黄冈师范学院数学专业专升本复习资料(含本校历年期末考试真题)

试卷一

一 填空题

1 123,,,n λλλλ???是矩阵A 的特征多项式()f E A λλ=-的n 个特征根，

123n λλλλ+++???+ ，123n λλλλ??? 。

2 实对称矩阵的特征值均为 ；实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是 。

3 设A （该字母为花体）是n 维线性空间V 的线性变换，则()

1,0V -A A 是V 的 ，()10V -A +A 维（）

维（ 。 4 122=212221??

??A ??

????

，A 的特征多项式为 ，A 的最小多项式为 ，写出矩阵A 的三个线性相无关的特征向量 、 、 。

5 由标准正交基到标准正交基的过度矩阵是 。正交矩阵的行列式= ，正交矩阵的实特征值= 。

6 1

1=1t -??

A ??-??

是正定矩阵，则 。 7 1=1a b ??A ??-??

是正交矩阵，则a , b 。 8 若12,V V 是V 的子空间，且12=V V ⊥,则 12V V ?= ，

12V V += 。

9 n 元齐次线性方程组0AX =的系数矩阵的秩为r ，则它的解空间的维数是 。

二 判断题

1 二次型的标准型是唯一的。

2 可逆的变换是双射。

3 度量矩阵是正定的。

4 矩阵A 可逆的充分必要条件是A 的特征值都不为零。

5 设12,V V 是V 的子空间，则12V V ?，12V V ?都是V 的子空间。

6 属于相同特征值的特征向量是线性无关的。

7 A 是有限维线性空间V 的线性变换，则A 是单射当且仅当A 是满射。 8 特征子空间0

V λ中的向量都是特征向量。

三 计算题

1 在22P ?中，定义线性变换a b X=X c d ??

A ?

???

：，求在基1112212210010000====00001001????????E E E E ????????????????，，，下的矩阵。 2 122A=212221??

????

????

，利用Hamilton Caylay -定理求1A -。 3 A 为4级方阵，A 与B 相似，B 的特征值为1111,,,2345

。求行列式1A E --的值。

4 在二维欧氏空间V 中，12αα，是V 的一组基，它的度量矩阵是

11=12??A ????

，求V 的一组标准正交基。 5 求T 正交矩阵使T AT ’成对角矩阵，其中220A=212020-??

??--??

??-??

。

四 证明题

1 设123n εεεε???，，，

，是欧氏空间的一组基，证明： （1）如果V ξ∈，使(),0,1,2,,i i n ξε==???。那么0ξ=。

（2）如果12V ξξ∈，，使对V α?∈有()()12,,ξαξα=，那么12ξξ=。 2 设12,λλ是线性变换A 的两个不同的特征值，12αα，是分别属于12,λλ的特征向量。证明12αα+不是A 的特征向量。

3 ,A C 为级正定矩阵，B 为实对称矩阵，且满足AB BA C +=。证明B 为正定矩阵。

4 在欧氏空间V 中，证明三角不等式αβαβ+≤+。 5在欧氏空间V 中,证明正交向量组是线性无关的。

6 设1B T AT -=，若α是A 的属于0λ的特征向量，证明1T α-是B 的属于特征值0λ的特征向量。

试卷二

一 写出下列矩阵所表示的二次型

（1）001A=010100??????

????

（2）000001

23A=02310311????-?

???

?

???

二 在线性空间3

P

中，子空间()3

11231,,|0i i V x x x x =??

==????

∑，

(){}2123123,,|V x x x x x x ===,

（1）1V 维（）

，2=V 维（） 。

（2）分别写出12V V ，的一组基。 （3）证明312V V P ⊕=。

三 11111

111A=11111

111?????

???????，4

0000000B=00000

000??

??????

??

??

. A 与B 是否合同？如果合同求出可逆矩阵C ，使得'B=C AC 。

四 已知二次型()22212312312,,22(1)f x x x ax ax x a x x =++++的秩为2，求a 。 五 化二次型()2221231231223,,2344f x x x x x x x x x x =+++-为标准型，并指出所作的非退化线性替换。

六在3P 中，123ααα，，与123βββ，，为它的两组基。其中()1=11α，，-1，()2=210α，，，()3=121α-，，；()1=1β-2，，2，()2=113β--，，，()

3=741β-，，求出基123ααα，，到基123βββ，，的过度矩阵。

七 一个实二次型可以分解成两个实系数的一次多项式的乘积，证明二次型的秩为1或秩等于2符号差为零。

八 证明：矩阵A 正定的充分必要条件是存在可逆矩阵C ，使得

'A C C =。

试卷三

一 用非退化的线性替换化二次型()22123121223,,326f x x x x x x x x x =-+-为规范性，并指出所作的非退化线性替换。

二 若二次型()2221231231223,,22f x x x x x x x x tx x =++++正定，求t 的取值范围。

三 指出下列线性空间W 的维数与一组基

(

)()[]21001W=A |A=00,,200f w w f x R x w ????-+????=∈????????????

。 四 证明题

1 设{}33|',W A A A A P ?==-∈，证明W 是33P ?的子空间，并写出子空间W 的两组基。

2 A 正定，证明1A -、*A 也正定。

3 设12W W ，分别是齐次线性方程组1234=0x x x x +++和齐次线性方程组

1234===x x x x 的解空间，

（1）求12W W ，出的一组基和维数； （2）证明412=P W W ⊕.

试卷四

一 判断题

1 初等函数的原函数都是初等函数。

2 若函数f(x)在闭区间[a,b]上不连续，则f(x)在[a,b]上一定不可积。

3 凸函数一定可导。

4 任何可积函数一定是有界的。

5 实轴上的任一有界无限点至少有一个聚点。 二 填空题

1 函数()x f x e =带有佩亚诺的麦克劳林公式为 。

2 点（1，3）为曲线32y ax bx =+的拐点，则a= ,b= 。

3 设f 在0x 的某邻域0(,)U x δ内一阶可导，在0x 二阶可导，且()0'0f x =，

()0''0f x ≠。若()0''0f x <，则f 在0x 取极 值。

4 开区间（a,b ）的聚点集合为 。

5 若函数f 在[a,b]上连续，()x

a

d

f t dt dx =? ，[,]x a b ∈。

6 ()'F x dx ? 。 二 计算题

1 2

cos lim x

x t dt x

→?

2 0lim ln x x x +

→

3 ()cos ln x dx ?

4

22

22dx

x x -++? 5

1

四 求一正整数a ，使它与其倒数之和最小。

五 设f(x)在[-a,a]上可积，证明：若f(x)为奇函数，则()0a

a

f x dx -=?。

六 求抛物线2y x =与直线230x y --=所围的平面图形的面积A 。

试卷五

一 填空题

1 设f 为闭区间[a,b]上的连续函数，且f(x)>=0,由曲线y=f(x),直线x=a,x=b 以及x 轴所围成的曲边梯形的面积为 。

2

()b

a

f x dx ? ()b

a

f t dt （填“=”或“≠”

）。 3 ln xdx =? 。

4 当 时，无穷积分1

p

dx

x +∞

?

收敛。 5 可积积分 有界，有界函数 可积（填“一定”

或“不一定”）。

6 收敛的无穷积分 绝对收敛，绝对收敛的无穷积分 收敛（填“一定”或“不一定”）。

7 幂级数22n

n x n ∑的收敛半径是 ，收敛区域是 。

8 级数2

2

n n ∑是 （填“收敛”或“发散”）。

9 函数1x

在x=1处的泰勒展开式是 。 二 计算题

1 求椭圆22

221x y a b

+=所围的面积A 。

2 利用定积分定义求极限3341

lim

(12

)n n n

→∞++???+。 3 计算积分1

4 应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判别下面级数的敛散性

()()sin ,0,20nx

x n απα∈>∑

5 设[]1

21(),1,1n n x s x x n -∞

==∈-∑，计算积分()0

x

s t dt ?。

三 证明题

1 利用级数收敛的必要条件，证明2

0lim

0(!)n

x n n →=。 2 证明函数列()sin n x

f x n

=，1,2,n =???,在[],l l -上一致收敛。

试卷六

一 填空题

1 函数44224z x y x y =+-在点（1，1）处的全微分dz 。

2 设平面曲线L 为下半圆周y =，则曲线积分

22()x y ds E

+? 。 3 设函数z=z(x,y)由方程22222450x y z x y z ++-+--=确定，则z

x

??等于 。

4 质点在变力(,)F y z =-的作用下，沿圆周222x y a +=逆时针运动一周，则F 所作的功等于 。

5 改变二次积分()2

20

=,x

x dx f x y dy I ??的积分次序，则I 等于 。

二 选择题

（1）设D 为矩形区域：01,x ≤≤02y ≤≤。则下列式子中正确的是（）

A D

1x+y+12d σ≤≤??（） B D 0x+y+12d σ≤≤??（） C D

2x+y+16d σ≤≤??（） D D

2x+y+18d σ≤≤??（） （2）函数22(,)f x y x y =+在条件x+y=1下的极值为（） A

13 B 45 C 12 D 14

（3）设区域D 为222x y a +≤，并且D

π=，则a 的值为（）

A 1 B

C D

（4）已知1

2Γ（），那么5=2

Γ（）（）

A B C D （5）极限1

22

1

lim 1dx x ααα

α

+→++?

的值为（） A

4π B 6

π

C 1

D 2π 三 计算题

1 设ln(2)z u v =+，其中x y u e +=,2v x y =+，求

,z z x y

????。 2求曲面积分22()()S

y x z dydz x dzdx y xz dxdy -+++??，其中S 是立方体

0,,x y z a ≤≤表面的外侧.

3 求曲面积分S

xds ??，其中S 为球面2222x y z R ++=在第一卦限的部分。

4 计算22V

()x y dxdydz +???，其中V 是曲面222()z x y =+与4z =为界面的区

域。

5 计算含参量积分0

ax bx

e e dx x

+∞

---I =?

的值。其中b>a>0。 四 证明题

1 证明：（中值定理）若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则存在(,)D ξη∈，使得(,)(,)D D

f x y d f S σξη=??，（D S 是区域D 的面积）。

2 证明函数22222

220(,)=0=0x y

x y f x y x y x y ?+≠?+??+?

，，在点（0，0）连续且偏导数存在，

但此点不可微。

试卷七

一 填空题

1 若函数22(,)=2x 2f x y ax xy y +++在点（1，-1）处取得极值，则常数a= 。

2 设函数2

10

(,)=0x f x y x ππ-≤≤??

≤≤?

，-1+x ，，其以2π为周期的函数的傅里叶级数在x π=处收敛于 。

3 设22(,)=x f x y y z ++，则f 在点0(1,1,1)P 沿方向:(2,2,1)L -的方向导数为 。

4 函数4422(,)=x 4f x y y x y +-在点（1，1）处的全微分dz 。 5椭球面222x 2360y z ++-=在点（1，1，1）处的切平面方程为 。 二 选择题

1 在下列说法中，不正确的是（）

A ：孤立点一定是界点

B ：开集一定是开域

C ：点集E 的内点一定属于E

D ：内点和孤立点的界点一定是聚点

2 设22

2,)(0,0)(,)=0,)=(0,0)x y x y f x y x y x y ?+≠?

+???

，(，(，则(0,0)=y f （）

A ：0

B ：1

C ：2

D ：-1

3 若f(x,y)在点00,)x y (处可微，则结论f(x,y)在点00,)x y (处不一定成立的是（）

A ：连续

B ：偏导数存在

C ：偏导数连续

D ：切平面存在 4 设函数z=z(x,y)由方程21z y xz +=确定，则

z

x

??等于（） A ：z xz y

-- B: 22z yz x - C: 2z xz y -

D: 2z

yz x -+

5 重极限22)lim

x y →（，的结果为（）

A ：2

B ：不存在

C ：1

D ：0 三 计算题

（1）(,)z f x y xy =+，求2z

x y

???。

（2）求(,)=y f x y x 在点(1,4)的泰勒公式（到二阶为止）。 四 证明与解答

预祝你考试取得好成绩

1 求二次函数22(,)=e (2)x f x y x y y ++的极值点。

2 验证方程2ln 3ln 10xy x y ++-=在点(1,1)邻域内存在以x 为自变量的隐函数，并且计算

dy dx

。 试卷八

一 判断题

1有理函数的原函数都是初等函数。

2 若函数f(x)在闭区间 [a,b]上不连续，则f(x)在 [a,b]上一定不可积。

3 若级数n u ∑收敛，则lim

0n n u →∞

=。 4 调和级数收敛。

5 条件收敛的无穷积分是收敛的。 二 填空题 1

1

1

(1)n n n ∞

==+∑ 。 2 级数2

cos nx

n ∑

对于(0,2)x π∈是 （收敛或发散）。 3 几何级数0

n n x ∞

=∑的收敛域是 。

三 计算题

1 111lim x-1ln x x →??- ??

? 2 1

20

1

1dx x -? 四若f 在[a,b]上连续，则至少存在一点[,]a b ξ∈，使得

()()()b

a

f x dx f b a ξ=-?。

五 求幂级数1

n n x ∞

=∑n(n+1)的和函数（别忘了指出存在的定义域）。