江西省赣州市十二县(市)重点中学2014届高三上学期期中考试数学(文)试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项 是符合题目要求的.

1.已知全集U =R ，集合{}

|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合)(B C A U 等于（ ） A ]3,1[- B {

}|34

x x x 或≤≥ C ．)1,2[--

D ． )4,2[-

2.若i b i i a -=-)2(，其中,a b R ∈，i 是虚数单位，则2

2

a b +=（ ） A ．0

B ．2

C ．

2

5

D ．5

3.设a ∈R ，则 “直线2

1y a x =+与直线1y x =-平行”是“1a =”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

件.

考点：1.直线平行的条件;2.充分必要条件

4.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q = （ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

5.已知函数3()sin 2()2f x x x π??

=+

∈ ??

?

R ，下面结论错误

．．的是（ ） A ．函数)(x f 的最小正周期为π B ．函数)(x f 是偶函数

C ．函数)(x f 的图象关于直线

4x π

=

对称 D ．函数)(x f 在区间0,2π????

??

上是增函数

6.设曲线2

1y x =+在点(),()x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以

为（ ）

7.若两个非零向量a ，b 满足||2||||a b a b a

=-=+，则向量a b + 与a 的夹角为（ ）

A ．6π

B ．3π

C ．32π

D ．65π

8.某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是 （ ）

（A ）B ）（C ）（D ）

9.设1F ,2F 分别为双曲线22

221x y a b

-=(0,0)a b >>的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点P ,

满足212PF F F =,且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为（ ） A.

35 B . 34 C.45

D. 2

5 【答案】A 【解析】

试题分析：由双曲线的定义得到12222PF PF a a c =+=+ ,在等腰12F F P ? 中

10.给出定义:若11

22

m x m -

<≤+ (其中m 为整数),则m 叫做离实数x 最近的整数,记作{}x ,即

{}x m =.在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题:

①()y f x =的定义域是R ,值域是11

(,]22

-

; ②点(,0)k 是()y f x =的图像的对称中心,其中k Z ∈; ③函数()y f x =的最小正周期为1; ④ 函数()y f x =在13

(,]22

-

上是增函数.则上述命题中真命题的序号是 （ ） A ．①④ B．①③ C ．②③ D．②④

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）

11.已知向量(1,)a m = ，(,2)b m =

, 若a //b , 则实数m 等于 .

【答案】 【解析】

试题分析：由向量平行的充要条件12210x y x y -= 得:120m m ?-?= 解得m = .

考点：向量平行的充要条件

12.在区间[]-33，

上随机取一个数x ，使得函数()1f x =有意义的概率

为 .

n 1

2

3

n 2(12)

22222(21)12

n

S -=++++==-- ,则n 2(21)254-=,可解得7n = ,可见

6n = 时循环, 7n =时出循环,所以循环条件为7<8n n ≤或 .

考点：1.算法流程图;2.等比数列求和

14.实数,x y 满足不等式组00220

y x y x y ≥?

?

-≥??--≥?

，则11y x -+的取值范围是

.

15.对实数a 和b ，定义运算“?”：a ?b ＝?

??

??

a ，a －

b ≤1，

b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)?(x －x 2

)，x ∈R ，

若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是

_________ .

三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16.为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所科研单位A、B、C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）：

（1）确定x与y的值；

（2）若从科研单位A、C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自科研单位A的概率.

17.已知函数()sin(2)sin(2)233

f x x x x m π

π

=+

+--，若()f x 的最大值为1 （1）求m 的值，并求)(x f 的单调递增区间;

（2）在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c ,若()1f B =b c =+，试判断

三角形的形状.

(2) 因为()1f B =

,则2sin(2)11,36

B B ππ

+-==

b c

=+ ,sin sin

A B C

=+

15

sin(A) 26

A

π

=+-

得:

1

sin(),

62

A

π

-=解得:A

3

π

∠= ,所以

2

C

π

= ,故ABC

?为直角三角形.

考点：1.三角式的化简;2.三角函数的图象和性质;3.解三角形

18.已知四棱锥E－ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，ABEC＝2，AE＝BE＝2，O为AB的中点． (1)求证：EO⊥平面ABCD；(2)求点D到平面AEC的距离．

19.已知等差数列{}n a 的公差d 大于0,且35,a a 是方程214450x x -+=的两根,数列{}n b 的前

n 项和为()1,2

n

n n b S S n N *-=

∈. (1)求数列{}{},n n a b 的通项公式;(2)记n n n c a b =?,求证:1n n c c +<; (3)求数列

{}n c 的前n 项和n T .

整理,得

1

1

3

n n

n

T

+

=-. ……………………12分

考点：1.等比数列的通项;2.等差数列的通项;3.错位相减求和

20.已知抛物线2

1:8C y x =与双曲线22

222:1(0,0)x y C a b a b

-=>>有公共焦点2F ，点A 是曲线

12,C C 在第一象限的交点，且25AF =．

（1）求双曲线2C 的方程； （2）以双曲线

2

C 的另一焦点

1

F 为圆心的圆M

与直线y =相切，圆N ：22

(2)1x y -+=．过

点P 作互相垂直且分别与圆M 、圆N 相交的直线1l 和2l ，设1l 被圆M 截得的弦长为s ，2

l

被圆N 截得的弦长为t ，问：s

t 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

∴1||7AF =

=， ………………………………………4分

又∵点A 在双曲线2C 上，由双曲线定义得：

2|75|2a =-=，∴1a =， ∴双曲线2C 的方程为：2

2

13

y x -=． …………………6分

（2）

s

t

为定值．下面给出说明． 设圆M 的方程为：222(2)x y r ++=， ∵圆M

与直线y =相切，

∴圆M

的半径为r =

=，故圆M ：22(2)3x y ++=． ……………7分

显然当直线1l 的斜率不存在时不符合题意， ………………………………………………8分 设1l

的方程为(1)y k x =-

，即0kx y k -+=， 设2l

的方程为1

(1)y x k

-=-

-

，即10x ky +-=， ∴点1F 到直线1l

的距离为1d =

，

点2F 到直线2l

的距离为2d =

………………………………………………10分

∴直线1l 被圆M

截得的弦长s ==11分 直线2l 被圆N

截得的弦长t ==， ………………12分

∴

s

t

===， 故s

t

． ………………13分

考点：1.双曲线方程;2.直线与圆的位置关系

21.已知函数()ln f x x =，2()()(0,)g x a x x a a R =-≠∈，()()()h x f x g x =-. （1）若1a =，求函数()h x 的极值；

（2）若函数()y h x =在[1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围；

（3）在函数()y f x =的图象上是否存在不同的两点1122(,),(,)

A x y

B x y ，使线段AB 的中点的横

坐标

x 与直线AB 的斜率k 之间满足

0()

k f x '=？若存在，求出

x ；若不存在，请说明理由.

1x =时，()h x 取得极大值(1)0h =，无极小值. ……………………………4分