初升高衔接数学讲座第一讲：数与式

初升高衔接数学讲座

第一讲 数与式

（一）绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，

负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

,0,||0,0,,0.a a a a a a >??

==??-

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 热身训练 1．填空：

（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.

（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________.

2．选择题：下列叙述正确的是 （ ） （A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）． （二）乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；

（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22

(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．

例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222

a b c ++的值． 练 习 1．填空：

（1）

221111

()9423

a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22

)164(m m =++ )；

(3 ) 2

2

2

2

(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题：

（1）若2

1

2

x mx k +

+是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2

m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m

（2）不论a ，b 为何实数，22

248a b a b +--+的值 （ ）

（三）二次根式

一般地，0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.

例如 32a b ，21+，22x y + 1．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有

一般

地，b 与b 互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式

0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运

算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

2

a ==,0,

,0.

a a a a ≥??

-

例1 将下列式子化为最简二次根式：

（1 （20)a ≥； （30)x <．

例2 (3．

例3 试比较下列各组数的大小：

（1 （2

例4 化简：（1 （21)x <<．

练 习 1．填空：

（1＝__ ___；

（2(x -x 的取值范围是_ _ ___；

2．若1

b a =+，求a b +的值．

（四）分式1．分式的意义

形如A

B

的式子，若B中含有字母，且0

B≠，则称

A

B

为分式．当M≠0时，分式

A

B

具有下列性质：

A A M

B B M

?

=

?

；

A A M

B B M

÷

=

÷

．

上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式

像

a

b

c d

+

，

2

m n p

m

n p

++

+

这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．

例1若

54

(2)2

x A B

x x x x

+

=+

++

，求常数,A B的值．

例2（1）试证：

111

(1)1

n n n n

=-

++

（其中n是正整数）；

（2）计算：

111 1223910

+++

???

；

（3）证明：对任意大于1的正整数n，有

1111 2334(1)2

n n

+++<

??+

．

例3设

c

e

a

=，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．

习题1

1．填空题： （1）对任意的正整数n ，

1(2)

n n =+ (11

2n n -

+)；

（2）=__ ___；

（3）若x =

=______ __．

（4）1819(2(2＝________；

（52=，则a 的取值范围是________；

（6

+=________．

（7）比较大小：2“＞”，或“＜”）．

（8）化简：= ．

（9）计算1111

(12233499100)

++++????= ． （10）正数,x y 满足222x y xy -=，则x y

x y

-+= ．

2．选择题：

（1）若223x y x y -=+，则x

y

＝ （ ） （A ）１ （B ）54 （C ）45 （D ）6

5

（2

=

成立的条件是 （ ） （A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<

3．已知1x y +=，求33

3x y xy ++的值．

4．已知x y =

=

22353x xy y -+的值 ．

5．解不等式：

(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ； (3) 116x x -++>．

第二讲 因式分解

多项式的因式分解是代数恒等变形的最有力的扛杆之一,是解决许多数学问题的有力工具,因式分解方法灵活,技巧性强.本讲除了复习巩固因式分解最基本的方法外,还将讲解一些特殊的因式分解方法.(分解到不能再分解为止)

一、 因式分解的基本方法 (一) 重点知识

因式分解的基本方法有 、 、 .

其中公式法中常见的公式有平方差公式: 、完全平方公式: 、

立方和公式: 、立方差公式: ;对多项式用分组分解法严格说不是终极方法,而是过程中的一种手段,而将多项式进行分组的目的在于经过适当的分组之后,原多项式能转化为可用 、或可用 、或可用 等方法继续分解. (二)热身训练 1.填空：1)(

)2

()a ab a a b c ++=++; 2)()24(25)(25)x x x +=+-

3)(

)()2

22(6)x y xy ++=-; 4)()()

2

210a a -+=

5)(

)22294(

)x y ++=; 6)()()382x x -=-

7)()()3

3

273a b a b +=+.

2.分解因式

1).264x - 2)3

9x x -

3)222a c abc b c -+ 4)2332x y x y -

5)4x x - 6)2

a a

b a

c bc +++

(三)举例

例1.分解因式,其中n 为正整数.：2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +----+--

例2.分解因式:

1.42242x x y y -+

2.4

64x x -

3.2222x xy y z -+-

4.222222

()4()c b d a ab cd -+---

例3. ①分解因式5432

1x x x x x +++++= ;

②因式分解151413

21x x x x x ++++++= ；

③化简24

8

16

32

(21)(21)(21)(21)(21)(21)++++++.

二、 因式分解的其它方法

（一）重点知识再现与方法点拨

因式分解除了初中教材要求的一些基本的方法外,因式分解的方法还有一些特殊的方法,对于一些特殊的多项式,仅仅依靠现有的最基本的方法是远远不够的,比如我们今后在高中学习过程中,要遇到一些与方程的解有关的问题,特别是一些高次方程的解的问题,就需要用到一些现在我们初中没有学过的一些特殊方法才能得以解决,因此我们有必要给大家介绍一些特殊的分解手段.

常见的特殊方法:换元法、十字相乘法、拆项添项法、待定系数法等

1. 换元法:就是对于一些特殊的多项式,如果把其中的某些部分看作一个整体,用一个新的字母代替,不仅可使原式得到简化,而且能使式子的特点更加明显,这种方法就称因式分解的换元法.

2. 十字相乘法:借助画十字交叉线,对类似多项式2()acx ab cd x bd +++的二次项系数ac ,常数项bd 进行分解后交叉相乘再相加,得到一次项系数ab cd +,从而得到2()acx ab cd x bd +++的分解式来分解二次三项式的方法.一般形式是2()acx ab cd x bd +++= ;

3. 拆项添项法:对某些多项式进行因分解时,需要对多项式进行适当的变形,使其能分组分解,分组分解法严格说又不是终极方法,而是过程的中间手段,而拆项添项是两种重要的变形技巧.把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个符号相反的项,前者为拆项,后者为添项,使用拆项或添项的目的是使多项式能用分组分解法进行分解.(常可用因式定理来观察出一些特殊因式,再有目的地进行拆项或添项,拆项或添项的方法不是唯一的)

4. 待定系数法:(与换元法一样)是中学数学的最重要的数学方法,是解决数学问题的常见的手段和方法.待定系数法是假定一个含有待定系数的恒等式,然后根据多项式恒等的性质,列出几个含有待定系数的方程组,解之求得各待定系数的值,或者从方程组中消去这些待定系数,求出原来那些系数的所存在的关系,从而使问题解决.

（二）热身训练:分解因式

1.32

23x x x -- 2.222()2()x x x x ---

3.2

252x x -+

（三） 举例:

例1.分解因式 (换元法)

①2

2

(1)(2)12x x x x ++++- ②2

22

2

2

()4()x xy y xy x y ++-+ ③2

(2)(2)(1)x y xy x y xy +-+-+-

例2.分解因式(十字相乘法)

①22568x xy y +- ②222(2)(1122)24x x x x ---+ ③2222223x xy y xz yz z -+-+-

例3.分解因式(添项拆项法)

①398x x -+ ②32216x x +- ③444x y +

例4*

.分解因式(待定系数法)

①2232453x xy y x y +++++ ②2262288x xy y x y +-+--

习题2

因式分解

1.327x y y +

2.5324816x x y xy -+

3.3232a a a b b b +++-+

4.222222()4a b c a b +--

5.2224424x xy y xz yz z +++++

6.228215x xy y --

7.2222

61712a b abcd c d -+ 8.422454x x y y -+ 9.22()6a b a b -+--

10.2

(3)(1)(5)20x x x +-+- 11.44x + 12.32x x +-

13.332x x -+ 14.51x x ++ 15.22

2273x xy y x y +-++-

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第三讲 一元二次方程（1）

一元二次方程是初中数学极为重要的内容,其问题所涉及的知识面广、难度大、变化多、技巧强,因而常成为初中数学竞赛中的“热门”试题.同时一元二次方程又是高中数学中函数、不等式、直线与圆锥曲线等相关知识的基础,也是联系高中各类数学知识的纽带. 一、一元二次方程根的判别式 (一) 重点知识再现与方法点拨

一元二次方程根的判别式△24b ac =-,揭示了根的情况与方程系数间的密切关系,它在研究一元二次方程中有以下一些作用:

1.判别一元二次方程有无实数根;

2.求方程或方程组的实数解;

3.求方程中参数的值或取值范围;

4.求有关代数式的值;

5.证明有关的不等式. (二)热身训练

1.不解方程判断下列一元二次方程的根的情况

1)2

2320x x --=

2)2

410x x -+= 3)2

4410x x -+=

4)2

3740x x ++= 5)2

3980x x ++=

2.若实数x 、y 满足:2

(2)80x y xy -+-=.则x = ,y = . (三)举例

例1.若方程222(1)2(1)0x a x a -+++=有实根,则a = ;方程的根为 .

例2.若方程222(1)0x a x a -++=有两不相等的实根,求a 的取值范围,并证明方程222(1)0x x a -++=无实根.

例3.求方程2

2

5582220x y xy y x +++-+=的实数解. (判别式或配方)

二、 一元二次方程根与系数的关系 (一) 重点知识再现与方法点拨

一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的系数a 、b 、c 与方程的两根1x ,2x 间存在着密切的关系:12x x += ,12x x = ,但这个根与系数关系式成立的前提条件是 .反之若

12x x p +=,12x x q =,则以1x ,2x 为根的一元二次方程可表示为 .相关问题的类型:

1.求方程中字母的值或取值范围;

2.求关于方程根的代数式的值;

3.求作新方程;

4.讨论方程根的性质;

5.构造一元二次方程,利用根与系数的关系解方程组;

6.证明等式或不等式. (二)热身训练

1.若方程2420x x -+=的两实根为12,x x ,则12x x += ,12x x = ,22

12

x x += ; 2.若11x =,23x =是方程2(2)(2)0x a b x a b --++=的两实根,则a = ,b = ;

3.若关于x 的方程2

20x x a ++=有两个正实根,求实数a 的取值范围.

(三)举例

例1.若方程2

240x x --=的两根为12,x x ,求下列各式的值.

1.2211

x x + 2.1221x x x x + 3.222112

x x x x + 4.12(2)(2)x x ++ 例2.已知方程2

2210x kx k +-+=的两根的平方和为294

,求实数k 的值;

例3.设1x ,2x 是方程2

30x x +-=的两根,求3212419x x -+的值;

例4.若关于x 的方程2

510x x a -++=的两根都大于1,求实数a 的取值范围.

习题3

1.设方程20x mx n ++=的两根之差为p ,两根之积为q ,求22m n +的值;

2.已知关于x 的一元二次方程2210x px ++=的一根大于1,另一根小于1,求p 的取值范围;

3.方程219970x px ++=恰有两个正整数根12,x x ,求12(1)(1)

p

x x ++的值;

4.已知关于x 的一元二次方程222(1)80x p x p ++++=的两根的平方和为52,求p 的值.

5.若a 、b 为实数,求证:关于x 的一元二次方程()()1x a x a b ---=的一根大于a ,另一个根小于a .

6.方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数,求整数a 的值;(反客为主法)

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第三讲 一元二次方程(2)

三、一元二次方程和可化为一元二次方程的方程的解法 (一) 重点知识再现与方法点拨

一元二次方程的解法:主要有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.其中配方法是一种重要的解题方法,利用它结合非负数的性质可解决许多常规方法不能解决的数学问题.对于一些特殊的高次方程、分式方程、无理方程,则通过巧妙的变形、代换把它化为一元二次方程求解. (二)热身训练

1.解方程2(2)9x +=得 ;解方程225x x -=得 ;

2.解方程23740(34)(1)0x x x x -+=?--=得 ;

3.用求根公式解方程2350x x +-=得 ;

4.若实数x 、y 满足22(2)(32)0x x y -++=,则x y = ;

5.若222()8()120x x x x ---+=,则x = ;

6.若13x x +=,则221

x x

+= ,331x x += ;

7.方程

2(1)301x x x x

+++=+的实根为x = . (三)举例

例1.如果x 、y 满足方程22269440x xy y x -+-+=,则x = ,y = .

例2*

.解方程110x y +-=(配方法)

例3.解方程432714710x x x x ++++=(两边同除以2

x 转化)

例4.解方程

222212219

116

x x x x x x x +++++=+++

练习：若实数x 满足2

410x x -+=,求22

1x x +

,331

x x +的值;

四、二次方程的整数解问题 (一) 重点知识再现与方法点拨

二次方程的整数解包括含参数的一元二次方程的整数根和二次不定方程的整数解.主要方法有 1.因式分解法;2.判别式法;3.利用根与系数的关系法;4.反客为主法 (二)举例

例1.设方程2(3)(3)0mx m x m --+-=的解为均为整数.试确定整数m 的值,并求出这时方程所有的整数解.

例2.已知方程2(1)210x m x m +++-=的两根都是整数,求整数m 的值.

练习：两个质数a 、b 恰好是x 的整数系数方程2210x x t -+=的两个根,则a b

b a

+= ;

五.二元二次方程组解法

方程 2

2

260x xy y x y +++++=

是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中

2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项．

我们看下面的两个方程组：

224310,

210;

x y x y x y ?-++-=?

--=? 2222

20,

560.

x y x xy y ?+=??-+=?? 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程

组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．

下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解． 例1 解方程组

22440,

220.

x y x y ?+-=?--=?

例2 解方程组

7,

12.x y xy +=??=?

练 习： 解方程组

2213,

5

x y x y ?+=?

+=? ① ②

①②

习题4

1.解方程222(3)2(3)80x x x x ----=

2.解方程2

211100x x x x

+

++-=

3.解方程22721x x ++=

4.解方程222222(34)(276)(342)x x x x x x +-+-+=-+

5.关于x 的方程2

40x kx k ++-=有整数根,求整数k 的值;

6.求证:方程3

20000x x --=没有整数解.

7.求证:不论n 是什么整数,方程2

1670x nx -+=都没有整数根.

2．解下列方程组:

（1） 3,10;x y xy +=??=-? （2）222

2,

8.

y x x y ?=??+=??

第四讲 函数与二次函数

函数是中学数学特别是高中数学的一个重要的概念,也是数学竞赛的重要内容,函数的定义在初中数学教材上给出过定义,在高中数学教材还将重新对函数作出另外一种形式定义,在此基础上还要对两种定义进行比较,最终将得出两种定义的一致性,只是高中数学给出的定义更深刻一些.本讲主要是在初中函数定义的基础上,结合高中数学中函数知识,试图作一个自然过渡的解释和说明.主要讲解函数的定义域、最值、二次函数、二次函数与一元二次方程和一元二次不等式的关系. (一) 重点知识再现与方法点拨

1.形如: 的函数叫做二次函数,二次函数解析式的基本格式有三种:①一般式: ;②顶点式: ;

③两根式: ; 二次函数的图象是 .

2.二次函数的性质(以2(0)y ax bx c a =++≠为例)

①定义域: ,值域: ;②对称性:关于直线 对称③开口方向: ,顶点坐标为( );④增减性:0a >时,当

时,函数值y 随自变量x 的增大而增大;当 时, 函数值y 随自变量x 的增大而减小;0a <时, 当 时,函数值y 随自变量x 的增大而增大; 当 时,函数值y 随自变量x 的增大而减小.⑤三个二次的关系:

二次方程2

0ax bx c ++=(0)a ≠的两根1x ,2x 为二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠与x 轴的交点的 ,

也是二次不等式20ax bx c ++>(或2

0ax bx c ++<)(0)a ≠的解集的 .

3.①如果存在m 、n 使()()f m f n =,则此二次函数一定有对称轴 ,②特殊结论(0)f = ,(1)f = ,(1)f -= . (二)热身训练

1.将二次函数2

412y x x =--改写为两根式为 ,改写为顶点式为 ;

2.二次函数265y x x =-+-与x 轴的交点坐标为 ,与y 轴的交点坐标为 ,此函数有最 值为 ,函数图象的顶点坐标为 ;

3.二次函数223y x x =-++与x 轴和y 轴的交点构成的三角形的面积为 ,从此函数的图象可以看出:当 时,函数值y 随自变量x 的增大而增大, 当

时,函数值y 随自变量x 的增大而减小;函数有最 值为 ;

4.二次函数2

28y x x =--与x 轴的交点坐标为 ,由图可以看出使0y >的x 的取值范围(即

2280x x -->的解集)为 ,使0y <的x 的取值范围(即2280x x --<的解集)为 ;

5.二次函数2

3y x mx n =++中当2x >时函数值y 随自变量x 的增大而增大,当2x <时函数值y 随自变量x 的增大而减小,而且函数有最小值为-10,则m = ,n = . (三)举例

例1.求下列函数中自变量的取值范围

1.()

f x = 2.0

(2)y x =-+

例2.若()21f x x =-,求

(1)(2)(3)(2000)(2001)

2001

f f f f f +++++的值

例3.已知()1x

f x x

=

+,求 111()()()(1)(0)(1)(2)(2000)(2001)200120002

f f f f f f f f f ++++++++++

例4.2

21

()(2)m

m f x m m x +-=+,当m 为何值时:

①()f x 为正比例函数; ②()f x 为反比例函数; ③()f x 为一次函数; ④()f x 为二次函数

例5.二次函数的图象2()(0)f x ax bx c a =++≠如图所示,判断下列各式符号. ①abc 0; ②a b c ++ 0; ③a b c -+ 0; ④a b c -- 0; ⑤2a b + 0; ⑥2a b - 0. 例

6.二次函数()f x 的图象与x 轴交于点(-1,0)与(3,0),且过点(2,6). (1)求二次函数()f x 的解析式;

(2)在直角坐标系中作出()f x 的图象

;

(3)根据函数的图象分别写出()f x >6,()f x >0,()f x <0,的自变量x 的取值范围.

例7.二次函数()f x 的图象的顶点为A(3,-1),过点C(0,8),与x 轴交于B 、D 两点.(如图)

(I)求二次函数()f x 的解析式;

(II)写出B 、D 坐标并求四边形ABCD 的面积;

(III)根据函数的图象分别写出()f x >0,()f x <0的自变量x 的取值范围.

思考:根据以上两例你发现了什么?能否求解下列不等式

1.211300x x -+>

2.215260x x -+<

3.2

21800x x -+->

4.2420x x -++<

5.2450x x -+>

6.2

6100x x -+->

例8.如图为二次函数2

()f x x px q =-++的图象,图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于 点C,∠ACB=90o,O 为坐标原点,且

112OA OB OC

-=,求这个二次函数的解析式.

习题5

1.对称轴为1x =-的抛物线过点A(1,4),B(-2,1),求这条抛物线的解析式.

2.已知抛物线2y ax bx c =++经过点A(-1,0),B(3,0),C(4,5). (1)写出抛物线的解析式;

(2)由题写出20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集.

3.解不等式

(1)22760x x -+< (2)2

2150x x -++<

(3)29610x x -+-≤ (4)2

2340x x -+-≥

4.求下列函数的自变量取值范围

(1)21

()32

f x x x =-+

(2)1()(1)f x x -=-

5.如图顶点为A(1,-4)的抛物线()f x 与直线l :2y x b =-+交于B(-2,5)、C 两点. (1)求抛物线()f x 与直线l 的解析式及点C 的坐标; (2)由图写出()2f x x b >-+与()2f x x b <-+的解集.

第五讲 函数、方程、不等式

本讲是在前两讲的基础上进一步深入讨论二次函、二次方程与二次不等式的联系,以及二次方程的根的分布,二次函数的函数增减性和最大最小值问题. (一)热身训练

1.直线23y x =+与抛物线2y x =的交点坐标为 ;

2.方程222(1)0x a x a --+=的两根都为负实数,则实数a 的取值范围为 ;

3.二次函数2y x mx n =++与x 轴的交点为(-1,0)与(5,0),则二次不等式20x mx n ++>的解集为 ,

20x mx n ++<的解集为 ;

4.若不等式20x ax b ++<的解集为

{}

23x x <<,则不等式210bx ax ++<的解集

为 ;

5.当24x ≤≤时,函数225y x x =-+的最小值为 ,最大值为 .

6.已知抛物线2

213188

y x mx m m =

++-与x 轴交于A 1(,0)x ,B 2(,0)x 两点,与y 轴交于点 C (0,)b ,O 为坐标原点. (I)求m 的取值范围; (II)若1

18

m >,且3OA OB OC +=,求抛物线的解析式及点A,B,C 的坐标;

(二)举例

例1.

求函数()f x =

例2.二次函数2

()f x x bx c =++,当2x =时,函数()f x 有最小值为4.

(1)在实数范围内,当x 在什么范围取值时,函数值y 随自变量x 而增大? 当x 在什么范围取值时,函数值y 随自变量x 而减小?

(2)求()f x 在31x -≤≤上的最大与最小值;当38x -≤≤时呢?

例3.求函数2

25y x x =--在下面条件的最大最小值 (1)24x ≤≤; (2)43x -≤≤

例4.二次函数2(21)1y x a x =-+-的图象与x 轴交于M 、N 两点.如果MN =且0a <,求a 的值.

例5.二次函数2(1)(2)y x m x m =+-++的图象与x 轴交于两点A 、B. (1)当A 、B 两点都在x 轴的正半轴上时,求实数m 的取值范围;

(2)当A 、B 两点分别在x 轴的正半轴与负半轴上时,求实数m 的取值范围; (3)当A 、B 两点都在点(-2,0)左侧,求实数m 的取值范围.

例6*

.设方程2

220x mx m -++=的两个实根1x 、2x 满足1213x x <<<,求实数m 的取值范围.

思考：以上两例，结合二次函数的图像，怎样讨论关于二次方程2

0ax bx c ++=(0)a >根的分布满足的条件？

①1x <2x

④1k <1x <2k <2x <3k ： ⑤1x

习题6

1、填空：直接写出下列不等式中变量x 的取值范围

①22320x x --≤ ②23280x x -++< ③22450x x -+-< ④24410x x -+-≤

2.二次方程222(23)0x mx m m -++-=的两根平方和大于1,求m 的取值范围;

3.0x ≥,0y ≥,且21x y +=.求23x y +最小值.

4.开口向下的抛物线(1)(9)y a x x =+-与x 轴交于A 、B 两点,与y 交于点C,

且0

90ACB ∠=,求a 的值.

5.当223620x x y -+=时,求使22x y a +≤恒成立的a 的取值范围;

6*

.方程227(13)20x k x k k -++--=有两个实根,αβ,且01,12αβ<<<<,求实数k 的取值范围.

7*.二次函数2

()23(45)f x x mx m =-+-与x 轴交于A(1x ,0),B(2x ,0),其中101x <<,223x <<，求实数m 的取值范围。

8*

.填空：结合函数2

()43f x x x =-+的图象,判断方程()f x k =在k 为何值时

(1)有且只有个实根： (2)两个实根：

(5)无实根：