西城区2015-2016学年度第一学期期末高三数学(理)试题及答案word版

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷

高三数学（理科） 2016.1

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项．

1．设集合{|1}A x x =>，集合{2}B a =+，若A B =? ，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）(,1]-∞- （B ）(,1]-∞ （C ）[1,)-+∞ （D ）[1,)+∞

2. 下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ）

（A ）21y x =+ （B ）e e x x y -=- （C ）lg ||y x = （D

）y

3. 设命题p ：“若1sin 2

α=，则π6

α=”，命题q ：“若a b >，则

11

a b

<”，则（ ） （A ）“p q ∧”为真命题 （B ）“p q ∨”为假命题 （C ）“q ?”为假命题 （D ）以上都不对

4. 在数列{}n a 中，“对任意的*n ∈N ，2

12n n n a a a ++=”是“数列

{}n a 为等比数列”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个 几何体的表面积是（ ） （A

）16+ （B

）16+ （C

）20+ （D

）20+

侧(左)视图

正(主)视图

俯视图

6. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-??

???

≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =

（ ）

（A ）3

2 （B ）32- （C ）14

（D ）14-

7. 某市乘坐出租车的收费办法如下：

相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中1 （A ）1

2[]42y x =-+

（B ）1

2[]52y x =-+

（C ）1

2[]42y x =++

（D ）1

2[]52

y x =++

8. 如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，

2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ?

成立，

那么λ的取值范围是（ ） （A ）(0,7) （B ）(4,7) （C ）(0,4) （D ）(5,16)-

F

D P C

B

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.

10．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A B =，3a =，2c =，则c o s C =____.

11．双曲线C ：221164

x y -=的渐近线方程为_____；设12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，P 为C

上一点，且1||4PF =，则2||PF =____.

12．如图，在ABC ?中，90ABC ∠= ，3AB =，4BC =，点O 为BC 的中点，以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN =____；AM

MC

= ____.

13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴

趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）

14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C

）满足函数关系6

0,

264, , 0.kx x t x +?=?>?

≤ 且该食品在4C

的保鲜时间是16小时.

已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论： ○

1 该食品在6C 的保鲜时间是8小时； ○

2 当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少； ○

3 到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ○

4 到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中，所有正确结论的序号是____.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）

已知函数()cos (sin )f x x x x =+，x ∈R . （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）设0α>，若函数()()g x f x α=+为奇函数，求α的最小值.

16．（本小题满分13分）

甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：

（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率； （Ⅱ）如果7x y ==，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，求X 的分布列和数学期望；

（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明）

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠= ，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠= ,2AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.

（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；

（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ；

（Ⅲ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线

ME 与平面ABCD 所成的角相等，求

PM

PD

的值.

18．（本小题满分13分）

已知函数2

()1f x x =-，函数()2ln g x t x =，其中1t ≤．

（Ⅰ）如果函数()f x 与()g x 在1x =处的切线均为l ，求切线l 的方程及t 的值； （Ⅱ）如果曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．

F C

A

D

P

M

B E

已知椭圆C :)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为2

3

，点A 在椭圆C 上.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.

20．（本小题满分13分）

在数字21,2,,()n n ≥的任意一个排列A ：12,,,n a a a 中，如果对于,,i j i j *

∈

i j a a >，那么就称(,)i j a a 为一个逆序对. 记排列A 中逆序对的个数为()S A .

如=4n 时，在排列B ：3, 2, 4, 1中，逆序对有(3,2)，(3,1)，(2,1)，(4,1)，则()4S B =.

（Ⅰ）设排列 C ：

3, 5, 6, 4, 1, 2，写出()S C 的值；

（Ⅱ）对于数字1，2， ，n 的一切排列A ，求所有()S A 的算术平均值；

（Ⅲ）如果把排列A ：12,,,n a a a 中两个数字,()i j a a i j <交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A '：12,,,n b b b ，求证：()()S A S A '+为奇数.

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末

高三数学（理科）参考答案及评分标准

2016.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．A 2．C 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．13i -- 10．7

9

11．12

y x =±

12 12． 2 9

16

13．54 14．○1 ○4 注：第11，12题第一问2分，第二问3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：()cos (sin )f x x x x =+-

2sin cos 1)x x x =+

-

1sin 222x x =

………………4分

π

sin(2)3x =+，

………………6分

所以函数()f x 的最小正周期2π

=π2T =. ………………7分

由πππ

π2π+232

22x k k -+≤≤，k ∈Z ，

得5ππππ+1212

x k k -

≤≤， 所以函数()f x 的单调递增区间为5ππ

ππ+]1212

[k k -,，k ∈Z . ………………9分 （注：或者写成单调递增区间为5ππ

ππ+)1212

(k k -

,，k ∈Z . ） （Ⅱ）解：由题意，得π

()()sin(22)3

g x f x x αα=+=++，

因为函数()g x 为奇函数，且x ∈R ，

所以(0)0g =，即π

sin(2)03

α+=， ………………11分

所以π

2π3

k α+=，k ∈Z ， 解得ππ

26

k α=

-，k ∈Z ，验证知其符合题意. 又因为0α>， 所以α的最小值为

π

3

. ………………13分

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A ， ………………1分 由题意，得24

21

()C 3P A =

=， 所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为1

3

. ……4分

（Ⅱ）解：由题意，X 的所有可能取值为13，15，16，18， ………………5分

且3(13)8P X ==，1(15)8P X ==，3(16)8P X ==，1

(18)8

P X ==，………………7分

所以X 的分布列为：

……………… 8分 所以3131

()13151618158888

E X =?+?+?+?=. ………………10分

（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8. ………………13分

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠= ， 所以AB AC ⊥.

由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，

所以EF AC ⊥. ………………1分 因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠= ，

所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分

又因为EF ?底面ABCD ，

所以PA EF ⊥. ………………3分 又因为PA AC A = ，PA ?平面PAC ，AC ?平面PAC ，

所以EF ⊥平面PAC . ………………4分 （Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点， 所以//MF PA ，

又因为MF ?平面PAB ，PA ?平面PAB ， 所以//MF 平面PAB . ………………5分

同理，得//EF 平面PAB .

又因为=MF EF F ，MF ?平面MEF ，EF ?平面 所以平面//MEF 平面PAB . ………………7分又因为ME ?平面MEF ，

所以//ME 平面PAB . ………………9分

（Ⅲ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，

则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -，

所以(2,0,2)PB =- ，(2,2,2)PD =-- ，(2,2,0)BC =-

， ………………10分

设

([0,1])PM

PD

λλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=-- ， 所以(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--

，

易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m . ………………11分 设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，

由0BC ?= n ，0PB ?= n ，得220,

220,

x y x z -+=??

-=? 令1x =, 得(1,1,1)=n . ………………12分

因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，

所以|cos ,||cos ,|ME ME <>=<> m n ，即||||||||||||

ME ME ME ME ??=??

m n m n ， ………………13分 D

所以 |22|

λ-=，

解得λλ=. ………………14分

18.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：求导，得()2f x x '=，2()t

g x x

'=

，(0)x >． ………………2分 由题意，得切线l 的斜率(1)(1)k f g ''==，即22k t ==，解得1t =． ……………3分 又切点坐标为(1,0)，所以切线l 的方程为220x y --=． ………………4分 （Ⅱ）解：设函数2()()()12ln h x f x g x x t x =-=--，(0,)x ∈+∞． ………………5分 “曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点”等价于“函数()y h x =有且仅有一 个零点”．

求导，得2222()2t x t

h x x x x

-'=-=. ………………6分

① 当0t ≤时，

由(0,)x ∈+∞，得()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞单调递增．

又因为(1)0h =，所以()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………8分

② 当1t =时，

当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：

所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，

所以当1x =时，min

()

(1)0h x h ==，

故()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………10分

③ 当01t <<时，

令()0h x '=，解得x =

当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：

所以()h x 在上单调递减，在)+∞上单调递增，

所以当x =min

()

h x h =． ………………11分

因为(1)0h =1<，且()h x 在)+∞上单调递增，

所以(1)0h h <=. 又因为存在12e

(0,1)t

-∈ ，111122()12ln 0t

t

t

t

h t -

--

-=--=>e

e e

e ，

所以存在0(0,1)x ∈使得0()0h x =，

所以函数()y h x =存在两个零点0x ，1，与题意不符.

综上，曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点时，t 的范围是0{|t t ≤，或1}t =.

………………13分

19．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：由题意，得c a =222a b c =+， ………………2分

又因为点A 在椭圆C 上，

所以221314a

b

+=， ………………3分

解得2a =，1b =，c ，

所以椭圆C 的方程为14

22

=+y x . ………………5分

（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y +=. ………………6分 证明如下：

假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r +=>.

当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=. ………………7分

由方程组22

,1,4

y kx m x y =+??

?+=?? 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ………………8分 因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，

所以2221(8)4(41)(44)0km k m ?=-+-=，即2241m k =+. ………………9分

由方程组222

,

,

y kx m x y r =+??+=? 得2222(1)20k x kmx m r +++-=， ………………10分 则22222(2)4(1)()0km k m r ?=-+->.

设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则122

21km x x k -+=+，22

1221

m r x x k -?=+， ………………11分 设直线1OP ，2OP

的斜率分别为1k ，2k ， 所以22

1212121212121212

()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++=== 222

2

22222222222111

m r km k km m m r k k k m r m r k --?+?+-++==--+， ………………12分

将2

2

41m k =+代入上式，得221222(4)1

4(1)

r k k k k r -+?=+-.

要使得12k k 为定值，则22

41

41r r

-=-，即25r =，验证符合题意. 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足12k k 为定值1

4

-

. ………………13分

当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±， 此时，圆225x y +=与l 的交点12,P P 也满足12

1

4

k k =-. 综上，当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足斜率之积12k k 为定值14

-. ………………14分 20．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：()10S C =； ………………2分 （Ⅱ）解：考察排列D ：

121,,,,n n d d d d - 与排列1121,,,,n n D d d d d - ：，

因为数对(,)i j d d 与(,)j i d d 中必有一个为逆序对（其中1i j n <≤≤）， 且排列D 中数对(,)i j d d 共有2(1)

C 2

n n n -=个， ………………3分 所以1(1)

()()2

n n S D S D -+=

. ………………5分 所以排列D 与1D 的逆序对的个数的算术平均值为

(1)

4

n n -. ………………6分 而对于数字1，2， ，n 的任意一个排列A ：12,,,n a a a ，都可以构造排列A 1：

121,,,,n n a a a a - ，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为

(1)

4

n n -. 所以所有()S A 的算术平均值为

(1)

4

n n -. ………………7分 （Ⅲ）证明：○

1当1j i =+，即,i j a a 相邻时， 不妨设1i i a a +<，则排列A '为12112,,,,,,,,i i i i n a a a a a a a -++ ，

此时排列A '与排列A ：12,,,n a a a 相比，仅多了一个逆序对1(,)i i a a +， 所以()()1S A S A '=+，

所以()()2()1S A S A S A '+=+为奇数. ………………10分 ○2当1j i ≠+，即,i j a a 不相邻时，

假设,i j a a 之间有m 个数字，记排列A ：1212,,,,,,,,,,i m j n a a a k k k a a ， 先将i a 向右移动一个位置，得到排列A 1：12112,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k a k k a a - ， 由○1，知1()S A 与()S A 的奇偶性不同，

再将i a 向右移动一个位置，得到排列A 2：121123,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k k a k k a a - ， 由○1，知2()S A 与1()S A 的奇偶性不同，

以此类推，i a 共向右移动m 次，得到排列A m ：1212,,,,,,,,,,m i j n a a k k k a a a ，

再将j a 向左移动一个位置，得到排列A m +1：1211,,,,,,,,,,i m j i n a a a k k a a a - ， 以此类推，j a 共向左移动m +1次，得到排列A 2m +1：121,,,,,,,,,j m i n a a a k k a a ， 即为排列A '，

由○1，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，

而排列A 经过21m +次的前后两数交换位置，可以得到排列A '， 所以排列A 与排列A '的逆序数的奇偶性不同， 所以()()S A S A '+为奇数.

综上，得()()S A S A '+为奇数. ………………13分