和EDF ?中，?=∠=∠90D B ，E A ∠=∠，点B 、F 、C 、D 在同 一条直线上，在增加一个条件，不能判定ABC ?≌EDF ?的是（ ） A ．ED A B = B ．EF A C = C ．EF AC // D ．DC BF = 2题 3题 3．如图，AC AB =，AC BD ⊥于D ，AB CE ⊥于E ，图中全等三角形的组数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．如图，BD AE ⊥于E ，BD CF ⊥于F ，CD AB =，CF AE =. 求证：CD AB // 5．如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，CD AB =，AD EB ⊥，AD FC ⊥，且DF AE = 求证：DE AF = 6．在ABC ?中，?=∠90BAC ，AC AB =，AE 是过点A 的一条直线，且AE BD ⊥于D ，AE CE ⊥于E . ⑴当直线AE 处于如图1的位置时，猜想BD 、DE 、CE 之间的数量关系，并证明. ⑵请你在图2选择与⑴不同位置进行操作，并猜想⑴中的结论是否还成立？加以证明； ⑶归纳⑴、⑵，请你用简洁的语言表达BD 、DE 、CE 之间的数量 关系. 四．强化练习： 1．在下列所给的四组条件中，不能判定ABC Rt ?≌C B A Rt '''? (其中?='∠=∠90C C )的是( ) A ．C A AC ''=，A A '∠=∠ B ． C A AC ''=，C B BC ''= C. A A '∠=∠，B B '∠=∠ D. C A AC ''=，B A AB ''= 2.使两个直角三角形全等的条件是（ ） A ．一组锐角对应相等 B ．两组锐角对应相等 C ．一条边对应相等 D ．两条边对应相等 3.如图，在ABC ?中，BC AD ⊥于点D ，AB C E ⊥于点E ，AD 、CE 交于点H ，已知 3==EB EH ，4=AE ，则CH 的长为（ ） A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
利用夹逼准则求极限精编版
利用夹逼准则求极限精 编版 MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】
利用夹逼准则求极限 夹逼准则的使用方法： 定理1用夹逼准则求极限，就是将数列放大和缩小。要求放大和缩小后的极限容易求出，此时常将其放大到最大项的整数倍，缩小到最小项的整数倍，并且此时两者极限相等，即两者是等价无穷小，此时就可以得到原数列极限的值。 题型1夹逼准则常用于求若干项和的极限 推论1极限变化过程中最小项与最大项之比为1时可以使用夹逼准则求其极限。 证明：不妨设最小项为)(x α，最大项为)(x β，数列有n 项，则整数倍为n 倍， 由定理1可知.)() (lim 1)()(lim x x x n x n βαβα== 例1.求)21 (4) 12 1( lim 2 2 2 n n n n n ++ +++ +∞ →. 解：.11lim 22lim 22lim 2 121 lim 22 2222==++=++=++∞ →∞→∞→∞ →n n n n n n n n n n n n n 由推论1，.12 21 (4) 12 1212 2 2 2 2 →+≤ ++ +++ +≤ +← n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为1. 例2.求).1 ...2111(lim 222n n n n n n n n +++++++++∞→ 解：.11lim 1 1 1lim 2222=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n n n 由推论1，.01 1...2111022222→++≤+++++++++≤++←n n n n n n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为0. 例3.求)....2211(lim 222 n n n n n n n n n +++++++++∞→ 解： 由推论1， 2 1112)1(...221112)1(2122222→++?+<+++++++++<++?+←n n n n n n n n n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为2 1 . 由以上例题可以看出用夹逼准则求极限的关键在于对数列进行恰当的放缩
证明圆的切线方法
证明圆的切线方法 我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l 过⊙O 上某一点A ，证明l 是⊙O 的切线，只需连OA ，证明OA ⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F. 求证：EF 与⊙O 相切. 证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4. ∴BD=DE ，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF ≌△EOF （SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 ⌒ ⌒
例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E ∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA ⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切. 证明二：延长AD 交⊙O 于E ，连结OA ，OE. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴BE=CE ， ∴OE ⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE ， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD ， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠ BDE, ⌒ ⌒
正弦定理的几种证明方法
正弦定理的几种证明方法 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定 义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ， 同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即sin sin a b A B =sin c C = . 1’用知识的最近生长点来证明： | 实际应用问题中，我们常遇到问题： 已知点A ，点B 之间的距｜AB|，可测量角A 与角B ， 需要定位点C ，即： 在如图△ABC 中，已知角A ，角B ，｜AB ｜＝c ， 求边AC 的长b 解：过C 作CD?AB 交AB 于D ，则 cos AD c A = sin sin cos sin tan sin cos BD c A c A C DC C C C C = == sin cos (sin cos sin cos )sin cos sin sin sin c A C c C A A C c B b AC AD DC c A C C C +==+=+ == ` a b D A （ C A B ~ D b a
全等三角形三种证明方法经典例题
全等三角形经典例题 典型例题： 知识点一：全等三角形判定1 例1:如图，在△AFD和A EBC中，点A, E, F, C在同一直线上，有下面四个论断：(1) AD= CB (2) AE= CF; (3) DF= BE (4) AD// BC请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一道证明题，并写出证明过程。 思路分析： 1) 题意分析：本题一方面考查证明题的条件和结论的关系，另一方面考查全等三角形判定1中的三边对应关系。 2) 解题思路：根据全等三角形判定1 :三边对应相等的两个三角形全等。首先确定命题的条件为三边对应相等，而四个论断中有且只有三个条件与边有关，因此应把论断中的(1) (2) (3)作为条件，来证明论断(4)。在证明全等之前，要先证明三边分别对应相等。 解答过程： 已知：如图，在△AFD和△EBC中，点A, E, F, C在同一直线上，AD= CB AE= CF, DF =BE。求证：AD// BC 证明：?/ AE= CF ??? AE+ EF= CF+ EF ??? AF= CE 在厶AFD和△CEB中， AD CB ?AF CE DF BE ?△AFD^A EBC( SSS ?-Z A=Z C ?AD// BC 解题后的思考：在运用全等三角形判定1判断三角形全等时，一定要找准三边的对应关系，然后给出证明。 小结：本例题一方面考查了命题的书写与证明，另一方面通过本题的严格证明锻炼学生 的逻辑思维能力，进一步规范了三角形全等证明题的书写。 知识点二：全等三角形判定2 例2：已知：如图，0P是AOC和BOD的平分线，OA OC, OB OD。求证：(0AB2A OCD (2) AB CD。
证明题的方法
作业： 1．从上述案例中选择一个进行分析与评价。 《等腰三角形》的性质这一案例，本身这是最传统的一种几何知识的教学，如何做到传统的知识教学与新课程改革相联系，这是我们要考虑的一个问题。这节课通过学生观察图形得出等腰三角形的概念，然后通过学生绘制等腰三角形，得到最实际的一手资料后，让学生通过讨论和动手操作，得出一系列的性质，并且通过证明加以规范。 从上述老师的过程来说，应该是满足新课程的要求的。通过学生的观察，动手操作，小组讨论，加以证明等步骤，即将传统的知识分析讲解的十分透彻，又发展培养了学生的动手能力等。 ．举例说明学生在几何学习过程中的主要困难。 学生在学习几何的过程当中主要有以下困难： （1）、几何概念不清，概念混淆。 在三角形全等的证明中有一个方法是（两条边和夹角对应相等的两个三角形全等），在这个定理中，我们要强调的是夹角对应相等，而不是两角对应相等。初学者经常要犯这样的错误。 （2）、几何概念多，不宜记忆。 与代数相比较而言，初中几何概念应该是比较多的，而且比较难记，这就是许多学生害怕数学的一个直接的原因。 （3）、几何学习的逻辑性强。 几何学习者都应该知道，几何学习肯定离不开几何证明。在进行几何证明时，首先要看题，了解题目的意思，然后选择适当的方法，然后书写证明过程，在这整个环节当中，都体现出了学生的理解力，逻辑思维能力。 3，如何培养推理证明能力？ 每一道数学证明题都是由已知的条件和求证的结论两部分组成的。我们的任务就是根据题目中的已知条件，运用有关的数学概念、公理、定理，进行逻辑推理，逐步地推出求证的结论来。由此可以看出，做数学证明题的基本功，一般为下列四个方面的问题： 1、看清题目意思分清什么是已知条件，什么是求证结论。 2、熟悉证明依据能熟练运用与题意有关的概念、公理和定理。 3、掌握推理格式能正确地运用合乎逻辑的推理、证明。 1、积累解题思路通过“学”、“练”结合，拓展解题思路。 [一]、如何看清题意 看清题意应达到三会：“会审题”、“会变化”、“会称呼”。 会审题会不会审题是能否看清题意的基础。在教学中，首先，要培养学生认真审题的习惯；其次，要教给学生审题的一般步骤： 1、一题到手，首先弄清题目中出现了哪几个主要的概念，并回忆出它们的定义来。 2、根据题意分清什么是已知条件，什么要求证的结论。
(完整版)圆的切线的证明复习(教案)
专题复习----圆的切线证明教案 积石山县吹麻滩中学秦明礼 一、温习梳理 1、切线的定义:直线和圆有公共点时，这条直线叫圆的切线。 2、切线的性质:圆的切线于过切点的半径。 3、切线的判定:⑴和圆只有公共点的直线是圆的切线。 ⑵到圆心距离半径的直线是圆的切线。 ⑶经过半径的外端并且于这条半径的直线是圆的切线。 4、证明直线与圆相切，一般有两种情况： ⑴已知直线与圆有公共点，则连，证明。 ⑵不知直线与圆有公共点，则作，证明垂线段的长等于。
二、课前检测: 1.如图，AC为⊙O直径，B为AC延长线上的一点，BD交⊙O于点D， ∠BAD=∠B=30° （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）请问：BC与BA有什么数量关系？写出这个关系式，并说明理由。 三、活动于探究: 1．如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点.求证：GE是⊙O的切线.
2．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于D ， DE ⊥AC 于E ．求证：DE 是⊙O 的切线． 3．如图，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与PA 相切于点C ． (1) 求证：直线PB 与⊙O 相切； (2) PO 的延长线与⊙O 交于点E ．若⊙O 的半径为3，PC=4．求弦CE 的长． O A E B C D
4．如图，RT ?ABC 中，∠ABC=90O ，以 AB 为直径作⊙O 交边于点D ，E 是BC 边的中点，连接DE ． （1）求证：直线DE 是⊙O 的切线； （2）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ， 求tan ∠ACO 的值． 四、反馈检测: 如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC ． 求证：DE 是⊙O 的切线． 五、小结回顾： 1、本节课我们学习了：圆的切线的判定。 2、证明圆的切线的基本思路是：如果切点已知，需连接圆心做半径，证明半径和要证的切线垂直即可。而要证明垂直则需三种方法——平行、互余、全等。 B C E B A O F D
如何做几何证明题(方法总结)
如何做几何证明题 知识归纳总结： 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 一. 证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的 系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两
的角平分线AD、CE相交于O。 （补
AE＝BD，连结CE、DE。
求证：BC＝AC＋AD B、C作此射线的垂线BP和CQ。 设M为BC的中点。求证：MP＝MQ