2018版高考数学一轮复习第六章数列第5讲数列的综合应用理

第5讲 数列的综合应用

一、选择题

1．已知{a n }为等比数列．下面结论中正确的是

( )．

A ．a 1＋a 3≥2a 2

B ．a 2

1＋a 2

3≥2a 2

2 C ．若a 1＝a 3，则a 1＝a 2

D ．若a 3>a 1，则a 4>a 2

解析 设公比为q ，对于选项A ，当a 1<0，q ≠1时不正确；选项C ，当q ＝－1时不正确；选项D ，当a 1＝1，q ＝－2时不正确；选项B 正确，因为a 2

1＋a 2

3≥2a 1a 3＝2a 2

2. 答案 B

2．满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *

)，它的前n 项和为S n ，则满足S n >1 025的最小n 值是

( )．

A ．9

B ．10

C ．11

D ．12

解析 因为a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *

)，所以a n ＋1＝2a n ，a n ＝2n －1

，S n ＝2n

－1，则

满足S n >1 025的最小n 值是11. 答案 C

3．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝1

2n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150

吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是

( )．

A ．5年

B ．6年

C ．7年

D ．8年

解析 由已知可得第n 年的产量a n ＝f (n )－f (n －1)＝3n 2

.当n ＝1时也适合，据题意令

a n ≥150?n ≥52，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年．

答案 C

4．在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和，若S n 取得最大值，则n ＝

( )． A ．7

B ．8

C ．9

D ．10

解析 设公差为d ，由题设3(a 1＋3d )＝7(a 1＋6d )， 所以d ＝－4

33

a 1<0.

解不等式a n >0，即a 1＋(n －1)? ??

??－433a 1>0， 所以n <37

4

，则n ≤9，

当n ≤9时，a n >0，同理可得n ≥10时，a n <0. 故当n ＝9时，S n 取得最大值．

答案 C

5．设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )等于

( )．

A ．n (2n ＋3)

B ．n (n ＋4)

C ．2n (2n ＋3)

D ．2n (n ＋4)

解析 由题意可设f (x )＝kx ＋1(k ≠0)， 则(4k ＋1)2

＝(k ＋1)×(13k ＋1)，解得k ＝2，

f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n ＋1)＝2n 2＋3n .

答案 A

6．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝

1

a 1a 2＋

1

a 2a 3

＋…＋

1

a n a n ＋1

的结果可化为( )

A ．1－1

4n

B ．1－1

2n

C.23? ?

?

??1－14n D.23?

?

???1－12n

解析 a n ＝2n －1

，设b n ＝1a n a n ＋1＝? ????122n －1，

则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12＋? ????123＋…＋? ??

??122n －1

＝12? ?

???1－14n 1－14

＝23? ????1－14n .

答案 C 二、填空题

7．设关于x 的不等式x 2

－x ＜2nx (n ∈N *

)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为

S n ，则S 100的值为________．

解析 由x 2

－x ＜2nx (n ∈N *

)，得0＜x ＜2n ＋1，因此知a n ＝2n . ∴S 100＝100 2＋200

2＝10 100.

答案 10 100

8．已知a ，b ，c 成等比数列，如果a ，x ，b 和b ，y ，c 都成等差数列，则a x ＋c y

＝________. 解析 赋值法．如令a ，b ，c 分别为2,4,8，可求出x ＝a ＋b

2

＝3，y ＝

b ＋c

2

＝6，a x ＋c y

＝

2. 答案 2 9．设曲线y ＝x

n ＋1(n ∈N *

)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则

a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99的值为________．

解析 由y ′＝(n ＋1)x n (x ∈N *

)，所以在点(1,1)处的切线斜率k ＝n ＋1，故切线方程为

y ＝(n ＋1)(x －1)＋1，令y ＝0得x n ＝n

n ＋1

，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99＝lg x 1＋lg x 2＋…

＋lg x 99＝lg(x 1·x 2·…·x 99)＝lg 12×23×…×9999＋1＝lg 1

99＋1＝－2.

答案 －2

10．数列{a n }的前n 项和为S n ，若数列{a n }的各项按如下规律排列：

12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，…，n －1

n ，…，有如下运算和结论： ①a 24＝38

；

②数列a 1，a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9＋a 10，…是等比数列； ③数列a 1，a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9＋a 10，…的前n 项和为T n ＝n 2＋n

4

；

④若存在正整数k ，使S k <10，S k ＋1≥10，则a k ＝5

7

.

其中正确的结论有________．(将你认为正确的结论序号都填上)

解析 依题意，将数列{a n }中的项依次按分母相同的项分成一组，第n 组中的数的规律是：第n 组中的数共有n 个，并且每个数的分母均是n ＋1，分子由1依次增大到n ，第

n 组中的各数和等于

1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n

2

.

对于①，注意到21＝6 6＋1 2<24<7 7＋1

2＝28，因此数列{a n }中的第24项应是第7

组中的第3个数，即a 24＝3

8

，因此①正确．

对于②、③，设b n 为②、③中的数列的通项，则b n ＝

1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2，显然该数列是等差数列，而不是等比数列，其前n 项和等于

1

2×

n n ＋1 2

＝

n 2＋n

4

，因此②不正确，③正确．

对于④，注意到数列的前6组的所有项的和等于62

＋64＝1012，因此满足条件的a k 应是第

6组中的第5个数，即a k ＝5

7，因此④正确．

综上所述，其中正确的结论有①③④. 答案 ①③④ 三、解答题

11．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝35，a 5和a 7的等差中项为13.

(1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝

4a n －1

(n ∈N *

)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 因为S 5＝5a 3＝35，a 5＋a 7＝26，

所以?

??

??

a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2，

所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，

S n ＝3n ＋n n －1 2

×2＝n 2

＋2n .

(2)由(1)知a n ＝2n ＋1， 所以b n ＝

4a 2

n －1＝1n n ＋1 ＝1n －1

n ＋1

， 所以T n ＝? ????1－12＋? ????12－13＋…＋? ????1

n －1n ＋1

＝1－

1n ＋1＝n n ＋1

. 12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1

＋1，n ∈N *

，且a 1，a 2＋5，a 3成等差

数列． (1)求a 1的值；

(2)求数列{a n }的通项公式；

(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <3

2.

(1)解 当n ＝1时，2a 1＝a 2－4＋1＝a 2－3， ① 当n ＝2时，2(a 1＋a 2)＝a 3－8＋1＝a 3－7，

②

又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋5)，

③

由①②③解得a 1＝1. (2)解 ∵2S n ＝a n ＋1－2

n ＋1

＋1，

∴当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n

＋1， 两式相减整理得a n ＋1－3a n ＝2n

，则a n ＋12n

－3

2·a n

2

n －1＝1，

即

a n ＋1

2n

＋2＝32? ??

??a n 2n －1＋2.又a 120＋2＝3，知 ????

??a n 2n －1＋2是首项为3，公比为3

2的等比数列，

∴

a n

2

n －1

＋2＝3? ??

??32n －1

，

即a n ＝3n －2n ，n ＝1时也适合此式，∴a n ＝3n －2n

. (3)证明 由(2)得1

a n

＝

1

3－2

. 当n ≥2时，? ??

??32n >2，即3n －2n >2n

，

∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1＋? ????122＋? ????123＋…＋? ??

??12n

＝1＋12? ????1－12n －1<32. 13．已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和为14，且a 1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前三项．

(1)分别求数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n ； (2)记数列{a n b n }的前n 项和为K n ，设c n ＝

S n T n K n

，求证：c n ＋1>c n (n ∈N *

)． (1)解 设公差为d ，则?????

4a 1＋6d ＝14，

a 1＋2d 2

＝a 1 a 1＋6d ，

解得d ＝1或d ＝0(舍去)，a 1＝2， 所以a n ＝n ＋1，S n ＝

n n ＋3

2

.

又a 1＝2，d ＝1，所以a 3＝4，即b 2＝4. 所以数列{b n }的首项为b 1＝2，公比q ＝b 2

b 1

＝2， 所以b n ＝2n

，T n ＝2

n ＋1

－2.

(2)证明 因为K n ＝2·21

＋3·22

＋…＋(n ＋1)·2n

， ① 故2K n ＝2·22

＋3·23

＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2

n ＋1

，

②

①－②得－K n ＝2·21

＋22

＋23

＋ (2)

－(n ＋1)·2

n ＋1

，

∴K n ＝n ·2n ＋1

，则c n ＝S n T n K n ＝ n ＋3 2n －1

2

n ＋1

. c n ＋1－c n ＝ n ＋4 2

n ＋1

－1 2n ＋2

－ n ＋3 2n

－1

2

n ＋1

＝

2n ＋1

＋n ＋2

2

n ＋2

>0， 所以c n ＋1>c n (n ∈N *

)．

14．设数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1＝a 2S n ＋a 1，其中a 2≠0. (1)求证：{a n }是首项为1的等比数列；

(2)若a 2＞－1，求证：S n ≤n

2(a 1＋a n )，并给出等号成立的充要条件．

证明 (1)由S 2＝a 2S 1＋a 1，得a 1＋a 2＝a 2a 1＋a 1， 即a 2＝a 2a 1.

因a 2≠0，故a 1＝1，得a 2a 1

＝a 2，

又由题设条件知S n ＋2＝a 2S n ＋1＋a 1，S n ＋1＝a 2S n ＋a 1， 两式相减得S n ＋2－S n ＋1＝a 2(S n ＋1－S n )， 即a n ＋2＝a 2a n ＋1，由a 2≠0，知a n ＋1≠0，因此a n ＋2

a n ＋1

＝a 2. 综上，

a n ＋1a n

＝a 2对所有n ∈N *

成立．从而{a n }是首项为1，公比为a 2的等比数列． (2)当n ＝1或2时，显然S n ＝n

2(a 1＋a n )，等号成立．

设n ≥3，a 2＞－1且a 2≠0，由(1)知，a 1＝1，a n ＝a n －1

2， 所以要证的不等式化为：

1＋a 2＋a 2

2＋…＋a n －1

2≤n

2(1＋a n －1

2)(n ≥3)，

即证：1＋a 2＋a 2

2＋…＋a n

2≤

n ＋1

2

(1＋a n

2)(n ≥2)，

当a 2＝1时，上面不等式的等号成立．

当－1＜a 2＜1时，a r

2－1与a n －r

2－1，(r ＝1,2，…，n －1)同为负； 当a 2＞1时，a r

2－1与a n －r 2－1，(r ＝1,2，…，n －1)同为正；

因此当a 2＞－1且a 2≠1时，总有(a r

2－1)(a n －r

2－1)＞0，即a r

2＋a n －r

2＜1＋a n

2，(r ＝1,2，…，

n －1)．

上面不等式对r 从1到n －1求和得 2(a 2＋a 2

2＋…＋a n －12)＜(n －1)(1＋a n

2)． 由此得1＋a 2＋a 2

2＋…＋a n

2＜

n ＋1

2

(1＋a n

2)．

综上，当a 2＞－1且a 2≠0时，有S n ≤n

2(a 1＋a n )，当且仅当n ＝1,2或a 2＝1时等号成立.