2015年高考真题—文科数学(广东卷)解析(郑灿基版)
绝密★启用前 试卷类型：B
2015年高考真题—文科数学（广东卷）解析版
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解析者：汕头市潮南区砺青中学 郑灿基 134******** QQ:983287089 or 404903212 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M
N =（ ）
A ．{}0,1-
B ．{}0
C ．{}1
D ．{}1,1- 1.解析：本题考查集合的基本运算，属于基础题. {}1=N M ，故选C. 2、已知i 是虚数单位，则复数()2
1i +=（ ）
A ．2-
B ．2
C ．2i -
D ．2i 2.解析：本题考查复数的乘法运算，属于基础题.i i i i 221)1(22=++=+，故选D 3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A ．2sin y x x =+
B ．2
cos y x x =- C ．1
22
x
x y =+
D ．sin 2y x x =+ 3、解析：本题考查函数的奇偶性.对于A ，()()()
x x x x x x sin sin sin 222
+±≠-=-+-，
所以非奇非偶，对于B ，函数定义域为R ，关于原点对称.()x x x x cos )cos(22
-=---，
故为偶函数；对于C, 函数定义域为R ，关于原点对称，因为x
x x x
x f -+=+=222
12)(，所以)(22
)(x f x f x x
=+=--，故为偶函数； D 中函数的定义域为R ，关于原点对称，且
)2sin ()(2sin x x x x +-=-+-，故为奇函数. 故答案为A 。
4、若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤??
+≥??≤?
，则23z x y =+的最大值为（ ）
A ．10
B ．8
C ．5
D ．2 4、解析：本题考查线性规划问题。在平面直角坐标系中画图，作出可行域，可得该可行域是由（-2，2），（4，-4），（4，-1）组成的三角形。由于该区域是封闭的，可以通过分别代这
三个个边界点进行检验，易知当x=4，y=-1时，z=2x+y 取得最大值5。本题也可以通过平移直线x y 32-
=，当直线3
32z
x y +-=经过（4，-1）时，截距达到最大，即z 取得最大值5.故选答案C.
5、设C ?A B 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =cos A =
，且b c <，则b =（ ）
A B ．2 C ． D ．3
5、解析：本题灵活性较强，可利用余弦定理或正弦定理求解.由余弦定理得：2
22c b a +=
A bc cos 2-，所以2
33221242?
?-+=b b ，即0862
=+-b b ，解得2=b 或4=b .因为b c <，所以2=b .故选B.本题也可以利用正弦定理求解.
6、若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）
A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交
B ．l 与1l ，2l 都相交
C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交
D ．l 与1l ，2l 都不相交 6.解析:本题考查空间中线线的位置关系。以正方体为模型，易知l 至少与1l ，2l 中的一条相交.故答案为A.
7、已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）
A ．0.4
B ．0.6
C ．0.8
D ．1
7.解析：本题考查古典概型.采用列举法，记5件产品中分别为e d c b a ,,,,，其中e d ,为分别对应2件次品，从5件产品中任取2件有基本事件ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de 共10个，恰有一件次品的含有基本事件ad,ae,bd,bd,cd,ce 共6个，故恰有一件次品的概率概率为
6.010
6
=故选B.
8、已知椭圆22
2
125x y m +=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ） A ．9 B ．4 C ．3 D ．2
8、解析：本题考查椭圆的定义和几何性质.由题意得4=c ，162522==-c m ，故92
=m .
因为0>m ，故3=m .故答案为C.
9、在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，
()D 2,1A =，则D C A ?A =（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
9、解析：本题考查向量加法运算法则和向量的坐标运算.由平行四边形法则，可得
)1,3()1,2()2,1(-=+-=+=AD AB AC ,所以5)1(132=-?+?=?AC AD ，故选D.
10、若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =
≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，
(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的
元素个数，则()()card card F E +=（ ）
A ．50
B ．100
C ．150
D ．200
10解析：D. 本题属于信息创新型题目，要求学生利用以学过的知识来解决新问题.对于E , 当4=s ，p,q,r 可以从0,1,2,3这四个数任取一个，因而有4*4*4=64,；当3=s ，p,q,r 可以从0,1,2这三个数任取一个，因而有3*3*3=27，；当2=s ，p,q,r 可以从0,1这两个数任取一个，因而有
2*2*2=8,；当1=s ，p=0,q=0,r=0，只有一种，故
100182764)(=++++=E card ;对于F ，先处理前面两个（t,u ）,当4=u ，t 可以从0,1,2,3
这四个数任取一个，有4种；当3=u ，t 可以从0,1,2这3个数任取3个；当2=u ，t 可以从0,1,这四个数任取2个；当1=u ,t=0只有一种，故前面两个（t,u ）的可能结果有4+3+2+1=10种，同理可得后面（v,w ）有10种，故1001010)(=?=F card ,所以
()()card card F E +=200.
点评：本题对于文科生来讲，难度很大，文科学生不学加乘法原理和排列组合大部分学生只能通过靠列举法来计算，这样无疑增添了很多麻烦.因此，对于文科生而言，笔者认为，这题严重超纲！不知道命题者是基于什么考虑而选中这道题的！
二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分的．） （一）必做题（11~13题）
11、不等式2
340x x --+>的解集为 ．（用区间表示）
11.解析：本题考查一元二次不等式的解法.由2
340x x --+>得0432
<-+x x ，即
()0)1(4<-+x x ，所以14<<-x ，即2340x x --+>的解集为（-4,1）
12、已知样本数据1x ，2x ，???，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，???，21n x +的均值为 ．
12.解析：本题考查样本数据数字特征之平均数的定义和计算.由题意有
)(1
21n x x x n
+???++ 5=，所以n x x x n 521=+???++，所以
()()()[]=++???++++121212(1
21n x x x n
()[]11111222(1
21=?=++???++n n
n x x x n n 13、若三个正数a ，b ，c 成等比数列，
其中5a =+
5c =-b = ．
13.本题考查等比数列的定义.因为正数a ，b ，c 成等比数列，所以12
==ac b ，所以1=b
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）
14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方
程为2
x t y ?=??=??（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ．
14解析：本题考查极坐标与直角坐标的互化，参数方程与普通方程的互化以及曲线交点的
求法.由()cos sin 2ρθθ+=-得2-=+y x
，由2x t y ?=??=??得?
????==2
22
8t y t x ，所以x y 82
= )0(≥x ，联立???=-=+x y y x 822解得???-==4
2
y x ，所以1C 与2C 交点的直角坐标为为（2，-4）.
15、（几何证明选讲选做题）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4AB =
，C E =，则D A = ．
解析：本题考查切割线定理和平行线分线段成比例定理。因为CE 是圆O 的切线方程，所以
EA EB EC ?=2
,所以()
()43
22
+?=EB EB ，解得2=EB 或6-=EB （舍去）.连接OC,
则,DE OC ⊥由,DE AD ⊥得CO AD //,所以
AE OE AD CO =,所以2
42
22++=AD ，故3=AD . 三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 16、（本小题满分12分）已知tan 2α=．
()1求tan 4πα??
+
??
?
的值；
()2求2sin 2sin sin cos cos 21α
αααα+--的值．
16.解析：（1）因为tan 2α=，所以32
1124
tan
tan 14tan
tan )4
tan(-=-+=-+=
+
απ
απ
α.
（2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--=---+=1
)1cos 2(cos sin sin cos sin 22
2ααααα
α
12
244
2tan tan tan 2cos 2cos sin sin cos sin 22
22=-+=-+=-+=
ααααααααα 17、（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，
[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率
分布直方图如图2．
()1求直方图中x 的值；
()2求月平均用电量的众数和中位数；
()3在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，
用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？ 解：(1)由题意得：(0.002+0.0025+0.005+x+0.0095+0.011+0.0125)*20=1，解得x=0.0075 (2)由频率分布直方图可知众数为230，
设中位数为x ，则有0.002*20+0.0095*20+0.011*20+(x-220)*0.0125=0.5,解得x=224, 所以 月平均用电量的中位数为224.
（3）月平均用电量为[)220,240的频率为0.0125*20=0.25，月平均用电量为[)240,260的频率为0.0075*20=0.15，月平均用电量为[)260,280的频率为0.005*20=0.1，月平均用电量为[]280,300的频率为0.0025*20=0.05，
设月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取n 户,则
05
.01.015.025.025.011+++=n ,解得 5=n 所以用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取
5户.
18、（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，
D C 4P =P =
，6AB =，C 3B =．
()1证明：C//B 平面D P A ； ()2证明：C D B ⊥P ；
()3求点C 到平面D P A 的距离．
18.解析：（1）因为四边形ABCD 为矩形，所以AD BC //.因为?BC 平面PDA ,?AD 平面PDA ，所以//BC 平面PDA .
（2）取CD 的中点为O ，连接PO ,因为PC PD =,所以DC PO ⊥.又平面⊥PDC 平面
ABCD ，平面 PDC 平面DC ABCD =，?PO 平面PDC ，所以⊥PO 平面ABCD ，
因为?BC 平面ABCD ,所以PO BC ⊥.又O PO CD CD BC =⊥ ,,所以⊥BC 平面
PDC ，因为?PD 平面PDC ,所以PD BC ⊥.
（3）因为⊥PO 平面ABCD ，即P 到平面ADC 的距离为PO ,722=-=CO PC PO .
因为PD BC ⊥，BC AD //,所以PD AD ⊥,所以6432
1
21=??=?=
?DP AD S PDA , 设点C 到平面D P A 的距离为h ，由ADC P PDA
C V V --=得6
7
362
1
???=?=
??PDA ADC S PO S h 273=
,即C 到平面D P A 的距离为为2
7
3. 19、（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，
232a =，35
4
a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．
()1求4a 的值；
()2证明：1
12n n a a +?
?-???
?为等比数列； ()3求数列{}n a 的通项公式．
19.（1）当2=n 时，1324854S S S S +=+，所以()=+++++2143215)(4a a a a a a
1321)(8a a a a +++，即8
7
41324=+-=a a a .
（2）因为)2(854112≥+=+-++n S S S S n n n n ， 所以)2(054441112≥=-+---+++n S S S S S n n n n n
所以()()())2(0554411112≥=-++-+--++++n S S S S S S n n n n n n 所以)2(054112≥=++-+++n a a a a n n n n 即)2(04412≥=+-++n a a a n n n 所以))(2(4
1
12*≥-=++n a a a n n n 当1=n 时，4541,45123=-=a a a ，所以12341
a a a -=，满足)(*式 所以)1(4
1
12≥-
=++n a a a n n n 所以??? ??-=
-+++n n n n a a a a 21212
1112，
所以112n n a a +?
?-???
?是以12112=-a a ，公比为21的等
比数列.
（3）由（2）得1
1
12121121--+??
?
??=?
?
?
???=-n n n n a a ，两边同乘以1
2
+n ，可得
42211=-++n n n n a a ，所以{}n n a 2是以221=a ，公差为4的等差数列.所以 ()244122-=?-+=n n a n n ，所以12
1
2224--=-=
n n
n n n a . 20、（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．
()1求圆1C 的圆心坐标；
()2求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
()3是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的
取值范围；若不存在，说明理由．
20.解析：（1）将圆1C 的方程化为标准方程得2
2
(3)4x y -+=，可知圆1C 的圆心坐标
1(3,0)C .
（2）设线段AB 的中点),(00y x M ，由圆的性质可得M C 1垂直于直线l .
设直线l 的方程为mx y =（易知直线l 的斜率存在），所以11-=?m k M C ，00mx y =，所
以130000-=?-x y x y ，所以0320020=+-y x x 即49232
02
0=+??? ?
?-y x 因为动直线l 与圆1C 相交，所以21
32<+m m ，所以5
4
2<
m . 所以202
02
2
054x x m y <
=，所以202
00543x x x <-，解得3
50>x 或00 5 0≤ 所以),(00y x M 满足49232 02 0=+??? ??-y x ??? ??≤<3350x 即M 的轨迹C 的方程为492322 = +??? ? ? -y x ?? ? ??≤<335x . （3）由题意知直线L 表示过定点T (4,0)，斜率为k 的直线. 结合图形，49232 02 0=+??? ? ?-y x ??? ??≤<3350x 表示的是一段关于X 轴对称，起点为 ???? ??-352,35按逆时针方向运动到???? ??352,35的圆弧.根据对称性，只需讨论在X 轴对称下方的圆弧.设P ??? ? ??-352,35，则75 23 5435 2=- =PT k ,而当直线L 与轨迹C 相切 时，. 2 3 1 4232= +-k k k ，解得43±=k .在这里暂取43=k ，因为43752<，所以k k PT < 结合图形 ， 可得对于X 轴对称下方的圆弧，当07 5 2≤≤- k 或34=k 时，直线L 与X 轴对称下方的圆 弧有且只有一个交点，根据对称性可知7 5 2752≤≤- k 或34±=k . 综上所述：当7 5 2752≤≤- k 或34±=k 时，直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一交点. 21、（本小题满分14分）设a 为实数，函数()()()2 1f x x a x a a a =-+---． ()1若()01f ≤，求a 的取值范围； ()2讨论()f x 的单调性； ()3当2a ≥时，讨论()4 f x x +在区间()0,+∞内的零点个数． 21.解析：a a a a a a f +=+-+=22)0()1(，因为()01f ≤，所以1≤+a a 当0≤a 时，10≤，显然成立；当0>a ，则有12≤a ，所以21≤a .所以2