第七章 行波法和积分变换法

第七章 行波法和积分变换法

7.2 基础训练

7.2.1 例题分析

一、行波法

例1 求解下列初值问题

()

2

1

000

,0(,)|cos ,

(,)|.

tt xx t t t u a u x t u x t x u x t e -==?-=-∞<<∞>??

==??

解 本题中1()cos ,(),x x x e ?ψ-== 直接应用D ’Alembert 公式（7.2）有

[]1

11(,)cos()cos()22cos()cos x at x at u x t x at x at e d a t

at x e

ξ+--=++-+=+?

例2 试求解有阻尼的波动方程的初值问题

()

220020(1)(,)|(),

(,)|()

(2)

tt xx t t t t v a v v v x v x t x v x t x εε?ψ==-++=-∞<<∞==

解 问题中的泛定方程与无界弦的自由振动相比，多了阻尼项，故不能直接运用D ’Alembert 公式求解。但对于阻力的作用，常常可表示为其解中带一个随时间呈指数衰减的因子，故可令

()(,)(,)

0t

v x t e

u x t ββ-=> （3）

其中β为一待定参数，于是

()2,2,

t

t t t tt tt t xx xx u v e

u v e u u u v e u t ββββββ---???=-=-+= ????

代入阻尼振动方程（1），得

()()

222

220tt xx t u a u u u εβεεββ-+-+-+=

显然，若取βε=，则上式变成标准波动方程

20tt xx u a u -= （4） 将变换（3）代入（2），得 0

(,0)(,0)()v x e u x x ε?-?==

0(,0)(,)|()t

t t d v x e u x t x dt

εψ-?=??=

=??

即

(,0)(,0)()(,0)()()t u x v x x u x x x ?ψεψ==?

?=+?

（5）

于是求解定解问题（1）--（2）就转化为求解定界问题（4）--（5）。由D ’Alembert 公式（7.2）有

()()()()11(,)22x at

x at u x t x at x at d a ??ψξε?ξξ+-=++-++?????

???? 代入（3）式得远定界问题的解为 ()()()()11(,)22x at

t t

x at

u x t x at x at d e ae εε??ψξε?ξξ+-=

++-++?????????

注意：在求解本例题时我们引入了变量代换(,)(,)t v x t e u x t β-=，虽然是出于物理上的考虑而引进了衰减因子t

e

β-，但由于指数函数的特殊性（即，无论求多少次导数，函数的形式不

变，只是增加了一个常数）而使方程得到了化简，这一点，作为解决问题的方法，对于处理

其他定解问题也提供了一定的启示。

例3 证明球面波问题

()200

,0,0(1)|()

(2)|()(3)

tt xx yy zz t t t u a u u u r t u r u r ?ψ==?=++>>??

=??=?? 的解为

()()()()()1(,)22r at

r at r at r at r at r at u r t d r

ar

??ξψξξ+---+++=

+

? （4） 分析 本例虽然为三维问题，但由初始条件可以看出问题是球对称的，即如果用球坐标表示，未知函数u 只依赖于r ，而与θ?和无关，所以可以化为一维问题来处理。

证明 因为在球对称的情况下有

()22

2

2221u u u ru r r r r r

????=+=??? 令v ru =，此时方程（1）化为 2

,0,0tt rr v a v r t =>> （5）

其通解为

()()12v f r at f r at =++- 即（1）式的通解为

()()

12f r at f r at u r

++-= （6）

将（6）代入初始条件（2）、（3）得

()()

()()()()12''

12(7)

(8)

f r f r r r

af r f r r

r

?ψ+?=???-?=??

将（8）式两边对r 积分得

()()()1201r

f r f r d C a

ξψξξ-=+? （9） 联立（7）、（9）两式，求解得

()()()()()()10201(10)

2221(11)

222r r r r C

f r d a r r C

f r d a ?ξψξξ?ξψξξ?=++???

?=--??

??

将（10）式中的r 换为r at +，（11）式中的r 换为r at -后一并代入通解（6），即得到题目

所要证明的结论。

例4 均匀气体的初始振动区域是一个半径为R 的球，所有气体质点的初始速度为零，而初始浓聚度在求内是常数0u ，在球外是零。求任意位置M 处的浓聚度。

解 本问题的丁解问题为

2000

(),|0,|0tt xx yy zz t t t u a u u u u r R u r R u ==?=++?

=??≥??

?=?

其中r 为扰动区域中心到球外任意一点的距离。显然，此例是球对称的。我们用两种方法求解。方法1，利用上题结论（4）；方法2，利用Poisson 公式。

仿照上例，此例的初始条件可以写为

()()0,;

0.0,u r R

r r r R ?ψ

方法1 （1） 若M 在球外，则因为()()(),,0.r R r at R r at r at ?≥+≥+=-所以即而 可能大于、等于或小于R 。故由上题结论（4），此时的解为

()()

(,)2,,20,,r at r at u r t r

r at u r at R r R at r R r r at R at r R at r R ?--=

-?-<-<<+?=??-≥<->+?

即即或

（2）若M 在球内，即r

R r r a t u r a t R

?+<<-+=-<当即时，此时更有

所以， ()0.r at u ?-=于是由上题结论（4），有问题的解为 ()()00

0(,)2r at u r at u u r t u r

-++=

=

()()002,0.,r at R at R r r at r at R r at u ??+≥≥-+=-<-=当即时，而当时，此时，0(0),1R r at R at R r at at R r -<-<<+≥≤-由有而的情况已经讨论过， 故由上题结论（4）有

()()()000(,)22r at u r at r at u u r t r

r

-++?-=

=

()()030,,0r at R r at r at r at R r at ??-≥-=+=+>+=当时，更有所以，此

时由,r at R at R r at R r -≤->+>+有即当时，有

(,)0u r t =。 方法2 用Poisson 公式求解。

当,M

at r R at r R r at R S -<<+-<即时，球面与初始扰动区域有相交部分，此时由定解条件有()0M u ?=，而()0M ψ≡，于是由Poisson 公式有

()()()()()02

'2000222000200sin 1

()44111cos 12221222M

at S M at u u M dS d d a t at a t at u r a t u t t t t art r at u u r at t ar r

πθ?θ?θππθ???

?==????????

?????

?+-=-=-???? ??????

?????---???==-????? 而当r at R ->时，由于球面M

at S 与初始扰动区域无相交部分，即()()

'',M at M M S ?ψ在上

均为零，从而由Poisson 公式有此时的解

(,)0u M t =。 例5 求解下列初值问题

200

()||tt xx yy zz t t t u a u u u u yz u xz ==?=++?

=??=?

解 本题(),(),M yz M xz ?ψ== 故有

()()'''2'

''

2(sin sin )(cos )

sin sin cos sin cos sin (sin cos )(cos )

sin cos cos sin cos cos M y z y r z r yz zr yr r M x z x r z r xz zr xr r ?θ?θθ?θθθ?

ψθ?θθ?θθθ?

==++=+++==++=+++

注意到at r =，从而有

()

'22

sin sin cos sin cos sin sin M at

S M dS yz zr yr r r d d at

π

π

?θ?θθθ?θθ???=+++????

?

?

()

'22

sin cos cos sin cos cos sin M

at

S M dS xz zr xr r r d d at

π

π

ψθ?θθθ?θθ???=+++?????

?

而有三角函数的周期性和正交性有

220

00

sin cos 0,

cos 0,

sin cos 0d d d d π

π

π

π

????θθθθθ====?

??

?

所以

()

'02sin 44M

at

S M dS yzr d yzr yzat at

π

?πθθππ===??

?

()'

4M

at S M dS ayz t at

?π?

=??? ()

'0

2sin 4M

at

S M dS xzr d xzat at

π

ψπθθπ==??

?

故由Poisson 公式有

()()()''1(,)4M M at at S S M M u M t dS dS a t at at tx y z

?ψπ???

??

=+?????=+????

例6 求解下列定解问题

()()()()

22

,,0(,;0),,(,;0),tt xx yy t v a v v c v

x y t v x y x y v x y x y ?ψ?=++-∞<<∞>??==??

其中c 为已知常数。

解 该方程不是标准的波动方程，为使之变成标准的波动方程，以便可以用Poisson 公式求解，受本节例题2的启发，我们令

()(),,;,;c z a

u x y z t e v x y t = 求导后代入原问题得

()()()()2,,0(,,;0),,(,,;0),tt xx yy zz c c

z z

a a t u a u u u x y t u x y z e x y u x y z e x y ?ψ?=++-∞<<∞>?

??==?

于是由Poisson 公式，有

()()

()()'''''',;,,;,,14M M

at at c

z a

c c z z a a c z a

S S v x y t e u x y z t e x y e x y e

dS dS a t at at

?ψπ--=?????=+???????

???? 例7 求解下列定解问题

()()

()()22

,,,0(,;0),

,,(,;0)0tt xx yy t

u a u u x y t u x y x x y x y u x y ?=+-∞<<∞>??=+-∞<<∞??=??

解 由二维Poisson 公式有

()

200

,;cos ,sin 12at u x y t x y d d a t πρθ?

π++?=???

其中ρθ=

为极坐标变量。由初始条件有

()()()

()()()()()()

2

2222

2

32cos ,sin cos cos sin 2cos cos sin cos 2sin cos cos cos sin cos x y x x y x x y x x y x y x x ?ρθρθρθρθρθρθρθρθθρθθθ

ρθθθ++=++++=+++++++++++

由三角函数的周期性、正交性、倍角公式等可得，3

2cos ,sin ,cos sin ,cos ,cos sin θθθθθθθ

在[]0,2π上积分均为零，而 220

cos d π

θθπ=?

故有

()

()()()20

32

233

cos ,sin 232

233

at at

at

x y d d x

x y x y x x y at x y a t π

?ρθρθρθ?

ππππ++=+++=+++??

??

于是

()()()()()

2332221

2,;23233u x y t x x y at x y a t a t x x y a t x y πππ???=

+++?????=+++

二、积分变换

例8 求解弦振动方程的初值问题

???

??∞<<∞-=∞<<∞-=>∞<<∞-=x x u x x x u t x u a u t

xx tt 0)0,()()0,(0,2?

解：视t 为参数，对上述方程和初始条件的两端均进行傅氏变换，并记

)()]([);,()],([ω??ω==x F t u t x u F

则有

???

?

?

????==-=0)0,()()0,(2

222ωω?ωωt u u u a dt u d 这是带参数ω的常微分方程的初值问题，解之得

t a t u ωω?ωcos )(),(=

于是由逆变换公式，得定解问题的解为

)]()([2

1

])[(41cos )(21]cos )([)],([),()

()(11at x at x d e e d te a t a F t u F t x u at x j at x j x j -++=+====??∞∞--+∞∞

---??ωωπωωωπωω?ωωωω 例9 求无界杆的热传导问题

???∞<<∞-=>∞<<∞-+=x x x u t x t x f u a u xx t )

()0,(0

,),(2?

解：对对方程和初始条件两端关于x 分别进行傅氏变换，并记

),()],([t u t x u F ω=

),()],([);()]([t f t x f F x F ωω??==

则有

??

???=+-=)()0,()

,(2

222ω?ωωωu t f u a dt

u d 这是带参数ω关于变量t 的常微分方程的初值问题，解之得

ττωω?ωτωωd e

f e

t u t a t

t

a )

(0

2222),()(),(---?+=

于是，由逆变换公式得问题的解应为

τ

τ?ττωω?ωτω

ωτω

ωd e F F x f F F e F F x F F d e f F e F t u F t x u t

t a t a t a t

t a ??-------------?+?=???

???+==0)

(1111)

(0

111)]}([)],([{)]}([)]([{),(])([)]

,([),(2

2

2

22

2

2

2

故由性质卷积定理有

ττ?τω

ωd e F x f e F x t x u t

t a t a ?-----*+*=0

)

(11)(),()()(),(2

22

2

而

t

a x t a t a x

j t

a t

a e

t

a xd e d x x e d e

e

e

F 222

22

2222240

1

21cos 1

)sin (cos 2121

)(-∞

-∞

∞

--∞

∞

----=

=+=

=?

?

?

πωωπ

ωωωπ

ωπωωωωω

这里利用了积分公式 )0(21cos 40

2

2

>=-∞

-?

a a

e

bxdx e a b ax

π

于是

??

?

?∞

∞

----∞

∞

-------+

=

-*

+*

=t t a x t

a x t

t a x t a x d d e t f a d e t

a d e t a x f e t

a x t x u 0)

(4)(4)(0

)(4422

22

2

2

),(21)(21)

(21

),(21)(),(τξτ

τξπ

ξξ?πτ

τπτπ?τξξτ

由此例看到，用傅氏变换解方程时不必像分离变量法那样区分齐次方程和非齐次方程，都是按同样的步骤解．

例10 求解半无界弦的振动问题

?

??

??∞<≤==≥==>∞<<=∞

→)

0(0)0,(,0)0,()0(0),(lim ),(),0()0,0(2x x u x u t t x u t f t u t x u a u t x xx tt 解：对方程两边关于变量t 作拉氏变换，并记

?∞

-==0

),()],([),(dt e t x u t x u L p x U pt

则

2

22

2

)

,()0,()0,(),(dx

p x U d a x u x pu p x U p t =-- 代入初始条件，得

0),(2

2

22=-p x U a p dx U d （1） 再对边界条件关于变量t 作拉氏变换，并记)]([)(t f L p F =，则有

?????==∞

→0),(lim )

(),0(p x U p F p U x （2）

常微分方程（1）的通解为

x a

p x a

p

e

p C e

p C p x U )()(),(21+=-

代入边界条件(2)，得

)()(,0)(12p F p C p C ==

故 )(),(p F e p x U a

x p ?=-

而由位移定理有

??

?

?????? ??-=-a x t f L p F e

a

x p

)(

所以

???????

≥

??? ?

?-<

=??????????????? ??-==--a x t a x t f a x t a x t f L L p x U L t x u 0)],([),(11

例11 求解长为l 的均匀细杆的热传导问题

??

?

??<≤=≥==><<=)

0()0,()0(),(,0),0()0,0(012l x u x u t u t l u t u t l x u a u x xx t 解：对方程和边界条件（关于变量t ）进行拉氏变换，记),()],([p x U t x u L =，并考虑到初始条件，则得

02

0222=+-a u U a p dx U d 0),0(=p U x

p

u p l U 1

),(=

方程的通解为

x a

p ch p C x a p sh p C p u p x U )()(),(210

++=

由边界条件定出)(),(21p C p C ，便得

l

a

p

ch a x

p ch

p u u p u p x U 010),(-+= 变换公式p

L 1

)1(=

，则 111=???

? ??-p L 及

∑∞=------+=?????

?

??

????14)12(12222)12(cos 12)1(41k t l k a k e l x k k l a p pch x a p ch L πππ

故

∑∞

=------+

==14)12(112

2

222)12(cos 12)1(4

)],([),(k t

l k a k

e l x

k k u p x U L t x u πππ

例12 在传输线的一端输入电压信号)(t f ，初始条件均为零，求解传输线上电压的变化．

解：这是个半无界问题，定解条件如下：

????

???==+∞

<>=>∞<<=-+++===0

00)()0,0(0)(000t t t x xx tt t u u u x t f u t x u LCu u RC LG RGu 内且在 将方程和边界条件施以关于t 的Laplace 变换，并考虑初始条件，得到

0])([2

22

=-+++dx d u LCp p RC LG RG (1) )(0

p f u x == (1)

方程(1)的通解为

Ax Ax De Be p x u -+=),( (3) 其中

LC RC LG RG LC RC LG p LC RG

p RC LG LCp A 4)(2)(22

2+-

+??

? ??

++=+++= 在实际问题中，一个很重要的情形是LGRC RC LG 4)(2=+，则

RG p LC LC

RC

LG p LC A +=++

=2

其次，∞≠∞

→u x lim ，有0=B ，故

x

RG p LC Ax De De p x u )(

),(+--==

再由边界条件（2)，得

x

RG p LC e p p x )(

)(),(+-=

通过反演求),(t x u ，则由延迟定理有

?????>-<--=?=----)

0(0

)0()(])([),(1

x LC t x LC t e

x LC t f e

e p

f L t x u x

RG x

RG px

LC

7.2.2 习题

1 确定下列初值问题的解：

（1） 02=-xx tt u a u ，0)0,(=x u ，1)0,(=x u t

(2) 02=-xx tt u a u ，x x u sin )0,(=，2)0,(x x u t = (3) 02=-xx tt u a u ，3)0,(x x u =，x x u t =)0,( (4) 02=-xx tt u a u ，x x u cos )0,(=，1)0,(-=e x u t

2 求解无界弦的自由振动，设初始位移为)(x ?，初始速度为)('x a ?-。

3 求方程 22u x y x y ?=??

满足边界条件

201|,|cos y x u x u y ====

的解。

4 证明定解问题

2s i n s i n 2c o s s i n s i n 0|()|()

x x x y

y y

y

y x y y x u xu xu xu u x u x ?φ==+--=

==

的解为

sin sin (sin )(sin )1

(,)()2

2x x y

x x y

x x y x x y u x y d ??φξξ-++--+++-=

+

?

5 利用泊松求解下列定解问题

???

??∞<<-∞+=∞<<-∞=++===),,(|),,(0

|)(20

02z y x yz x u z y x u u u u a u t t t zz yy xx tt 6 证明傅里叶变换的卷积定理

1121

2[()()]()*()

F F w F w

f t f t -= 其中

1111221211()[()],()[()]()*()()()f t F F w f t F F w f t f t f f t d ξξξ

--∞

-∞

===-?

7

证明：22

2

214[]x a w t a t

F e -

--=

。

8 求上半平面内静电场的电位，即求解下列定解问题：

222000

(1)

|()(2)lim 0(3)

y x y u y u f x u =+→∞

??=>??

=??=??

9 用积分变换法解下列定解问题：

222200,0|()|()t x u u

x t t x u x u

x x

?φ==???-∞<<∞>=?????

=????=??? 10 用积分变换法求解下列问题

200

10,0|1|1

x y u

x y x y u y u ==??=>>?????

=+??=???

11 用积分变换法解下列定解问题：

2

22

00

0l 10,0||0,|t x x u u x l t a t x u u u

u u x

===???<<>=?????=????==???

7.2.3 解答与提示

1 解：(1) 这里0)(=x ?，1)(=x ψ，由一维无界波动方程的D ’Alembert 公式，可得

t d a t x u at

x at

x ==?+-ξ21),(

(2) 这里x x sin )(=?，2

)(x x =ψ，由D ’Alembert 公式可得

?+-+-++=at x at x d a

at x at x t x u ξξ2

21)]sin()[sin(21),( )3(3

sin sin 2

22t a x t at x ++=

(3) 这里3

)(x x =?，x x =)(ψ，由D ’Alembert 公式可得

?+-+-++=at

x at x d a

at x at x t x u ξξ21])()[(21),(33 axt xt a x 232

2

3

++=

(4) 这里x x cos )(=?，1

)(-=e x ψ，由D ’Alembert 公式可得

?

+--+

-++=at

x at

x d a

e at x at x t x u ξ2)]cos()[cos(21),(1

e

t at x +=cos cos 2。解：其定解问题为：

??

?-==>∞<<-∞=-)

(')0,(),()0,()

0,(02x a x u x x u t x u a u t xx tt ?? 故由D ’Alembert 公式可得

?+--+-++=at

x at

x d a a at x at x t x u ξξ???)]('[21)]()([21),(

)

()]

()([2

1

)]()([21at x at x at x at x at x -=--+--++=????? 3 解： 方程两边对y 积分，得

22201

()2

y u x ydy x y f x x ?==+?? 其中()f x 任意函数，上式再对x 积分，得

22320

11

()()()26

x

u x y dx f x x y f x g y =

+=++?

其中()g x 任意函数。

由2

0|y u x ==，得 21()f x x c =+ 由1|cos x u y ==，得 2

21()cos 6

g y y y c =-+ 于是问题的解为

322211

cos 66

u x y x y y c =

++-+ 4 证明：

令sin sin x x y

x x y ξη=-+??

=+-?

则

222222(1cos )(1cos )(1cos )(1cos )(1cos )sin (1cos )(1cos )(1cos )sin x y xx u u u u u x x x x u u u u u

u u x x x x

u u

u x x x x

ξηξηξηξηξξηξξηηη

??????=

+=-++????????=-

???????=--+++????????

?????++-++-????????

2222

2

2

2

2

22(1cos )(1cos )yy xy u u u u u u u u x x ξη

ξξηξηη??=+??????????=--++-??????????????

代入定解问题得到

22

2

2cos sin sin (22cos )0xx xy yy y u u xu xu xu x ξη

?+--=+=??

由于 2

1cos 0x +≠故20u

ξη

?=??

故方程的通解为：

(,)()()(s i n )(s i n u x y f g f x x y g x x y

ξη=+=-+++- 由边界条件

sin sin sin |()()()

(1)

|[()()]|()()()

(2)

y x y y x y x u f x g x x u f g f x g x x ?ξηφ====+=''''=+=-=

对（2）积分得到

()()[()()]()(3)x x

f x

g x f x g x dx x dx

?''-=

-=??

解（1）（3）得到

00

()()()2()()()2

x

x

x x dx

f x x x dx

g x ?φ?φ?+?=

???-?=??? 于是，有

sin 00sin 1

()(sin )(sin )()2

1

()(sin )(sin )()2

x x y x x y f f x x y x x y d g f x x y x x y d ξ?φξξ

η?φξξ

-++-=-+=-++=+-=+-+??

代入通解表达式得

sin sin (sin )(sin )1

(,)()2

2x x y

x x y

x x y x x y u x y d ??φξξ-++--+++-=

+

?

5 解：此处yz x M M +==2

)(,0)(ψ?，故有

)cos )(sin sin ()cos sin (')'(22θ?θ?θψr z r y r x yz x M ++++=+=

?

θθ?θθ

?θ?θsin cos sin cos sin cos cos sin 2cos sin 2

2222r zr yr xr r yz x ++++++=

注意到r at =，从而有

0)

'(=??

M at

S dS at

M ?

?

θθ?θθ?θθ

?θ?θψπ

π

d d r r zr yr xr r yz x dS at

M M at

S sin ]sin cos sin cos sin cos cos sin 2cos sin [)

'(2222220

++++++=?

?

??

有三角函数的周期性和正交性可知

)2

1(4)

'(3

22yzt t a t x a dS at

M M at

S ++

=??

πψ 故由Poisson 公式得

])'()'([41),(????+=

M at

M at S S dS at

M dS at M a t M u ψ?π

yat t a t x ++=322

3

1

6 证明 由定义式并交换积分次序（由于()12f f -∞∞和都是在，上绝对可积的，故积分次序可交换），有

()()()()12121

122i x i x e dx f f x d f d f x e dx ωωξξξξξξπ

π

∞

∞

∞

∞

---∞

-∞

-∞

-∞

-=

-?

?

?

?

令,,x t dx dt ξ-== 上式成为

()()()()()()()

12121211122222i t i i t

f d f t e dt f e d f t e dt F F ξω

ωξωξξπξξ

ππππωω∞∞∞

∞-+---∞-∞-∞

-∞??=????=????

?

得证。

7 证明

(

)2222

22

22

2

2141

1

cos sin 221cos 2a t a t i x a t x a t a t

F e e e d e x i x d e xd ωωωωωωωωωπ

π

ωωπ

∞

∞

-----∞

-∞

-∞

--∞

??=

=

+??=

=

??

?

8 解 ① 记 -i r

-F[u(x,y)]=u(x,y)e dx u(,y)ωω-

∞

∞

=?

-i r

-F[(x)]=

f(x)e

dx f ()ωω-

∞

∞

=?

对上述定解问题中的各项施以x 为变量Fourier 的变换，则得到常微分方程的定解问题：

222

y u u(,y)0

y u(,0)f ()

u(,y)|0d d ωωωωω--

---

→+∞??-=???

=??→????

(4)(5)(6) ② 求解变量y 的常微分方程(4)得

y

-y u(,y)A()e

B()e ωωωωω-

=+ （7）

其中，A()ω和B()ω为含参变量ω的任意常数，由边界条件(5)和(6)所确定。 将(7)式代入(6)式得到

当0ω>时A()0ω=，当0ω<时B()0ω=，所以

-||y

u(,y)c()e

ωωω-

= （8）

其中，c()ω为含参变量ω的任意函数，可由(5)式决定。 将(8)式代入边界条件(5)得c()f ()ωω-

=，所以

-||y u(,y)f ()e

ωωω-

-

=

③ 求u(,y)ω-

的逆变换，即

-1

u(x,y)=F [u(,y)]ω--1

||y -1-1||y =F [f ()e ]F F[f (x)*F (e )]ωωω-

--= （9）

而

-1||y ||y i x 1F [e ]e e d 2ωωωωπ

∞

---∞

=

?

0(y-ix)(y+ix)0-22

1e d e d 2111y 1

2y ix y+ix x y ωωωωπ

π

π∞-∞??

=

+??????=+=??-+??

??

代入(9)式并应用卷积的定义得原定解问题(1)(3)-的解为

22y

f ()

u x y d (x )y ξξπξ∞

-∞-+?（,)=

9 解 作傅里叶变换

F[u (x ,t )]u (,t )F[(x )]()F[(

ω??ωφψω=== 得

222

2

t 0u (i )u(,t)(,t)t u(,t)()u

|i ()t d d d d ωωωωω?ωωψ

ω=?==-???

=?

??=??

解方程得到 j t -j t 12u(

,t)C e C e ωωω=+ 由初始条件得到

121

2C C (),

C -C ()

?ωψω+== 所以 1211C [()()],C [()()].22

?ωψω?ωψω=

+=- 从而 j t -j t 11u(

,t)[()()]e [()()]e 22

ωωω?ωψω?ωψω=++- 两端作傅里叶积分逆变换得到

11j t -j t 1j t -j t 11

u(x,t)F [u(

,t)]F [()e ()e ]F [()e ()e ]22

ωωωωω?ωψω?ωψω---==++-

[][]00x x 1j t 1-j t x x x t x t

111

(x t)(x t)F F ()d e F F ()d e 22

211

(x t)(x t)()d 22ωω??ψξξψξξ??ψξξ--+-????????=

++-+-????????????????=++-+???

10 解 作Laplace 变换：根据 [()][()](0)L f t pL f t f '=-

01

[

()]()|[1]y u u u L p L L y x x x p =????=-==???? 01|0(

)y u

u pL x

x p =??==??因为

所以 即 2

11u u p x p x p ???=?=?? (1) 对0|1x u y ==+，作Laplace 变换有

0211

(,)|x u x p p p

==

+ (2) 由(1)得到 2()x

u g p p

=

+ 由(2)得到 221()g p p p

=

+

2211(,)x u x p p p p

=

++因此

， 再对(,)u x p 作逆Laplace 变换得到

(,)1u x y xy y =++

11 解 设_

u(x,t)u(x,p)?，则定解问题变为

02

21

x x 0x x l u p u=-(0x l)a a u

u |0,u |p

==?-<

?==??

这方程的通解是

12u u(x,p)C C p =

++ 而满足边界条件的特解则是

0u u(x,p)p =现用展开定理求其原函数，为此注意到上式右端第二项是p 的单值函数，而且它的奇点

p 0=和2

n (2n 1)a p p (n 1,2,3,)2l π-??

==-=????

全为单极点，所以

n

1010

p t p t 0n 1p 0p p (u -u (u -u u(x,t)u Res Res ∞===????

??????

=++??????∑

2

(2n 1)a

t n

2l 100n 1

4(u u )

1(2n 1)x

u (1)cos e 2n 12l

πππ

-??∞

-????

=--=+

--∑