初三数学方程专题复习题

初三数学方程专题复习题

第一部分 二元一次方程及其应用

【考点链接】

1．二元一次方程：含有 未知数（元）并且未知数的次数是 的整式方程.

2. 二元一次方程组：由2个或2个以上的 组成的方程组叫二元一次方程组.

3．二元一次方程的解： 适合一个二元一次方程的 未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有 个解.

4．二元一次方程组的解： 使二元一次方程组的 ，叫做二元一次方程

组的解.

5. 解二元一次方程的方法步骤：

二元一次方程组 方程.

消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有 消元和 消元法两种.

6．易错知识辨析：

（1）二元一次方程有无数个解，它的解是一组未知数的值；

（2）二元一次方程组的解是两个二元一次方程的公共解，是一对确定的数值；

（3）利用加减法消元时，一定注意要各项系数的符号.

【典例精析】

1.如果x y y x b a b a 2427773-+-和是同类项，则x 、y 的值是（ ）

A.x ＝－3，y ＝2

B.x ＝2，y ＝－3

C.x ＝－2，y ＝3

D.x ＝3，y ＝－2

2 解下列方程组：

（1）

{4519323a b a b +=--= （2）{

2207441x y x y ++=-=-

3、 若方程组

{31x y x y +=-=与方程组{

84mx ny mx ny +=-=的解相同，求m 、n 的值.

消元 转化

4、（08泰安）某厂工人小王某月工作的部分信息如下：

信息一：工作时间：每天上午8∶20~12∶00，下午14∶00~16∶00，每月25元；

信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件．

2.80元．根据以上信息，回答下列问题：

（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分？

（2）小王该月最多能得多少元？此时生产甲、乙两种产品分别多少件？

【中考演练】

1．若???-==11y x 是方程组???-=-=+1242a y x b y ax 的解，则???==_______

_______b a ．

2. 在方程3x +4y =16中，当x =3时，y =___；若x 、y 都是正整数，这个方程的解为_____．

3. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）

A ．??

???=+=+9114y x y x B ．???=+=+75z y y x C ．???=-=6231y x x D ．???=-=-1y x xy y x

4. 关于x 、y 的方程组???=-=+m y x m y x 932的解是方程3x +2y =34的一组解，那么m =（ ）

A ．2

B ．-1

C ．1

D ．-2

5．某校初三(2)班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元.捐款情况如下表： 2 3 表格中捐款2.

若设捐款2元的有x 名同学，捐款3元的有y 名同学，根据题意，可得方程组

A ．272366x y x y +=??+=?

B ．2723100x y x y +=??+=?

C ．273266x y x y +=??+=?

D ．2732100

x y x y +=??+=?

6. 某同学在A 、B 两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，

随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元. ① 求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？

② 某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A 所有商品打八折销售，超市B 全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？

分式方程及应用

（一）：【知识梳理】

1．分式方程:分母中含有 的方程叫做分式方程．

2．分式方程的解法：解分式方程的关键是 （即方程两边都乘以最简公分母）,将分式方程转化为整式方程；

3．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解

法解决问题。

（二）：【课前练习】

1. 把分式方程11122x x x

--=--的两边同时乘以(x-2), 约去分母，得（ ） A ．1-(1-x)=1 B ．1+(1-x)=1 C ．1-(1-x)=x-2 D ．1+(1-x)=x-2

2. 方程2321

x x -=+的根是（ ） A.－2 B.12 C.－2，12

D.－2，1 3. 当m =_____时，方程212mx m x +=-的根为12

4. 如果25452310

A B x x x x x -+=-+--，则 A=____ B ＝________. 5. 若方程

1322a x x x -=---有增根，则增根为_____，a=________.

6解下列分式方程：

25211111 332552323

x x x x x x x x x -+=+==+---++（）；（2）；（）； 2222213(1)1142312211x x x x x x x x x x x x -++????+=+=+-+= ? ?--++?

???（4）；（5）；（6）

7. 2004年12月28日，我国第一条城际铁路一合宁铁路（合肥至南京）正式开工建设．建成后，合肥至南京的铁路运行里程将由目前的312 km 缩短至154 km ，设计时速是现行时速的2．5倍，旅客列车运行时间将因此缩短约3．13小时，求合宁铁路的设计时速．

一元二次方程专题复习

1．灵活运用四种解法解一元二次方程：一元二次方程的一般形式:20(0)ax bx c a ++=≠ 四种解法：直接开平方法，配方法，公式法， 因式分解法，公式法：

12,x x = (24b ac -≥0) 注意：（1）一定要注意0a ≠，填空题和选择题中很多情况下是在此处设陷进；

（2）掌握一元二次方程求根公式的推导;

（3）主要数学方法有：配方法，换元法，“消元”与“降次”.

2．根的判别式及应用(2

4b ac ?=-)：

(1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况：

①当0?>时，方程有两个不相等的实数根；

②当0?=时，方程有两个相等的实数根；

③当0?<时，方程无实数根.

(2)判定一元二次方程根的情况；

(3)确定字母的值或取值范围。

3．根与系数的关系(韦达定理)的应用：

韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则12b x x a +=-，12c x x a

?= 注意：（1）222121212()2x x x x x x +=+-?

（2）22121212()()4x x x x x x -=+-?；

12x x -=

（3）①方程有两正根，则1212

000x x x x ?≥??+>???>?；

②方程有两负根，则1212

000x x x x ?≥??+? ；

③方程有一正一负两根，则12

00x x ?>???

0(1)(1)0x x ?>??--

4．用配方法解一元二次方程的配方步骤：

例：用配方法解24610x x -+=

第一步，将二次项系数化为1：231024x x -

+=，（两边同除以4） 第二步，移项： 23124

x x -=- 第三步，两边同加一次项系数的一半的平方：2223313()()2444x x -

+=-+ 第四步，完全平方：23

5()416

x -=

第五步，直接开平方：344x -=±，即:1344x =++,2344

x =-+ 【中考考点】①利用一元二次方程的意义解决问题；

②用整体思想对复杂的高次方程或分式方程进行变形（换元法）；

③考查配方法（主要结合函数的顶点式来研究）；

④一元二次方程的解法；

⑤一元二次方程根的近似值；

⑥建立一元二次方程模型解决问题；

⑦利用根的判别式求方程中字母系数的值和利用根与系数关系求代数式的

值；

⑧与一元二次方程相关的探索或说理题；

⑨与其他知识结合，综合解决问题。

一、填空题

1、关于x 的方程2(3)20m x x --=是一元二次方程，则m 的取值范围

是 ____ .

2、若(0)b b ≠是关于x 的方程220x cx b ++=的根，则2b c +的值为 ____ .

3、方程2310x x -+=的根的情况是_______________________________.

4、写出一个既能直接开方法解，又能用因式分解法解的一元二次方程是_______________.

5、在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为)(b a a b a -=*,根据这个规则，方程(2)50x +*=的解为_________________.

6、如果关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个实数根，则k 的取值范围是

_____________。

7、设12,x x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，则代数式

3322121212()()()0a x x b x x c x x +++++=的值为___________.

8、 a 是整数，已知关于x 的一元二次方程01)12(2

=-+-+a x a ax 只有整数根，则a =__________.

二、选择题

1、关于x 的方程220x kx k -+-=的根的情况是（ ）

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.无实数根

D.不能确定

2、已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、

3、方程23270x +=的解是（ ） A. B. C. D. 无实数根

4、若关于x 的一元二次方程22(4)60x kx x --+=没有实数根，那么k 的最小整数值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D.

5、如果a 是一元二次方程230x x m -+=的一个根，a -是一元二次方程230x x m +-=的

一个根，那么a 的值是（ ）

A 、1或2

B 、0或3-

C 、1-或2-

D 、0或3

6、设m 是方程250x x +=的较大的一根，n 是方程2320x x -+=的较小的一根，则m n +=（ ） A. B. C. 1 D. 2

三、解答题

2、已知方程222(9)(34)0x k x k k +-+++=有两个相等的实数根，求k 值，并求出方程的根。

3、已知,,a b c 是ABC ?的三条边长，且方程222

()210a b x cx +-+=有两个相等的实数根，试判断ABC ?的形状。

4、 已知关于x 的一元二次方程2223840x mx m m --+-=.

（1）求证：原方程恒有两个实数根;

（2）若方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求m 的取值范围.

一元二次方程的应用专项训练

解应用题步骤：①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤检验根是否符合实际情况；

⑥作答。

（一）传播问题

1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？

3.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？

（二）商品销售问题

售价—进价=利润一件商品的利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额

1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？

2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且ＲＰ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。

（１）当日产量为多少时每日获得的利润为１７５０元？

（２）若可获得的最大利润为１９５０元，问日产量应为多少？

3.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

4.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出２０件，每件盈利４０元。为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现，如果每件童装每降价４元，那么平均每天就可多售出８件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

（三）平均增长率问题

变化前数量×（1 x）n＝变化后数量

1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，求水稻每公顷产量的年平均增长率。

3.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为6

4.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

4.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？

（四）数字问题

1.两个数的和为8，积为9.75，求这两个数。

2.两个连续偶数的积是168,则求这两个偶数。

3.一个两位数，个位数字与十位数字之和为5，把个位数字与十位数字对调，所得的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数。

（五）面积问题

1.为了绿化学校，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多14米，面积是3200平方米则操场的长为米，宽为米。

2.若把一个正方形的一边增加2cm，另一边增加1cm，得到的矩形面积的2 倍比正方形的面积多11cm2，则原正方形的边长为 cm.

3.一张桌子的桌面长为6米，宽为4米，台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相同，求这块台布的长和宽。

留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去的小正方形的边长。