近世代数习题解答2

近世代数习题解答

第二章 群论

1 群论

1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?

证 不是一个群,因为不适合结合律.

2. 举一个有两个元的群的例子.

证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群.

3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件 '

'

5,4来作群的定义:

'4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立

'5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1-a 能让 e aa =-1

证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa =-1

得e a a =-1

因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'

1 所以))(()('

11

1

a a a a e a a ---=

e a a a e a a aa a ====----'

1'

1

'

1

1

][)]([ 即 e a a =-1

(2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea = a ae a a a a aa ea ====--)()(1

1

即 a ea =

这样就得到群的第二定义. (3) 证 b ax =可解 取b a x 1

-=

b be b aa b a a ===--)()(1

1

这就得到群的第一定义.

反过来有群的定义得到'

'

5,4是不困难的.

2 单位元,逆元,消去律

1. 若群G 的每一个元都适合方程e x =2

,那么G 就是交换群.

证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111

)(.

2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.

证 (1) 先证a 的阶是n 则1-a 的阶也是n .e e a a e a n n n ===?=---11

1)

()(

若有n m ? 使e a m

=-)(1 即 e a m =-1

)(因而 1-=e a m e a m =∴ 这与a 的阶

是n 矛盾.a 的阶等于1

-a 的阶 (2)

a 的阶大于2, 则1-≠a a 若 e a a a =?=-21 这与a 的阶大于2矛盾

(3) b a ≠ 则 11

--≠b a

总起来可知阶大于2的元a 与-a 双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一

定是偶数

3. 假定G 是个数一个阶是偶数的有限群,在G 里阶等于2的元的

个数一定是奇数.

证 根据上题知,有限群G 里的元大于2的个数是偶数;因此阶

2≤的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶 2≤的元的个数一定是奇数.

4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的.

证 G a ∈

故 G a a a a n

m

∈ ,,,,,,2

由于G 是有限群,所以这些元中至少有两个元相等: n

m

a a = )(n m ? 故 e a

m

n =-

m n -是整数,因而a 的阶不超过它.

4 群的同态

假定在两个群G 和-G 的一个同态映射之下,-→a a ，a 和-

a 的阶是不是一定相同? 证 不一定相同 例如 }2

3

1,231,1{i i G +-+-= }1{=-

G

对普通乘法-

G G ,都作成群,且1)(=x φ(这里x 是

G 的任意元,1是-

G 的元)

由 φ可知 G ∽-

G 但

2

31,231i i --+-的阶都是3. 而1的阶是1.

5 变换群

1. 假定τ是集合的一个非一一变换,τ会不会有一个左逆元1

-τ,使得εττ=-1

?

证 我们的回答是回有的},3,2,1{ =A

1τ: 1→1 2τ 1→1

2→1 2→3 3→2 3→4 4→3 4→5 … …

τ显然是一个非一一变换但 εττ=-1

2. 假定A 是所有实数作成的集合.证明.所有A 的可以写成b a b ax x ,,+→是有理

数,0≠a 形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群? 证 (1) :τ b ax x +→ :λ d cx x +→

:τλ d cb cax d b ax c x ++=++→)( d cb ca +,是有理数 0≠ca 是关闭的.

(2) 显然时候结合律 (3) 1=a 0=b 则 :ε x x →

(4)

:τ b ax +

)(1:1

a

b x a x -+→

-τ

而 εττ=-1

所以构成变换群.

又 1τ: 1+→x x :2τ x x 2→ :21ττ )1(2+→x x :12ττ 12+→x x 故1221ττττ≠因而不是交换群.

3. 假定S 是一个集合A 的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号τ:)('

a a a τ=→

来说明一个变换τ.证明,我们可以用21ττ: )()]([2121a a a ττττ=→来规定一个S 的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说ε还是S 的单位元. 证 :1τ )(1a a τ→ :2τ )(2a a τ→

那么:21ττ )()]([2121a a a ττττ=→

显然也是A 的一个变换. 现在证这个乘法适合结合律:

)]()[(:)(321321a a ττττττ→)]]([[321a τττ= =→)]([:)(321321a a ττττττ)]]([[321a τττ 故 )()(321321ττττττ= 再证ε还是S 的单位元 :ε )(a a a ε=→

:ετ )()]([a a a ττε=→τ

:τε )()]([a a a τετ=→ ∴ τεετ=

4． 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。 证 设ε是是变换群G 的单位元

G ∈τ ，G 是变换群，故τ是一一变换，因此对集合 A 的任意元a ，有A 的元b ， :τ )(b a b τ=→

))(()(a a τεε==a b b ==)()(τετ a a =)(ε 另证 )()(1

x x ττε-= 根据.7.1习题3知x x =-)(1ττ x x =∴)(ε

5. 证明实数域上一切有逆的n n ?矩阵乘法来说，作成一个群。

证 G ={实数域上一切有逆的n n ?矩阵}

G B A ∈, 则11--A B 是AB 的逆

从而 G B A ∈,

对矩阵乘法来说，G 当然适合结合律且E （n 阶的单位阵） 是G 的单位元。 故 G 作成群。

6 置换群

1. 找出所有3S 的不能和)(123

231交换的元.

证 3S 不能和)(123

231交换的元有 )(),(),(123

321123

213123

132 这是难验证的.

2. 把3S 的所有的元写成不相连的循环置换的乘积

解: 3S 的所有元用不相连的循环置换写出来是: (1), (12), (13), (23), (123), (132). 3. 证明:

(1) 两个不相连的循环置换可以交换 (2) )()

(111

21i i i i i i k k k --=

证(1) ))((121m k k i i i i i +=)(

11211132n m m k k n

m m k i i i i i i i i i i i i i ++++)(12121113221n

m m k k k n m k k k k i i i i i i i i i i i i i i i i +=++++++

=()(121211132132n

i

i i i

i

i i i i i i i i i i i n

m m k k k

m k k k +++++++ 又 m k k i i i 21(++))(21k i i i =)(12121113221n

m m k k k n m k k k k i i i i i i i i i i i i i i i i +++++++)(112111132n

m m k k

n m m k i

i

i i

i i i i i i i i i i ++++ =)(121211132132n

m m k k k

n

m k k k i

i i i i i i i i i i i i i i i +++++++,故))(())((211121k m k m k k i i i i i i i i i i ++= (2) )())((11121i i i i i i i k k k =- ,故)()(111

21i i i i i i k k k --=.

3. 证明一个K 一循环置换的阶是K.

证 设)()(211

3221k i

i i i i i k i i i ==π )(1232k i

i i i =π ………… )(11

11

k

k i i i i k -=-π

)()(111

i k k

i

i i i k == π

设k h ?, 那么 )()(111i k

h h i

i i i h ≠=+ π

５． 证明n S 的每一个元都可以写成)1(,),13(),12(n 这1-n 个２－循环置换 中的若干个乘积。

证 根据.6.2定理２。n S 的每一个元都可以写成若干不相干循环置换的乘积 而我们又能证明

)())(()(1312121k k i i i i i i i i i =

同时有)1)(1)(1()(111i i i i i l l =, 这样就得到所要证明的结论。

则)(11

32n

i i i i =π )(11

11

k

k i i i i -=-π

7 循环群 1． 证明 一个循环群一定是交换群。

证)(a G ∈ m

a ，G a n

∈ 则m n m n n

m n

m

a a a a a a ===++

2． 假设群的元a 的阶是n ，证明r

a 的阶是

d

n

这里),(n r d =是r 和n 的最大公因子

证 因为d n r =),( 所以,,11dn n dr r ==而 1),(11=n r

3.假设a 生成一个阶n 是的循环群G 。

证明r

a 也生成G ，假如1),(=n r (这就是说r 和n 互素)

证 a 生成一个阶n 是的循环群G ，可得生成元a 的阶是n ，这样利用上题即得所证， 或者，由于1),(=n r 有1=+tn sr

n r tn sr tn sr a a a a a )(===+ 即)(r a a ∈

故r

a a )()(=

4 假定G 是循环群，并且G 与-G 同态，证明-

G 也是循环群。

证 有2。4。定理1知G 也是群， 设 G 且-

=a a )(φ(φ是同态满射)

--∈G b 则存在G b ∈使-

=b b )(φ k

a b = 因而G ∽-

G

故k k

a a -=)(φ 即k

a b -=)(φ 因而k

a b --

= 即?=（?）

5．假设G 是无限阶的循环群，-G 是任何循环群，证明G 与-

G 同态。 证 ⅰ）设-

G 是无限阶的循环群，

)(a G = )(-

-

=a G 令τ

τ

φ-=a a )(

且)()()(ττ

τ

τ

φφφa a a a a

a a s s s s ===?--+-

所以G ∽-G

ⅱ）设)(--

=a G 而-

a 的阶是n 。 令ψ：1

1

k h a a

-→ 当且只当111k nq h +=,

n k ?≤10易 知ψ是G 到-

G 的一个满射 1

2

k h a a

-→ 222k nq h += n k ?≤20

设k nq k k +=+21则212121)(k k q q n h h ++=+k q q q n +++=)(21 那么 k h h a a

a -→21

2

12

1k k k k q

k q a a a

a

a --+-+--===

G ∴∽-

G

8 子群

1．找出S3的所有子群

证S3={)132(),123(),23(),13(),12(),1(}的子群一定包含单位元)1(。 ⅰ）S3本身及只有单位元)1(都是子群

ⅱ）包含)1(和一个2一循环的集合一定是子群因)1()(),())(1(2

==ij ij ij

2H ={)12(),1(}，3H ={)13(),1(}， 4H ={)23(),1(}亦为三个子群

ⅲ）包含)1(及两个3—循环置换的集合是一个子群

)()(2ijk ijk =， )1())((=ikj ijk 5H ={)132(),123(),1(}是子群，3S 有以上6个子群， 今证只有这6个子群，

ⅳ）包含)1(及两个或三个2—循环置换的集合不是子群因)())((ijk ik ij =不属于此集合 ⅴ)若一集合中3—循环置换只有一个出现一定不是子群 因)()(2

ikj ijk =

ⅵ)一个集合若出现两个3—循环置换及一个2—循环置换不是子群 因)())((ik ijk ij =

ⅶ）3—循环置换及2—循环置换都只有两个出现的集合不是子群 因若)(),(ik ij 出现 则)(0)((jk ijk ij = 故3S 有且只有6个子群。

2.证明；群G 的两个子群的交集也是G 的子群。

证21,H H 是G 的两个子群，21H H H =

H 显然非空 H b a ∈, 则1,H b a ∈ 同时2,H b a ∈

因2,1H H 是子群，故11

H ab ∈-，同时21

H ab ∈- 所以11

H ab ∈-H H =2 故H 是G 的子群

3．取3S 的子集)}123(),12{(=S ，S 生成的子群包含哪些个元？一个群的两个不同的子集不会生成相同的子群？

证 S ∈=)1()12(2 S ∈=)132()123(2 S ∈=)13()123)(12(

S ∈=)23()132)(12( 从而 3S S = 群的两个不同的子集会生成相同的子群

)}123{(1=S 1S 生成的子群为{)132(),123(),1(} )}132{(2=S 2S 生成的子群为{)132(),123(),1(}

4．证明，循环群的子群也是循环群。

证 G =（a ）是循环群，H 是G 的子群 设H a k

∈，而k h ??0时H a k

?。

任意H b ∈ 则G b ∈ 因而m

a b = r kq m += k r ?≤0

r kq r

kq m

a a a a ==+

因H a m

∈，q k kq

a a )(=所以)(k a H =是循环群.

5. 找出模12的剩余类加群的所有子群

证 剩余类加群是循环群故其子群是循环群.

G ={]11[,],1[],0[ }

(ⅰ) G ====])11([])7([])5([])1([ (ⅱ) ])0([1=H

(ⅲ)])10([])2([=即2H ]}10[],8[],6[],4[],2[],0{[= (ⅳ) [])9(])3([= 即3H ]}9][6[],3[],0{[= (ⅴ) ])8([])4([=即4H ]}8[],4[],0{[= (ⅵ) ([6]) 即5H ]}6[],0{[= 有且只有以上6个 子群.

6.假定H 是群G 的一个非空子集,并且H 的每一个元的阶都有限,证明,H 作成子群的充要条件:H b a ∈,推出H ab ∈ 证 必要性 显然

充分性H b a ∈,推出H ab ∈,(*)所以只证H a ∈推出即可.

H a ∈,a 的阶有限 设为m e a m = 即e aa m =-1

所以11

--=m a a

由(*) 可知H a

m ∈-1

,因而H a ∈-1

这样H 作成G 的子群.

9 子群的陪群

1. 证明阶是素数的群一定是循环群 证：设群G 的阶是素数P ,

则可找到G a ∈而e a ≠, 则a 的阶p , 根据.9.2定理3知p n , 但p 是素数,故,p n = 那么1

210,,-p a a a a 是G 的P 个不同元,所以恰是P 的不同元,故p n =.

2. 证明阶是m

p 的群(p 是素数)一定包含一个阶是p 的子群.

证：设阶是m

p 的群为G , m 是正整数, 可取G a ∈, 而e a ≠,

根据.9.2定理3, a 的阶是n

p 而m n ≤, 进一步可得1

-n p

a 的阶为p .

)(1

-=∴n p a H 是阶为p 的G 的子群.

3. 假定a 和b 是一个群G 的两个元,并且ba ab =,又假定a 的阶是m ，

b 的阶n 是并且1)(=mn .证明:ab 的阶是mn

证 e b a ab e b e a mn mn mn

n m ==∴==)(, .

设.)(e ab r

= 则1),(,)

(=?===n m mr n e b b a ab mr mr mr mr

故.r n 1),(,)

(=?==n m nr m e b a ab nr nr nr

故r m 又1),(=n m r mn ∴ 因此ab 的阶是mn .

4. 假定~是一个群G 的元间的一个等价关系,并且对于G 的任意三个元'

,,x x a 来

说,'

'~~x x ax ax ?证明与G 的单位元e 等价的元所作成的集合为H 证 由于~是等价关系,故有'

~e e 即H b a H e ∈∈,,.,则e b e a ~,~ 因而1

1

~,~--bb be aa ae 由题设可得1

1

~,~--b e a e 由对称律及推移律得11

~--a b

再由题设得e ab

~1

-

即 H ab ∈-1

这就证明了H 是G 的一个子群.

5. 我们直接下右陪集Ha 的定义如下:Ha 刚好包含G 的可以写成

ha )(H h ∈

G 的每一个元属于而且只属于一个右陪集

. 证 任取G a ∈则Ha ea a ∈=

这就是说,G 的每一个元的确属于一个右陪集 若Hb x Ha x ∈∈,则.,21b h x a h x == 则b h a h 21=,因而a h h b b h h a 11

221

1,--==

a h hh h

b b h hh ha 11

221

1,--==? Ha Hb Hb Ha ???,故Ha=Hb

这就证明了,G 的每一个元只属于一个右陪集.

6. 若我们把同构的群看成是一样的,一共只存在两个阶是4的群, 它们都是交换群.

证 设G 是阶为4的群.那么G 的元的阶只能是.4,2,1 1．若G 有一个元的阶为4,则G 为循环群;

2. 若G 有一个元的阶为2,则除单位元外,其他二元的阶亦均未2.

就同构的观点看阶为4的群,只有两个; 由下表看出这样的群的确

存在. 循环群

0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3

3 0 1 2

非循环群

循环群是交换群，由乘法表看出是交换群

10 不变子群、商群

1. 假定群G 的不变子群N 的阶是2,证明,G 的中心包含N .

证 设},{n e N =

N 是不变子群,对于任意G a ∈有

N ana ∈-1

若 e ana =-1

则a an = ， e n = 矛盾 n ana =-1

则na an = 即n 是中心元.

又 e 是中心元显然. 故G 的中心包含N .

2. 证明,两个不变子群的交集还是不变子群令

证 21N N N = ,则N 是G 的子群.

1N n N n ∈?∈及2N n ∈，N ana N ana N ana ∈?∈∈---12111,

故N 是不变子群.

3. 证明:指数是2的子群一定是不变子群.

证 设群H 的指数是2 则H 的右陪集为Ha He ,

e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c

c b a e

H 的左陪集为aH eH ,

eH He =

由 aH eH Ha He = 易知aH Ha = 因此不论x 是否属于H 均有xH Hx =

4. 假定H 是G 的子群,N 是G 的不变子群,证明HN 是G 的子群。 证 任取 HN n h HN n h ∈∈2211,

HN hn HN n n h h n n h h n h n h n h n h ∈∈===,)()()())((2121332122112211

N h Nh h n hn 11

111)(-----=∈=

.)('11HN n h hn ∈=--

至于HN 非空是显然的 !HN 是G 的子群.

5. 列举证明,G 的不变子群N 的不变子群1未必是G 的不变子群(取G=!) 证 取4S G =

()()()()()()(){}

()()(){}

2314,12314,2413,3412,11==N N

易知N 是G 的子群,1N 是N 的子群

我们说N

是G 的不变子群,这是因为 ())

(()()43214321'4'3

'2

'1

'4

'3'

2

'1'4'3'2'14321i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i =???? ?????? ??

此即说明.,,1N n G a N ana ∈∈∈-

因为N 是阶为4的群,所以为交换群,故其子群1N 是不变子群. 但1N 却不是G 的不变子群,原因是:

()()()[]()()()11

241334231434N -

-∈=

6. 一个群G 的可以写成ab b a 1

1--!形式的元叫做换位子.证明: i)所有的有限个换位子的乘积作成的集合C 是G 的一个不变子群; ii)G/C 是交换群;

iii)若N 是G 的一个不变子群,并且G/N 是交换群,那么C N ?

证 i)e 显然是有限个换位子的乘积; ee e e e 1

1--=故C e ∈

(有限个换位子的乘积) (有限个换位子的乘积)= 有限个换位子的乘积,故C 对G 的乘法是闭的. 由于(

)

ba a b ab

b a 111

1

1-----=1是换位子,故(有限个换位子的乘积)的逆仍为(有限个

换位子的乘积)即有,1

C c =-故C 是子群;

C g C c ∈∈,

由C gcg ∈-1

有(

)C c c

gcg ∈--1

1

即C gcg ∈-1 所以C 是不变子群.

(ii)x 、G y ∈ C c ∈

c xy y x =--11 就有yxc xy =

故yxC xy ∈ 1 因而yxC xyC =

即))(())((xC yC yC xC = 所以N G

是交换子群;

(iii)因G/N 是交换子群 就有 ))(())((xN yN yN xN =

N yx N xy )()(= yxN xy ∈ yxn xy = N n ∈

因此 N xy y x ∈--1

1

又由于N 是子群,所以N 包含有限个换位子的乘积, 即C N ?.

11 同态与不变子群

1． 我们看一个集合A 到集合-

A 的满射φ,证明,若S 是-

S 的逆象,-

S 一定是S 的象;但若

-S 的S 的象,S 不一定是-

S 的逆象.

证 ⅰ ) 在φ之下的象一定是-

S ;

若有S 的元s 在φ之下的象-

-?S s ,则s 有两个不同的象,故矛盾 又-

S 的逆象是S 两者合起来,即得所证

ⅱ)设 },6,5,4,3,2,1{=A }2,1{=-

A

:φ 11→ 22→ 33→

24→ 15→ 26→ 令}3,1{=S

在φ之下}1{=-

S 但-

S 的逆象是}5,3,1{

2. 假定群G 与群-G 同态,-N 是-

G 的一个不变子群,

N 是-

N 的逆象.证明:

证 设-

→x x :1φ是G 到-

G 的同态满射;

---→N x x :2φ是-

G 到-

-

N G

的同态满射.

规定:φ))(,)((2-

--

-

-

-==→N x x x x N x x φφ

则φ是G 到--

N

G 的同态满射.

事实上,))(,)((:21------==→N y y y y N y y φφφ

则-

-+=+=+y x y x y x )()()(111φφφ

-

--

--

-

-

-

+=+=+N y N x y x y x )()()(222φφφ 故-

--

-+→+N y N x y x :φ 这就是说,-

-N

G

G ~

现在证明同态满射φ的核是N

N x ∈ 则-

=x x )(1φ

由于N 是-

N 的逆象 故 -

=x x )(1φ 因而-

-

--

==N N x x )(2φ 另一方面,若 -

-∈N x 则N x ∈ (N 是-

N 的逆象)

根据1.2 1定理2. -

-

?N G N G

3． 假定G 和-

G 是两个有限循环群,它们的阶各是m 和n 证明G 与-

G 同态,当而且只当

m n 的时候

证 （ⅰ） N G

令N 为同态满射的核心,N G 的阶一定整除G 的阶 但-

?G N G

故 -

G 的阶一定整除G 的阶.即.m n （ⅱ）-

?G G m n ~.

设 )(),(-

-

==a G a G

令)0,(:n r r nq i a a r

i

?≤+=→-φ 在φ下 1r k

a a -→ )0,(111n r r nq i ?≤+= 2r k

a a -→ )0,(222n r r nq h ?≤+=

而 r nq r r +=+21 )0(n r ?≤ 2121)(r r q q n h k +++=+∴ r q q q n +++=)(21 r

q q q n h

k h k a

a

a a ++++==)(212

12

1r r r r r a a a

a --+--==→

即-G G ~

4． 假定G 是一个循环群,N 是G 的一个子群,.证明,N G 也是循环群. 证 设)(a G = G b ∈则m

a b = m

m

aN N a bN )(==

另证 G 是循环群,由.10.2习题1知:

G 是交换群,又由!.例3知N 是G 是一个不变子群,由这一节定理1得

N G G ~

再由.7.2习题4知N G 是循环群.