第23讲 含参数的一元二次方程的整数根问题
含参数的一元二次方程的整数根问题
对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．本讲结合例题来讲解一些主要的方法．
例1 m是什么整数时，方程
(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0
有两个不相等的正整数根．
解法1首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得
由于x1，x2是正整数，所以
m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，
解得m=2．这时x1=6，x2=4．
解法2首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知
所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即
m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，
只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5．
经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．
说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法．
例2 已知关于x的方程
a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0
(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．
分析“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来．
解因为a≠0，所以
所以
所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5．
例3设m是不为零的整数，关于x的二次方程
mx2-(m-1)x＋1＝0
有有理根，求m的值．
解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令
Δ=(m-1)2-4m＝n2，
其中n是非负整数，于是
m2-6m+1=n2，
所以 (m-3)2-n2=8，
(m-3＋n)(m-3-n)＝8．
由于m-3＋n≥m-3-n，并且
(m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3)
是偶数，所以m-3＋n与m-3-n同奇偶，所以
说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．
例4 关于x的方程
ax2+2(a-3)x+(a-2)=0
至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．
解当a=0时，原方程变成-6x-2=0，无整数解．
当a≠0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式
Δ＝4(a-3)2-4a(a-2)＝4(9-4a)
为完全平方数，从而9-4a是完全平方数．令9-4a=n2，则n是正奇数，
要使x1为整数，而n为正奇数，只能n=1，从而a=2．要使x2为整数，即n-3｜4，n可取1，5，7，从而a=2，-4，-10．
综上所述，a的值为2，-4，-10．
说明本题是前面两种方法的“综合”．既要用判别式是平方数，又要用直接求根．有时候，往往是几种方法一同使用．
例5 已知关于x的方程
x2＋(a-6)x＋a=0
的两根都是整数，求a的值．
解设两个根为x1≥x2，由韦达定理得
从上面两式中消去a得
x1x2+x1+x2＝6，
所以 (x1＋1)(x2+1)=7，
所以a=x1x2=0或16．
说明利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于x1，x2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的．
例6求所有有理数r，使得方程
rx2+(r+1)x＋(r-1)=0
的所有根是整数．
分析首先对r=0和r≠0进行讨论．r=0时，是关于x的一次方程；r≠0时，是关于x的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效．可用韦达定理，先把这个有理数r消去．
解当r=0时，原方程为x-1=0，所以x=1．
当r≠0时，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为x1，x2，且x1≥x2，则
消去r得
x1x2-x1-x2＝2，
所以(x1-1)(x2-1)=3．
例7已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程
ax2＋2(2a-1)x＋4(a-3)=0
至少有一个整数根，求a的值．
解将原方程变形为
(x＋2)2a= 2(x＋6)．
显然x＋2≠0，于是
由于a是正整数，所以a≥1，即
所以 x2+2x-8≤0，
(x＋4)(x-2)≤0，
所以-4≤x≤2(x≠-2)．
当x=-4，-3，-1，0，1，2时，得a的值为1，6，10，3，
说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4，2；当a=3，6，10时，方程只有一个整数根．有时候，在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解．
例8 已知方程x2+bx+c=0与x2+cx＋b=0各有两个整数根x1，
x2
(2)求证：b-1≤c≤b＋1；
(3)求b，c的所有可能的值．
解 (1)由x1x2＞0知，x1与x2同号．若x1＞0，则x2＞0，
(2)由(1)知，x1＜0，x2＜0，所以x1≤-1，x2≤-1．由韦达定理
c-(b-1)=x1x2＋x1＋x2＋1
=(x1＋1)(x2+1)≥0，
所以 c≥b-1．
同理有
所以 c≤b+1，
所以 b-1≤c≤b+1．
(3)由(2)可知，b与c的关系有如下三种情况：
(i)c=b＋1．由韦达定理知
x1x2=-(x1＋x2)＋1，
所以 (x1＋1)(x2＋1)=2，
解得x1＋x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6．
(ii)c=b．由韦达定理知
x1x2=-(x1＋x2)，
所以 (x1+1)(x2＋1)=1，
所以x1=x2=-2，从而b=4，c=4．
(iii)c=b-1．由韦达定理知
所以
综上所述，共有三组解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)．
练习二十六
1．填空：
(1)方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1，x2，
(2)已知k为整数，且关于x的方程
(k2-1)x2-3(3k-1)x＋18=0
有两个不相同的正整数根，则k=____．
(3)两个质数a，b恰好是关于x的方程x2-21x＋t=0的两个根，
(4)方程x2+px＋q=0的两个根都是正整数，并且p+q=1992，则方程较大根与较小根的比等于____．
(5)已知方程(a2-1)x2-2(5a+1)x＋24=0有两个不相等的负整数根，则整数a的值是____．
2．设m为整数，且4＜m＜40，又方程
(x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8＝0
有两个整数根，求m的值及方程的根．
3．已知关于x的一元二次方程
x2+(m-17)x+m-2=0
的两个根都是正整数，求整数m的值．
4．求使关于x的方程a2x2＋ax＋1-7a2=0的两根都是整数的所有正数a．
5．求所有的整数a，使得关于x的二次方程
ax2＋2ax＋a-9＝0
至少有一个整数根．
一元二次方程公共根
一元二次方程公共根问题 若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题， 两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤： 1.设公共根为α，则α同时满足这两个一元二次方程； 2.用加减法消去α2的项，求出公共根或公共根的有关表达式； 3.把共公根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式． 一、公共根问题 二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根． 二、整数根问题 对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ?=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质． 方程有整数根的条件： 如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件： ⑴ 2?= ⑵ 2b ak -=或2b ak --，其中k 为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可． 另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数) 三、方程根的取值范围问题 先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围 1 已知一元二次方程x 2-4x +k =0有两个不相等的实数根， (1)求k 的取值范围． (2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个相同的根，求此时m 的值． 2 若两个关于x 的方程x 2+x +a =0与x 2+ax +1=0只有一个公共的实数根，求a 的值 3 已知a ＞2，b ＞2，试判断关于x 的方程x 2-（a +b ）x +ab =0与x 2-abx +（a +b ）=0有没有公共根，请说明理由． 4求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根． 5二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和 222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求a b b a b a a a --++的值
含参数的一元二次方程的整数解问题
数学思维的教育 第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问 题 1
对于一元二次方程ax2+ bx+ c=O(a ≠0)的实根情况，可以用判别式Δ =b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质. 本讲 结合例题来讲解一些主要的方法. 例1 m是什么整数时，方程 2 2 (m-1)χ -6(3m-1)x + 72= 0 有两个不相等的正整数根. 2 2 解法1首先，m-1 ≠ 0, m≠± 1. Δ =36(m-3) > 0 ,所以m≠ 3 .用求根公式可得 6 12 Xl = ----------- 7J X i W -------------- 7- m —1 IIl + 1 由于X1, X2是正整数，所以 m1=1, 2, 3, 6, m+1=1, 2, 3, 4, 6, 12, 解得m=2 这时X1=6, X2=4. 2 解法2首先，m-1 ≠ 0, m≠± 1.设两个不相等的正整数根为χ1, χ2,则由根与系数的 关系知 6(3m T) 72 m - I m - 1 所以m-1=2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72,即卩 2 m=3, 4, 5, 7, 9, 10, 13, 19, 25, 37, 73, 只有m=4, 9, 25才有可能，即m=±2, ± 3 , ± 5. 经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根. 说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话),然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的.有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法. 例2已知关于X的方程 2 2 2 2 a X -(3a -8a)X + 2 a -13a +15=0 2
一元二次方程及根的定义
一元二次方程及根的定 义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
一元二次方程及根的定义 1.已知关于的方程的一个根为2，求另一个根及 的值. 思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一个根即可. 解：将代入原方程，得 即 解方程，得 当时，原方程都可化为 解方程，得. 所以方程的另一个根为4，或-1. 总结升华：以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住“根”的概念，并以此为突破口. 举一反三： 【变式1】已知一元二次方程的一个根是，求代数式 的值. 思路点拨：抓住为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题. 解：因为是方程的一个根, 所以, 故, , 所以.
. 总结升华：“方程”即是一个“等式”，在“等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验. 类型二、一元二次方程的解法 2.用直接开平方法解下列方程： (1)3-27x2=0； (2)4(1-x)2-9=0. 解：(1)27x2=3 . (2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程： (1)；(2). 解：(1)由， 得， ，
， 所以， 故. (2)由， 得， ， ， 所以 故 4.用公式法解下列方程： (1)；(2)；(3). 解：(1)这里 并且 所以， 所以，. (2)将原方程变形为， 则 ， 所以，
所以. (3)将原方程展开并整理得， 这里， 并且， 所以. 所以. 总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握，它对我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材. 5.用因式分解法解下列方程： (1)；(2)； (3). 解：(1)将原方程变形为， 提取公因式，得， 因为，所以 所以或， 故 (2)直接提取公因式，得 所以或，(即 故. (3)直接用平方差公式因式分解得
中考试题一元二次方程的整数根
学科：数学 专题：一元二次方程整数根 主讲教师：黄炜 北京四中数学教师 重难点易错点辨析 在解决整数根问题时，还是不要忽略了对二次项系数的讨论。 题一 题面：关于x 的方程()21210a x x a -+--=的根都是整数，求符合条件的a 的整数值. 金题精讲 题一 题面：已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +2k -4=0有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围； (2)若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值. 判别式，考虑参数范围 满分冲刺 题一 题面：已知，关于x 的一元二次方程222(23)41480x m x m m --+-+= ⑴若0m >，求证：方程有两个不相等的实数根； ⑵若1240m <<的整数，且方程有两个整数根，求m 的值． 判别式，整数根
题二 题面：已知关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +1=0. （1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）当m 为何整数时，原方程的根也是整数. 判别式，整数根 讲义参考答案 重难点易错点辨析 题一 答案：当1a =时，1x =； 当1a ≠时，122111 x x a ==-- -，（分离常数）， a ∵为整数 1023a =-∴，，， 综上，a 的整数值为10123-，，，，. 金题精讲 题一 答案：(1)52 k <；(2)k =2. 满分冲刺 题一 答案：⑴证明：[]2 2=2(23)4(4148)84m m m m ?----+=+ ∵0m >， ∴840m +>. ∴方程有两个不相等的实数根． ⑵(23)x m - 且m 为整数． 又∵1240m <<， ∴252181.m <+< ∴5． 21m +∵为奇数， 7= ∴24m =．
一元二次方程根的分布情况归纳总结
一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00 分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0 第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问 题 对于一元二次方程ax2+ bx + c=O(a丸)的实根情况，可以用判别式A=b 2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性 质?本讲结合例题来讲解一些主要的方法? 例1 m是什么整数时，方程 (m2-1)x2-6(3m-1)x + 72 = 0 有两个不相等的正整数根. 解法1首先，m2-1丸,m工± . A=36(m-3) 2> 0,所以m工3.用求根公式可得 6 12 由于x i, X2是正整数，所以 m-仁1 , 2 , 3, 6, m+1=1 , 2, 3, 4, 6, 12, 解得m=2 .这时X1=6 , x2=4 . 解法2首先，m2-1丸,m工± .设两个不相等的正整数根为X1, X2,则由根与系数的关系知 m2= 3 , 4 , 5 , 7 , 9 ,10 ,13, 19,25 , 37 , 73 , 只有m2=4 , 9, 25才有可能，即m= ±2, ±3, ±5. 经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根 说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的.有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法. 例2已知关于x的方程 a2x2-(3a 2-8a)x + 2a2-13a + 15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值. 分析至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根.我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来. 解因为a^O,所以 (3a2 - Sa) ±- 8a)2 - 4a2(2a r-13a + 15) B = 2? (3a2 -8a) ±(a2+ 2a) = 2? ， 所以 3a2 -Sa 4-(? 4-2a) 3 ”—W -------------- 弘'-亦+ 5 Sj=------ 否------ =l_； 所以只要a是3或5的约数即可，即a=1 , 3, 5 . 初三数学培优之一元二次方程的整数根 阅读与思考 解一元二次方程问题时，我们不但需熟练地解方程，准确判断根的个数、符号特征、存在范围，而且要能深入地探讨根的其他性质，这便是大量出现于各级数学竞赛中的一元二次方程的整数根问题。这类问题因涵盖了整数的性质、一元二次方程的相关理论，融合了丰富的数学思想方法而备受命题者的青睐.. 解整系数（即系数为整数）一元二次方程的整数根问题的基本方法有： 1．直接求解 若根可用有理式表示，则求出根，结合整除性求解. 2．利用判别式 在二次方程有根的前提下，通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举讨论、不等分析求解 3．运用根与系数的关系 由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解. 4．巧选主元 若运用相关方法直接求解困难，可选取字母为主元，结合整除知识求解. 例题与求解 【例1】 已知关于x 的方程032)1280()8)(4(2 =+----x k x k k 的解都是整数，求整数k 的值. （绍兴市竞赛试题） 解题思路：用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定k 的值才能全面而准确. 【例2】 q p ,为质数且是方程0132 =+-m x x 的根，那么 q p p q +的值是（ ） A ．22121 B ．22123 C ．22125 D ．22 127 （黄冈市竞赛试题） 解题思路：设法求出q p ,的值，由题设条件自然想到根与系数的关系 【例3】 关于y x ,的方程2922 2=++y xy x 的整数解),(y x 的组数为（ ） A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．无穷多组 解题思路：把2922 2 =++y xy x 看作关于x 的二次方程，由x 为整数得出关于x 的二次方程的根的判别式是完全平方数，从而确定y 的取值范围，进而求出x 的值. 【例4】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2 =-+++r x r rx 有根且只有整数根. （全国初中数学联赛试题） 解题思路：因方程的类型未确定，故应分类讨论. 当0≠r 时，由根与系数的关系得到关于r 的两个不等式，消去r ，先求出两个整数根. 【例5】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数. （全国初中数学联赛试题） 解题思路：设前后两个两位数分别为y x ,，99,10≤≥y x ，则y x y x +=+100)(2 ，即 0)()50(222=-+-+y y x y x ，于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题. 【例6】 试求出所有这样的正整数解a ，使得二次方程0)3(4)12(22 =-+-+a x a ax 至少有一个整数根. （“祖冲之杯”竞赛试题） 解题思路：本题有两种解法. 由于a 的次数较低，可考虑“反客为主”，以a 为元，以x 为已知数整理成一个关于a 的一元一次方程来解答；或考虑因方程根为整数，故其判别式为平方式. 第五讲一元二次方程的整数整数解 从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解； 从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设厶= k2)，通过穷举， 逼近求解； 从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因 数分解、因式分解求解； 从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解. 注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关. 【例题求解】 【例1】若关于x的方程(6_k)(9_k)x2 _(117_15k)x 54=0的解都是整数，则符合条件的整 数是的值有__________ 个. 注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问 题的题设条件，看是否要分类讨论. 【例2】已知a、b为质数且是方程x2 -13x c =0的根，那么- -的值是() a b 127 A. - 22 125 B. 22 C. 123 22 121 D.—— 22 【例3】试确定切有理数r ,使得关于x的方程rx2 (r 2)x r 0有根且只有整数根 【例4】当m为整数时，关于x的方程(2m-1)x2 -(2m 1)x ^0是否有有理根？如果有，求 出m的值；如果没有，请说明理由. 注：一元二次方程ax2 bx 0 (a^ 0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=b2-4ac 为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件. 【例5】若关于x的方程ax2 -2(a -3)x ? (a -13) =0至少有一个整数根，求非负整数a的值. 思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a的两个关系式中消去a也较困难，又因 一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式 法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算， 竞赛辅导 一元二次方程的整数整数解 在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有： 从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解； 从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=2k )，通过穷举，逼近求解； 从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解； 从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解． 注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关． 【例题求解】 【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数是的值有个． 思路点拨用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确． 注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论． 【例2】已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么 b a a b +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121 思路点拨由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、 c 的值． 【例3】试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根． 思路点拨由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当0≠r 时，由根与系数关系得到关于r 的两个等式，消去r ，利用因式(数)分解先求出方程两整数根． 【例4】当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由． 思路点拨整系数方程有有理根的条件是为完全平方数． 设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性． 注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件． 典型例题一 例 求证：如果关于x 的方程922+=+m x x 没有实数根，那么，关于y 的方程0522=+-+m my y 一定有两个不相等的实数根. 分析：由已知，可根据一元二次方程的根的判别式证之. 证明 设方程922+=+m x x 即0922=--+m x x 的根的判别式为1?，方程 0522=+-+m my y 的根的判别式为2?，则 . 36)4( 208)25(4. 440)9(42222221-+=-+=--=?+=++=?m m m m m m m ∵方程922+=+m x x 无实数根， 01+∴m ，即036)4(2>-+m . 故方程0522=+-+m my y 有两个不相等的实数根. 说明：上述证明中，判定02>?用到了01 分析：运用根的判别式判定根的情况时，要首先把方程变形为一元二次方程的一般形式，然后从求出的判别式的值来判定根的判别式的符号，尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“?”化成完全平方式或完全平方式加上（或减去）一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“?”的符号，从而判定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论.这是不解方程判别根的情况的关键. 解：（1）),1(4,2,1-=-==k c k b a )1(414)2(422-??--=-=?∴k k ac b )2(4)44(416 16422 2≥-=+-=+-=k k k k k ∴方程有两个实数根. （2）0≠a ， ∴方程02=+bx ax 是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项，将常数项看作零. ∴2204b a b =?-=?. ∴不论b 取任何实数，2b 均为非负数， 02≥=?b 恒成立. ∴方程有两个实数根. （3）0≠a ， ∴方程02=+c ax 是缺少一次项的不完全的一元二次方程，它的一次项系数0=b . ac a 40402-=?-=?， ∴需要讨论a 、c 的符号，才能确定?的符号. 当0=c 时，0=?，方程有两个相等的实数根； 当a 、c 异号时，0>?，方程有两个不相等的实数根； 当a 、c 同号时，0 1 含参一元二次方程专题复习 一、基础知识梳理 ㈠、一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程根或解. ㈡、24b ac ?=-叫作一元二次方程的判别式： ⑴0?> 方程有两个不相等的实数根12b x a -+= ，22b x a --=; ⑵0?=方程有两个相等的实数根122b x x a ==- ; ⑶0?<方程没有实数根. ㈢、韦达定理：一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两个根1x 、2x ， 则122b x x a +=-；12c x x a =g . 二、基本技能习得 ㈠、分析系数对方程的影响，对方程要深入理解，并灵活应用； ㈡、要分清楚题目条件是“一元二次方程”还是“方程”； ㈢、注意隐含条件，如三角形、等腰三角形等，表示方程的根为正数，而且还有相等的根. 三、基本思想导航 注重数学思想方法渗透，如方程思想、转化思想、数形结合思想、分类思想. ㈠、方程思想，在例3中利用勾股定理建立方程，再实际操作中使用配方法和韦达定理解决问题。例3第2小问，求解中利用等腰三角形的两腰相等建立方程，使问题得到解决； ㈡、转化思想：例2中在求12||A x x =-最值时，通过平方，把问题绝对值去掉转化成二次函数的最值问题，利用配方法求解； ㈢、数形结合思想：在例3中，解题过程中充分利用几何图形的代数表现形式，从而实现了几何和代数的沟通； ㈣、分类思想：要分清楚题目条件是“一元二次方程”还是“方程”，如果是“方程”要分“一元一次方程”和“一元二次方程”；根的判别是都要分类，认清楚是“有实数根”（0?≥）还是“不相等的实数根” （0?>）如例1、例3和例4. 在解题的过程中不是单一的数学思想方法的运用，而是综合使用数学思想方 一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练 一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。 例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？ 分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。 解：∵方程（1）有两个不相等的实数根， ∴ 解得； ∵方程（2）没有实数根， ∴ 解得； 于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是 其中，的整数值有或 当时，方程（1）为，无整数根； 当时，方程（1）为，有整数根。 解得： 所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。 总结：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出 ，这也正是解答本题的基本技巧。 二、判别一元二次方程两根的符号。 例1：不解方程，判别方程两根的符号。 分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若 判定根的正负，则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。 解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0 ∴方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个根为， ∵＜0 ∴原方程有两个异号的实数根。 总结：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。 三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。 例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。 分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。 解法一：把代入原方程，得： 即 解得 当时，原方程均可化为： ， 一元二次方程的整数解 方法1：求根公式，整除性质 1、 若关于x 的方程2(6)(9)(11715)540k k x k x ----+=的解都是整数，求符合条件的 整数k 的值。 解：当6k =时，2x =；当9k =时，3x =-； 当6k ≠且9k ≠时，[(6)9][(9)6]0k x k x ----=， ∴196x k = -，269x k =- ∵12,,k x x 都是整数 ∴k =3，6，7，9，15. 2、 设m 为整数，且440m <<，方程222(23)41480x m x m m --+-+=有两个整数根， 求m 的值及方程的根。 解： ∵222(23)41480x m x m m --+-+= ∴23x m = =-±∵方程有两个整数根，m 为整数，且440m <<，∴1224m =或， ∴当12m =时，116x =，226x =；当24m =时，138x =，252x =。 3、 已知方程2222 (38)213150a x a a x a a --+-+=(0a ≠)至少有一个整数根，求整数a 的值。 解：∵2222 (38)213150a x a a x a a --+-+=(0a ≠) ∴[(5)][(23)]0ax a ax a ----= ∴1551a x a a -==-，2233 2a x a a -==-， ∵方程至少有一个整数根，a 为整数 ∴1a =，3，5，1-，3-，5-。 方法2：从△入手，引入参数 1、 当m 为整数时，关于x 的方程2 (21)(21)10m x m x --++=是否有有理根？如果有， 求出m 的值；如果没有，请说明理由。 解：∵方程有有理根，m 为整数，∴2 4b ac ?=-为完全平方数 可设2 2 2 (21)4(21)(21)4m m m n ?=+--=-+=（n 为整数） ∴(21)(21)4n m n m +--+=， ∵21n m +-与21n m -+奇偶性相同 ∴212212n m n m +-=?? -+=?，212212 n m n m +-=-??-+=-?， ∴1 2m =，这与m 为整数相矛盾， ∴方程没有有理根。 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） a 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧 12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）0a >时，()()00f m f n ???>?? 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况： 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n 一元二次方程整数根问题的几种思维策略 一、利用判别式 例1. 当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+= 与2244450x mx m m -+--=的根都是整数。 解：∵方程2440mx x -+=有整数根， ∴⊿=16-16m ≥0，得m ≤1 又∵方程2244450x mx m m -+--=有整数根 ∴⊿=16m 2－4(4m 2－4m －5) ≥0 得54m ≥- . 综上所述，54 -≤m≤1 ∴x 可取的整数值是－1，0，1 当m=－1时，方程为－x 2-4x+4=0 没有整数解，舍去。 而m≠0 ∴ m=1 23.（东城） 已知关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=，0,0>>b a . （1）若方程有实数根，试确定a ，b 之间的大小关系； （2）若a ∶b 1222x x -=，求a ，b 的值； （3）在（2）的条件下，二次函数222y x ax b =++的图象与x 轴的交点为A 、C （点A 在点C 的左 侧），与y 轴的交点为B ，顶点为D .若点P （x ，y ）是四边形ABCD 边上的点，试求3x －y 的最大值. 解：(1) ∵ 关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实数根, ∴ Δ=,04)2(2 2≥-b a 有a 2－b 2≥0，（a+b ）（a-b ）≥0. ∵ 0,0>>b a , ∴ a+b ＞0,a －b ≥0. ∴ b a ≥. …………………………2分 （2） ∵ a ∶b ， ∴ 设2,a k b ==(k ＞0). 解关于x 的一元二次方程22430x kx k ++=， 得 -3x k k =-或. 当12,= -3x k x k =-时，由1222x x -=得2k =. 当123,= -x k x k =-时，由1222x x -=得25 k =- （不合题意，舍去）. ∴ 4,a b ==. …………………………5分 （3） 当4,a b ==2812y x x =++与x 轴的交点为、C 的交点坐标分别为A （－6，0）、（－2，0），与y 轴交点坐标为（0，12），顶点坐标D 为（－4，－4）. 设z ＝3x －y ，则3y x z =-. 画出函数2 812y x x =++和3y x =的图象，若直线3y x =平行移动时，可以发现当直线 经过点C 时符合题意，此时最大z 的值等于－6 ……………7分 二、利用求根公式 例2．设关于x 的二次方程2222 (68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数， 求满足条件的所有实数k 的值。 解：△=(2k 2-6k-4)2-4(k 2-4)(k 2-6k+8)=4(k-6)2 由求根公式得222642(6)2(68) k k k x k k -++±-=-+ 即 12241,142 x x k k =--=---- 只有当x≠－1时，则有12244,211k k x x -=- -=-++ 两式相减，得 1224211x x -=++, 去分母，整理得 12(3)2x x +=- （ 9）二元一次方程的整数解 【知识精读】 1、 二元一次方程整数解存在的条件： 在整系数方程 ax+by=c 中， 若 a,b 的最大公约数能整除 c,则方程有整数解。即如果（ a,b ）|c 则方程 ax+by=c 有整数解 显然 a,b 互质时一定有整数解。 例如方程 3x+5y=1, 5x －2y=7, 9x+3y=6 都有整数解。 返过来也成立，方程 9x+3y=10 和 4x － 2y=1 都没有整数解， ∵（ 9， 3）＝ 3，而 3 不能整除 10；（ 4， 2）＝ 2，而 2 不能整除 1。 一般我们在正整数集合里研究公约数，（ a,b ）中的 a,b 实为它们的绝对值。 2、 二元一次方程整数解的求法： 若方程 ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数 k 来表示它的通解（即所有的解）。 k 叫做参变数。 方法一：整除法 ：求方程 5x+11y=1 的整数解 解： x= 1 11y = 1 y 10y 1 y 2 y (1) , 5 5 5 1 y k (k 是整数），则 y=1－5k (2) , 设 5 把（ 2）代入（ 1）得 x=k － 2(1－ 5k)=11k － 2 x 11k 2 ∴ 原方程所有的整数解是 （ k 是整数） y 1 5k 方法二：公式法 ： 设 ax+by=c 有整数解 x x 0 则通解是 x x 0 bk （ x 0,y 0 可用观察法） y y 0 y y 0 ak 3、 求二元一次方程的正整数解： i. 出整数解的通解，再解 x,y 的不等式组，确定 k 值 ii. 用观察法直接写出。 【分类解析】 例 1 求方程 5x － 9y=18 整数解的能通解 解： x= 18 9 y 15 10y 3 y 3 2 y 3 y 5 5 5 一元二次方程根的两个特性及简单运用 我们知道方程的解是由方程的系数（包括常数项）决定的。因此，一元二次方程的根与其系数有着密切的联系。教材中我们探索了一元二次方程的二次项系数为1的情况下的两根之和、两根之积与系数的关系。现在我们接着来探索一般形式下的一元二次方程20(0) ax bx c a ++=≠的两根之和、两根之积与系数的关系。 例1、先阅读，再填空解题： (1)方程：x2-4x-12=0 的根是：x 1=6, x 2 =-2，则x 1 +x 2 =4，x 1 ·x 2 =-12； (2)方程2x2-7x+3=0的根是：x 1= 1 2 , x 2 =3，则x 1 +x 2 = 7 2 ，x 1 ·x 2 = 3 2 ； (3)方程3x2+6x-2=0的根是：x 1= , x 2 = .则x 1 +x 2 = ， x 1·x 2 = ； 根据以上（1）(2)(3)你能否猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0且a、b、c为常数）的两根为x 1、x 2 ，那么x 1 +x 2 、x 1 x 2 与系数a、b、c有 什么关系？请写出来你的猜想并说明理由。 解析：方程3x2+5x-2=0的根是：x 1= 1 3 x 2 =-2。则x 1 +x 2 = 5 3 -，x1·x2= 2 3 -。 能猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且a、b、c为常数） 的两根为x 1、x 2 ，那么x 1 +x 2 a b - =、x1x2 a c =。理由如下： 根据求根公式可知，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且a、b、c 为常数）的两根为： a ac b b x 2 4 2 1 - + - =， a ac b b x 2 4 2 2 - - - = 所以x 1+x 2 = a ac b b 2 4 2- + - + a ac b b 2 4 2- - - a b - = x 1x 2 = a ac b b 2 4 2- + - · a ac b b 2 4 2- - - a c = 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，这个方程的两个根与系数的关系是：两根之和，等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数所得的商． 二元一次方程（组）含参问题 二元一次方程（组）中经常会出现含有参数的题目，在解决这类问题之前，我们首先要搞清楚什么是未知数？什么是参数？ 二元一次方程（组）中的“元”就是未知数的意思，所谓的“二元”就是两个未知数，我们常用x 、y 、z 来表示。一般来说，初中阶段提及的整式方程或分式方程中，除了未知数以外的字母我们一般把它看作常数（即参数），我们常用m 、k 等表示。 在二元一次方程（组）中含参问题主要包括以下几种： 1.根据定义求参数 什么是一元二次方程？含两个未知数且未知项的最高次数是1的方程。即同时满足以下几个条件的方程就是二元一次方程：①含两个未知数；②未知项的最高次数是1；③等号的左边和右边都是整式。 例题1、若方程2 1 221=++-m n m y x 是二元一次方程，则mn=______. 例题2、已知关于x 、y 的二元一次方程()() ,6342232=++---n m y n m 则m=_______. 备注：除了要满足次数为1，还要满足系数不能为0. 2. 同解类问题 什么是同解？两个方程组一共含有四个一元二次方程，这四个方程的解相同。 例：已知x 、y 的方程组???-=+=-1332by ax y x 和方程组? ??=+=+3321123by ax y x 的解相同，求a 、b 值。 3.用参数表示方程组的解类问题 已知方程组?? ?=+=-k y x k y x 232的解满足x+y=2，则k=________. 4.错解类问题 遇到错解类问题怎么处理？不要讲解代入看错的方程里，代入另外一个方程中去。 例：小明和小红同解一个二元一次方程组???=+=+)2(1)1(16ay bx by ax ，小明把方程（1）抄错，求得解为???=-=3 1y x ，小红 把方程（2）抄错，求得解为? ??==23y x ，求a 、b 的值。 5. 整体思想类 在做一元二次方程组的题目前，先要观察方程组的特点，不要急于直接用参数表示未知数，看一下将两个方程相加或者相减能不能得到我们需要的结论。 例：已知方程组? ??+=++=+15252k y x k y x 的解互为相反数，求k 的值。含参数的一元二次方程的整数解问题
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