二次函数解析式的求法专题汇编

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二次函数的解析式的求法是初中数学函数教学的难点,学生不易掌握.其解题的基本思想方法是待定系数法,根据题目给出的具体条件,设出不同形式的解析式,找出满足解析式的点,求出相应的系数.下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下,供师生参考。

一、定义型:

此类题目是根据二次函数的定义来解题,必须满足二个条件:1、a ≠0;2、x 的最高次数为2次.

例1、若2221()m

m y m m x --=+是二次函数,则m = .

二、开放型:

此类题目只给出一个条件或二个条件,只需写出满足此条件的解析式,所以答案并不唯一. 例2、(1)经过点A (0,3)的抛物线的解析式是 .

(2)经过点A (0,3)且对称轴为直线1x =的抛物线的解析式是 .

三、平移型:

将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线.要解此类题目,应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2 + k ,当图像向左(右)平移n 个单位时,就在x – h 上加上(减去)n ;当图像向上(下)平移m 个单位时,就在k 上加上(减去)m .其平移的规律是:h 值正、负,右、左移;k 值正负,上下移.由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变,所以a 的值不变.

例3、把抛物线2

241y x x =-++的图象向左平移2个单位,再向上平移3个单位,所得的抛物线的函数关系式是( )

A. 22(1)6y x =--+;

B. 22(1)6y x =---;

C. 22(1)6y x =-++;

D. 22(1)6y x =-+-。

注:这三类题目多出现在选择题或填空题目中。

四、一般式:

当题目给出函数图像上的三个点时,设为一般式2

y ax bx c =++,转化成一个三元一次方程组,以求得a ,b ,c 的值;

例4、图像经过(1,-4),(-1,0),(-2,5),求二次函数的解析式:

五、顶点式:

若已知抛物线的顶点或对称轴、极值,则设为顶点式()k h x a y +-=2.若顶点坐标为( h ,k ),对称轴方程x = h ,极值为当x = h 时,y 极值=k 来求出相应的系数;

例5、图象顶点是(-2,3),且过(-1,5),求二次函数的解析式。

六、交点式(或两根式):

已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ,,,

,设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=,根据题目条件求出a 的值.

例6、图像与x 轴交于(-2,0),(4,0)两点,且过(1,-

2

9),求二次函数的解析式。

注:这三类题目多出现在基础解答题中。

七、翻折型(对称性):

已知一个二次函数2y ax bx c =++,要求其图象①关于x 轴对称(也可以说沿x 轴翻折);②关于y 轴对称(也可以说沿y 轴翻折);③经过其顶点且平行于x 轴的直线对称(也可以说抛物线图象绕顶点旋转180°)。求函数解析式时,先把原函数的解析式化成y = a ( x – h )2 + k 的形式.

(1)关于x 轴对称的两个图象的顶点关于x 轴对称,两个图象的开口方向相反,即a 互为相反数.

(2)关于y 轴对称的两个图象的顶点关于y 轴对称,两个图象的形状大小不变,即a 相同.

(3)关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变,开口方向相反,即a 互为相反数.

例7、已知二次函数2

365y x x =-+,求满足下列条件的二次函数的解析式:(1)图象关于x 轴对称;(2)图象关于y 轴对称;(3)图象关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称.

八、数形结合:

数形结合式的二次函数的解析式求法,此种情况是融代数与几何为一体,把代数问题转化为几何问题,充分运用三角函数、解直角三角形等来解决问题,只要充分运用有关几何知识求出解析式中的待定系数,以达到目的.

例8、巳知二次函数y=a (x 2﹣6x+8)(a >0)的图象与x 轴分别交于点A 、B ,与y 轴交于点C .点D 是抛物线的顶点.如图.连接AC ,将△OAC 沿直线AC 翻折,若点O 的对应点0'恰好落在该抛物线的对称轴上,求抛物线的解析式。 题图

解答图

注:这两类题目多出现在压轴题目中。数学学习的过程需要学生在老师的指导下及时

对所学知识进行归纳总结,所以老师要在学生数学学习过程中关注学生的数学学习方法,在必要时将课程标准所要求的知识内容系统化、条理化,这样才能使学生的数学学习达到事半功倍的效果。

练习:

1.(2015?四川成都,第9题)将抛物线y=x2向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的函数表达式为()

A.y=(x+2)2﹣3 B.y=(x+2)2+3 C.y=(x﹣2)2+3 D.y=(x﹣2)2﹣3 2. (2015?东营,第25题)如图,抛物线经过A(﹣2,0),B(﹣,0),C(0,2)三点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)在直线AC下方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求点D的坐标;

(第2题)(第3题)3. (2015?云南)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,直线y=kx+n(k≠0)经过B,C两点,已知A(1,0),C(0,3),且BC=5.求直线BC和抛物线的解析式(关系式);

4.(2015?四川巴中)如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx﹣4(a≠0)的图象与x轴交于A(﹣2,0)、B(8,0)两点,与y轴交于点B,其对称轴与x轴交于点D.求该二次函数的解析式;

(第4题)(第5题)

5.★★★(2015?山东泰安,第29题12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c为x轴的一交点为A (﹣6,0),与y轴的交点为C(0,3),且经过点G(﹣2,3).

(1)求抛物线的表达式;

(2)点P是线段OA上一动点,过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q,设△CPQ的面积为S,求S的最大值;

(3)若点B是抛物线与x轴的另一定点,点D、M在线段AB上,点N在线段AC上,∠DCB=∠CDB,CD是MN的垂直平分线,求点M的坐标.

九年级数学_二次函数几种解析式的求法

二次函数的解析式求法 求二次函数的解析式这类题涉及面广,灵活性大,技巧性强,笔者结合近几年来的中考 试题,总结出几种解析式的求法,供同学们学习时参考。 一、 三点型 例1 已知一个二次函数图象经过(-1,10)、(2,7)和(1,4)三点,那么这个函 数的解析式是_______。 分析 已知二次函数图象上的三个点,可设其解析式为y=ax 2 +bx+c,将三个点的坐标代入,易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x 2 -3x+5. 这种方法是将坐标代入y=ax 2 +bx+c 后,把问题归结为解一个三元一次方程组,求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2 +bx+c. 二、交点型 例2 已知抛物线y=-2x 2 +8x-9的顶点为A ,若二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像经过A 点,且与x 轴交于B (0,0)、C (3,0)两点,试求这个二次函数的解析式。 分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标,可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2 +8x-9 的顶点A (2,-1)。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y=x x 23 2 12 . 三、顶点型 例 3 已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k),故解析式为y=a(x-m)2 +k.在本题中可设y=a(x+1)2 +4. 再将点(1,2)代入求得a=-21

∴y=-, 4)1(21 2++x 即y=-.27 2 12+ -x x 由于题中只有一个待定的系数a ,将已知点代入即可求出,进而得到要求的解析式。 四、平移型 例 4 二次函数y=x 2 +bx+c 的图象向左平移两个单位,再向上平移3个单位得二次函 数 ,122 +-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18. 分析 逆用平移分式,将函数y=x 2 -2x+1的顶点(1,0)先向下平移3个单位,再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为(3,-3)。 ∴y=x 3)3(2 2--=++x c bx =x .662 +-x ∴b=-6,c=6. 因此选(B ) 五、弦比型 例 5 已知二次函y=ax 2 +bx+c 为x=2时有最大值2,其图象在X 轴上截得的线段长为2,求这个二次函数的解析式。 分析 弦长型的问题有两种思路,一是利用对称性求出交点坐标,二是用弦比公式d= a ? 就本题而言,可由对称性求得两交点坐标为A (1,0),B (3,0)。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x 2 +8x-6. 六、识图型 例 6 如图1, 抛物线y=c x b x +++)2(212与y=d x b x +-+)2(212 其中一条的顶点为P ,

求二次函数解析式的四种方法详解

求二次函数解析式的四种基本方法 二次函数是初中数学的一个重要内容,也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。 二次函数的解析式有三种基本形式: 1、一般式:y=ax 2 +bx+c (a ≠0)。 2、顶点式:y=a(x -h)2+k (a ≠0),其中点(h,k)为顶点,对称轴为x=h 。 3、交点式:y=a(x -x 1)(x -x 2) (a ≠0),其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。 4.对称点式: y=a(x -x 1)(x -x 2)+m (a ≠0) 求二次函数的解析式一般用待定系数法,但要根据不同条件,设出恰当的解析式: 1、若给出抛物线上任意三点,通常可设一般式。 2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值,通常可设顶点式。 3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离,通常可设交点式。 4.若已知二次函数图象上的两个对称点(x 1、m)(x 2、m),则设成: y=a(x -x 1)(x -x 2)+m (a ≠0),再将另一个坐标代入式子中,求出a 的值,再化成一般形式即可。 探究问题,典例指津: 例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(.求这个二次函数的解析式. 分析:由于题目给出的是抛物线上任意三点,可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。 解:设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0) 依题意得:?????=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得:?? ???-===432c b a ∴这个二次函数的解析式为y=2x 2 +3x -4。 例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-,与y 轴交于点)3,0(,求这条抛物线的解析式。 分析:此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-,最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2,重新设顶点式y=a(x -h)2+k (a ≠0),其中点(h,k)为顶点。 解:依题意,设这个二次函数的解析式为y=a(x -4)2 -1 (a ≠0) 又抛物线与y 轴交于点)3,0(。

二次函数几种解析式的求法

二次函数的解析式求法 求二次函数的解析式这类题涉及面广,灵活性大,技巧性强,笔者结合近几年来的中考 试题,总结出几种解析式的求法,供同学们学习时参考。 一、 三点型 例1 已知一个二次函数图象经过(-1,10)、(2,7)和(1,4)三点,那么这个函 数的解析式是_______。 分析 已知二次函数图象上的三个点,可设其解析式为y=ax 2 +bx+c,将三个点的坐标代入,易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x 2 -3x+5. 这种方法是将坐标代入y=ax 2 +bx+c 后,把问题归结为解一个三元一次方程组,求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2 +bx+c. 二、交点型 例2 已知抛物线y=-2x 2 +8x-9的顶点为A ,若二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像经过A 点,且与x 轴交于B (0,0)、C (3,0)两点,试求这个二次函数的解析式。 分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标,可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2 +8x-9 的顶点A (2,-1)。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y= x x 23 212 . 三、顶点型 例 3 已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k),故解析式为y=a(x-m)2 +k.在本题中可设y=a(x+1)2 +4.

再将点(1,2)代入求得a=-21 ∴y=-, 4)1(21 2++x 即y=-.27 2 12+ -x x 由于题中只有一个待定的系数a ,将已知点代入即可求出,进而得到要求的解析式。 四、平移型 例 4 二次函数y=x 2 +bx+c 的图象向左平移两个单位,再向上平移3个单位得二次函 数 ,122 +-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18. 分析 逆用平移分式,将函数y=x 2 -2x+1的顶点(1,0)先向下平移3个单位,再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为(3,-3)。 ∴y=x 3)3(2 2 --=++x c bx =x .662 +-x ∴b=-6,c=6. 因此选(B ) 五、弦比型 例 5 已知二次函y=ax 2 +bx+c 为x=2时有最大值2,其图象在X 轴上截得的线段长为2,求这个二次函数的解析式。 分析 弦长型的问题有两种思路,一是利用对称性求出交点坐标,二是用弦比公式d= a ? 就本题而言,可由对称性求得两交点坐标为A (1,0),B (3,0)。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x 2 +8x-6. 六、识图型

(完整版)求二次函数的解析式--专题练习题-含答案

求二次函数的解析式 专题练习题 姓名: 班级: 1.如图,在平面直角坐标系xOy 中,正方形OABC 的边长为2,点A ,C 分别在 y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上,抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A ,B 和 D(4,-),求抛物线的解析式. 23 2.如图,二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A ,B 两点,其中点 A(-1,0),点C(0,5),D(1,8)都在抛物线上,M 为抛物线的顶点. (1)求抛物线的函数解析式; (2)求直线CM 的解析式; (3)求△MCB 的面积. 3.已知一个二次函数,当x =1时,y 有最大值8,其图象的形状、开口方向与 抛物线y =-2x 2相同,则这个二次函数的解析式是( ) A .y =-2x 2-x +3 B .y =-2x 2+4 C .y =-2x 2+4x +8 D .y =-2x 2+4x +6 4.已知某二次函数的最大值为2,图象的顶点在直线y =x +1上,并且图象经 过点(2,1),求二次函数的解析式. 5.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的x 与y 的部分对应值如下表: x … -4 -3 -2 -1 0 …

y …-5 0 3 4 3 … (1)求此二次函数的解析式; (2)画出此函数图象; (3)结合函数图象,当-4<x≤1时,写出y的取值范围. 6.已知一个二次函数的图象经过点A(-1,0),B(3,0)和C(0,-3)三点; (1)求此二次函数的解析式; (2)对于实数m,点M(m,-5)是否在这个二次函数的图象上?说明理由.7.已知抛物线在x轴上截得的线段长是4,对称轴是x=-1,且过点 (-2,-6),求该抛物线的解析式. 8.已知y=x2+bx+c的图象向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的图象对应的函数解析式为y=x2-2x-3. (1)b=____,c=____; (2)求原函数图象的顶点坐标; (3)求两个图象顶点之间的距离. 9.如图,已知抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为直线x=1,且与x轴的一个交点为(3,0),那么它对应的函数解析式.

专题用待定系数法求二次函数的解析式

精心整理 精心整理 专题1-用待定系数法求二次函数的解析式 二次函数的解析式常见的三种表达形式: 一般式:y =ax 2+bx +c (a ≠0) 顶点式:y=a(x -h)2+k (a ≠0,(h ,k )是抛物线的顶点坐标) 交点式:y=a(x -x 1)(x -x 2)(a ≠0,x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标) 例1.如果二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的顶点坐标为(-2,4),且经过原点,求二次函数解析式. 求二次4例2x=-1x=-11. 2.3.4.二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=3,最小值为-2,,且过(0,1),求此函数的解析式。 5.已知二次函数的图象与x 轴的交点为(-5,0),(2,0),且图象经过(3,-4),求解析式 6.抛物线的顶点为(-1,-8),它与x 轴的两个交点间的距离为4,求此抛物线的解析式。 7.二次函数的图象与x 轴两交点之间的距离是2,且过(2,1)、(-1,-8)两点,求此二次函数的解析式。 8.把二次函数25 3212++=x x y 的图象向右平移2个单位,再向上平移3个单位,求所得二次函数的

精心整理 精心整理 解析式。 9.二次函数y=ax 2+bx+c ,当x <6时y 随x 的增大而减小,x >6时y 随x 的增大而增大,其最小值为-12,其图象与x 轴的交点的横坐标是8,求此函数的解析式。 10.已知一个二次函数的图象过(1,5)、(1,1--)、(2,11)三点,求这个二次函数的解析式。 11.已知二次函数图象的顶点为(2,k ),在一次函数y=x+1上,并且点(1,1)在图像上,求此二次函数解析式 12.已知二次函数y=ax 2-2ax+c(a 不为0)的图像与x 轴交于A 、B 两点,A 左B 右,与y 轴正半轴交于点C ,AB=4,OA=OC,求二次函数的解析式 13. 2且x 114.3,0), (1Q 点坐15(1(2)

二次函数解析式的几种求法

二次函数解析式的几种求法 初三《数学》“函数及其图象”的难点是二次函数,其重点是求函数的解析式。近几年全国各省市初中毕业会考、中考等,大都有求函数解析式这类题目出现。为使学生更好地掌握这部分知识,就如何求二次函数解析式的问题,谈谈下面几种方法。 一、 已知三点求二次函数的解析式 当已知二次函数的图象经过三已知点时,通常把这三点的坐标 代入一般式c bx ax y ++=2中,可得以a 、b 、c 为未知数的三元方程组,解此方程组求得a 、b 、c 的值再代入一般式可得所求函数解析式。 例1、已知二次函数的图象经过点A )2 3,2(-、B )6,7(、C )30,5(-,求这个二次函数的解析式。 解:设这个二次函数的解析式为c ba ax y ++=2,则由题意得: ???????=+-=++-=++3052567492324c b a c b a c b a 解这个方程组,得21=a ,3-=b ,25=c . 故所求的二次函数的解析式为2 53212+-=x x y . 二、已知顶点坐标、对称轴、或极值求二次函数的解析式 当已知顶点坐标、对称轴、或极值时,可设其解析式为n m x a y +-=2)((即顶点式)较为简便。 例2、已知二次函数图象的顶点为(2,5),且与y 轴的交点的 纵坐标为13,求这个二次函数的解析式。 解:设这个二次函数的解析式为5)2(2+-=x a y . ∵它与y 轴的交点为(0,13), ∴135)20(2=+-a , ∴2=a 故 所求的解析式为5)2(22+-=x y . 即 13822+-=x x y 例3、已知二次函数的图象过点(-1,2),对称轴为1=x 且最小值为-2,求这个函数的解析式。 解:由题设知抛物线的顶点为(1,-2),因此,设所求二次函

九年级数学二次函数几种解析式的求法素材

二次函数的解析式求法 求二次函数的解析式这类题涉及面广,灵活性大,技巧性强,笔者结合近几年来的中考 试题,总结出几种解析式的求法,供同学们学习时参考。 一、 三点型 例1 已知一个二次函数图象经过(-1,10)、(2,7)和(1,4)三点,那么这个函 数的解析式是_______。 分析 已知二次函数图象上的三个点,可设其解析式为y=ax 2 +bx+c,将三个点的坐标代 入,易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x 2-3x+5. 这种方法是将坐标代入y=ax 2+bx+c 后,把问题归结为解一个三元一次方程组,求出待定系 数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2+bx+c. 二、交点型 例2 已知抛物线y=-2x 2+8x-9的顶点为A ,若二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过A 点, 且与x 轴交于B (0,0)、C (3,0)两点,试求这个二次函数的解析式。 分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标,可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2+8x-9的顶点A (2,-1)。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y= x x 23212 . 三、顶点型 例 3 已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k),故解析式为y=a(x-m)2+k.在本题中可设y=a(x+1)2+4.

再将点(1,2)代入求得a=-21 ∴y=-,4)1(212++x 即y=-.272 12+-x x 由于题中只有一个待定的系数a ,将已知点代入即可求出,进而得到要求的解析式。 四、平移型 例 4 二次函数y=x 2 +bx+c 的图象向左平移两个单位,再向上平移3个单位得二次函 数,122+-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18. 分析 逆用平移分式,将函数y=x 2 -2x+1的顶点(1,0)先向下平移3个单位,再向右平移 两个单位得原函数的图象的顶点为(3,-3)。 ∴y=x 3)3(22--=++x c bx =x .662 +-x ∴b=-6,c=6. 因此选(B ) 五、弦比型 例 5 已知二次函y=ax 2+bx+c 为x=2时有最大值2,其图象在X 轴上截得的线段长为 2,求这个二次函数的解析式。 分析 弦长型的问题有两种思路,一是利用对称性求出交点坐标,二是用弦比公式d=a ?

求二次函数解析式的几种方法

沁乐教育 沁心学习乐在其中 2015年秋季九年级数学辅导资料 第二讲函数图像性质及应用 学校:姓名:

二次函数的图象与基本性质 (一)、知识点回顾 【知识点二:抛物线的图像与a 、b 、c 关系】 (1) a 决定抛物线的开口方向:a>0,开口向 ________ ;a<0,开口向 ________ (2) c 决定抛物线与 ________的位置:c>0,图像与y 轴的交点在___________; c=0,图像与y 轴的交点在___________;c<0,图像与y 轴的交点在___________; (3)a ,b 决定抛物线对称轴的位置,我们总结简称为:___________; (4)△=b 2 -4ac 决定抛物线与________交点情况: △=b 2 -4ac ?? ???<=>轴没有交点与轴有一个交点与轴有两个交点与x x x 000 【知识点三:二次函数的平移】

设0,0>>n m ,将二次函数2 ax y =向右平移m 个单位得到___________;向左平移m 个单位得到___________;向上平移n 个单位得到___________;向下平移n 个单位得到___________。简单总结为___________,___________。 (注意:要用以上方法对二次函数图象进行平移,要先化成顶点式再操作) 【知识点四:二次函数与一元二次方程的关系】 二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y ,当0=y 时,即变为一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax ,从图象上来说,二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的 交点的横坐标x 的值就是方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根。 【知识点五:二次函数解析式的求法】 (1) 知抛物线三点,可以选用一般式:c bx ax y ++=2 ,把三点代入表 达式列三元一次方程组求解; (2) 知抛物线顶点或对称轴、最大(小)值可选用顶点式: k h x a y +-=2)(;其中抛物线顶点是),(k h ; (3) 知抛物线与x 轴的交点坐标为)0,(),0,(21x x 可选用交点式: ) )((21x x x x a y --=,特别:此时抛物线的对称轴为直线 )(2 1 21x x x += (二)、感悟与实践 例1: (1)求二次函数y =x 2 -4x +1的顶点坐标和对称轴. (2)已知二次函数y =-2x 2 -8x -6,当___________时,y 随x 的增大而增大;当x =________时,y 有_________值是___________. 变式练习1-1:二次函数y =-x 2 +mx 中,当x =3时,函数值最大,求其最大值.

求二次函数解析式分类练习题

求二次函数解析式分类练习题 类型一:已知顶点和另外一点用顶点式 例1、已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个二次函数关系式. 练习: 1.已知抛物线的顶点是(-1,-2),且过点(1,10),求其解析式 类型二:已知图像上任意三点(现一般有一点在y轴上)用一般式 例2、已知二次函数的图象过(0,1)、(2,4)、(3,10)三点,求这个二次函数的关系式. 练习: 1、已知抛物线过三点:(-1,2),(0,1),(2,-7).求解析式 类型三:已知图像与x轴两个交点坐标和另外一点坐标,用两根式 例3、已知二次函数的图象过(-2,0)、(4,0)、(0,3)三点,求这个二次函数的关系式. 练习:已知抛物线过三点:(-1,0)、(1,0)、(0,3). (1).求这条抛物线所对应的二次函数的关系式;(2).写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标;(3).这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少? 巩固练习: 1、已知二次函数的图象过(3,0)、(2,-3)二点,且对称轴是x=1,求这个二次函数的关系式.

2、 已知二次函数的图象过(3,-2)、(2,-3)二点,且对称轴是x=1,求这个二次函数的关系式. 3、已知二次函数的图象与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C 。若AC=20,BC=15, ∠ACB=90°,试确定这个二次函数的解析式 4、已知一个二次函数当x=8时,函数有最大值9,且图象过点(0,1),求这个二次函数的关系式. 小测: 1、二次函数y=0.5x 2-x-3写成y=a(x-h)2+k 的形式后,h=___,k=___ 2、抛物线y=-x 2-2x +3的开口向 ,对称轴 ,顶点坐标 ;当x 时,y 最__值 = ,与x 轴交点 ,与y 轴交点 。 3、二次函数y=x 2-2x -k 的最小值为-5,则解析式为 。 4、已知抛物线y=x 2+4x+c 的的顶点在x 轴上,则c 的值为_________ 6、抛物线 的顶点是(-2,3),则m= ,n= ;当x 时,y 随x 的增大而增大。 7、已知二次函数 的最小值 为1,则m= 。 8、m 为 时,抛物线 的顶点在x 轴上。 9、已知一个二次函数的图象经过点(6,0), 且抛物线的顶点是(4,-8),求它的解析式。 10、已知抛物线与x 轴交点的横坐标为-2和1,且通过点(2,8). 1.已知抛物线y =ax 2经过点A (1,1).(1)求这个函数的解析式; 2.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象顶点坐标为(-2,3),且过点(1,0),求此二次函数的解析式. 3.抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点坐标为(2,4),且过原点,求抛物线的解析式. 4. 若一抛物线与x 轴两个交点间的距离为8,且顶点坐标为(1, 5),则它们的解析式为 。 5.已知二次函数y =ax 2+bx +c ,当x =-1时有最小值-4,且图象在x 轴上截得线段长为 4,求函数解析式. 6.抛物线y =ax 2+bx +c 经过(0,0),(12,0)两点,其顶点的纵坐标是3,求这个抛物线的解析式. 7.已知二次函数为x =4时有最小值 -3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1,求此二次函数解析式. 8. 已知抛物线经过点(-1,1)和点(2,1)且与x 轴相切.(1)求二次函数的解析式。 n m x y ++=2)(2m x x y +-=624 22++=mx x y

二次函数解析式的求法专题

1 / 1 二次函数解析式的求法专题 一、一般式:(利用图像上的三点) 1、根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式:(1)图象经过(0,1)(1,0)(3,0);(2)当x=1时,y=0;x=0时,y= -2,x=2 时,y=3 二、顶点式: 1、 对称轴是y 轴且过点A (1,3)、点B (-2,-6)的抛物线的解析式为 . 2、根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式:(1)当x=3时,y 最小值=-1,且图象过(0,7);(2)图象过点(0,-2) (1,2)且对称轴为直线x=23 ;(3)抛物线顶点坐标为(-1,-2)且通过点(1,10) 2.1、已知二次函数的图象顶点是(-1,2),且经过(1,-3),求这个二次函数。 3、一个二次函数的图象顶点坐标为(2,1),形状与抛物线y= - 2x 2 相同,这个函数解析式为____________ 三、交点式: 1、 当二次函数图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1= -3,x 2=1时,且与y 轴交点为(0,-2),求这个二次函数的解析式 1.1、已知二次函数图象与x 轴交点(2,0)(-1,0)与y 轴交点是(0,-1)求解析式及顶点坐标。 2、抛物线与x 轴的交点横坐标为1和5,并且经过点(0,6),求这个二次函数的关系式。 四、用距离来表示: 1、已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ,与x 轴的正半轴交于B 、C 两点,且BC=2,S △ABC =3,则b = ,c = . 五、平移型: 1、抛物线y=21 x 2向上平移2个单位长度后得到新抛物线的解析式为____________。 2、把抛物线y=3x 2先向左平移3个单位,再向上平移2个单位,所得抛物线的解析式是 3、抛物线23x y =的图象向右移动两个单位,再向下移动一个单位,这时抛物线的解析式为 _______ 4、把抛物线c bx x y ++=2的图像向右平移3个单位,在向下平移2个单位,所得图像的解析式是532+-=x x y , 则有( ) A .b =3,c =7 B .b =-9,c=-15 C .b =3,c =3 D .b=-9,c =21 5、将抛物线y=-2x 2+4x 向上平移3个单位,再向左平移2个单位得到抛物线的解析式为 . 6、把抛物线y= 12x 2 向左平移三个单位, 再向下平移两个单位所得的关系式为________. 六、定义型: 1、当_____=m 时,函数21(1)m y m x +=-是二次函数,它的开口_______。 2、当m=_________时,函数y = (m 2 -4))3(42-+--m x m m x + 3是二次函数,其解析式是__________________, 3、若抛物线2432(5)m m y x m --=+-的顶点在x 轴下方,则m 的值为 ( ) (A) m=5 (B)m=-1 (C) m=5或m=-1 (D) m=-5 七、对称型: 1、把函数y=-2x 2的图象沿x 轴对折,得到的图象的解析式为( )。 A 、y=-2x 2 B 、y=2x 2 C 、y=-2(x+1)2 D 、y=-2(x -1)2 2、抛物线2(2)y x =+关于x 轴对称的抛物线的解析式是_________________。

求二次函数解析式几种常用方法

求二次函数的解析式的几种方法 山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉 二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点,也是中考必考内容。现在举例,说明求二次函数解析式的常用方法,希望对同学们学习有所帮助。 一、二次函数常见的三种表达式: (1)一般式:y ax bx c a =++≠2 0(); (2)交点式:y a x x x x =--()()12,其中点(,)()x x 1200,,为该二次函数与x 轴的交点; (3)顶点式:()2()0y a x h k a =-+≠,其中点(),h k 为该二次函数的顶点。 二、利用待定系数法求二次函数关系式 (1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标,可设一般式求二次函数的关系式。 例1、已知抛物线2 y ax bx c =++,经过点(2,1)、(-1,-8)、(0,-3).求这个抛物线的解析式. 解:根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=??-+=-??=-? 解之得1, 4,3,a b c =-??=??=-? 所以抛物线为2 43;y x x =-+- 说明:用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件,若给出的条件是任意三个点,可设解析式为2 (0)y ax bx c a =++≠,然后将三个点的坐标分别代入,组成一次方程组用加减消元法来求解. (2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标,可设交点式求二次函数的关系式。 若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ,,, ,则相当于方程2 0ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ,,从而2 12()()ax bx c a x x x x ++=--,故二次函数可以表示为 12()()(0)y a x x x x a =--≠. 例2、已知一个二次函数的图象经过点A (-1,0),B (3,0),C (0,-3)三点.求此二次函数的解析式. 解:根据题设,设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-. 又∵该二次函数又过点(0,-3), ∴(01)(03)3a +-=-. 解得1a =. 因此,所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-,即2 23y x x =--. 说明:在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时,要注意正确处理两个括号内的符号. (3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时,设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0) 例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2,-1),抛物线又过(1,0),求此抛物线的函数解析式。 解:设所求解析式为y =a (x -h )2+k , 由已知得 y =a (x +2)2-1 ∴ a (1+2)2-1=0 1 9 a ∴= ∴()2 1219y x =+-即2145999 y x x =+-

求二次函数解析式的基本方法及练习题

求二次函数解析式的基本方法及练习题 二次函数是初中数学的一个重要内容,也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。 二次函数的解析式有三种基本形式: 1、一般式:y=ax 2+bx+c (a ≠0)。 2、顶点式:y =a(x -h )2+k (a ≠0),其中点(h,k)为顶点,对称轴为x=h 。 3、交点式:y=a(x-x 1)(x-x 2) (a ≠0),其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。 求二次函数的解析式一般用待定系数法,但要根据不同条件,设出恰当的解析式: 1、若给出抛物线上任意三点,通常可设一般式。 2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值,通常可设顶点式。 3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离,通常可设交点式。 探究问题,典例指津: 例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(.求这个二次函数的解析式. 分析:由于题目给出的是抛物线上任意三点,可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。 解:设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0) 依题意得:?????=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得:?? ???-===432c b a ∴这个二次函数的解析式为y=2x2+3x-4。 例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-,与y 轴交于点)3,0(,求这条抛物线的解析式。 分析:此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-,最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2,重新设顶点式y=a(x -h )2+k (a ≠0),其中点(h,k)为顶点。 解:依题意,设这个二次函数的解析式为y=a(x -4)2-1 (a ≠0) 又抛物线与y 轴交于点)3,0(。 ∴a(0-4)2-1=3 ∴a=4 1 ∴这个二次函数的解析式为y=41(x-4)2-1,即y =4 1x 2-2x+3。

二次函数解析式的8种求法

二次函数解析式的8种求法 二次函数的解析式的求法是数学教学的难点,学不易掌握.他的基本思想方法是待定系数法,根据题目给出的具体条件,设出不同形式的解析式,找出满足解析式的点,求出相应的系数.下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下,和大家共勉: 一、定义型: 此类题目是根据二次函数的定义来解题,必须满足二个条件:1、a ≠0; 2、x 的最高次数为2次. 例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m -1是二次函数,则m = . 解:由m 2+ m ≠0得:m ≠0,且 m ≠- 1 由m 2–2m –1 = 2得m =-1 或m =3 ∴ m = 3 . 二、开放型 此类题目只给出一个条件,只需写出满足此条件的解析式,所以他的答案并不唯一. 例2、(1)经过点A (0,3)的抛物线的解析式是 . 分析:根据给出的条件,点A 在y 轴上,所以这道题只需满足c b a y ++=χχ2 中的C =3,且a ≠0即可∴32++=χχy (注:答案不唯一) 三、平移型: 将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线.要借此类题目,应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2 + k ,当图像向左(右)平移n 个单位时,就在x – h 上加上(减去)n ;当图像向上(下)平移m 个单位时,就在k 上加上(减去)m .其平移的规律是:h 值正、负,右、左移;k 值正负,上下移.由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变,所以a 得值不变.

例3、二次函数 2 53212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向 平移 个 单位,再向 平移 个单位得到的. 解:Θ253212++= χχy = ()232 12-+χ, ∴二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向左平移3个单位,再向下平移2个单位得到的. 这两类题目多出现在选择题或是填空题目中 四、一般式 当题目给出函数图像上的三个点时,设为一般式c b a y ++=χχ2 ,转化成一个三元一次方程组,以求得a ,b ,c 的值; 五、顶点式 若已知抛物线的顶点或对称轴、极值,则设为顶点式()k h x a y +-=2.这顶点坐标为( h ,k ),对称轴方程x = h ,极值为当x = h 时,y 极值=k 来求出相应的系数; 六、两根式 已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ,,, ,设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=,根据题目条件求出a 的值. 例4、根据下面的条件,求二次函数的解析式: 1.图像经过(1,-4),(-1,0),(-2,5) 2.图象顶点是(-2,3),且过(-1,5) 3.图像与x 轴交于(-2,0),(4,0)两点,且过(1,- 29) 解:1、设二次函数的解析式为:c b a ++=χχγ2,依题意得:

《待定系数法求二次函数解析式》专题

《待定系数法求二次函数解析式》专题 班级姓名 【一般式】 例1 已知二次函数的图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6);求它的解析式。 变式:已知一个二次函数,当x=-1时,y=3;当x=1时,y=3;当x=2时,y=6。求这个二次函数的解析式。 【顶点式】 例2 已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个二次函数的关系式。 变式1:已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8,求它的解析式。 变式2:已知抛物线对称轴是直线x=2,且经过(3,1)和(0,-5)两点,求二次函数的关系式。

变式3:已知抛物线的顶点是(2,-4),它与y 轴的一个交点的纵坐标为4,求函数的关系式。 变式4:一条抛物线y x mx n =++142经过点()032,与()432 ,。求这条抛物线的解析式。 【交点式】 例3 .已知二次函数的图象与x 轴的交点为(-5,0),(2,0),且图象经过(3,-4),求解析式 想一想:还有其它方法吗? 变式1:已知二次函数的图象顶点坐标是(-1,9),与x 轴两交点间的距离是6.求它的解析式。 1.已知二次函数的图象过(-1,-9)、(1,-3)和(3,-5)三点,求此二次函数的解析式。

2.二次函数y= ax 2+bx+c ,x=-2时y=-6,x=2时y=10,x=3时y=24,求此函数的解析式。 3.已知抛物线的顶点(-1,-2)且图象经过(1,10),求此抛物线解析式。 4.二次函数y= ax 2+bx+c 的对称轴为x=3,最小值为-2,,且过(0,1),求此函数的解析式。 5.已知二次函数的图象与x 轴的交点为(-5,0),(2,0),且图象经过(3,-4),求解析式 6.抛物线的顶点为(-1,-8),它与x 轴的两个交点间的距离为4,求此抛物线的解析式。 7.二次函数的图象与x 轴两交点之间的距离是2,且过(2,1)、(-1,-8)两点,求此二次函数的解析式。 8.把二次函数253212++=x x y 的图象向右平移2个单位,再向上平移3个单位,求所得二次函数的解析式。

二次函数待定系数法求函数解析式(供参考)

专题训练求二次函数的解析式 一、已知三点求解析式 1.抛物线y=ax2+bx+c经过(-1,-22),(0,-8),(2,8)三点,求它的开口方向、对称轴和顶点. 2.一个二次函数的图像经过(0,0),(-1,-1),(1,9)三点.求这个二次函数的解析式. 3. 已知二次函数的图象经过点(-1,-6),(1,-2)和(2,3),求这个二次函数的解析式,并求它的开口方向、对称轴和顶点坐标. 4.已知抛物线y=ax2+bx+c经过(1,0),(2,0),(3,4)三点,则求抛物线的解析式。 5.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10),(2,7),且3a+2b=0,求该抛物线的解析式。 6.抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,0)与(12,0),最高点的纵坐标是3,求这条抛物线的解析式.

7. 已知抛物线C :y =-x 2+bx +c 经过A (-3,0)和B (0,3)两点,将这条抛物线的顶点记为M ,它的对称轴与x 轴的交点记为N.(1)求抛物线C 的解析式;(2)求点M 的坐标; 8.已知:如图,二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过A ,B ,C 三点.求此抛物线的解析式. 9. 如图所示,求此抛物线的解析式。 10. 如图,抛物线c bx x y ++- =22 1与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,且OA =2,OC =3.求抛物线的解析式.

11.如图所示,抛物线y=ax2+bx-4a经过点A(-1,0),C(0,4). (1)求抛物线的解析式; (2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于x轴对称的点的坐标. 12.如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(1,0),C(0,-3). (1)求此二次函数的解析式; (2)在抛物线上存在一点P,使△ABP的面积为10,请直接写出点P的坐标. 13. 如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3). (1)求抛物线的解析式; (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴; (3)把抛物线向上平移,使得顶点落在x轴上,直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S(图②中阴影部分).

二次函数求解析式专题练习题

二次函数表达式的确定练习题 姓名__________ 1.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象顶点坐标为(-2,3),且过点(1,0),求此二次函数的解析式. 2.抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点坐标为(2,4),且过原点,求抛物线的解析式. 3. 若一抛物线与x 轴两个交点间的距离为8,且顶点坐标为(1, 5),则它们的解析式为 . 4.抛物线y =ax 2+bx +c 经过(0,0),(12,0)两点,其顶点的纵坐标是3,求这个抛物线的解析式. 5.已知二次函数为x =4时有最小值 -3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1,求此二次函数解析式. 6.已知二次函数y=ax 2 +bx +c ,当 x=0时,y=0;x=1时,y=2;x=-1时,y=1.求a 、b 、c ,并写出函数解析式. 7.把抛物线y =(x -1)2沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q (3,0),求平移后的抛物线的解析式. 8.二次函数y =x 2-mx +m -2的图象的顶点到x 轴的距离为,16 25求二次函数解析式. 9.已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1,求m 的值. 10.函数y =x 2+2x -3(-2≤x ≤2)的最大值和最小值分别为( ) A .4和-3 B .5和-3 C .5和-4 D .-1和4 11.在同一坐标系内,函数y =kx 2和y =kx -2(k ≠0)的图象大致如图( ) 12.已知抛物线y=-x 2+mx+n 的顶点坐标是(-1,- 3 ),则m 和n 的值分别是( ) A.2,4 B.-2,-4 C.2,-4 D.-2,0 13.已知二次函数2 y ax bx c =++的图象经过原点和第一、二、三象限,则( ) (A )0,0,0a b c >>> (B )0,0,0a b c <<= (C )0,0,0a b c <<> (D )0,0,0a b c >>=

求二次函数解析式的几种方法

沁乐教育沁心学习乐在其中 2015年秋季九年级数学辅导资料第二讲函数图像性质及应用 学校:姓名:

二次函数的图象与基本性质 (一)、知识点回顾 【知识点一:二次函数的基本性质】 【知识点二:抛物线的图像与a、b、c关系】 (1)a决定抛物线的开口方向:a>0,开口向________ ;a<0,开口向________ (2)c决定抛物线与________的位置:c>0,图像与y轴的交点在___________;

c=0,图像与y 轴的交点在___________;c<0,图像与y 轴的交点在___________; (3)a ,b 决定抛物线对称轴的位置,我们总结简称为:___________; (4)△=b 2-4ac 决定抛物线与________交点情况: △=b 2-4ac ?? ? ??<=>轴没有交点与轴有一个交点与轴有两个交点与x x x 000 【知识点三:二次函数的平移】 设0,0>>n m ,将二次函数2 ax y =向右平移m 个单位得到___________;向左平移m 个 单位得到___________;向上平移n 个单位得到___________;向下平移n 个单位得到___________。简单总结为___________,___________。 (注意:要用以上方法对二次函数图象进行平移,要先化成顶点式再操作) 【知识点四:二次函数与一元二次方程的关系】 二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y ,当0=y 时,即变为一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax ,从图象上来说,二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的 交点的横坐标x 的值就是方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根。 【知识点五:二次函数解析式的求法】 (1) 知抛物线三点,可以选用一般式:c bx ax y ++=2,把三点代入表达式列三元一次 方程组求解; (2) 知抛物线顶点或对称轴、最大(小)值可选用顶点式:k h x a y +-=2 )(;其中抛 物线顶点是),(k h ; (3) 知抛物线与x 轴的交点坐标为)0,(),0,(21x x 可选用交点式:

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