第6讲理清三个关系是复习好“导数及应用”的关键

导数是解决函数问题的有力工具，是高考的热点，要从几何意义上认识导数概念的实质，会求曲线在某一点处的切线方程，熟练导数的基本运算、函数单调性与导数的关系，熟练利用导数研究函数的单调区间、极值、最值、零点，会用导数证明不等式等．

1．理清函数增长、递减快慢与切线斜率之间的关系．

函数增长、递减与否与导函数的符号有关，但函数增长、递减的快慢与导函数符号就无关了．函数增长、递减快慢与切线斜率之间的关系，如果切线斜率不小于零，且随着自变量的增大，切线斜率越来越大，说明函数增长速度越来越大，反之，说明函数增长速度越来越小．

2．理清函数单调性与导数的关系．

在区间M上，若f′(x)>0，则函数f(x)在区间M上是增函数．若f(x)在区间M上是增函数，则f′(x)≥0.即f′(x)>0是f(x)是增函数的充分不必要条件．

3．理清极值点与导函数零点的关系．

若x0是函数的极值点，则f′(x0)＝0.反之，若f′(x0)＝0，x0不一定是函数的极值点．如y＝x3，尽管f′(0)＝0，但y＝x3在R上是增函数，x＝0不是极值点．

4．理清判断导函数符号的程序．

研究函数f(x)导函数的一般程序为：确定函数定义域，求导，明确决定导函数f′(x)符号的因素，把这个因素即一个新的函数m(x)剥离出来，转而研究这个函数的零点．方程m(x)＝0往往是可解的，只取函数f(x)定义域内的解．然后判断这些解的左右f′(x)的符号，最终确定f(x)的单调区间．如果含有参数，往往需要讨论．讨论点依次为：明确概念，确定方程m(x)＝0的性质，讨论方程m(x)＝0是一次方程还是二次方程；其次，研究方程m(x)＝0的解的特点，是常数，还是与参数有关的变数．若方程m(x)＝0的解与参数有关，往往讨论它们是否在函数定义域内；再次，要确定方程m(x)＝0的解在函数定义域的排列顺序，即确定大小，往往需要讨论．如果方程m(x)＝0是超越方程，一是观察，确定方程m(x)＝0的解；若观察不出m(x)的符号规律，这时往往对m(x)求导，利用导数研究函数m(x)，确

定m(x)的符号规律，继而确定f′(x)的符号规律，从而解决f(x)的单调性．

例1已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是________．

解后反思

f′(x)的符号变化决定函数的单调性，f′(x)的单调性决定f(x)增长、递减速度的快慢．例2设函数f(x)＝x3－kx2＋x(k∈R)．

(1)当k＝1时，求函数f(x)在点(0，0)处的切线方程；

(2)当k<0时，求函数f(x)在[k，－k]上的最小值m和最大值M.

解后反思

1．函数单调性是函数最重要的性质，函数的变化形态决定了函数的极值、最值、

零点，因此利用导数研究单调性是基础．

2．利用导数研究函数单调性，要归结于函数定义域内导函数零点的研究．运用函数与方程、数形结合的思想研究函数零点．对于含参数的问题，注意分类讨论．

例3已知函数f(x)＝ln x＋1

e x(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)设g(x)＝xf′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数，证明：对任意x＞0，g(x)＜1＋e－2.

解后反思

从f′(x)中剥离出来决定导函数f′(x)符号的函数h(x)，若方程h(x) ＝0是超越方程，不能求解，就利用函数与方程思想，观察方程的解或确定方程是否有解；或研究h(x)是否恒大于等于零或恒小于等于零．

总结感悟

1．利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．

2．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义

判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．

3．函数f(x)在某个区间内单调递增，则f′(x)≥0而不是f′(x)>0 (f′(x)＝0在有限个点处取到)．

4．利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义．

【误区警示】

1．研究函数问题，首先要明确函数的定义域．利用导数解决函数问题时，不能

让自变量的范围发生变化．如f(x)＝ln x，定义域为(0，＋∞)，求导后f′(x)＝1 x，

x的取值范围为(－∞，0)∪(0，＋∞)．

2．已知f(x)在给定区间的单调性，应转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0，非f′(x)>0或f′(x)>0.

A级

1．(2016·全国Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．

2．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是________．

3．函数y＝f(x)在一点的导数值为0是函数y＝f(x)在这点取极值的__________条件．

4．函数f(x)＝12x－x3在区间[－3，3]上的最小值是________．5．(2016·全国Ⅱ)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x ＋1)的切线，则b＝________．

6．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x)＝x＋e x，则f′(1)＝________．

B级

7．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点的个数为________．

8．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为____________．

9．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′(π

2)sin x＋cos x，则f′(π

4)＝________．

10．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)e x，若f(x)在[－1，1]上是单调减函数，则a 的取值范围是________．

11．若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值是________．

12．已知关于x的函数f(x)＝ax－a

e x(a≠0)．

(1)当a＝－1时，求函数f(x)的极值；

(2)若函数F(x)＝f(x)＋1没有零点，求实数a的取值范围．

第6讲理清三个关系是复习好“导数及应用”的关键

题型分析

例1②

解析由y＝f′(x)的图象知，f′(x)≥0，y＝f(x)为增函数．

f′(x)在区间(－1，0)上递增，说明y＝f(x)图象的切线斜率随x的增大而增大，则f(x)区间(－1，0)上增长速度越来越快．在(0，1)上f′(x)递减，说明y＝f(x)图象的切线斜率随x的增大而减小，说明f(x)在区间(0，1)上增长速度越来越慢．故填②.

例2解f′(x)＝3x2－2kx＋1，

(1)当k＝1时，f′(0)＝1，

即f(x)在点(0，0)处的切线斜率k＝1，

∴f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.

(2)当k<0时，f′(x)＝3x2－2kx＋1，其开口向上，对称轴x＝k

3，且过(0，1)点．

①当Δ＝4k2－12＝4(k＋3)(k－3)≤0，即－3≤k<0时，f′(x)≥0，f(x)在[k，－k]上单调递增．

∴m＝f(x)min＝f(k)＝k，

M＝f(x)max＝f(－k)＝－2k3－k.

②当Δ＝4k2－12>0，即k<－3时，

令f′(x)＝0得x1＝k＋k2－3

3，x2＝

k－k2－3

3，且k

∴m＝min{f(k)，f(x1)}，

M＝max{f(－k)，f(x2)}．

又f(x1)－f(k)＝x31－kx21＋x1－k ＝(x－k)(x21＋1)>0，

∴m＝f(k)＝k，

又f(x2)－f(－k)

＝x32－kx22＋x2－(－k3－k·k2－k) ＝(x2＋k)[(x2－k)2＋k2＋1]<0，∴M＝f(－k)＝－2k3－k.

综上，当k<0时，f(x)的最小值m＝k，最大值M＝－2k3－k.

例3(1)解由f(x)＝ln x＋1

e x，

得f′(x)＝1－x－x ln x

x e x，x∈(0，＋∞)，

令h(x)＝1－x－x ln x，x∈(0，＋∞)，

可看出h(1)＝0，

当x∈(0，1)时，h(x)＞0；

当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0.

又e x＞0，

所以x∈(0，1)时，f′(x)＞0；

x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0.

因此f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)证明因为g(x)＝xf′(x)，

所以g(x)＝1

e x(1－x－x ln x)，x∈(0，＋∞)．

由(1)知h(x)＝1－x－x ln x，

求导得h′(x)＝－ln x－2，

所以当x∈(0，e－2)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增；当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减．

所以当x∈(0，＋∞)时，h(x)≤h(e－2)＝1＋e－2.

又当x∈(0，＋∞)时，0＜1

e x＜1，

所以当x∈(0，＋∞)时，1

e x h(x)＜1＋e

－2，即g(x)＜1＋e－2.

综上所述结论成立．

线下作业

1．2x＋y＋1＝0 2.(2，＋∞) 3．必要不充分 4.－16

5．1－ln 2

解析y＝ln x＋2的切线为：y＝1

x1·x＋ln x1＋1(设切点横坐标为x1)．

y ＝ln(x ＋1)的切线为：y ＝

1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2

x 2＋1

，(设切点横坐标为x 2) ∴?????1x 1＝

x 2＋1，ln x 1＋1＝ln （x 2＋1）－x 2

x 2＋1

解得x 1＝12，x 2＝－1

2，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2. 6．2

解析设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)， ∴f (t )＝ln t ＋t

∴f ′(t )＝1

t ＋1，∴f ′(1)＝2. 7．1

解析极小值点应有先减后增的特点． 8．(－1，＋∞)

解析设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)，则m ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴m (x )在R 上是增函数．∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，∴m (x )>0的解集为{x |x >－1}，即f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞)． 9．－ 2

解析因为f (x )＝f ′(π

2)sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′(π

2)cos x －sin x ，所以f ′(π2)＝f ′(π2)cos π2－sin π

2，即f ′(π

)＝－1，

所以f (x )＝－sin x ＋cos x . f ′(x )＝－cos x －sin x .

故f ′(π4)＝－cos π4－sin π

4＝－ 2. 10．[3

4，＋∞)

解析 f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x ，

由题意当x ∈[－1，1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0在x ∈[－1，1]时恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有???g （－1）≤0，g （1）≤0，

即???（－1）2

＋（2－2a ）·

（－1）－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，

解得a ≥3

4. 11．16

解析依题意，f (x －2)为偶函数，

f (x －2)＝(－x 2＋4x －3)[x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＋b ]，其中x 3的系数为8－a ，故a ＝8， x 的系数为28＋4b －11a ，故b ＝15，令f ′(x )＝0，得x 3＋6x 2＋7x －2＝0，由对称轴为x ＝－2可知，

将该式分解为(x ＋2)(x 2＋4x －1)＝0，

可知其在5－2和－5－2处取到最大值，最大值为16. 12．解 (1)f ′(x )＝－a e x （x －2）

（e x ）2

＝－a （x －2）e x

，x ∈R .

当a ＝－1时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：

所以，当a

(2)F′(x)＝f′(x)＝－a（x－2）

e x.

①当a<0时，F(x)，F′(x)的情况变化如下表：

因为F(1)＝

若使函数F(x)没有零点，需且仅需

F(2)＝a

e2＋1>0，解得a>－e

2，

所以此时－e2

②当a>0时，F(x)，F′(x)的情况变化如下表：

因为F(2)>F(1)>0，且F(1－10

a)＝

e1－

a－10

e1－

e－10

e1－

<0，

所以此时函数F(x)总存在零点．

(或：当x>2时，F(x)＝a（x－1）

e x＋1>1，

当x<2时，令F(x)＝a（x－1）

e x＋1<0，

即a(x－1)＋e x<0，

由于a(x－1)＋e x

得x<1－e2

a，即x<1－

a时F(x)<0，即x<2时F(x)存在零点．)

综上所述，所求实数a的取值范围是－e2

(完整word版)第一章导数及其应用测试题(含答案)

第一章导数及其应用测试题一、选择题 1．设x x y sin 12-=，则='y （）． A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B ．x x x x x 2 2sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．x x x x sin ) 1(sin 22--- 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （）． A ． 54 B ．52 C ．51 D ．5 3 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3 ) (32lim 3--→x x f x x 的值为（）． A ．4- B ．0 C ．8 D ．不存在 4．曲线3 x y =在点)8,2(处的切线方程为（）． A ．126-=x y B ．1612-=x y C ．108+=x y D ．322-=x y 5．已知函数d cx bx ax x f +++=2 3)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ， )0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22 131)(2 3，当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则 1 2 --a b 的取值范围是（）． A ．)1,4 1( B ．)1,2 1( C ．)4 1,21(- D ．)2 1,21(- 7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x += 在区间]2 ,0[π 的值域为（）． A ．]21,21[2π e B ．)2 1 ,21(2πe C ．],1[2πe D ．),1(2π e 8．积分 =-? -a a dx x a 22（）．

高三数学专题复习：导数及其应用

【考情解读】导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查：一是导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义；二是导数的应用，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，已成为高考热点问题；三是应用导数解决实际问题．【知识梳理】 1．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点处的切线的，其切线方程是．注意：函数在点P0处的切线与函数过点P0的切线的区别：． 2．导数与函数单调性的关系 (1)() '>0是f(x)为增函数的条件． f x 如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0． (2)() '≥0是f(x)为增函数的条件． f x 当函数在某个区间内恒有() '＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调 f x 性．注意：导数值为0的点是函数在该点取得极值的条件．

3．函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题． (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有． (3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的． 4．几个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1)(sin x )′＝； (2)(cos x )′＝； (3)(e x )′＝； (4)(a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (5)(x a )′＝； (6)(log e x )′＝； (7)(log a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (8)′＝； (9)??????? ? f (x ) g (x )′＝ (g (x )≠0) ．

导数及其应用概念及公式总结

导数与微积分重要概念及公式总结 1.平均变化率：=??x y 1212) ()(x x x f x f -- 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率 2.导数的概念从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 000 0()()lim lim x x f x x f x y x x ?→?→+?-?=?? 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 3.导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，（其中 00(,())x f x 为切点），即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x k x ?→+?-'==? 切线方程为：()()()000x x x f x f y -'=- 4.常用函数的导数：（1）y c = 则'0y = （2）y x =，则'1y = （3）2y x =，则'2y x = （4）1y x = ，则'21y x =- （5）*()()n y f x x n Q ==∈，则'1n y nx -= （6）sin y x =，则'cos y x = （7）cos y x =，则'sin y x =- （8）()x y f x a ==，则'ln (0)x y a a a =?> （9）()x y f x e ==，则'x y e = （10）()log a f x x =，则'1 ()(0,1)ln f x a a x a = >≠

数学人教A版选修2-2讲义：第一章导数及其应用1.1 1.1.1～1.1.2

1．1.1～1.1.2 变化率问题导数的概念 1．平均变化率函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率Δy Δx ＝□ 01f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 . 若函数y ＝f (x )在点x ＝x 0及其附近有定义，则函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率是Δy Δx ＝□ 02f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 2．瞬时变化率设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变Δx 时，函数值的改变量Δy ＝□ 03f (x 0＋Δx )－f (x 0)．如果当Δx 趋近于0时，平均变化率Δy Δx 趋近于一个常数L ，则常数L 称为函数f (x )在x 0的瞬时变化率，记作□ 04lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝L . 3．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数一般地，函数y ＝f (x )在点x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx ＝□ 05lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或□ 06y ′| x ＝x 0.即f ′(x 0)＝□ 07lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 简言之，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是y ＝f (x )在x ＝x 0处的□ 08瞬时变化率．

导数概念的理解 (1)Δx→0是指Δx从0的左右两侧分别趋向于0，但永远不会为0. (2)若f′(x0)＝lim Δx→0Δy Δx存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值． (3)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0，于是f′(x0)＝lim x→x0f(x)－f(x0) x－x0 与概念中的f′(x0)＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx意义相同． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．() (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．() (3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．() 答案(1)√(2)×(3)× 2．做一做 (1)自变量x从1变到2时，函数f(x)＝2x＋1的函数值的增量与相应自变量的增量之比是________． (2)函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________． (3)函数y＝f(x)＝1 x在x＝－1处的导数可表示为________．答案(1)2(2)2(3)f′(－1)或y′|x ＝－1 探究1求函数的平均变化率例1求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值． [解]函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 f(x0＋Δx)－f(x0) (x0＋Δx)－x0＝ [3(x0＋Δx)2＋2]－(3x20＋2) Δx ＝6x0·Δx＋3(Δx)2 Δx＝6x0＋3Δx. 当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.

2019衡水名师原创理科数学专题卷：专题五《导数及其应用》

2019届高三一轮复习理科数学专题卷专题五导数及其应用考点13：导数的概念及运算（1,2题）考点14：导数的应用（3-11题，13-15题，17-22题）考点15：定积分的计算（12题，16题）考试时间：120分钟满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。） 1.【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考考点13 易函数()2sin f x x =的导数是（） A.2sin x B.22sin x C.2cos x D.sin 2x 2．【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考考点13 易已知()21cos 4 f x x x =+，()'f x 为()f x 的导函数，则()'f x 的图像是（） 3.【2017课标II ，理11】考点14 易若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（） A.1- B.32e -- C.35e - D.1 4．【来源】2017届湖北孝感市高三理上学期第一次统考考点14 中难若曲线()ln y x a =+的一条切线为y ex b =+，其中,a b 为正实数，则2e a b + +的取值范围是（） A.2,2e e ??++∞ ??? B.[),e +∞ C.[)2,+∞ D.[)2,e 5．【来源】2017届福建闽侯县三中高三上期中考点14 难已知函数2x y =的图象在点),(2 00x x 处的切线为l ，若l 也与函数x y ln =，)1,0(∈x 的图象相切，则0x 必满足（）

微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。第三章微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，

高中数学选修22：第一章导数及其应用单元测试题.doc

数学选修 2-2 第一章单元测试题一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数f′(x) 在( a，b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)在开区间( a，b)内有极小值点() A．1 个B．2 个 C．3 个D．4 个 1 1 2．在区间[ 2，2] 上，函数 f ( x)＝x2＋px＋q 与g( x)＝2x＋x2在 1 同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[2，2]上的最大值是() C．8D．4 2 3．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α 的取值范围是( ) ππ3 A．[0 ，2 ] B．[0 ，2 ] ∪[ 4π，π) 3 π 3 C．[ 4π，π ) D．[ 2，4π] 1 4．已知函数f ( x) ＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f ( x) ＋9≥0恒成立，则实数 m的取值范围是()

3 3 A．m≥2 B．m＞2 3 3 C．m≤2 D．m＜2 x 2 2 5．函数f ( x) ＝cos x－2cos 2的一个单调增区间是 () f x 0＋3 －f x 0 Δx 6．设f ( x) 在x＝x0 处可导，且lim Δx ＝1， Δx→0 则 f ′(x0)等于( ) A．1 B．0 C．3 x＋9 7．经过原点且与曲线y＝x＋5相切的切线方程为() A．x＋y＝0 B．x＋25y＝0 C．x＋y＝ 0 或x＋25y＝0 D．以上皆非 8．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－ 3b＜0 时，f ( x) 是() A．增函数 B．减函数 C．常数 D．既不是增函数也不是减函数

高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？函数导函数不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？

第一章导数及其应用练习题

第一章导数及其应用练习题部门： xxx 时间： xxx 整理范文，仅供参考，可下载自行编辑

第一章导数及其应用 1．1 变化率与导数 1．1.1 变化率问题1．1.2 导数的概念 1．已知函数f(x>＝2x2－4的图象上一点(1，－2>及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy>，则错误!等于( >．b5E2RGbCAP A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx>2 2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是( >． A．4 B．4.1 C．0.41 D．3 3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2>(s的单位为m，t的单位为s>，那么其在1.2 s末的瞬时速度为( >．p1EanqFDPw A．－4.8 m/s B．－0.88 m/sC．0.88 m/s D．4.8 m/s 4．已知函数y＝2＋错误!，当x由1变到2时，函数的增量Δy＝________. 5．已知函数y＝错误!，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________. 6．利用导数的定义，求函数y＝错误!＋2在点x＝1处的导数．7．已知函数y＝f(x>＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( >． A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 8．设函数f(x>可导，则错误!错误!等于( >．DXDiTa9E3d A．f′(1> B．3f′(1> C.错误!f′(1> D．f′(3>

9．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________． 10．某物体作匀速运动，其运动方程是s＝vt，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．RTCrpUDGiT 11．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝ 1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．5PCzVD7HxA 12．(创新拓展>已知f(x>＝x2，g(x>＝x3，求满足f′(x>＋2＝g′(x>的x的值． 1.1.3导数的几何意义 1．已知曲线y＝错误!x2－2上一点P错误!，则过点P的切线的倾斜角为( >．jLBHrnAILg A．30° B．45° C．135° D．165° 2．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2>，则A处的切线斜率等于( >． A．2 B．4C．6＋6Δx＋2(Δx>2D．6 3．设y＝f(x>存在导函数，且满足错误!错误!＝－1，则曲线y＝f(x>上点(1，f(1>>处的切线斜率为( >．xHAQX74J0X A．2 B．－1 C．1 D．－2 4．曲线y＝2x－x3在点(1,1>处的切线方程为________．