专题02 常用逻辑用语(学生)

《2018艺体生文化课》

专题二 常用逻辑用语

命题及其关系

【背一背基础知识】

一．命题的概念

在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 二．四种命题及其关系 1．四种命题

即：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；

如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；

如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题. 2．四种命题间的逆否关系

3．四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

【讲一讲基本技能】

必备技能：

1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为： （1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题； （2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；

（3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题. 注意：在写其他三种命题时，大前提必须放在前面.

2.正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．

3. 判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假．

4. 否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法． 典型例题

例1下列命题正确的个数是（ ）

①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >,则A B >”的逆命题是真命题；②命题:2p x ≠或3y ≠，命题:5q x y +≠则p 是q 的必要不充分条件；③“32,10x R x x ?∈-+≤”的否定是

“32,10x R x x ?∈-+>”；④ 若||||a b >，则a b >的逆否命题为真命题；⑤回归分析中，回归方程可以是非线性方程.

A.1

B.2

C.3

D.4

【练一练趁热打铁】

1. 下列有关命题的说法正确的是（ ）

A ．命题“若24x =，则2x =”的否命题为“若2

4x =，则2x ≠”

B ．命题“2,210x R x x ?∈+-<”的否定是“2,210x R x x ?∈+->”

C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为假命题

D ．若“p 或q ”为真命题，则,p q 至少有一个为真命题

2. 设m R ∈,命题“若0m >,则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是( )

（A ）若方程2

0x x m +-=有实根，则0m > (B) 若方程20x x m +-=有实根，则0m ≤ (C) 若方程20x x m +-=没有实根，则0m > (D) 若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤

充分条件和必要条件

【背一背基础知识】

１．一般地，如果已知p ?q ，那么就说：p 是q 的充分条件；q 是p 的必要条件.

可分为四类：（1）充分不必要条件，即p ?q,而q ?p ；(2)必要不充分条件，即p ?q,而q ?p ；(3)既充分又必要条件，即p ?q ，又有q ?p ；(4)既不充分也不必要条件，即p ?q ，又有q ?p. ２．一般地，如果既有p ?q ，又有q ?p ，就记作：p ?q.“?”叫做等价符号.p ?q 表示p ?q 且q ?p.

这时p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，则p 是q 的充分必要条件，简称充要条件. 一个等价关系：互为逆否命题的两个命题的真假性相同，对于一些难于判断的命题可转化为其等价命题来判断.

【讲一讲基本技能】

充要关系的几种判断方法：

(1)定义法：若 错误！未找到引用源。 ，则错误！未找到引用源。是错误！未找到引用源。的充分而不必要条件；若错误！未找到引用源。 ，则错误！未找到引用源。是错误！未找到引用源。的必要而不充分条件；若错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。是错误！未找到引用源。的充要条件； 若错误！未找到引用源。 ，则错误！未找到引用源。是错误！未找到引用源。的既不充分也不必要条件.

(2)等价法：即利用p q ?与q p ???；q p ?与p q ???；p q ?与q p ???的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．

(3) 充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p 的集合为M ，满足命题q 的集合为N ，则M 是N 的真子集等价于p 是q 的充分不必要条件，N 是M 的真子集等价于p 是q 的必要不充分条件，

M ＝N 等价于p 和q 互为充要条件，M ，N 不存在相互包含关系等价于p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件

【特别提醒】1.充分条件与必要条件的两个特征

(1)对称性：若p 是q 的充分条件，则q 是p 的必要条件，即“p ?q ”?“q ?p ”；

(2)传递性：若p 是q 的充分(必要)条件，q 是r 的充分(必要)条件，则p 是r 的充分(必要)条件．

注意区分“p 是q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是q ”两者的不同，前者是“,p q q p ?≠>”而后者是“,p q q p ≠>?”．

2．从逆否命题谈等价转换：由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”． 3．充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．

2.典型例题

例1设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n ?1+a 2n <0”的（ ）

（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 例2设:12,:21x

p x q <<>，则p 是q 成立的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件

【练一练 趁热打铁】

1. 设b a →

→,为向量.则""b a b a →

→→→=?是b a →

→∥的（ ）

A .充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也必要条件 2. 已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ） （A ）充分不必要条件 （

B ）必要不充分条件 （

C ）充要条件

（D ）既不充分也不必要条件

逻辑联结词

【背一背基础知识】

1．用联结词“且”联结命题p 和命题q ，记作p q ∧，读作“p 且q ”． 2．用联结词“或”联结命题p 和命题q ，记作p q ∨，读作“p 或q ”．

3．对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作?p ，读作“非p ”或“p 的否定”． 4．命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断

【讲一讲基本技能】

1．逻辑联结词与集合的关系：“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．

2．“p ∨q ”“p ∧q ”“?p ”形式命题真假的判断步骤： （1）确定命题的构成形式；

（2）判断其中命题p 、q 的真假；

（3）确定“p ∧q ”“p ∨q ”“?p ”形式命题的真假． 3．含逻辑联结词命题真假的等价关系

（1）p ∨q 真?p ,q 至少一个真?(?p )∧(?q )假. （2）p ∨q 假?p ,q 均假?(?p )∧(?q )真. （3）p ∧q 真?p ,q 均真?(?p )∨(?q )假. （4）p ∧q 假?p ,q 至少一个假?(?p )∨(?q )真. （5）?p 真?p 假; ?p 假?p 真.

4．命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断规律： p ∧q 中p 、q 有一假为假，p ∨q 有一真为真，p 与非p 必定是一真一假． 典型例题 例1已知命题：

p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数， p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，

则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(

p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(p 2)中，真命题是( )

A ．q 1，q 3

B ．q 2，q 3

C ．q 1，q 4

D ．q 2，q 4

例2已知命题:p x R ?∈，2lg x x ->，命题:q x R ?∈，sin x x <，则 （ ）

A.命题p q ∨是假命题

B.命题p q ∧是真命题

C.命题()p q ?

∧是真命题 D.命题()p q ?

∨是假命题

【练一练 趁热打铁】

1. 已知函数()25x

f x =-，2

()4g x x x =-，给出下列3个命题：

1p ：若x R ∈，则()()f x f x -的最大值为16．

2p :不等式()()f x g x <的解集为集合{}|13x x -<<的真子集．

3p :当0a >时，若1x ?，2x [],2a a ∈+，12()()f x g x ≥恒成立，则3a ≥．

那么，这3个命题中所有的真命题是（ ）

A ．1p 、2p 、3p

B ．2p 、3p

C ．1p 、2p

D ．1p

2. “p 或q ”为真命题是“p 且q ”为真命题的________条件．

全称量词和存在量词

【背一背基础知识】

1．全称量词与全称命题

（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示． （2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．

（3）全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”可用符号简记为,()x M p x ?∈，读作“对任意x 属于M ，有()p x 成立”． 2．存在量词与特称命题

（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示． （2）含有存在量词的命题，叫做特称命题．

（3）特称命题“存在M 中的一个0x ，使0()p x 成立”可用符号简记为00,()x M p x ?∈，读作“存在M 中的元素0x ，使0()p x 成立”．

3．全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． 4．“

p 或q ”的否定为：“非p 且非q ”；“p 且q ”的否定为：“非p 或非q ”．

5．含有一个量词的命题的否定

【讲一讲基本技能】

1．全称命题真假的判断方法

（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立； （2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个特殊值x ＝x 0，使p (x 0)不成立即可．

2．特称命题真假的判断方法

要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．

3. 不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.

4. 全称命题与特称命题真假的判断方法汇总

定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非

p ”

，只是否定命题p 的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．

6．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．

7．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．

8．要判断“?p ”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p ”的真假，p 与?p 的真假相反． 9．常见词语的否定形式有：

2.典型例题

例1设命题p ：2

,2n

n N n ?∈>，则p ?为（ ） A.

2,2n n N n ?∈> B.2,2n n N n ?∈≤

C.2

,2n

n N n ?∈≤ D.2

,=2n

n N n ?∈ 例2若“0,,tan 4x x m π??

?∈≤????

”是真命题，则实数m 的最小值为 .

【练一练 趁热打铁】

1. 下列命题中是假命题的是（ ） A ．(0,

),>2

x x sin x π

?∈ B ．000,+=2x R sin x cos x ?∈

C ．,3>0x

x R ?∈ D ．00,=0x R lg x ?∈

2. 命题“*x n ?∈?∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ）

A ．*x n ?∈?∈，R N ，使得2n x <

B ．*x n ?∈?∈，R N ，使得2n x <

C ．*

x n ?∈?∈，R N ，使得2

n x < D ．*

x n ?∈?∈，R N ，使得2

n x <

（一） 选择题（12*5=60分）

1. “1x >”是“12

log (2)0x +<”的（ ）

A ．充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2. 设R a ∈，则“1>a ”是“12

>a ”的（ ）

（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件

3. 命题“存在x R ∈，32

10x x -+>”的否定是（ ）

A ．不存在x R ∈，3210x x -+≤

B ．存在x R ∈，32

10x x -+≤

C ．对任意的x R ∈，3210x x -+≤

D ．对任意的x R ∈，32

10x x -+>

4. 下列四个命题，其中为真命题的是( )

A ．命题“若24x =，则2x =或2x =-”的逆否命题是“若2x ≠或2x ≠-，则2

4x ≠”

B ．若命题:p 所有幂函数的图像不过第四象限，命题:q 所有抛物线的离心率为1，则命题“p 且q ”为真

C ．若命题:p 2,230,x R x x ?∈-+>则2

000:,230p x R x x ??∈-+<

D ．若a b >，则()

*

n n a b n N >∈

5. 已知命题:p x R ?∈，23x x <；命题:q x R ?∈，32

1x x =-，则下列命题中为真命题的是（ ）

A.p q ∧

B.p q ?∧

C.p q ?∧

D.p q ??∧ 6. 设p ：x <3，q ：-1，则p ?为( )

（A ）2,2n n N n ?∈> （B ）2,2n n N n ?∈≤ （C ）2,2n n N n ?∈≤ （D ）2,=2n n N n ?∈

8. 命题R ,:∈?βαp ，使βαβαsin cos )cos(+=+；命题:q 直线01=++y x 与圆

2)1(22=-+y x 相切.则下列命题中真命题为（ ）

A. q p ∧

B.)(q p ?∧

C. )()(q p ?∧?

D. q p ∧?)( 9. 设1z 、C ∈2z ，则“1z 、2z 均为实数”是“21z z -是实数”的（ ）. A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件

10.已知命题p ：关于x 的函数2

34y =x ax -+在[1,)+∞上是增函数，命题q ：函数(21)x y =a -

为减函数，若

p q ∧为真命题，则实数a 的取值范围是

( ) A ．23a ≤

B. 120a << C ．1223a <≤ D. 1

12

a << 11.已知命题p ：2

,10x R mx

?∈+≤，命题q ：2,10x R x mx ?∈++>.若p ∨q 为假命题，

则实数m 的取值范围为( )

A ．m ≥2

B ．m ≤－2

C ．m ≤－2或m ≥2

D ．－2≤m ≤2 12.已知,x y R ∈,则“()()2

2

120x y -+-=”是“()()120x y --=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分又不必要条件

填空题（4*5=20分）

13.已知命题

p :“[0,1],x x a e ?∈≥”,命题q ：

“2

,40

x Rx x a ?∈-+≤”,若命题

p q ∧为

真命题,则实数a 的取值范围是 .

14.若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是{x |x >－b

a

}，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集是{x |a

15.已知命题:p 函数(1)1y c x =-+在R 上单调递增;命题:q 不等式2

0x x c -+≤的解集是?.若p 且q 为真命题,则实数c 的取值范围是______.

16. 在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为 . ①函数3231y x x =-+的图象关于点()0,1成中心对称； ②对,,x y R ?∈若0x y +≠，则1,1x y ≠≠-或；

③若实数,x y 满足22

1,x y +=则

2y x +； ④若ABC ?为钝角三角形，则sin cos .A B <