四边形专题讲座动点问题20121103答案解析二版专题11 动点问题20121103
杨老师专题讲座动点问题20121103
1、（2011江苏泰州，28，12分）在平面直角坐标系xoy 中，边长为a （a 为大于0的常数）的正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点P ，顶点A 在x 轴正半轴上运动，顶点B 在y 轴正半轴上运动（x 轴的正半轴、y 轴的正半轴都不包含原点O ），顶点C 、D 都在第一象限．（1）当∠BAO =45°时，求点P 的坐标;(2)求证：无论点A 在x 轴正半轴上、点B 在y 轴正半轴上怎样运动，点P 都在∠AOB 的平分线上；
（3）设点P 到x 轴的距离为h ，试确定h 的取值范围，并说明理由．
【答案】解：（1）当∠BAO =45°时，∠PAO =90°，在Rt ⊿AOB 中，OA ＝
22AB ＝a 2
2
，在Rt ⊿APB 中，PA ＝
22AB ＝a 22。∴点P 的坐标为（a 22，a 2
2
） （2）过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线垂足分别为M 、N ，则有∠PMA =∠PNB =∠NPM =∠
B PA =90°，∴∠MPA =∠NPB ，又PA ＝PB ，∴△PAM ≌△PBN ，∴PM=PN ，于是，点P 都在∠AOB 的平分线上；
（3）
2a ＜h ≤
a 2
2
。当点B 与点O 重合时，点P 到AB 的距离为2a ，然后顶点A 在x 轴正半轴上向左运动，顶点B 在y 轴正半轴上向上运动时，点P 到AB 的距离逐渐增大，当∠BAO =45°时，PA ⊥x 轴，这时点P 到AB 的距离最大为
a 2
2
，然后又逐渐减小到2a ，
∵x 轴的正半轴、y 轴的正半轴都不包含原点O ，∴点P 到x 轴的距离的取值范围是
2
a ＜h ≤
a 2
2
。 2、（2011山东）已知正方形ABCD 的边长为a ，两条对角线AC 、BD 相交于点O ，P 是射
线AB 上任意一点，过P 点分别做直线AC 、BD 的垂线PE 、PF ，垂足为E 、F . （1）如图1，当P 点在线段AB 上时，求PE +PF 的值；
（2）如图2，当P 点在线段AB 的延长线上时，求P E －PF 的值
.
【解】（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD .
∵PF ⊥BD ，∴PF //AC ，同理PE //BD .∴四边形PFOE 为矩形，故PE =OF . 又∵∠PBF =45°，∴PF =BF .∴PE +PF =OF +FB =OB
=cos 452a a ?=
.
（2）∵四边形ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD .∵PF ⊥BD ，∴PF //AC ，同理PE //BD . ∴四边形PFOE 为矩形，故PE =OF .又∵∠PBF =45°，∴PF =BF . ∴PE －PF =OF －BF = OB
=cos 452a a ?=
.
3、（2011湖南永州）探究问题：⑴方法感悟：如图①，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF ，求证DE+BF=EF ． 感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，此时AB 与AD 重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，因此，点G ，B ，F 在同一条直线上． ∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°． ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°．即∠GAF=∠_________． 又AG=AE ，AF=AF ∴△GAF ≌_______．∴_________=EF ，故DE+BF=EF ．
3
2
1G
E
F
D C
B
A （第25题）①
⑵方法迁移：
如图②，将AB C Rt ?沿斜边翻折得到△ADC ，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且
∠EAF=2
1
∠DAB ．试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想．
⑶问题拓展：
如图③，在四边形ABCD 中，AB=AD ，E ，F 分别为DC,BC 上的点，满足DAB EAF ∠=
∠2
1
,试猜想当∠B 与∠D 满足什么关系时，可使得DE+BF=EF ．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．
【答案】⑴EAF 、△EAF 、GF ．⑵DE+BF=EF ，理由如下：假设∠BAD 的度数为m ，将△ADE 绕点A 顺时针旋转?m 得到△ABG ，此时AB 与AD 重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，因此，点G ，B ，F 在同一条直
线上．∵∠EAF=?m 21 ∴
∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=?=?-?m m m 21
21∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=
?m 2
1
．即∠
GAF=∠EAF 又AG=AE ，AF=AF ∴△GAF ≌△EAF ． ∴GF=EF ，又∵GF=BG+BF=DE+BF ∴DE+BF=EF ．
⑶当∠B 与∠D 互补时，可使得DE+BF=EF ．
4、（2011江苏盐城）情境观察将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A′C ′D ，如图1所示.将△A′C ′D 的顶点A′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A (A′)、
E
F
D
C
B
A
（第25题）②
3
2
1G
E F
D
C
B A （第25题）②解得图
E
F
D C
B
A
（第25题）③
B 在同一条直线上，如图2所示．
观察图2可知：与BC 相等的线段是 ▲ ，∠CAC ′= ▲ °．
问题探究
如图3，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q . 试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论.
拓展延伸
如图4，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作矩形ABME 和矩形ACNF ，射线GA 交EF 于点H . 若AB =k AE ，AC =k AF ，试探究HE 与HF 之间的
数量关系，并说明理由.
【答案】情境观察AD （或A′D ），90
问题探究结论：EP =FQ .
证明：∵△ABE 是等腰三角形，∴AB =AE ，∠BAE =90°.
∴∠BAG +∠EAP =90°.∵AG ⊥BC ，∴∠BAG +∠ABG =90°，∴∠ABG =∠EAP . ∵EP ⊥AG ，∴∠AGB =∠EPA =90°，∴Rt △ABG ≌Rt △EAP . ∴AG =EP . 同理AG =FQ . ∴EP =FQ .
图4
M
N
G
F
E
C
B
A
H
图3
A
B C
E
F
G
P
Q
图1 图2
C'A'B A D
C
A
B
C
D
B
C
D A (A')C'
拓展延伸结论： HE =HF .
理由：过点E 作EP ⊥GA ，FQ ⊥GA ，垂足分别为P 、Q .
Q P H A
B
C
E
F
G
N
M
∵四边形ABME 是矩形，∴∠BAE =90°，
∴∠BAG +∠EAP =90°.AG ⊥BC ，∴∠BAG +∠ABG =90°， ∴∠ABG =∠EAP .
∵∠AGB =∠EPA =90°，∴△ABG ∽△EAP ，∴AG EP = AB
EA
.
同理△ACG ∽△FAQ ，∴AG FP = AC
FA .
∵AB =
k AE ，AC =k AF ，∴AB EA = AC FA =
k ，∴AG EP = AG
FP
. ∴EP =FQ .
∵∠EHP =∠FHQ ，∴Rt △EPH ≌Rt △FQH . ∴HE =HF .
5、（2011山）如图，ABCD 是一张矩形纸片，AD =BC =1,AB =CD =5．在矩形ABCD 的边AB 上取一点M ，在CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与D N 交于点K ，得到△MNK ．
（1）若∠1=70°，求∠MNK 的度数．（2）△MNK 的面积能否小于
1
2
？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．（3）如何折叠能够使△MNK 的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．
（备用图）
【答案】 解：∵ABCD 是矩形， ∴AM ∥DN ，∴∠KNM =∠1． ∵∠KMN =∠1，∴∠KNM =∠KMN ． ∵∠1=70°，∴∠KNM =∠KMN =70°． ∴∠MNK =40°．
（2）不能．过M 点作ME ⊥DN ，垂足为点E ，则ME =AD =1,由（1）知∠KNM =∠KMN ． ∴MK =NK ．又MK ≥ME ,∴NK ≥1．∴11
22
MNK S NK ME ?=?≥．∴△MNK 的面积最小值为
12，不可能小于1
2
．（3）分两种情况：情况一：将矩形纸片对折，使点B 与点D 重合，此时点K 也与点D 重合．设MK =MD =x ，则AM =5-x ，由勾股定理，得
2221(5)x x +-=,
解得， 2.6x =． 即
2.6
MD ND ==．∴
1
1 2.6 1.32
MNK ACK S S ??==??=． （情况一）
情况二：将矩形纸片沿对角线AC 对折，此时折痕为AC ．
设MK =AK = CK =x ，则DK =5-x ，同理可得 即 2.6MK NK ==． ∴1
1 2.6 1.32
MNK ACK S S ??==
??=． ∴△MNK 的面积最大值为1.3．
6、正方形（2012贵州铜仁，18，4分以边长为2的正方形的中心O 为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A 、B 两点，则线段AB 的最小值是__________．
【解析】如图∵四边形CDEF 是正方形， ∴∠OCD=∠ODB=45°，∠COD=90°，OC=OD ， ∵AO ⊥OB ， ∴∠AOB=90°，∴∠COA+∠AOD=90°，∠AOD+∠DOB=90°，∴∠COA=∠DOB ， ∵在△COA 和△DOB 中
，∴△COA ≌△DOB ，∴OA=OB ，
∵∠AOB=90°，∴△AOB 是等腰直角三角形，由勾股定理得：AB==OA ，
要使AB 最小，只要OA 取最小值即可，根据垂线段最短，OA ⊥CD 时，OA 最小，∵正方形CDEF ，∴FC ⊥CD ，OD=OF ，∴CA=DA ，∴OA=CF=1，∴AB=
OA=
【解答】2.
【点评】本题考查了正方形的性质、垂线段最短、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、等知识，题目具有代表性，有一定的难度。解答本题关键是判断AB=2OA 时，AB 最小，即OA 与OB 分别与正方形边长垂直时AB 有最小值。
7、（2012江苏省淮安市，27，12分） 如题27图，矩形OABC 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A (0，4)，C (2，0)．将矩形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转l35o，得到矩形EFGH (点E 与0重合)．(1)若GH 交y 轴于点M ，则∠FOM = °，OM = ． (2)将矩形EFGH 沿y 轴向上平移t 个单位． ①直线GH 与x 轴交于点D ，若AD ∥BO ，求t 的值； ②若矩形EFGH 与矩形OABC 重叠部分的面积为S 个平方单位，试求当
0 【解析】（1）据题意，∠AOF =135°，所以∠FOM =45o，显然∠OMH =45o，在Rt △FOM 中，OH =OC =2，即可求出OM 2）①若AD ∥BO ，则四边形ADOB 是平行四边形；②矩形EFGH 与矩形OABC 重叠部分的图形分三种情况讨论． 【答案】解：（1）45o，2）①若AD ∥BO ，则四边形ADOB 是平行四边形，所以 OD =AB =2，如图11-1所示.OE =t ，则ON =t ，EN ，NH ，DN ）， 因为OD =AB =2）+ t =2，故t 2； ②有三种情况：ⅰ)当0＜t ≤2时，如图11-2所示.显然重叠部分是三角形，面积 S =S △ODE =1 2t 2；ⅱ) 当2＜t 如图11-3所示，重叠部分是直角梯形.作EN ⊥CB 于N ， 则EN =DN =2，CD =t ?2，重叠部分面积S = S 梯形OEDC = 1 2 (t +t ?2)×2=2 t ?2； ⅲ) 当t 时，如图11-4所示，重叠部分是五边形. 作EN ⊥CB 于N ，则 EN =DN =2，CD =t ?2，OM =OK = t ? 重叠部分面积S = S 五边形MEDCK =12 (t +t ?2)×2?1 2 (t ?2=12 t 2 t ?6. 【点评】本题综合性较强，主要考查了矩形的性质，图形的旋转，平行四边形的判定与性质以及多边形面积的计算，解题的关键是掌握基础知识，然后将所求的题目具体化，从而利用所学的知识建立模型，然后有序解答．解题时要注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用． 8．(2011·安徽)在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ(0°＜θ＜180°)，得到△A ′B ′C . (1)如图1，当AB ∥CB ′时，设A ′B ′与CB 相交于点D . 证明：△A ′CD 是等边三角形； 图1 (2)如图2，连接A ′A 、B ′B ，设△ACA ′ 和△BCB ′ 的面积分别为S △ACA ′ 和S △BCB ′. 求证：S △ACA ′∶S △BCB ′＝1∶3； 图 11-1 图11-2 图11-3 图11-4 图2 (3)如图3，设AC 中点为E ，A ′B ′中点为P ，AC ＝a ，连接EP ，当θ＝______度时，EP 长度最大，最大值为___________． 图3 解 (1)∵AB ∥CB ′，∴∠ABC ＝∠BCB ′＝30°， ∴∠A ′CD ＝60°. 又∵∠A ′＝60°， ∴∠A ′CD ＝∠A ′＝∠A ′DC ＝60°， ∴△A ′CD 是等边三角形． (2)∵∠ACA ′＝∠BCB ′，AC ＝A ′C ，BC ＝B ′C ， ∴△ACA ′∽△BCB ′，相似比为AC ∶BC ＝1∶3， ∴S △ACA ′ ∶S △BCB ′＝1∶3. (3)120°；3 2a . 当E 、C 、P 三点不共线时，EC ＋CP >EP ； 当E 、C 、P 三点共线时，EC ＋CP ＝EP ； 综上所述，EP ≤EC ＋CP ； 则当旋转120°时，E 、C 、P 三点共线，EP 长度最大，此时EP ＝EC ＋CP ＝12a ＋a ＝3 2a . 9、(2011·淮安)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 在AB 上，AP ＝2.点E 、F 同时从点P 出发，分别沿PA 、PB 以每秒1个单位长度的速度向点A 、B 匀速运动，点E 到达点A 后立即以原速度沿AB 向点B 运动，点F 运动到点B 时停止，点E 也随之停止．在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作正方形EFGH ，使它与△ABC 在线段AB 的同侧，设E 、F 运动的时间为t 秒(t ＞0)，正方形EFGH 与△ABC 重叠部分面积为S . (1)当t ＝1时，正方形EFGH 的边长是__________； 当t ＝3时，正方形EFGH 的边长是__________； (2)当0＜t ≤2时，求S 与t 的函数关系式； (3)直接答出：在整个运动过程中．．．．．．． ，当t 为何值时，S 最大？最大面积是多少？ 解 (1)2；4. (2)当0＜t ≤6 11时(如图)，S 与t 的函数关系式是： S ＝S 矩形EFGH ＝(2t )2＝4t 2； 当611＜t ≤6 5 时(如图)，S 与t 的函数关系式是： S ＝S 矩形EFGH －S △HMN ＝4t 2－12×43×[2t －34(2－t )] 2＝－2524t 2＋112t －3 2 ； 当6 5 ＜t ≤2时(如图)，S 与t 的函数关系式是： S ＝S △ARF －S △AQE ＝12×34(2＋t ) 2－12×3 4(2－t ) 2 ＝3t . (3)由(2)知：若0＜t ≤611，当t ＝611时S 最大，其最大值S ＝144 121 ； 若611＜t ≤65，当t ＝65时S 最大，其最大值S ＝185； 若6 5 ＜t ≤2，当t ＝2时S 最大，其最大值S ＝6. 综上所述，当t ＝2时S 最大，最大面积是6. 10、(2011·南充)如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ＝CD ＝2，∠C ＝600，M 是BC 的中点．求证：△MDC 是等边三角形； (2)将△MDC 绕点M 旋转，当MD (即MD ′)与AB 交于一点E ，MC 即MC ′)同时与AD 交于一点F 时，点E 、F 和点A 构成△AEF .试探究△AEF 的周长是否存在最小值？如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF 周长的最小值． 解 (1)证明：过点D 作DP ⊥BC 于点P ，过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ， ∵∠C ＝∠B ＝60°，∴CP ＝BQ ＝1 2AB ，CP ＋BQ ＝AB .又∵ADPQ 是矩形，AD ＝PQ ，AD ＝AB ，故BC ＝2AD .由已知，点M 是BC 的中点，∴BM ＝CM ＝AD ＝AB ＝CD, ∴在△MDC 中，CM ＝CD, ∠C ＝60°，故△MDC 是等边三角形． (2)解：△AEF 的周长存在最小值，理由如下：连接AM ，由(1)得?ABMD 是菱形，△MAB, △MAD 和△MC ′D ′是等边三角形，∴∠BMA ＝∠BME ＋∠AME ＝60°， ∠EMF ＝∠AMF ＋∠AME ＝60°，∴∠BME ＝∠AMF .在△BME 与△AMF 中，BM ＝AM, ∠EBM ＝∠FAM ＝60°，∠BME ＝∠AMF ，∴△BME ≌△AMF (ASA )． ∴BE ＝AF, ME ＝MF ，AE ＋AF ＝AE ＋BE ＝AB .∵∠EMF ＝∠DMC ＝60°， ∴△EMF 是等边三角形，EF ＝MF . ∵MF 的最小值为点M 到AD 的距离2·sin60°＝3， ∴EF 的最小值是3，∴△AEF 的周长＝AE ＋AF ＋EF ＝AB ＋EF ， ∴△AEF 的周长的最小值为2＋ 3. 11. （2011福建福州，21）已知,矩形ABCD 中,4AB cm =,8BC cm =,AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ,垂足为O . (1)如图10-1,连接AF 、CE .求证四边形AFCE 为菱形,并求AF 的长； (2)如图10-2,动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发,沿AFB ?和CDE ?各边匀速运动一周.即点P 自A →F →B →A 停止,点Q 自C →D →E →C 停止.在运动过程中, ①已知点P 的速度为每秒5cm ,点Q 的速度为每秒4cm ,运动时间为t 秒,当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t 的值. ②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b (单位:cm ,0ab ≠),已知A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形,求a 与b 满足的数量关系式. 【答案】(1)证明:①∵四边形ABCD 是矩形 ∴AD ∥BC ∴CAD ACB ∠=∠,AEF CFE ∠=∠ ∵EF 垂直平分AC ,垂足为O ∴OA OC = A B C D E F 图10-1 O 图10- 2 备用图 ∴AOE ?≌COF ? ∴OE OF = ∴四边形AFCE 为平行四边形 又∵EF AC ⊥ ∴四边形AFCE 为菱形 ②设菱形的边长AF CF xcm ==,则(8)BF x cm =- 在Rt ABF ?中,4AB cm = 由勾股定理得222 4(8)x x +-=,解得5x = ∴5AF cm = (2)①显然当P 点在AF 上时,Q 点在CD 上,此时A 、C 、P 、Q 四点不可能构成平行 四边形;同理P 点在AB 上时,Q 点在DE 或CE 上,也不能构成平行四边形.因此只有当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时,才能构成平行四边形 ∴以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC QA = ∵点P 的速度为每秒5cm ,点Q 的速度为每秒4cm ,运动时间为t 秒 ∴5PC t =,124QA t =- ∴5124t t =-,解得 4t = ∴以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时, 43t = 秒. ②由题意得,以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,点P 、Q 在互 相平行的对应边上. 分三种情况: i)如图1,当P 点在AF 上、Q 点在CE 上时,AP CQ =,即12a b =-,得12a b += ii)如图2,当P 点在BF 上、Q 点在DE 上时,AQ CP =, 即12b a -=,得12a b += iii)如图3,当P 点在AB 上、Q 点在CD 上时,AP CQ =,即12a b -=,得12a b += 综上所述,a 与b 满足的数量关系式是12a b +=(0)ab ≠ 12、（2010重庆，26，12分）如图，矩形ABCD 中，AB =6，BC =2错误！未找到引用源。，点O 是AB 的中点，点P 在AB 的延长线上，且BP =3．一动点E 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 匀速运动，到达A 点后，立即以原速度沿AO 返回；另一动点F 从P 点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA 匀速运动，点E 、F 同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E 、F 的运动过程中，以EF 为边作等边△EFG ，使△EFG 和矩形 ABCD 图1 图2 图3 在射线PA 的同侧．设运动的时间为t 秒（t ≥0）． （1）当等边△EFG 的边FG 恰好经过点C 时，求运动时间t 的值； （2）在整个运动过程中，设等边△EFG 和矩形ABCD 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式和相应的自变量t 的取值范围； （3）设EG 与矩形ABCD 的对角线AC 的交点为H ，是否存在这样的t ，使△AOH 是等腰三角形？若存大，求出对应的t 的值；若不存在，请说明理由． 考点：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列二次函数关系式；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；矩形的性质；解直角三角形 分析：（1）当边FG 恰好经过点C 时，∠CFB =60°，BF =3﹣t ，在Rt △CBF 中，解直角三角形可求t 的值；（2）按照等边△EFG 和矩形ABCD 重叠部分的图形特点，分为0≤t ＜1，1≤t ＜3，3≤t ＜4，4≤t ＜6四种情况，分别写出函数关系式； （3）存在．当△AOH 是等腰三角形时，分为AH =AO =3，HA =HO ，OH =OA 三种情况，分别画出图形，根据特殊三角形的性质，列方程求t 的值． 解答：解：（1）当边FG 恰好经过点C 时，∠CFB =60°，BF =3﹣t ，在Rt △CBF 中，BC =2错误！未找到引用源。，tan ∠CFB =错误！未找到引用源。 BC BF ，即tan 60=错误！未找到引 BF =2，即3﹣t =2，t =1，∴当边FG 恰好经过点C 时，t =1； （2）当0≤t ＜1时，S =2错误！未找到引用源。t +4错误！未找到引用源。；当1≤t ＜3时， S =﹣错误！未找到引用源。t 2 +3错误！未找到引用源。t +错误！未找到引用源。；当3≤t ＜4时，S =﹣4错误！未找到引用源。t +20错误！未找到引用源。；当4≤t ＜6时，S =错误！ 未找到引用源。t 2 ﹣12错误！未找到引用源。t +36错误！未找到引用源。；（3）存在．理由如下：在Rt △ABC 中，tan ∠CAB = BC AB 错误！未找到引用源。，∴∠CAB =30°，又∵∠HEO =60°，∴∠HAE =∠AHE =30°，∴AE =HE =3﹣t 或t ﹣3，1）当AH =AO =3时，（如图②），过点E 作 A O B P F E 26题答图① A D 26题图 EM ⊥AH 于M ，则AM =错误！未找到引用源。AH =，在Rt △AME 中，cos ∠MAE ═错误！未 找到引用源。AM AE ，即cos 30°=3 2AE 错误！未找到引用源。，∴AE =错误！未找到引用源。， 即3﹣t =错误！未找到引用源。或t ﹣3=错误！未找到引用源。，∴t =3﹣或t =3+错误！未找 到引用源。， 2）当HA =HO 时，（如图③）则∠HOA =∠HAO =30°，又∵∠HEO =60°，∴∠EHO =90°，EO =2HE =2AE ，又∵AE +EO =3，∴AE +2AE =3，AE =1，即3﹣t =1或t ﹣3=1，∴t =2或t =4； 3）当OH =OA 时，（如图④），则∠OHA =∠OAH =30°，∴∠HOB =60°=∠HEB ，∴点E 和点O 重合，∴AE =3，即3﹣t =3或t ﹣3=3，t =6（舍去）或t =0；综上所述，存在5个这样的t 值，使△AOH 是等腰三角形，即t =3﹣错误！未找到引用源。或t =3+错误！未找到引用源。或t =2或t =2或t =0． 13、（上海市）已知24AB AD ==，，90DAB ∠= ，AD BC ∥（如图）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．（1）设BE x =，ABM △的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域（5分）；（2）联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，求线段BE 的长． 【答案】解：（1）取AB 中点H ，联结M H ， ∵M 为DE 的中点， ∴MH BE ∥，1 ()2 MH BE AD = +。 A O (E ) B P 26题答图④ A O B P E 26题答图③ A O B P E 26题答图② 又∵AB BE ⊥，∴MH AB ⊥。 ∴1 2 ABM S AB MH = △，得12(0)2y x x =+>。 （3）由已知，以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，又易证得 DAM EBM ∠=∠。 由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①ADN BEM ∠=∠； ②ADB BME ∠=∠。①当ADN BEM ∠=∠时，∵AD BE ∥，∴ADN DBE ∠=∠。∴DBE BEM ∠=∠。 ∴DB DE =，易得2BE AD =．得8BE = ②当ADB BME ∠=∠时，∵AD BE ∥，∴ADB DBE ∠=∠。∴DBE BME ∠=∠。 又BED MEB ∠=∠，∴BED MEB △∽△。 ∴ DE BE BE EM =，即 2 B E E M D E = ，得 22 (4)x +-， 解得12 x =，210x =-（舍去）．即线段BE 的长为2。综上所述，所求线段BE 的长为8或2。 【考点】梯形的中位线性质，勾股定理，两圆外切的性质，相似三角形的判定和性质。 14、（上海市）操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点 P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q ． 图1 图2 图3 探究：设A 、P 两点间的距离为x ．（1）当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与线段PB 之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；（2）当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域（3）当点P 在线段AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置，并求出相应的x 的值；如果不可能，试说明理由．（图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2和图3备用）【答案】解：（1）PQ ＝PB 。证明如下： 过点P 作MN ∥BC ，分别交AB 于点 M ，交CD 于点N ，那么四边形AMND 和四边形BCNM 都是矩形，△AMP 和△CNP 都是等腰直角三角形（如图1）。∴PQ ＝PB 。 （2）作PT ⊥BC ，T 为垂足（如图2），那么四边形PTCN 为正方形。 ∴PT ＝CB ＝PN ． 又∠PNQ ＝∠PTB ＝90°，PB ＝PQ ，∴△PBT ≌△PQN （HL ）。 ∴S 四边形PBCQ ＝S △四边形PBT ＋S 四边形PTCQ ＝S 四边形PTCQ ＋S △PQN ＝S 正方形PTCN ＝CN 2 ＝（1－ x 2 2 ）2＝21x 2－x 2＋1 ∴y ＝ 21x 2 －x 2＋1（0≤x ＜2 2）。（3）△PCQ 可能成为等腰三角形。 ①当点P 与点A 重合，点Q 与点D 重合，这时PQ ＝QC ，△PCQ 是等腰三角形，此时x ＝0。 ②当点Q 在边DC 的延长线上，且CP ＝CQ 时，△PCQ 是等腰三角形（如图3） 此时，QN ＝PM ＝ 22x ，CP ＝2－x ，CN ＝22CP ＝1－22 x 。 ∴CQ ＝QN －CN ＝ 22x －（1－2 2 x ）＝2x －1。 当2－x ＝2x －1时，得x ＝1。【考点】二次函数综合题，正方形的 性质。【分析】（1）过点P 作MN ∥BC ，分别交AB 于点M ，交CD 于点N ，可得四边形AMND 和四边形BCNM 都是矩形，△AMP 和△CNP 都是等腰三角形；根据等腰三角形的性质与角的互余关系进行代换可得△QNP ≌△PMB ，故PQ=PB 。（2）由（1）的结论，根据图形可得关系S 四边形PBCQ ＝S △四边形PBT ＋S 四边形PTCQ ＝S 四边形PTCQ ＋S △PQN ＝S 正方形PTCN ， 代入数据可得解析式。（3）分①当点P 与点A 重合，与②当点Q 在边DC 的延长线上，两种情况讨论，分别讨论答案。 15、（2011安徽，23，14分）如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线1l 、2l 、 3l 、4l 上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为1h 、2h 、3h （1h ＞0，2h ＞0，3 h ＞0）．（1）求证：1h =3h ； （2）设正方形ABCD 的面积为S ，求证：S=2 1221)(h h h ++； （3）若12 3 21=+h h ，当1h 变化时，说明正方形ABCD 的面积S 随1h 的变化情况． 【答案】（1）过A 点作AF ⊥l 3分别交l 2、l 3于点E 、F ，过C 点作CG ⊥l 3交l 3于点G ， ∵l 2∥l 3，∴∠2 =∠3，∵∠1+∠2=90°，∠4+∠3=90°，∴∠1=∠4，又∵∠BEA=∠DGC =90°, BA=DC ，∴△BEA ≌△DGC ，∴AE =CG ，即 1h =3h ；（2）∵∠FAD+∠3=90°，∠4+∠3=90°，∴∠FAD =∠4， 又∵∠AFD=∠DGC =90°, AD=DC ，∴△AFD ≌△DGC ，∴DF =CG ，∵AD 2=AF 2+FD 2，∴S=2 1221)(h h h ++； (3)由题意，得1 2321h h -=， 所以 5 4 52451 452312 11212 12 11+??? ??-= +-=+??? ??-+=h h h h h h S ， 又??? ???-?02 310 11h h ，解得0＜h 1＜32∴当0＜h 1＜52时，S 随h 1的增大而减小； l l l l l l l l 当h 1= 52时，S 取得最小值54；当5 2 ＜h 1＜32时，S 随h 1的增大而增大. 16、（2011浙江省）如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE=120°, ∠B=∠E=90°，AB=BC ， AE=DE ，在BC ，DE 上分别找一点M,N ，使得△AMN 的周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）A . 100° B ．110° C . 120° D . 130°【答案】C 17. （2011湖北武汉市，12，3分）如图，在菱形ABCD 中，AB =BD ，点E ，F 分别在AB ， AD 上，且AE =DF ．连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ．下列结论： ①△AED ≌△DFB ； ②S 四边形 BCDG = 4 3 CG 2；③若AF =2DF ，则BG =6GF ．其中正确的结论A ．只有①②． B ．只有①③．C ．只有②③． D ．①②③．【答案】D 18. 2011四川重庆，10）如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 解析 经过折叠，有△ADE ≌△AFE ，AD ＝AF ，∠D ＝∠AFE ＝90°，∴AB ＝AF ，∠B ＝∠AFG ＝90°.又∵AG ＝AG ，∴△ABG ≌△AFG ；设BG ＝FG ＝x ，则CG ＝6－x ，EG ＝2＋x ，EC ＝4，由勾股定理，得(2＋x )2＝42＋(6－x )2，解之，得x ＝3，所以CG ＝BG ＝3；画 FH ⊥GC 于H ，△GFH ∽△GEC ，有FH EC ＝GF GE ＝GH GC ，FH 4＝35＝GH 3，∴FH ＝125，GH ＝9 5.在 Rt △CFH 中，tan ∠FCG ＝FH CH ＝1253－95＝2，在Rt △ABG 中，tan ∠AGB ＝AB BG ＝2，∴∠FCG ＝ ∠AGB ，∴AG ∥CF ；S △FGC ＝12GC ·FH ＝12×3×125＝18 5 ≠3； 故结论①、②、③正确． E 第12题图 19. （2011山东德州16）长为1，宽为a 的矩形纸片（ 12 1