二轮复习--- 解析几何
专题九 解析几何
一、考纲解读：
1、直线的倾斜角、斜率，直线方程的五种形式，两条直线的位置关系及夹角，点到直线的距离公式、圆的标准方程和普通方程，直线与圆、圆与圆的位置关系皆为基本考查内容。
2、椭圆、双曲线、抛物线的定义、基本性质（基本量的意义及关系）、图象、图象中重要的点、直线等都是考查的重点内容。
3、在掌握直线、圆锥曲线基本图象与性质的基础上，理解直线与圆锥曲线的基本位置关系及直线被圆锥曲线所截得的弦长，特别是椭圆与直线的位置关系是重点。
4、基本运算能力、逻辑推理能力、数形结合能力、基本画图能力、函数与方程思想、参数与转化思想都是高考在本专题的重点考查内容。
5、本专题内容以选择题、填空题、解答题形式出现的可能都有。解答题的第一问相对较易，最后一问难度较高。如2012重庆14；2012天津8；2012福建19；2012江苏19.
二、典型例题：
1、直线的倾斜角、斜率及直线的方程
例1、直线023cos =++y x α的倾斜角的范围是（ ） A ]65,2()2,6[ππππ? B ),6
5[]6,0[πππ? C ]65,0[π D ]65,6[ππ
例2、过点P （2,3），并且在两坐标轴上截距相等的直线方程是
2、两条直线的平行与垂直、交点坐标与距离公式
例3、设R a ∈，则“1=a ”是“直线012:1=-+y ax l 与直线04)1(:2=+++y a x l 平行”的（ ）
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充要条件
D 不充分不必要条件
3、圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系
例4、设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(2
2=-+-y x 相切，则n m +的取值范围是（ ）
A ]31,31[+-
B ),31[]31,(+∞+?--∞
C ]222,222[+-
D ),222[]222,(+∞+?--∞
例5、已知圆C:0126422=+--+y x y x ，点)5,3(A 。（1）求过点A 的圆的切线方程；
（2）O 是坐标原点，连接OA ，OC ，求AOC ?的面积S 。
例6、在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为015822=+-+x y x ，若直线2
-=kx y 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是
4、对称问题
例7、已知圆C 关于y 轴对称，经过点)0,1(且被x 轴分成两段弧，弧长之比为1:2，则圆C 的方程为（ ）
A 34)33(22=+±y x
B 3
1)33(22=+±y x C 34)33(22=±+y x D 3
1)33(22=±+y x 5、与圆锥曲线定义有关的问题 例8、过抛物线x y 22=的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若1225=
AB ，BF AF <，则AF = 。
例9、过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左焦点F ，作圆4
2
22a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为 。
例10、如图，椭圆E ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e 。过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，且2ABF ?的周长为8.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相交于点Q 。试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由。
6、涉及圆锥曲线性质的问题
例11、（1）设21,F F 是椭圆E ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左，右焦点，P 为直线23a x =上一点，12PF F ?是底角为o 30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）
A 21
B 32
C 43
D 5
4 （2）已知双曲线1422
2=-b
y x 的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）
A 5
B 24
C 3
D 5
（3）已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b y a x 的离心率为2
3。双曲线122=-y x 的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（ ）
A 12822=+y x
B 161222=+y x
C 141622=+y x
D 15
202
2=+y x 7、涉及弦长及弦中点的问题
例12、已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x ，)0,2(F 为其右焦点，过F 垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线)
0,(:≠+=m k m kx y l
与椭圆C 交于A ，B 两点，若线段AB 中点P 在直线02=+y x 上，求FAB ?面积的最大值。
8、圆锥曲线中的定点、定值问题求解策略
例13、如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -。已知点),1(e 和)2
3,(e 都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率。 (1)求椭圆的方程；（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P 。（i ）若2
621=-BF AF ，求直线1AF 的斜率；（ii ）求证：21PF PF +是定值。
9、圆锥曲线中的最值或范围问题求解策略
例14、如图，椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的离心率为21，其左焦点到点)1,2(P 的距离为10，不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分。（1）求椭圆C 的方程；（2）求ABP ?面积最大值时直线l 的方程。
10、圆锥曲线中探索性问题的求解策略
例15、已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b y a x 的右焦点为)0,1(F ，且点)2
2,1(-在椭圆C 上。（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点。试问x 轴上是否存在定点Q ，使得16
7-
=?QB QA 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由。
例16、已知三点)1,2(),1,2(),0,0(B A O -，曲线C 上任意一点),(y x M 满足
2)(++?=+OB OA OM MB MA 。
（1）求曲线C 的方程；（2）点)22)(,(000<<-x y x Q 是曲线C 是上的动点，曲线C 在点Q 处的切线为l ，点P 的坐标是（0，-1），l 与PA ，PB 分别交于点D ，E ，求QAB ?与PDE ?的面积之比。
三、知识建构
1、查漏补缺
2、思想方法总结
3、易错易混点
二轮复习—解析几何
二轮复习——解析几何 一．专题内容分析 解析几何：解析几何综合问题（椭圆或抛物线）及基本解答策略+圆锥曲线的定义和几何性质+直线与圆+极坐标、参数方程+线性规划 二．解答策略与核心方法、核心思想 圆锥曲线综合问题的解答策略： 核心量的选择： 常见的几何关系与几何特征的代数化： ①线段的中点：坐标公式 ②线段的长：弦长公式；解三角形 ③三角形面积： 2 1底×高，正弦定理面积公式 ④夹角：向量夹角；两角差正切；余弦定理；正弦定理面积公式 ⑤面积之比，线段之比：面积比转化为线段比，线段比转化为坐标差之比 ⑥三点共线：利用向量或相似转化为坐标差之比 ⑦垂直平分：两直线垂直的条件及中点坐标公式 ⑧点关于直线的对称，点关于点，直线关于直线对称 ⑨直线与圆的位置关系 ⑩等腰三角形，平行四边形，菱形，矩形，正方形，圆等图形的特征 代数运算：设参、消参 重视基本解题思路的归纳与整理但不要模式化，学会把不同类型的几何问题转化成代数形式．
三．典型例题分析 1.（海淀区2017.4）已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率 为 1 2 . （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设点(4,0)Q , 若点P 在直线4x =上，直线BP 边形APQM 为梯形？若存在，求出点P 解法1：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22 143 x y +=. （Ⅱ）假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形. 由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ AP MQ k k =. 设点0(4,)P y ，11(,)M x y ，0 6 AP y k = ，114MQ y k x =-, ∴ 01164y y x =-① ∴直线PB 方程为0(2)2 y y x =-， 由点M 在直线PB 上，则0 11(2)2 y y x = -② ①②联立，0 101(2) 264 y x y x -=-，显然00y ≠，可解得1x =又由点M 在椭圆上，211143y +=，所以132y =±，即3 (1,)2 M ±， 将其代入①，解得03y =±，∴(4,3)P ±. 解法2：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22 143 x y +=. （Ⅱ）假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形. 由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ 平行, AP MQ k k =， 显然直线AP 斜率存在，设直线AP 方程为(2)y k x =+. 由(2)4y k x x =+??=? ，所以6y k =，所以(4,6)P k ，又(2,0)B ，所以632PB k k k ==. ∴直线PB 方程为3(2)y k x =-，由22 3(2) 34120 y k x x y =-?? +-=?，消y ， 得2222(121)484840k x k x k +-+-=.
第06讲 解析几何综合3大考点-培优辅导冲刺高考讲义
第03讲导数压轴专项突破 第一课时分类讨论的“界点”确定 考点一根据二次项系数确定分类“界点” [典例]已知函数x x x g x x x f 2)(,1ln )(2 +=++=.(1)求函数)()()(x g x f x -=?的极值； (2)若m 为整数，对任意的0>m 都有0)()(≤-x mg x f 成立，求实数m 的最小值． [关键点拨] 导函数中含有二次三项式，需对最高项的系数分类讨论： (1)根据二次项系数是否为0，判断函数是否为二次函数； (2)由二次项系数的正负，判断二次函数图象的开口方向，从而寻找导数的变号零点． 考点二根据判别式确定分类“界点” [典例]已知函数1)1()(2-+=x e ax x f ，当0≥a 时，讨论函数)(x f 的单调性． [关键点拨] 求导后，要判断导函数是否有零点(或导函数分子能否分解因式)，若导函数是二次函数或与二次函数有关，此时涉及二次方程问题，Δ与0的大小关系往往不确定，所以必须寻找分界点，进行分类讨论． 考点三根据导函数零点的大小确定分类“界点” [典例]已知ax x x ax x x f 22 3ln )()(22+--=，求)(x f 的单调递减区间．[关键点拨] (1)根据导函数的“零点”划分定义域时，既要考虑导函数“零点”是否在定义域内，还要考虑多个“零点”的大小问题，如果多个“零点”的大小关系不确定，也需要分类讨论． (2)导函数“零点”可求，可根据“零点”之间及“零点”与区间端点之间的大小关系进行分类讨论．本题根据零点2 a ，e 之间的大小关系进行分类讨论，再利用导数研究其函数的单调性．考点四根据导函数零点与定义域的关系确定分类“界点” [典例]已知函数R a ax x e x a x f x ∈+--=,ln )(.(1)当0 《空间解析几何2》教学大纲 课程编号：12307229 学时：22 学分：1.5 课程类别：限制性选修课 面向对象：小学教育专业本科学生 课程英语译名：In terspace An alytic Geometry （2） 一、课程的任务和目的 任务：本课程要求学生熟练掌握解析几何的基本知识和基本理论，正确地理解和使用向 量代数知识，并解决一些实际问题。深刻理解坐标观念和曲线（面）与方程相对应的观念，熟练掌握讨论空间直线、平面、曲线、曲面的基本方法，训练学生的空间想象能力和运算能力。 目的：通过本课程的学习，使学生掌握《空间解析几何》的基本知识、基本思想及基本方法，培养学生的抽象思维能力及空间想象力，培养学生用代数方法处理几何问题的能力，提高学生从几何直观分析问题和和解决问题的能力。为学习《高等代数》及《数学分析》及后继课程打下坚实基础，为日后胜任小学教学工作而作好准备。 二、课程教学内容与要求 （一）平面与空间直线（14学时） 1.教学内容与要求：本章要求学生熟练掌握平面与空间直线的各种形式的方程，能判别空间有关点、直线与平面的位置关系，能熟练计算它们之间的距离与交角。 2?教学重点：根据条件求解平面和空间直线的方程，及点、直线、平面之间的位置关系 3?教学难点：求解平面和空间直线的方程。 4.教学内容： （1）平面的方程（2课时）：掌握空间平面的几种求法（点位式、三点式、点法式、一般式）。 （2）平面与点及两个平面的相关位置（2课时）：掌握平面与点的位置关系及判定方法；掌握空间两个平面的位置关系及判定方法。 （3）空间直线的方程（2课时）：掌握空间直线的几种求法（点向式、两点式、参数式、一般式、射影式）。 （5）直线与平面的相关位置（2课时）：掌握空间直线与平面的位置关系及判定方法。 （6）空间两直线的相关位置（2课时）：掌握空间两直线的位置关系及判定方法。 （7）空间直线与点的相关位置（2课时）：掌握直线与点的位置关系及判定方法。 （8）平面束（2课时）：掌握平面束的定义（有轴平面束和平行平面束），并能根据题意求平面束的方程。 （二）特殊曲面（8学时） 解析几何二轮复习建议 南京一中 引入坐标系，使点与坐标，曲线与方程联系起来的坐标方法对于数学发展起了巨大的作用。用坐标法研究曲线（几何图形），实际上要解决两个问题：第一是由曲线（几何图形）求方程；第二是利用方程讨论曲线（几何图形）的性质。由曲线求方程，要解决如何将曲线上的点所满足的条件转化为曲线上点的坐标所适合的方程；在解析几何里，所讨论的曲线的性质通常包括：曲线的范围，曲线的对称性，曲线的截距，以及不同曲线所具有的一些特殊性质，例如过定点，过定线，最值等一些不变（量）性。用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，问题的大小、深浅差别很大。 坐标法是借助坐标系，以代数中数与式、方程的知识为基础来研究几何问题的一种数学方法。因此，要有一定的代数知识基础，特别是代数式变形和解方程组的能力要求较高。 以下解析几何二轮复习建议，仅供参考。 基本题型一：求基本量 1．直线的几何量主要是斜率、倾斜角、截距；圆的几何量主要是圆心、半径。这些量主要通过两直线的平行与垂直、线性规划、直线与圆的位置关系等进行综合，作为题中的一个点出现． 2．圆锥曲线的几何量主要包括轴、轴长、顶点、焦距、焦点、准线、渐近线、离心率。在已知方程求有关量时，首先是把方程化为标准方程，找准a ，b ，c ，p 的值，二是记准相应量的计算公式．在已知图形中求有关量时，要明确各个量的几何意义和图形中的特征求方程或不等式求几何量． 例1．直线l ：3x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则直线l 在x 轴上的截距_____． 解：因为⊙C 方程可化为(x －1)2＋y 2＝(3)2，所以圆心C (1，0)，半径r ＝3，因为直线l 与圆C 相切，直线C 到l 的距离等于r ，即∣3?1－1?0＋m ∣2＝3，解得m ＝－33或3． 当m ＝3时，直线l 方程为3x －y ＋3＝0，在x 轴上的截距为－1； 当m ＝－33，直线l 方程为3x －y ＋－33＝0，在x 轴上的截距为3． 例2．(2008天津）设椭圆x 2m 2＋y 2 m 2－1＝1(m ＞1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点 的距离为1，则P 到右准线的距离为___________ 解：根据椭圆定义得2a ＝1＋3，a ＝2，即m ＝2，b ＝m 2－1＝3，c ＝1，e ＝c a ＝1 2 ，根据 第4章 向量代数与空间解析几何练习题 习题4.1 一、选择题 1．将平行于同一平面的所有单位向量的起点移到同一点, 则这些向量的终点构成的图形是( ) （A ）直线； （B ） 线段； （C ） 圆； （D ） 球． 2．下列叙述中不是两个向量a 与b 平行的充要条件的是( ) （A ）a 与b 的内积等于零； （B ）a 与b 的外积等于零； （C ）对任意向量c 有混合积0)(=abc ； （D ）a 与b 的坐标对应成比例． 3．设向量a 的坐标为 31 3 , 则下列叙述中错误的是( ) （A ）向量a 的终点坐标为),,(z y x ； （B ）若O 为原点,且a =, 则点A 的坐标为),,(z y x ； （C ）向量a 的模长为2 22z y x ++；（D ） 向量)2/,2/,2/(z y x 与a 平行． 4．行列式2 13132 3 21的值为( ) （A ） 0 ； （B ） 1 ； （C ） 18 ； （D ） 18-． 5．对任意向量a 与b , 下列表达式中错误的是( ) （A ）||||a a -=； （B ）||||||b a b a +>+； （C ） ||||||b a b a ?≥?； （D ） ||||||b a b a ?≥?． 二、填空题 1．设在平行四边形ABCD 中，边BC 和CD 的中点分别为M 和N ，且p =，q =，则 BC =_______________，CD =__________________． 2．已知ABC ?三顶点的坐标分别为A(0，0，2)，B(8，0，0)，C(0，8，6)，则边BC 上的中线长为______________________． 3．空间中一动点移动时与点)0,0,2(A 和点)0,0,8(B 的距离相等, 则该点的轨迹方程是_______________________________________． 4．设力k j i F 532++=, 则F 将一个质点从)3,1,0(A 移到)1,6,3(,B 所做的功为____________________________． 5．已知)2,5,3(A , )4,7,1(B , )0,8,2(C , 则=?_____________________; =?____________________;ABC ?的面积为_________________． 三、计算题与证明题 1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ?+?+?． 一、直线与方程基础： 1、直线的倾斜角α： [0,)απ∈ 2 、直线的斜率k ： 21 21 tan y y k x x α-== -； 注意：倾斜角为90°的直线的斜率不存在。 3、直线方程的五种形式： ①点斜式：00()y y k x x -=-； ②斜截式：y kx b =+； ③一般式：0Ax By C ++=； ④截距式：1x y a b +=； ⑤两点式： 121 121 y y y y x x x x --=-- 注意：各种形式的直线方程所能表示和不能表示的直线。 4、两直线平行与垂直的充要条件： 1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=， 1l ∥2l 1221 1221 A B A B C B C B =???≠?； 1212120l l A A B B ⊥?+= . 5、相关公式： ①两点距离公式：11(,)M x y ，22(,)N x y ， MN = ②中点坐标公式：11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则线段MN 的中点1122 ( ,)22 x y x y P ++； ③点到直线距离公式： 00(,)P x y ，:0l Ax By C ++=， 则点P 到直线l 的距离d = ； ④两平行直线间的距离公式：11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=， 则平行直线1l 与2l 之间的距离d = ⑤到角公式：（补充）直线1111:0l A x B y C ++=到直线2222:0l A x B y C ++=的角为 θ，(0,)(,)22 ππ θπ∈U ，则2112 tan 1k k k k θ-=+? .（两倾斜角差的正切） 二、直线与圆，圆与圆基础： 1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=； 确定圆的两个要素：圆心(,)C a b ，半径r ； 2、圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=，（22 40D E F +->）； 3、点00(,)P x y 与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系： 点00(,)P x y 在圆内? 22200()()x a y b r -+-<； 点00(,)P x y 在圆上? 22200()()x a y b r -+-=； 点00(,)P x y 在圆外? 222 00()()x a y b r -+->； 4、直线:0l Ax By C ++=与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系： 从几何角度看： 令圆心(,)C a b 到直线:0l Ax By C ++=的距离为d ， 相离?d r >； 解决解析几何的基本思路和流程讲义稿 解析几何的本质：用代数方法解决几何问题，即由图形到代数的问题。从这个意义上讲，解决解析几何问题的基本思路和流程就应该是（1）画出图形（2）找出几何关系（3）把几何关系转化为代数关系(4)代数运算。 图形：形状、位置、大小三个要素。 函数解析式（方程）????点的坐标（描点） 图像（图形）点代数式 因此，解析几何问题要从图形中的“点”找出几何关系和代数关系。 看见“点”想位置： （1）“点”的自身位置：直角坐标系的意义就在于把一个点的位置分解为一个水平位置和一个竖直位置。如点（2,3）的水平位置是相对于原点方向向右、距离为2，竖直位置是相对于原点方向向上、距离为3. （2）“点”相对于其他点或线的位置关系。 点? ? ???????????? 表达位置（水平位置、竖直位置）代数关系：函数关系、方程关系知道位置找关系表达关系几何关系：与其他点或线的关系知道关系找位置 一、 关于直线 直线需要确定其形状和位置。其中形状即直线的倾斜程度，由直线的倾斜角α（或斜率k ，k=tg α）确定，位置由直线上的一个点000(,)P x y 确定。因此，直线的代数表达式（称之为直线的方程）是00()y y k x x -=-（k 存在的前提下）。 （1）因为直线的确定需要形状和位置两个要素，所以求直线的方程 就需要两个相互独立的条件。比如已知两个点的坐标或已知一个点的坐标和直线的斜率等等。 （2）如果直线的形状（即直线的倾斜程度）不能确定（x或y前面有字母系数），那么直线方程表达的就是过定点的直线集合。（如kx+y-2k+1=0，过定点（2，-1）的直线集合； X+ky+1=0，过定点（-1,0）的直线集合等等。 （3）如果直线的位置（即直线过的点）不能确定（x或y前面没有字母系数、形状确定），那么直线方程表达的就是平行线集合。 如x-2y+k=0，斜率为1 k 的平行线集合 2 2x+y+b=0，斜率为k=-2的平行线集合等等。 从解决函数问题的角度说就是：看到字母想分类（这里主要分成两类）。 二、关于圆 圆的本质是均匀变化，需要确定其位置和大小。其中位置由圆心确定，大小由半径确定，因此确定圆的方程需要三个相互独立的条件。 解决圆的相关问题主要是用圆的性质，比如弦的性质（垂径定理：弦的中垂线过圆心。从直线和圆的位置关系上讲就是有两个公共点、代数关系：方程组有两组解）、切线的性质（切线垂直过切点的半径。从直线和圆的位置关系上讲就是有一个公共点、代数关系：方程组有一组解）。从图形的角度讲可以产生直角三角形等。也可以用方程或方程组解决。 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．将圆O:4y x 2 2 =+上各点的纵坐标变为原来的一半（横坐标不变）,得到曲线C.设O 为坐标原点,直线l ：3x my =+与C 交于A 、B 两点, N 为线段AB 的中点,延长线段ON 交C 于点E ．若 2OE ON =u u u r u u u r ，则m= ( ) A ．22 B ．22- C ．8 D ．22± 【答案】D 2．如图，直线0:1=+-b y ax l 与直线)0(,0:2≠=-+ab a y bx l 的图像应是( ) 【答案】A 3．与直线l 1：012 =--y m mx 垂直于点P （2，1）的直线l 2的方程为( ) A ．01=-+y x B ．03=--y x C ．01=--y x D ．03=-+y x 【答案】D 4．已知函数y ＝f （x ）在（0，1）内的一段图象是如图所示的一段圆弧，若0 C ．> D ．不能确定 【答案】C 5．圆22 9x y +=和圆0118622=--++y x y x 的位置关系是( ) A ．相离 B ．内切 C ．外切 D ．相交 【答案】D 6．已知点是直线 上一动点，是圆 的两条切线， 是切点，若四边形 的最小面积是2，则的 值为( ) A ．3 B ． C ． D.2 【答案】D 7．下列曲线中离心率为 6 2 的是( ) A ．22124x y -= B ．22146 x y -= C ． 22142x y -= D ． 22 1410 x y -= 【答案】C 8．θ是第三象限角，方程x 2+y 2 sin θ=cos θ表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线 【答案】D 9．双曲线C 和椭圆22 41x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线为2y x =，则双曲线C 的方程为( ) A ．22 421x y -= B ．22 21x y -= C ．2 2 421x y -=- D ．2 2 21x y -=- 【答案】C 10．已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =， 则12cos F PF ∠=( ) A ． 14 B ． 35 C ． 34 D ． 45 【答案】C 11．点A 是抛物线C 1：2 2(0)y px p =>与双曲线C 2： 22 221x y a b -=(a>0，b>0)的一条渐近 线的交点，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．6 【答案】C 第五章 向量代数与空间解析几何 5.1向量 既有大小又有方向的量 表示：→ -AB 或a （几何表示）向量的大小称为向量的模，记作||AB 、|a |、||a 1． 方向余弦：? ?? ? ??=||,||,||)cos ,cos ,(cos r r r z y x γβα r ＝（x ，y ，z ）,| r |=2 22z y x ++ 2． 单位向量 )cos ,cos ,(cos γβα=→ ο a 模为1的向量。 3． 模 → →→ ?=++=a a z y x a 2 22|| 4． 向量加法（减法） ),,(212121z z y y x x b a ±±±=±→ → 5． a ·b ＝| a |·| b |cos θ212121z z y y x x ++= a ⊥ b ?a ·b ＝0（a ·b ＝b ·a ） 6． 叉积、外积 |a ?b | =| a || b |sin θ= z y x z y x b b b a a a k j i a // b ?a ?b ＝0.( a ?b= - b ?a ) ? 2 1 2121z z y y x x == 7． 数乘：),,(kz ky kx ka a k ==→ → 例1 1||,2||==→ → b a ，→a 与→ b 夹角为3 π ，求||→ →+b a 。 解 22 ||cos ||||2||2)()(||→ →→→ →→→→→→→→→→→ →++=?+?+?=+?+=+b b a a b b b a a a b a b a b a θ 713 cos 12222=+???+= π 例2 设2)(=??c b a ，求)()]()[(a c c b b a +?+?+。 解 根据向量的运算法则 )()]()[(a c c b b a +?+?+ 高中数学竞赛与自主招生专题全套精品讲义 第十五讲 解析几何一（教师版） 从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距. 所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。 在近年自主招生试题中，解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分，也是高考与自主招生常见新颖题的板块，各种解题方法在解析几何这里得到了充分的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合，提高了综合性，形成了题目多变、解法灵活的特色。 一、知识精讲 1.点到直线的距离 ： d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 2.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ θ =+??=+?. （4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--= (圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ). 3.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若 d = d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 解析几何 常考要点与核心内容 一 直线与圆 要求：熟练掌握基础知识—直线与方程，圆与方程，倾角，斜率，两直线平行与垂直的判定，圆的几何性质，点到直线距离公式等 这一内容的相关题目一考查基础知识，基本技能为主 复习时注意： 熟练掌握直线方程的求法， 注意点到直线距离公式的应用. 注意利用圆的几何性质解决与圆有关的问题(提示：垂径定理，相交弦定理，切割线定理等). 对称问题中点P 与'P 关于直线l 对称的充要条件是：'PP 中点在l 上且'PP 与l 垂直. 注意数形结合思想的应用. 二 圆锥曲线 曲线与方程：会利用已知条件求解曲线方程，求解时注意讨论取值范围. 椭圆与双曲线： 注意：椭圆与双曲线几何性质的异同.往往处理问题的方式是一样的. 相关定义，如实轴，虚轴，实半轴，虚半轴，长轴，短轴，长半轴，短半轴，离心率等. 注意相关几何性质：第一定义，第二定义，对称性等. 要求：会求解相关方程(这类题目在高考中常见). 会求双曲线渐进线. 注意求解离心率与离心率取值范围的题目(这类题目在高考中常见). 解决焦点三角形相关问题时，利用好第一定义，余弦定理和面积公式. P S ：设圆锥曲线上有一点P ，圆锥曲线焦点分别为F 1，F 2，对于△F 1PF 2 注意以下三个式子： ()?? ? ??角的正弦值一倍的两边长积乘以夹三角形面积等于二分之面积公式余弦定理定义式的平方 抛物线： 注意：定义及方程形式，注意与二次函数y ＝ax 2的区别与联系. 当圆锥曲线方程确定时，焦半径长由焦点及焦半径与x 轴所成角唯一确定. 特别的：设P 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 为焦点，θ为PF 与x 轴正方向所成的角， 则有：θ cos 1-= p PF . 三 直线与圆锥曲线 直线与圆锥曲线相切：主要考察抛物线的切线，要求会求切线(一般利用求导的方法). 注①：抛物线x 2＝2py (p ＞0)中，过定点(m ，0)(m ＞0)的直线交抛物线于A ，B 两点.过A ，B 做抛物线的切线，交于点C ．则点C 过定直线. 注②：圆锥曲线切线的一些性质： P 为椭圆122 22=+b y a x ()0>>b a 上一点，F 1，F 2为椭圆焦点，则过P 点的切线的法线 平分21PF F ∠(即切线平分21PF F ∠的外角) P 为双曲线122 22=-b y a x ()0,0>>b a 上一点，F 1，F 为其焦点，则过P 点的切线平分 ∠F 1PF 2 P 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 为其焦点，则过P 点的切线的法线平分PF 与水平 线(这里指与x 轴平行的直线)的夹角. 光学性质：抛物面镜，可将焦点处电光源发射的光反射成平行光. 直线与圆锥曲线有两个交点：直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考的热点，题目主要以解答题形式出现.常见的有求弦长，焦点弦长，弦中点问题，取值范围最值等问题.希望同学们在解决问题时注意利用一元二次方程相关结论(判别式，韦达定理)，函数的性质(主要是单调性)，不等式，平面向量等知识. 这类题目重在考察学生基本的数学素质与数学能力，难度多为中等偏难题，运算量思维量大，综合性较强. 注：常见问题的解决方法 (这里设直线l 截圆锥曲线F (x ，y )＝0，交F (x ，y )＝0于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).) ①韦达定理 ②弦长公式2212 211 11AB AB k y y k x x AB +-=+-= ③中点弦，弦中点 1 / 26 一、直线与方程 ★1、直线的倾斜角及斜率： （1）倾斜角：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0，因此，倾斜角的范围是[)π，0. （2）斜率：①倾斜角不是2 π 的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，即αtan =k （2 π α= 时，直线斜率不存在）；②过两点的直线斜率公式：()211 21 2x x x x y y k ≠--= . ★2、直线的方程：点方向式： v y y u x x 0 0-= -（过点()00,y x ，方向向量()v u ,） 点法向式：()()000=-+-y y b x x a （过点()00,y x ，法向量()b a ,） 斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b 点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 两点式： 11 2121 y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x 截矩式： 1x y a b +=（与x 轴交于点(,0)a ，与y 轴交于点(0,)b ） 一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0） 高考数学基础知识回顾：解析几何 基础知识 2 / 26 ★★3、直线与直线的位置关系：（1）平行直线系：01=++C By Ax 与02=++C By Ax ；（2）垂直直线系：01=++C By Ax 与02=+-C Ay Bx ；（3）直线平行与垂直的充要条件：①当 111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，212121,//b b k k l l ≠=?；12121-=?⊥k k l l ；②当 :1111=++c y b x a l ， :2222=++c y b x a l 时， //122121=-?b a b a l l ； 0212121=+?⊥b b a a l l ★★4、直线的夹角公式：（1）对直线0:1111=++c y b x a l ，0:2222=++c y b x a l ， 2 2 2 22 12 121212121||| |||| |cos |cos b a b a b b a a d d +?++= ?==θα；（2）对直线111:b x k y l +=， 222:b x k y l +=，2 12 11tan k k k k +-= α ★★5、点到直线的距离：（1）点到直线的距离：点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离为 2 2 00B A C By Ax d +++= ；（2 ）点在直线的同侧或异侧的问题：令δ= ，当两点在直线l 的同侧，则它们的δ同号；当两点在直线l 的异侧，则δ异号；（3）两平行线间的距离公式： 0:11=++C By Ax l 与0:22=++C By Ax l 为2 2 21B A C C d +-= ★6、线性规划：①设出所求的未知数；①列出约束条件（即不等式组）；①建立目标函数；①作出可行域；①运用图解法求出最优解． 二、圆与方程 ★1、圆的方程：（1）标准方程()()22 2 r b y a x =-+-，圆心 ()b a ,，半径为r ；（2）一般方程 02 2 =++++F Ey Dx y x ，圆心?? ? ??--2,2E D ，半径2422F E D -+，能形成圆的充要条件是 0422>-+F E D ；（3）参数方程：???+=+=θ θ sin cos r b y r a x ，圆心()b a ,，半径为r ． 高中数学解析几何 第一部分:直线 一、直线的倾斜角与斜率 1.倾斜角α (1)定义：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。 (2)范围：?<≤?1800α 2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率. αtan =k （1）.倾斜角为?90的直线没有斜率。 （2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。 （3）设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k ， 则当21x x ≠时，2 121tan x x y y k --= =α；当21x x =时，o 90=α；斜率不存在； 二、直线的方程 1.点斜式：已知直线上一点P （x 0,y 0）及直线的斜率k （倾斜角α）求直线的方程用点斜式：y-y 0=k(x-x 0) 注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =； 2.斜截式：若已知直线在y 轴上的截距（直线与y 轴焦点的纵坐标）为b ，斜率为k ，则直线方程：b kx y +=；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：kx y = 注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。 3.两点式：若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点，且（2121,y y x x ≠≠则直线的方程： 1 21 121x x x x y y y y --=--； 注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以适应在于任何一条直线。 4截距式：若已知直线在x 轴，y 轴上的截距分别是a ，b （0,0≠≠b a ）则直线方程： 1=+b y a x ； 注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。 2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直 高三数学专题复习 《解析几何》 解题思路与方法： 高考试题中的解析几何的分布特点是除在客观题中有1~2个题目外，就是在解答题中有一个压轴题.也就是解析几何没有中档题.且解析几何压轴题所考查的内容是求轨迹问题、直线和圆锥曲线的位置关系、关于圆锥曲线的最值问题等.其中最重要的是直线与圆锥曲线的位置关系.在复习过程中要注意下述几个问题： （1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键。 （2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判断.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解. 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍。 （3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程。 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤。 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置。 定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)。 定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。 （4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义。 （5）要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用。 （6）求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等，解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围。 解析几何问题处理时易错易忽视点归纳： 1．用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时, 易忽略斜率不存在的情况；题目告诉截距相等时，易忽略截距为0的情况。 2.求含系数的直线方程平行或者垂直的条件时，易忽略直线与x轴或者y轴平行的情况。 圆锥曲线第1讲 椭圆 【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义： 平面内到两个定点、的距离之和等于定长（ ）的点的轨迹叫椭圆，这 两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。 注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作）大于这两个定点之间的距离 （记作），否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下： （ⅰ）当时，点的轨迹是椭圆； （ⅱ）当时，点的轨迹是线段； （ⅲ）当时，点的轨迹不存在。 注2：若用M 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为 （， ），即 . 注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件： 千万不可忘记。 2. 椭圆的第二定义： 平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆。 二、椭圆的标准方程 （1）焦点在轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是（）； （2）焦点在轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是（）. 1F 2F a 22 12F F a >a 22 1F F c 2c a 22>c a 22=21F F c a 22c F F 221=2 121F F MF MF >+a MF MF 221=+e 10< 注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在轴还是在轴，主要看长半轴跟谁走。长半轴跟走，椭圆的焦点在轴；长半轴跟走，椭圆的焦点在轴。 （1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设 其方程为（）或（）；若题目未指明椭圆的焦 点究竟是在轴上还是轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 （，，且）. 三、椭圆的性质 以标准方程（）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 （1）范围：， ； （2）对称性：关于轴、轴轴对称，关于坐标原点中心对称； （3）顶点：左右顶点分别为，；上下顶点分别为，； （4）长轴长为，短轴长为，焦距为； （5）长半轴、短半轴、半焦距之间的关系为； （6）准线方程：； （7）焦准距：； （8）离心率： 且. 越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁； （9）焦半径：若为椭圆在第一象限内一点，则由椭圆的第二定义， 有 ， ； x y x x y y 12222=+b y a x 0>>b a 122 2 2=+b x a y 0>>b a x y 122=+ny mx 0>m 0>n n m ≠122 22=+b y a x 0>>b a a x a ≤≤-b y b ≤≤-x y )0,(1a A -)0,(2a A ),0(1b B ),0(2b B -a 2b 2c 2a b c 2 2 2 c b a +=c a x 2 ± =c b 2 a c e = 10< 高三数学二轮复习一一解析几何中的综合问题 、课前练习 2. 两点A(3,0), B(0,4)，动点P(x , y)在线段 AB 上运动，则xy 的最大值为 _____________ 3. _______________________________________________________________ 和圆(x — 3)2+ (y — 1)2= 36关于直线x + y = 0对称的圆的方”程是 __________________________ . 4. __________________________________________________________ 若实数x , y 满足x 2+ y 2— 2x = 0,则x 2+ y 2的取值范围是 ___________________________________ . 9 x 2 y 2 5. 设A(x i , y i ), B 4, 5 , C (X 2,迪是右焦点为F 的椭圆方+弋=1上三个不同的点， 若AF , BF , CF 成等差数列，则 x i + x 2= ___________ . 二、例题讲解 例1.已知i , j 是x , y 轴正方向的单位向量，设 a = (x — , 3)i + yj , b = (x+i 3)i + yj , 且满足 |a|+ |b|= 4. (1)求点P(x , y)的轨迹C 的方程； ⑵如果过点Q(0 , m)且方向向量为c = (1,1)的直线l 与点P 的轨迹交于A , B 两点，当 △ AOB =1的内接矩形的面积最大值为 1 ?椭圆 第四章平面解析几何初步 1．掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． 2．会用二元一次不等式表示平面区域． 3．了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用． 4．了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法． 在近几年的高考试题中，两点间的距离公式、中点坐标公式、直线方程的点斜式、斜截式、一般式、斜率公式及两条直线的位置关系，圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系是考查的热点.但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，近年来，在高考中经常考查，但基本上以中易题出现．考查的数学思想方法，主要是数形结合、分类讨论、方程的思想和待定系数法等． 第1课时直线的方程 1．倾斜角:对于一条与x轴相交的直线,把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角．当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．倾斜角的范围为________． 斜率:当直线的倾斜角α≠90°时，该直线的斜率即k＝tanα；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在． 2．过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式．若x1＝x2，则直 线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°． 3． 例1. 已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－2 3．④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点． 解：(1) －1 ⑵ 2或－2 1 ⑶ 31或－2 ⑷－23 ⑸ 4 1 变式训练1.（1）直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° （2）设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ） A ．－3，4 B ．2，－3 C ．4，－3 D ．4，3 （3）直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ） A ．7 B C D ．－7 （4）直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ． 解：（1）D ． （2）C ．提示：用斜率计算公式 12 12 y y x x --． （3）A ．提示：两直线的斜率互为相反数． （4）2y ＋3x ＋1=0．提示：用直线方程的两点式或点斜式 例2. 已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）. 求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上. 证明 方法一 ∵A （1，-1），B （3，3），C （4，5）， ∴k AB = 1 31 3-+=2,k BC =3435--=2，∴k AB =k BC ， ∴A 、B 、C 三点共线. 方法二 ∵A （1，-1），B （3，3），C （4，5）， ∴|AB|=25，|BC|=5，|AC|=35， ∴|AB|+|BC|=|AC|，即A 、B 、C 三点共线. 方法三 ∵A （1，-1），B （3，3），C （4，5），《空间解析几何2》教学大纲.
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