弹塑性力学公式合集

弹性力学假设：连续性假设、均匀性假设、各向同性假设、完全弹性假设、小变形假设、无初应力假设 任意斜截面上的应力Cauchy 公式：

T x = σ x l + τ xy m + τ zx n 、 T y = τ xy l+ σ y m +τ zy n 、 T y =τ xz l+τ y z m +σ z n

弹性体的应力边界条件：x yx zx xy y zy xz yz z l m n X l m n Y l m n Z στττστττσ?

++=??++=??

+++??

主应力、应力张量、不变量 当一点处于某种应力状态时，在过该点的所有截面中，一般情况下存在着三个互相垂直的特殊截面，在这些截面上没有剪应力，这种剪应力等于零的截面称为过该点的主平面，主平面上的正应力称为该点的 主应力，主平面的法线所

指示方向称为该点的主方向

。

静力平衡方程

几何方程：

物理方程

三个基本原理：解的唯一性原理、叠加原理、圣维南原理。

圣维南原理：由作用在物体局部边界表面上的自平衡力系，所引起的应力和应变，在远离作用区的地

方将衰减到可以忽略不计的程度。另一种提法：如果把物体局部边界表面上的力系，使用分布不同但静力等效（主失相等，绕一点的主矩也相等）的力系来代替，则这种等效代换处理使得物体内的应力分布仅在作用区附近有显著影响，而在远离作用区的地方所受影响很小，可以忽略不计。

为什么要用：1、在弹性力学的边值问题中，要求在边界上任意点，应力与面力相等，方向一致，往往难以满足。2、有时只知道边界面上的合力和合力矩，并不知道面力的分布形式。因此，在弹性力学问题

的求解过程中，一些边界条件可以通过某种等效形式提出。 其要点有两处： 一、两个力系必须是按照刚体力学原则的“等效”力系（主矢量和主矩分别等于对应面力的主矢量和主矩）； 二、替换所在的表面必须小，并且替换导致在小表面附近失去精确解。

Cauchy 公式： T x = σ x l + τ xy m +τ zx n T y = τ xy l+σ y m +τ zy n T y =τ xz l+τ y z m +σ z

n

(n z n T n

T στ=

边界条件：

()()()x xy xz s x

xy y yz s y xz yz z s z

l m n T l m n T l m n T στττστττσ++=++=++= 平衡微分方程：

000yx x zx

x xy y zy

y yz xz z

z F x y z F x y z F x y z

τσττστττσ???+++=??????+++=??????+++=??? 主应力、不变量，偏应力不变量

321231230

x y z

x xy y z zx

yz yx y zy xz x z x xy xz

yx y yz

zx zy z I I I I I I σσσσσσστσστττσττσσσττστττσ-+-==++=++

= 1231

();3

m i i m s σσσσσσ=++=-

()()()1123222222230

16()6x y y z z x xy yz zx J s s s J J σσσσσστττ=++=??=-+-+-+++????=偏应力张量行列式的秩

八面体

812381

()

3σσσστ=++

等效应力σ体积应变x y z θεεε=++

12312()E

v v

εσσσ-=

++ 几何方程：

;;;x xy y yz z xy u u v x y x v v w y z y w u w z z x

εγεγεγ???=

=+??????==+

??????==+

??? 1

2

ij ij εγ=

变形协调方程22

222y xy

x xy y x

ετε???+=???

物理方程

()()()12(1)

;12(1);12(1)

;x x y z xy xy y y x z yz yz z z y x zx zx v v E E

v v E E

v v E E

εσσσγτεσσσγτεσσσγτ+??=-+=??+??=-+=??+??=-+=??

偏应力与偏应变的关系 3;2m m ij ij K s Ge σε==

平面应变问题

()()()()()'x ''''

'

''2

11

1111

112(1)2(1)

;0;110;x y x y y y x y x xy xy

xy z zy zx zy zx z x y v v v v E

v v v v E v v E E E v E v v v v εσσσσεσσσσγττεγγττσσσ??=-=--??-??=-=--??-++=====

--=====+ 平面应力问题

()()()x 11

;2(1)0

1

;0

x y y y x xy xy

zy zx zy zx z x y z v v E E v E

v

εσσεσσγτγγττεσσσ=-=-+======-+= 平面问题方程： 平衡方程：

00yx

x x xy y

y F x y F x y

τστσ??++=????++=?? 几何方程

;;x y xy u v u v

x y y x

εεγ????===+????

边界条件

;x yx x xy y y l m T l m T σττσ+=+=

位移边界条件;x x y y u u u u ==

协调方程

平面应变22

222y xy

x xy y x

ετε???+=???

平面应力222220;0;0z z z

xy x y

εεε???===??? 平面问题应力解（直角坐标系）

22222x x y y xy F x

y F y x xy

?

σ?

σ?τ?=-??=-??=-

?

协调方程：

2222

22222()()()0x y x y x y

?σσ????+=++=???? 平面问题应力解（极坐标系） 平衡微分方程：

10210r r r r r r F r r r F r r r

θθ

θθθ

θτσσσθτστθ?-?+++=????+++=?? 几何方程：

1;1r r r r r u u u r r r u u u r r r

θ

θθθθ

εεθγθ??==+????=+-?? 本构方程：

()()r 11

;2(1)r r r

r

v v E E v E

θθθθθεσσεσσγτ=-=-+= 变形协调：222

22211()0r r r

r θ???++=???

已知应力函数?，求应力 22222

22211;111()

r r r r r r r r r r r θθ???σσθ????τθθ

θ???=+=???????=-+=-????? 极坐标求解的对称问题

222

2ln ln (12ln )2(32ln )2r A r Br r cr D A

r C r A

r C

r

θ?σσ=+++=

+++=-+++B B b B 0q ,q ,

a =中间有空洞，位移单值要求环内力环外力

()()()()2222

2222222222

2222222

1''''

''a b (1)(1)b b (1)(1)D u D r r

1121ln 1113cos sin 4sin cos r a b

r a b

r b a q q a b r b a r b a

q q b a r b a r

A u v v Br r r E v Cr I K E

Br u Hr I K E θσσθθθθθ

=-----=+-+--=+

??=-++--??

??

+-++=+-+位移：平面应变下：

()()[]

()()

[]

r (1)112(1)112r r E

u u u u E

u u u u θθθσεεσεε=-++-=-++-

屈服条件 Tresca 屈服条件

()12

111s

22ij s

f k σσσστ-=

-===单轴拉伸：k ;纯剪切：k

Mises 屈服条件

()()()(

)222

2222222220

16()6K K ij x y y z z x xy yz zx s s

f J k J σσσσσσστττσ=-=??=-+-+-+++???

?=单轴拉伸：;纯剪切：外刚体有孔半径R ，放入一外径R ，内径r 圆筒，圆筒内受均布力q ，求圆筒应力。

121121

;121121

u

u R R q q u u r R r R

?

?σ---

+==--++

弹性力学假设：连续性假设、均匀性假设、各向同性假

设、完全弹性假设、小变形假设、无初应力假设。

主应力、主方向：当一点处于某种应力状态时， 在过

该点的所有截面中， 一般情况下存在着三个互相垂直的特殊截面， 在这些截面上没有剪应力, 这种剪应力等于零的截面称为过该点的 主平面 ， 主平面上的正应力称为该点的 主应力 ， 主平面的法线所指示方向称为该点的 主方向 。

三个基本原理：解的唯一性原理、叠加原理、圣维南

原理。

圣维南原理：由作用在物体局部边界表面上的自平衡力

系，所引起的应力和应变，在远离作用区的地方将衰减到可以忽略不计的程度。另一种提法：如果把物体局部边界表面上的力系，使用分布不同但静力等效（主失相等，绕一点的主矩也相等）的力系来代替，则这种等效代换处理使得物体内的应力分布仅在作用区附近有显著影响，而在远离作用区的地方所受影响很小，可以忽略不计。

为什么要用：1、在弹性力学的边值问题中，要求在边

界上任意点，应力与面力相等，方向一致，往往难以满足。2、有时只知道边界面上的合力和合力矩，并不知道面力的分布形式。因此，在弹性力学问题的求解过程中，一些边界条件可以通过某种等效形式提出。其要点有两处： 一、两个力系必须是按照刚体力学原则的“等效”力系（主矢量和主矩分别等于对应面力的主矢量和主矩）； 二、替换所在的表面必须小，并且替换导致在小表面附近失去精确解。

平面应变：1、物体时一柱体，且轴向尺寸比横向尺寸

大得多。2、所有外力都平行于横截面作用，且沿轴向保持不变。变形仅发生在与横截面平行平面内，这类问题称为平面应变问题。

如果材料内存在这样一个面，相对于该面对称的任意两个方向具有相同的弹性关系，则该平面称为材料的弹性对称

面，垂直该对称面的方向，称为弹性主方向。 正交各项异性材料：有三个相互正交的弹性对称面

横贯各项异性材料：

横观各向异性材料：每一点都存在一个弹性对称轴，相对

于该轴对称的两个方向上的弹性关系相同。

平面应力：1、物体某一个坐标方向的尺寸远小于其他

两坐标方向的尺寸。2、在板的2个表面上不受力所有外力均作用在板的周边和板内。这些外力平行于板面作用，没有垂直于板面的分量，这类问题的平面外应力全为零，而平面内应力分量不为零，故称为平面应力问题。

塑性变形的特点：1、加载过程中应力应变关系一般为

非线性的。2、应力应变关系一般不再是一一对应的单值关系。塑性功具有不可逆性。

屈服条件：物体内一点进入屈服时，其应力应满足的条

件。

屈服面：弹性区存在一个边界，当达到或超过这个边界

时，材料进入塑性状态并开始产生塑性变形，这个边界就是

屈服面。主应力空间中一母线垂直与π平面的柱面。

屈服条件得简化：1、材料初始是各向同性的2、屈服

与净水压力无关3、拉伸和压缩屈服是一致的

π平面：过坐标原点且垂直于静水压力轴的平面 屈服曲线：屈服面与π平面的交线。

屈服曲线的性质：1、封闭曲线，包含坐标原点2、屈

服曲线与任一从坐标原点出发的射线必相交一次，且仅有一次。3、屈服曲线是外凸的4、屈服曲线在π平面上的投影在每30°的分割线段中都具有相似性。

T resca 屈服条件：当最大剪力达到某个极限时进入屈

服。Mises

屈服条件：当偏应力的第二步变量达到某

个极限时材料进入屈服。

两屈服条件比较：如假定单轴拉伸时两个屈服面重合，

则Tresca 六边形内接于Mises 圆，纯剪切时差别最大。如果假定纯剪切时两个屈服面重合则则Tresca 六边形外切于Mises 圆，单轴拉伸时差别最大。

包兴格效应：反向屈服应力小于正向屈服应力的现象。 初始屈服面：材料在未经过任何塑性变形的情况下进入

初始屈服时应满足的条件，对应的屈服面称之为初始屈服面。

加载面：随着塑性变形的不断发展，屈服面会不断变化，

材料不断地得到硬化，通常将变化中的屈服面称之为后继屈服面或加载面。将应力空间中描述加载面的方程称为后继

屈服条件或加载条件

随动硬化：若反向应力的降低程度正好等于正向屈服应

力提高的程度。等向硬化：一些材料没有包兴格效应，拉伸提高了材料的屈服应力，在反向加载时，屈服应力也得到同样程度的提高。

强化模型：1、等向强化：加载面形状和中心位置

都不变，只有大小变化。2、随动强化：加载面大小和

形状不变，只有中心移动。3、组合强化：加载面大小、形状和中心都随加载过程改变。

Drucker 公设：对处在某一状态下的材料质点，在加

载与卸载的应力循环中，附加应力做的功非负。

()00p ij

ij ij d σ

σε-≥；因此，要求满足以下两条：

1、加载面处处外凸，即加载面必须全部在切平面的一侧。

2、正交流动法则。即塑性应变全增量p

d ε沿加载面外法线方

向。

加载判别准则：1、理想弹塑性材料的加卸载准则：()()0,0;0,0;ij ij ij

ij ij ij f

f df d f

f df d σσσσσσ?==

=??==

2、硬化材料的加卸载准则：

()()()0,

0;0,0;0,0;ij ij ij ij ij ij ij ij ij f

f d f f d f

f d βββσεσσσεσσσεσσ?=>??==??=

，卸载

Ilyushin 公设：弹塑性材料的物质微元体在应变空间的

任一应变循环中所完成的功非负。

增量理论：用增量表示塑性本构关系的理论

全量理论：认为应力应变之间存在一一对应关系，因而用应力应变的终值（全量）建立起来的塑性本构方程。使用全量理论的条件：保证物体每一微小单元都处在简单加载情况，即简单加载理论成立。

简单加载定理：1、小变形2、材料不可压缩，即v=0.5.

3、外荷载按比例增长，如有位移边界条件，只能是零位移边界条件

4、材料应力应变曲线具有幂指数硬化形式。 增量理论与全量理论比较：1、一致性。全量理论认为应力应变一一对应，增量理论可以积分到全量关系。2、正交性。增量理论满足正交流动法则，即塑性应变增量与屈服面正交。全增量理论不满足。3、连续性。增量理论中塑性应变增量的变化是连续的，全量理论不满足。4对反向屈服的适用性。增量理论可以用于反向屈服的情况，而全量不满足。

1．

简述弹性力学问题的研究方法

在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学3方面条件，分

别建立三套方程。即根据微分体的平衡条件，建立平衡方程；根据微分段上的变形与位移之间的几何关系，建立几何方程；根据应力与应变之间的物理关系，建立物理方程。此外，在弹性体的边界上，还要建立边界条件。在给定面力的边界上，根据边界上的微分体的平衡条件，建立应力边界条件；在给定约束的边界上，根据边界上的约束条件，建立位移边界条件。求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程和物理方程求解应力分量、应变分量和位移分量。 2.

弹性力学问题的提法、问题的类型及求解途径

提法：在给定的边界条件下求解偏微分方程组的问题，即求解偏微分方程组的边值问题。根据边界条件的三种类型，应力边界条件、位移边界条件和混合边界条件分为三类。求解的两种途径：一是以位移作为基本为质量求解，即位移解法，二是以应力作为基本未知量求解即应力解法。