2015年三年高考数学(理)真题精编——专题10 立体几何(大题01)

三、解答题

1. 【2015高考天津，理17】（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱

1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =

,

12,AC AA AD CD ===且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.

(I)求证：//MN 平面ABCD ； (II)求二面角11D AC B --的正弦值；

(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为

1

3

，求线段1A E 的长 【答案】(I)见解析；

(II)

； (III)

2-.

【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(1,2,0)A B C D -，

N

1

D

N

D

(III)依题意，可设111A E A B λ= ，其中[0,1]λ∈，则(0,,2)E λ，从而(1,2,1)NE λ=-+ ，又(0,0,1)n =

为

平面

ABCD 的一个法向量，由已知得

1cos ,3

NE n NE n NE n ?==

=?

，整理得243

0λλ+-=， 又因为[0,1]λ∈，解得2λ=

-，

所以线段1A E 2 .

【考点定位】直线和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、直线与平面所成的角，空间向量的应用.

4. 【2013天津，理17】如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，

AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点．

(1)证明B 1C 1⊥CE ；

(2)求二面角B 1－CE －C 1的正弦值；

(3)设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1，求线段AM 的长．

【答案】（Ⅰ）详见解析；；

易得11B C ＝(1,0，－1)，CE ＝(－1,1，－1)，于是11B C ·CE

＝0，

所以B1C1⊥CE.

(2)1B C

＝(1，－2，－1)．

设平面B1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z),

则10,0,B C CE ??=???=??

m m 即20,0.x y z x y z --=??-+-=?

(3)AE

＝(0,1,0)，1EC ＝(1,1,1)．

设EM ＝λ1EC ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM ＝AE ＋EM

＝(λ，λ＋1，λ)．

可取AB

＝(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量．

设θ为直线AM 与平面ADD1A1所成的角，则

sin θ＝|cos 〈AM ，AB

〉|＝AM AB AM AB

??

=

.

=

，解得13λ=,

所以AM

(方法二)

(1)证明：因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1，B1C1?平面A1B1C1D1， 所以CC1⊥B1C1.

经计算可得B1E B1C1，EC1， 从而B1E2＝2

2

111B C EC +， 所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E ，

又CC1，C1E ?平面CC1E ，CC1∩C1E＝C1， 所以B1C1⊥平面CC1E ， 又CE ?平面CC1E ，故B1C1⊥CE.

(3)连接D1E ，过点M 作MH ⊥ED1于点H ，可得MH ⊥平面ADD1A1，连接AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面 ADD1A1所成的角．

设AM ＝x ，从而在Rt △AHM 中，有MH x ，AH x .

在Rt △C1D1E 中，C1D1＝1，ED1，得EH 1

3

x =.

5. 【2014天津，理17】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^

底面ABCD ，AD AB ^，//AB DC ，

2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点．

C

（Ⅰ）证明：BE DC ^；

（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；

（Ⅲ）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ^，求二面角F AB P --的余弦值． 【答案】（Ⅰ）详见试题分析；（Ⅱ）直线

BE 与平面PBD

；． 【解析】

试题分析：（Ⅰ）可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明BE DC ^。也可以利用综合法：要证

BE DC ^，由于,BE DC 是异面直线，可将问题转化为证明线面垂直。由于点E 为棱PC 的中点，可以

先取PD 中点M ，连结AM ，从而可证得//BE AM 。由线面垂直的判定定理易证CD 平面PAD ，从而DC AM ^，最后证得BE DC ^；（Ⅱ）向量法：先求平面PBD 的法向量n

，然后利用公式

sin cos ,n BE n BE n BE

q ×==×求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值．综合法：在（I ）的基础上，可

先证明EBM D为直线BE 与平面PBD 所成的角，在直角三角形BEM 中，利用锐角三角函数即可求得直

线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）向量法：先求平面FAB 和平面ABP 的法向量12,n n

，再利用公

（Ⅰ）向量()0,1,1BE = ，()2,0,0DC =

，故0BE DC

? ． ∴BE DC ^.

（Ⅱ）向量()1,2,0BD =- ，()1,0,2PB =- ．设(),,n x y z =

为平面PBD 的法向量，则0,0,

n BD n PB

ì???í????

即

20,20.

x y x z ì-+=??í

?-=??不妨令1y =，可得()2,1,1n = 为平面PBD 的一个法向量．于是有

cos ,n BE n BE n BE

×==

=

×

BE 与平面PBD

． （Ⅲ）向量()1,2,0BC = ，()2,2,2CP =-- ，()2,2,0AC = ，()1,0,0AB =

．由点F 在棱PC 上，设

CF CP l =

，01l ＃，故()12,22,2BF BC CF BC CP l l l l =+=+=--

，由BF AC ^，得

0BF AC

?

，因此，()()2122220l l -+-=，解得3

4

l =，即113,,222BF 骣÷

?=

-÷?÷

?桫 ．设()1,,n x y z = 为 平面FAB 的法向量，则110,

0,n AB n BF

ì???í???? 即0,113

0.2

22x x y z ì=???í?-++=???不妨令1z =，可得()10,3,1n =- 为平面FAB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量()20,1,0n =

，则

12

1211

cos ,n n n n n n ×==

=-×

．易知，二面角F AB P --

．

（方法二）（Ⅰ）如图，取PD 中点M ，连结EM ，AM ．由于,E M 分别为,PC PD 的中点，故//EM DC ，且12EM DC =，又由已知，可得//EM AB 且EM AB =，故四边形ABEM 为平行四边形，∴//BE AM ．

C

（Ⅲ）如图，在PAC D 中，过点F 作//FH PA 交AC 于点H ．∵PA ^底面ABCD ，故FH ^底面

ABCD ，从而FH AC ^．又BF AC ^，得AC ^平面FHB ，因此AC BH ^．在底面ABCD 内，

可得3CH HA =，从而3CF FP =．在平面PDC 内，作//FG DC 交PD 于点G ，于是3DG GP =．由 于//DC AB ，故//GF AB ，∴,,,A B F G 四点共面．由AB PA ^， AB AD ^，得AB ^平面PAD ，

考点：1．空间两条直线的位置关系、直线与平面位置关系；2．二面角、直线与平面所成角的计算．

8. 【2013高考北京理第17题】(本小题共14分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1

中，AA 1C 1

C 是边长为4的正

方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5，

(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；

(2)求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；

(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求

1

BD

BC 的值． 【答案】解：(1)因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .

因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC . (2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB .

由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC .

如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)．

设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，

则1110,0,A B A C ??=???=??

n n 即340,40.y z x -=??=?

令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)． 同理可得，平面B 1BC 1的法向量为m ＝(3,4,0)． 所以cos 〈n ，m 〉＝

16

||||25

?=

n m n m . 由题知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角， 所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为

1625

.

9. 【2014高考北京理第17题】（本小题满分13分）

如图，正方体MADE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱FD ，PC 分别交于G ，H . （1）求证：FG AB //；

（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长

.

【答案】（1）详见解析；（2）

2.

试题解析：（1）在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点，所以DE AB //， 因为?AB 平面PDE ，所以//AB 平面PDE ，

因为?AB 平面ABF ，且平面 ABF 平面PDE FG =， 所以FG AB //.

（2）因为⊥PA 底面ABCDE ，所以AB PA ⊥，AE PA ⊥，

如图建立空间直角坐标系xyz A -，则)0,0,1(),0,0,0(B A ，)2,0,0(),0,1,2(P C ，)1,1,0(F ，

)0,1,1(=BC ，设平面ABF 的法向量为),,(z y x =n ，

则?????=?=?0

0AF AB n n ，即???=+=00z y x ，令1=z ，则1-=y ，所以)1,1,0(-=n ，

考点：空间中线线、线面、面面的平行于垂直，用向量法求线面角，即空间距离.

10. 【2015高考北京，理17】如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，

平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=?，O 为EF 的中点．

(Ⅰ) 求证：AO BE ⊥；

(Ⅱ) 求二面角F AE B --的余弦值； (Ⅲ) 若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．

O F

E

C

B

A

【答案】(1)证明见解析，（2

）-，（3）43a =

【解析】

试题分析：证明线线垂直可寻求线面垂直，利用题目提供的面面垂直平面AEF ⊥平面EFCB ，借助性质定理证明AO ⊥平面EFCB ，进而得出线线垂直，第二步建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，平面AEF 的法向量易得，只需求平面AEB 的法向量，设平面AEB 的法向量，利用线线垂直，数量积为零，列方程求出法向量，再根据二面角公式求出法向量的余弦值；第三步由于AO BE ⊥，要想BE ⊥

平面AOC ，只需BE OC ⊥，利用向量、

BE OC

的坐标，借助数量积为零，求出a 的值，根据实际问题予以取舍.

（Ⅲ）有（1）知AO ⊥平面EFCB ，则AO BE ⊥，若BE ⊥平面AOC ，只需BE OC ⊥，

(2,EB a =- ,0)-，又(,0)OC =--

，

22(2))0BE OC a ?=--+-

=

，解得2a =或43a =

，由于2a <，则43

a =. 考点定位：本题考点为线线垂直的证明和求二面角，要求学生掌握空间线线、线面的平行与垂直的判定与性质，利用法向量求二面角以及利用数量积为零解决垂直问题.

11. 【2014高考广东卷.理.18】 (本小题满分13分)如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，

30DPC ∠= ，AF PC ⊥于点F ，//FE CD ，交PD 于点E .

(1)证明：CF ADF ⊥平面； (2)求二面角D AF E --的余弦值.

图4

F

P

E

D C

B

A

【答案】(1)详见解析；

.

z y

x

F

P E

D B

A

【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定以及利用空间向量法求二面角，属于中等题.

12.【2013高考广东卷.理.18】 (本小题满分14分)如图(1),在等腰直角三角形ABC中,∠A＝90°,BC

＝6,D,E分别是AC,AB上的点,CD＝BE,O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到如图(2)所示的

四棱锥A′BCDE,其中A′O.

图(1)

图(2)

(1)证明：A′O⊥平面BCDE；

(2)求二面角A′CDB的平面角的余弦值.

【答案】(1)详见解析 (2

【解析】(1)由题意,得OC＝3,AC＝AD＝.

如图,连结OD ,OE ,在△OCD 中, 由余弦定理可得

OD =.

由翻折不变性可知A ′D ＝,

所以A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2,所以A ′O ⊥OD . 同理可证A ′O ⊥OE ,又OD ∩OE ＝O , 所以A ′O ⊥平面BCDE .

向量法：以O 点为原点,建立空间直角坐标系O －xyz 如图所示.

则A ′(0,0),C (0,－3,0),D (1,－2,0),

所以CA ' ＝(0,3DA '

＝(－1,2).

设n ＝(x ,y ,z )为平面A ′CD 的法向量,

【考点定位】本题考查立体几何中的线面垂直与二面角,属于能力题

14. 【2015

高考广东，理18】如图2，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，

4PD PC ==，6AB =，3BC =.点E 是CD 边的中点，点F 、G 分别在线段AB 、BC 上，且2AF FB =，

2CG GB =．

（1）证明：PE FG ⊥；

（2）求二面角P AD C --的正切值； （3）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2；（3 【解析】（1）证明：∵ PD PC =且点E 为CD 的中点，

∴ PE DC ⊥，又平面PDC ⊥平面ABCD ，且平面PDC 平面ABCD CD =，PE ?平面PDC ， ∴ PE ⊥平面ABCD ，又FG ?平面ABCD ， ∴ PE FG ⊥；

（3）如下图所示，连接AC ， ∵ 2AF FB =，2CG GB =即2AF CG

FB GB

==， ∴ //AC FG ，

∴ PAC ∠为直线PA 与直线FG 所成角或其补角， 在PAC ?

中，5PA =

=

，AC ==，

由余弦定理可得

222

cos 2PA AC PC

PAC PA AC

+-∠=

=

=

?， ∴ 直线PA 与直线

FG

【考点定位】直线与直线垂直、二面角、异面直线所成角．

15. 【 2014湖南19】如图6,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等

,11111,AC BD O AC B D O == ,四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形. (1)证明:1O O ⊥底面ABCD ;

(2)若060CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值.

【答案】(1) 详见解析

(2)要求二面角,此问可以以以O 为坐标原点,1,,OB OC OO 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立三维直角坐标系,利用空间向量的方法得到二面角的余弦值,在此说明第一种方法,做出二面角的平面角, 过1O 作

1B O 的垂线交1B O 于点H ,连接11,HO HC .利用(1)得到111O O AC ⊥,在利用四边形1111A B C D 为菱形,对角

线相互垂直,两个垂直关系即可得到11A C 垂直于平面11BDD B ,进而得到111B O O C ⊥,结合11B O O H ⊥得到线面垂直,说明角11O HC 即为哦所求二面角的平面角,设四棱柱各边长为2a ,利用勾股定理求出相应边长即可得到角11O HC 的余弦值,进而得到二面角的余弦值.

(2)法1::过1O 作1B O 的垂线交1B O 于点H ,连接11,HO HC .不妨设四棱柱1111ABCD A B C D -的边长为

2a .

1OO ⊥底面ABCD 且底面ABCD //面1111A B C D 1OO ∴⊥面1111A B C D

又11O C ? 面1111A B C D

111O C OO ∴⊥

四边形1111A B C D 为菱形

1111O C O B ∴⊥