2010年上海市新知杯初中数学竞赛试题及详解

2010年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷

（2010年12月12日 上午9:00~11:00）

解答本试卷可以使用计算器

一、填空题（第1~5小题，每题8分，第6~10小题，每题10分，共90分）

1.

已知31=+x x ，则=+++1055

1011x

x x x _________。

2. 满足方程()()332

22

=-+++y x y x 的所有实数对()y x ，为__________。

3. 已知直角三角形ABC 中，3690===∠CA BC C ，，

，CD 为C ∠的角平分线，则_________。

4. 若前2011个正整数的乘积201121??? 能被k

2010整除，则正整数k 的最大值为________。

5. 如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O 的一条直线分别与边AB ，AC 交于点M ，N ，若OM=MN ，则点M 的坐标为_________。

6. 如图，矩形ABCD 中，AB=5，BC=8，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，使得AE=2，BF=5，DG=3，AH=3，点O 在线段HF 上，使得四边形AEOH 的面积为9，则四边形OFCG 的面积是_________。

7. 整数q p ，满足2010=+q p ，且关于x 的一元二次方程0672=++q px x 的两个根均为正整数，则=p ________。

8. 已知实数c b a ，，满足0=++≥≥c b a c b a ，且0≠a 。设21x x ，是方程02

=++c bx ax 的

两个实数根，则平面直线坐标系内两点()()1221x x B x x A ，，，之间的距离的最大值为_______。

9. 如图，设ABCDE 是正五边形，五角星ACEBD （阴影部分）的面积为1，设AC 与BE 的交点为P ，BD 与CE 的交点为Q ，则四边形APQD 的面积等于_______。

10. 设c b a ，，是整数，91≤<<≤c b a ，且1+??cab bca abc 能被9整除，则c b a ++的最小值是_________，最大值是__________。

O G

F

E H D C B

A E

B

二、 解答题（每题15分，共60分）

11. 已知面积为4的ABC ?的边长分别为b c c AB b CA a BC >===，，，，AD 是A ∠的角平分线，点'C 是点C 关于直线AD 的对称点，若BD C '?与ABC ?相似，求ABC ?的周长的最小值。

12. 将1，2，…，9这9个数字分别填入图1中的9个小方格中，使得7个三位数

cfi beh ghi def abc ，，，，和aei 都能被11整除，求三位数ceg 的最大值

13. 设实数z y x ，，满足0=++z y x ，且()()()22

2

2

≤-+-+-x z z y y x ，求x 的最大值和最小值

14. 称具有2

2161

b a +形式的数为“好数”，其中b a ，都是整数 （1）证明：100，2010都是“好数”。 （2）证明：存在正整数y x ，，使得161161

y x +是“好数”，而y x +不是“好数”。

i

h g f e d c b a C'C D B A

2010年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷

（2010年12月12日 上午9:00~11:00）

解答本试卷可以使用计算器

一、 填空题（第1~5小题，每题8分，第6~10小题，每题10分，共90分）

1. 已知31=+x x ，则=+++1055101

1x x x x 15250

解：31

=+x

x

21)1(222++=+∴x x x x 即71

22=+x x

=+

331x x )1(2

2

x

x +)1(x x +-18321)1(=-=+x x =+

441x x 472492133

=-=-+x

x =+

551x x )1(44x x +)1(x x +-=+3

3

1x

x 47*3-18=123 =+

10101x x 1512721232)1(2255

=-=-+x x 故=++

+105510

1

1x

x x x

15250 2. 满足方程()()332

22

=-+++y x y x 的所有实数对()y x ，为 （-2，-1） 解：由题意知，062)26(22

2

=++-+y x y x

0)1(12)62(8)26(222≥+-=+--=?y y y

故0122

≤++y y 1-=y 可得2-=x

3已知直角三角形ABC 中，3690===∠CA BC C ，，

，CD 为C ∠的角平分线，则 CD=22

解：令CD=x 由面积正弦定理可知

45sin 62

1

45sin 3219x x S abc ??+???=

= 故x=22

4 若前2011个正整数的乘积201121??? 能被k

2010整除，则正整数k 的最大值为 30 解：675322010???= 30]67

2010

[

= 故 k max= 30

5 如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O 的一条直线分别与边AB ，AC 交于点M ，N ，若OM=MN ，则点M 的坐标为

)4

3,45( 解;

)

4

3,45()

2

3,25(3

,2()

0,1(11M N A C AN MN NM

AN CA BC OB ∴=∴=??

6 如图，矩形ABCD 中，AB=5，BC=8，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，使得AE=2，BF=5，DG=3，AH=3，点O 在线段HF 上，使得四边形AEOH 的面积为9，则四边形OFCG 的面积是 6.5 解

：

连接AO,OD,BO,OC 面积比如图2 所示

A

B

C

D

且已知 ??

?

??=+=+=+93245.2a c d c b a 5.692*43*5.232=-+=+∴b d

7整数q p ，满足2010=+q p ，且关于x 的一元二次方程0672=++q px x 的两个根均为正整数，则=p -2278

解：令 p=67a, q=67b, 可知 a+b=30

由根与系数的关系可知，???

????

==-=-=+b q x x a p x x 6767

2121

31

)1)(1(30212121=--=+=--x x b a x x x x 设??

?=-=-3111

121x x

??

?==322

2

1x x 故?

??=-=6434

b a p=67a=-2278

8. 已知实数c b a ，，满足0=++≥≥c b a c b a ，且0≠a 。设21x x ，是方程02

=++c bx ax 的

两个实数根，则平面直线坐标系内两点()()1221x x B x x A ，，，之间的距离的最大值为23

解：)0()

1(2422)()(2212

122

21>-=-=-=-+-=a a

c a ac b x x x x x x AB

c b a ≥≥ c c a a ≥--≥∴

c a c

22

-≤≤- 2

1

2-≤≤-a c

23)21(2max =+=AB

9. 如图，设ABCDE 是正五边形，五角星ACEBD （阴影部分）的面积为1，设AC 与BE 的交点为P ，BD 与CE 的交点为Q ，则四边形APQD 的面积等于 1/2 解: 连结 RQ ，四边形APQR 为平行四边形， 易知 1=6S 1+2S 2 故 2

1

321=

+=S S S APQD

10设c b a ，，是整数，91≤<<≤c b a ，且1+??cab bca abc 能被9整除，则c b a ++的最小值是 8 ，最大值是 23

解：易知 a+b+c 被9除余2或5或8 所以（a+b+c ）min = 1+2+5=8

（a+b+c ）max = 9+8+6=23

三、 解答题（每题15分，共60分）

11 ΔBDC ’相似于ΔBCA

情况（1）若 DC ’ ∕∕AC

令∠DAC=α,则∠BAC=∠BC ’D=2α 易知AC ’=C ’D=CD=AC=b

显然 DC ’=AC 矛盾（DC ’应小于AC ） 情况（2）∠BC ’D=∠C 又∠DC ’A=∠C 故∠BC ’D=∠C=900

在面积为4的直角三角形中，显然，等腰直角三角形周长最小

证法如下：16)(222-+++=++

+=++b a b a b a b a c b a

又ab b a 2≥+ 即24≥+b a 当且仅当22==b a 成立 所以424+≤++c b a

12 这是一道技巧题 显然)(11h i g e f d b c a -++-++-+

)](2[(11h e b i h g f e d c b a ++-++++++++∴ )](245[11h e b ++-∴

)11(mod 6)(≡++∴h e b

又)11(mod e h b =+ )11(mod 3≡∴e 即e=3 所以b+h, d+f, a+I 只能取14或3， 因为14=5+9=8+6

所以 a,e,i,b,h,d,f 必须使用数字1,2,9,5,8,6,3， c ，g 只能取7,4

故ceg 的最大值取734，不考虑旋转，图2是唯一合理填法

13 将y x z --=代入

()()()2222≤-+-+-x z z y y x ，

0133322≤-++x xy y 若有解 0)13(12922≥--=?x x

3232≤≤-

∴x 32max =x ， 当3

1

-==z y 满足

32

min -=x ， 当3

1==z y 满足

14（1）显然 2

2

016110100?

+= 221161432010?+=

所以，100,2010是好数

（2）161=7*23

22161b a ?+除以7的余数可以是0,1,2,4

所以构造x 、y 时，最好让x+y 除以7余3 又162161161161161161161161161

)1()1()1()1()]1([+=++=+++p p p p p

p 是平方数

可以令13)

13(3161161

+=+=y x

易知2281161162161161161

0161])13[()13(?++=+=+y x 是好数

又)7(mod 53

161

≡

)7(mod 36)15(313)13(3161161≡++?=+++?=+y x

所以x+y 不是好数，得整。