2013中考数学压轴题函数相似三角形问题精选解析(一)

2013中考数学压轴题函数相似三角形问题精选解析(一)
2013中考数学压轴题函数相似三角形问题精选解析(一)

2013中考数学压轴题函数相似三角形问题精选解析

(一)

例1直线1

13

y x =-

+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点,△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ,抛物线y =ax 2+bx +c 经过A 、C 、D 三点.

(1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标;

(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式,并求抛物线顶点G 的坐标;

(3) 在直线BG 上是否存在点Q ,使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似?若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

图1

解析

(1)A (3,0),B (0,1),C (0,3),D (-1,0).

(2)因为抛物线y =ax 2+bx +c 经过A (3,0)、C (0,3)、D (-1,0) 三点,所以

930,3,0.a b c c a b c ++=??=??-+=? 解得1,2,3.a b c =-??=??=?

所以抛物线的解析式为y =-x 2+2x +3=-(x -1)2+4,顶点G 的坐标为(1,4). (3)如图2,直线BG 的解析式为y =3x +1,直线CD 的解析式为y =3x +3,因此CD //BG . 因为图形在旋转过程中,对应线段的夹角等于旋转角,所以AB ⊥CD .因此AB ⊥BG ,即∠ABQ =90°.

因为点Q 在直线BG 上,设点Q 的坐标为(x ,3x +1),那么22(3)10BQ x x x =+=±. Rt △COD 的两条直角边的比为1∶3,如果Rt △ABQ 与Rt △COD 相似,存在两种情况: ①当

3BQ BA =时,10310x

±=.解得3x =±.所以1(3,10)Q ,2(3,8)Q --. ②当

13BQ BA =时,101310

x ±=.解得

13x =±.所以31(,2)3Q ,41(,0)3Q -.

图2 图3

考点伸展

第(3)题在解答过程中运用了两个高难度动作:一是用旋转的性质说明AB ⊥BG ;二是22(3)10BQ x x x =+=±.

我们换个思路解答第(3)题:

如图3,作GH ⊥y 轴,QN ⊥y 轴,垂足分别为H 、N .

通过证明△AOB ≌△BHG ,根据全等三角形的对应角相等,可以证明∠ABG =90°. 在Rt △BGH 中,1sin 110∠=,3cos 110∠=.

①当

3BQ

BA

=时,310BQ =. 在Rt △BQN 中,sin 13QN BQ =?∠=,cos 19BN BQ =?∠=. 当Q 在B 上方时,1(3,10)Q ;当Q 在B 下方时,2(3,8)Q --. ②当13BQ BA =时,1103BQ =.同理得到31(,2)3Q ,41

(,0)3

Q -.

例2 Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示,反比例函数(0)k

y k x

=

≠在第一象限内的图像与BC 边交于点D (4,m ),与AB 边交于点E (2,n ),△BDE 的面积为2.

(1)求m 与n 的数量关系; (2)当tan ∠A =

1

2

时,求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式; (3)设直线AB 与y 轴交于点F ,点P 在射线FD 上,在(2)的条件下,如果△AEO 与△EFP 相似,求点P 的坐标.

图1

解析

(1)如图1,因为点D (4,m )、E (2,n )在反比例函数k

y x =的图像上,所以4,2.m k n k =??=?

整理,得n =2m .

(2)如图2,过点E 作EH ⊥BC ,垂足为H .在Rt △BEH 中,tan ∠BEH =tan ∠A =1

2

,EH =2,所以BH =1.因此D (4,m ),E (2,2m ),B (4,2m +1).

已知△BDE 的面积为2,所以11

(1)2222

BD EH m ?=+?=.解得m =1.因此D (4,1),E (2,2),B (4,3).

因为点D (4,1)在反比例函数k

y x

=的图像上,所以k =4.因此反比例函数的解析式为4y x

=

. 设直线AB 的解析式为y =kx +b ,代入B (4,3)、E (2,2),得34,22.k b k b

=+??

=+? 解得1

2k =,

1b =.

因此直线AB 的函数解析式为1

12

y x =

+.

图2 图3 图4

(3)如图3,因为直线1

12

y x =

+与y 轴交于点F (0,1),点D 的坐标为(4,1),所以FD // x 轴,∠EFP =∠EAO .因此△AEO 与△EFP 相似存在两种情况:

①如图3,当

EA EF AO FP =时,255

2FP

=.解得FP =1.此时点P 的坐标为(1,1).

②如图4,当EA FP

AO EF

=时,

25

25

FP

=.解得FP=5.此时点P的坐标为(5,1).

考点伸展

本题的题设部分有条件“Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示”,如果没有这个条件限制,保持其他条件不变,那么还有如图5的情况:

第(1)题的结论m与n的数量关系不变.第(2)题反比例函数的解析式为

12

y

x

=-,

直线AB为

1

7

2

y x

=-.第(3)题FD不再与x轴平行,△AEO与△EFP也不可能相似.

相似三角形压轴经典大题(含答案)

相似三角形压轴经典大题解析 1.如图,已知一个三角形纸片ABC ,BC 边的长为8,BC 边上的高为6,B ∠和C ∠都为锐角,M 为AB 一动点(点M 与点A B 、不重合),过点M 作MN BC ∥,交AC 于点N ,在AMN △中,设MN 的长为x ,MN 上的高为h . (1)请你用含x 的代数式表示h . (2)将AMN △沿MN 折叠,使AMN △落在四边形BCNM 所在平面,设点A 落在平面的点为1A , 1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ,当x 为何值时,y 最大,最大值为多少? 【答案】解:(1) MN BC ∥ AMN ABC ∴△∽△ 68 h x ∴= 34 x h ∴= (2)1AMN A MN △≌△ 1A MN ∴△的边MN 上的高为h , ①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时, 1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··(04x <≤) ②当1A 落在四边形BCNM 外时,如下图(48)x <<, 设1A EF △的边EF 上的高为1h , 则13 2662 h h x =-= - 11EF MN A EF A MN ∴∥△∽△ 11A MN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△

12 16A EF S h S ??= ??? △△ABC 1 68242 ABC S =??=△ 2 2 363224122 462EF x S x x ??- ?∴==?=-+ ? ? ?? 1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ?? =-= --+=-+- ??? △△ 所以 2 91224(48)8 y x x x =- +-<< 综上所述:当04x <≤时,2 38 y x =,取4x =,6y =最大 当48x <<时,2 912248 y x x =-+-, 取16 3x = ,8y =最大 86> ∴当16 3 x =时,y 最大,8y =最大 2.如图,抛物线经过(40)(10)(02)A B C -,,,,,三点. (1)求出抛物线的解析式; (2)P 是抛物线上一动点,过P 作PM x ⊥轴,垂足为M ,是否存在P 点,使得以A ,P ,M 为顶点的三角形与OAC △相似?若存在,请求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由; M N C B E F A A 1

中考数学中二次函数压轴题分类总结

中考数学中二次函数压 轴题分类总结 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

二次函数的压轴题分类复习 一、抛物线关于三角形面积问题 例题 二次函数k m x y ++=2)(的图象,其顶点坐标为M(1,4-). (1)求出图象与x 轴的交点A ,B 的坐标; (2)在二次函数的图象上是否存在点P ,使MAB PAB S S ??=4 5 ,若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由; (3)将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答:当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时,b 的取值范围. 练习: 1. 如图.平面直角坐标系xOy 中,点A 的坐标为(-2,2),点B 的坐标为(6,6),抛物线经过A 、O 、B 三点,线段AB 交y 轴与点E . (1)求点E 的坐标; (2)求抛物线的函数解析式; (3)点F 为线段OB 上的一个动点(不与O 、B 重合),直线EF 与抛物线交与M 、N 两点(点N 在y 轴右侧),连结ON 、BN ,当点F 在线段OB 上运动时,求?BON 的面积的最大值,并求 出此时点N 的坐标; 2. 如图,已知抛物线42 12++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ,交y 轴于点B . (1)求A 、B 两点的坐标,并求直线AB 的解析式; (2)设),(y x P (0>x )是直线x y =上的一点,Q 是OP 的中点(O 是原点),以PQ 为对角线作 正方形PEQF .若正方形PEQF 与直线AB 有公共点,求x 的取值范围; (3)在(2)的条件下,记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ,求S 关于x 的函数解析式,并探究S 的最大值. y x O B N A M E F B y

2016年中考数学压轴题精选及详解

2020年中考数学压轴题精选解析 中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形 基本题型:已知AB ,抛物线()02≠++=a c bx ax y ,点P 在抛物线上(或坐标轴上,或 抛物线的对称轴上),若ABP ?为等腰三角形,求点P 坐标。 分两大类进行讨论: (1)AB 为底时(即PA PB =):点P 在AB 的垂直平分线上。 利用中点公式求出AB 的中点M ; 利用两点的斜率公式求出AB k ,因为两直线垂直斜率乘积为1-,进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ; 利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式; 将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线(或坐标轴,或抛物线的对称轴)的解析式联立即可求出点P 坐标。 (2)AB 为腰时,分两类讨论: ①以A ∠为顶角时(即AP AB =):点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。 ②以B ∠为顶角时(即BP BA =):点P 在以B 为圆心以 AB 为半径的圆上。 利用圆的一般方程列出A e (或B e )的方程,与抛物线(或坐标轴,或抛物线的对称轴)的解析式联立即可求出点P 坐标。 中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形 基本题型:已知AB ,抛物线()02≠++=a c bx ax y ,点P 在抛物线上(或坐标轴上,或 抛物线的对称轴上),若ABP ?为直角三角形,求点P 坐标。 分两大类进行讨论: (1)AB 为斜边时(即PA PB ⊥):点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ; 利用圆的一般方程列出M e 的方程,与抛物线(或坐标轴,或抛物线的对称轴)的解析式联立即可求出点P 坐标。 (2)AB 为直角边时,分两类讨论: ①以A ∠为直角时(即AP AB ⊥): ②以B ∠为直角时(即BP BA ⊥): 利用两点的斜率公式求出AB k ,因为两直线垂直斜率乘积为1-,进而求出PA (或PB )的斜率 k ;进而求出PA (或PB )的解析式; 将PA (或PB )的解析式与抛物线(或坐标轴,或抛物线的对称轴)的解析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点: 一、 两点之间距离公式: 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P , 则由勾股定理可得:()()2 21221y y x x PQ -+-= 。 二、 圆的方程: 点()y ,x P 在⊙M 上,⊙M 中的圆心M 为()b ,a ,半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-= 22,得到方程☆:()()22 2 R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上,即☆为⊙M 的方程。 三、 中点公式: 四、 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ,则线段PQ 的中点M 为??? ??++22 2121y y ,x x 。 五、 任意两点的斜率公式: 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ,则直线PQ 的斜率: 2 12 1x x y y k PQ --= 。 中考压轴题分类专题五——抛物线中的四边形 基本题型:一、已知AB ,抛物线()02≠++=a c bx ax y ,点P 在抛物线上(或坐标轴上, 或抛物线的对称轴上),若四边形ABPQ 为平行四边形,求点P 坐标。 分两大类进行讨论: (1)AB 为边时 (2)AB 为对角线时 二、已知AB ,抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ,点P 在抛物线上(或坐标轴上,或抛物线的对 称轴上),若四边形ABPQ 为距形,求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上,运用以下两种方法进行讨论: (1)邻边互相垂直 (2)对角线相等 三、已知AB ,抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ,点P 在抛物线上(或坐标轴上,或抛物线的对 称轴上),若四边形ABPQ 为菱形,求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上,运用以下两种方法进行讨论: (1)邻边相等 (2)对角线互相垂直

2017年中考数学相似三角形压轴题(20200706220513)

相似三角形中考压轴试题 、选择题 1. (2014 年江苏宿迁 3 分)如图,在直角梯形 ABCD 中,AD // BC , / ABC=90 °, AB=8 , AD=3 , BC=4 , 、填空题 1. (2015贺州)如图,在△ ABC 中,AB =AC =15,点D 是BC 边上的一动点(不与 B 、C 重合),/ ADE = / B = Za, DE 交 AB 于点 E ,且 tan Za = 3 ?有以下的结论:①△ ADEACD ;②当CD =9时,△ ACD 4 与厶DBE 全等;③厶BDE 为直角三角形时, 21 24 BD 为12或 :④0 v BE < ,其中正确的结论是 (填 4 5 入正确结论的序号) 三、解答题 1. (2014年福建三明14分)如图,在平面直角坐标系中, 抛物线y=ax 2+bx+4与x 轴的一个交点为 A ( 2 , 0),与y 轴的交点为C ,对称轴是x=3,对称轴与x 轴交于点B . (1) 求抛物线的函数表达式; (2) 经过B , C 的直线I 平移后与抛物线交于点 M ,与x 轴交于点 N ,当以B , C , M , N 为顶点的四边形 是平行四边形时,求出点 M 的坐标; (3) 若点D 在x 轴上,在抛物线上是否存在点 P ,使得△ PBD ◎△ PBC ?若存在,直接写出点P 的坐标; 若不存在,请说明理由. 点P 为AB 边上一动点,若△ PA ^ PBC 是相似三角形,则满足条件的点 P 的个数是【 A. 1个 B. 2个 D. 4个 C. 3个 C

2 2. (2014年湖北十堰12分)已知抛物线C i: y=a(x+1)—2的顶点为A,且经过点B (- 2 , - 1). (1 )求A点的坐标和抛物线C i的解析式; (2)如图1,将抛物线 6向下平移2个单位后得到抛物线C2,且抛物线C2与直线AB相交于C , D两点,求S A OAC : S A OAD 的值; (3)如图2,若过P (-4 , 0), Q (0 , 2 )的直线为I,点E在(2)中抛物线C?对称轴右侧部分(含顶 点)运动,直线m过点C和点E.问:是否存在直线m,使直线I, m与x轴围成的三角形和直线I, m与y轴围成的三角形相似?若存在,求出直线m的解析式;若不存在,说明理由. 3. (2014 年湖南郴州10 分)如图,在Rt △ ABC中,/ BAC=90。,/ B=60 °C=16cm , AD 是斜边 BC上的高,垂足为D, BE=1cm .点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动,点N从点E出发,与点M同时同方向以相同的速度运动,以MN为边在BC的上方作正方形MNGH .点M到达点D时停止运动,点N到达点C时停止运动.设运动时间为t (s). (1 )当t为何值时,点G刚好落在线段AD 上? (2)设 正方形MNGH与Rt △ ABC重叠部分的图形的面积为S,当重叠部分的图形是正方形时,求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围. (3)设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P,连接DP,当t为何值时,△CPD等腰

中考数学压轴题解题方法大全及技巧

专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀(一) 数学综合题关键是第24题和25题,我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 (一)函数型综合题:是先给定直角坐标系和几何图形,求(已知)函数的解析式(即在求解前已知函数的类型),然后进行图形的研究,求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有:①一次函数(包括正比例函数)和常值函数,它们所对应的图像是直线;②反比例函数,它所对应的图像是双曲线; ③二次函数,它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法,关键是求点的坐标,而求点的坐标基本方法是几何法(图形法)和代数法(解析法)。此类题基本在第24题,满分12分,基本分2-3小题来呈现。 (二)几何型综合题:是先给定几何图形,根据已知条件进行计算,然后有动点(或动线段)运动,对应产生线段、面积等的变化,求对应的(未知)函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域,最后根据所求的函数关系进行探索研究,一般有:在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线(圆)与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是

列出包含自变量和因变量之间的等量关系(即列出含有x、y的方程),变形写成y=f(x)的形式。一般有直接法(直接列出含有x和y的方程)和复合法(列出含有x和y和第三个变量的方程,然后求出第三个变量和x之间的函数关系式,代入消去第三个变量,得到y=f(x)的形式),当然还有参数法,这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置(极限位置)和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化,但少不了对图形的分析和研究,用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现,满分14分,一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到:数形结合记心头,大题小作来转化,潜在条件不能忘,化动为静多画图,分类讨论要严密,方程函数是工具,计算推理要严谨,创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀(二) 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目,其特点是知识点多,覆盖面广,条件隐蔽,关系复杂,思路难觅,解法灵活。解数学压轴题,一要树立必胜的信心,二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能,三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略,供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁,运用数形结合思想:

九年级相似三角形压轴题

初三相似三角形压轴题 一.选择题(共1小题) 1.(2013?江干区一模)如图,已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5,相邻两条平行直线间的距离都相等,如果直角梯形ABCD的三个顶点A、B、D分别在平行直线l1、l5、l2上,∠ABC=90°且AB=3AD,则tanα=() A.B.C.D. 二.填空题(共3小题) 2.(2013?宁波模拟)如图,直角梯形OABC的直角顶点是坐标原点,边OA,OC分别在x 轴,y轴的正半轴上.OA∥BC,D是BC上一点,BD=OA=,AB=3,∠OAB=45°,E, F分别是线段OA,AB上的两个动点,且始终保持∠DEF=45°.设OE=x,AF=y,则y与x 的函数关系式为. 3.(2012?南岗区一模)在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点0,点E在边AD上,且AE:DE=1:3,连接BE,BE与AC相交于点M,若AC=6,则M0的长是. 4.(2004?深圳)在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE⊥BC,垂 足为E,连接DE交AC于点P,过P作PF⊥BC,垂足为F,则的值是.

三.解答题(共12小题) 5.(2012?重庆模拟)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,D、E分别是边AB、AC上的两个动点(D不与A、B重合),且保持DE∥BC,以DE为边,在点A的异侧作正方形DEFG. (1)试求△ABC的面积; (2)当边FG与BC重合时,求正方形DEFG的边长; (3)设AD=x,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y,试求y关于x的函数关系式,并写出定义域; (4)当△BDG是等腰三角形时,请直接写出AD的长. 6.(2012?亭湖区一模)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,M是边AC的中点,CH⊥BM于H. (1)试求sin∠MCH的值; (2)求证:∠ABM=∠CAH; (3)若D是边AB上的点,且使△AHD为等腰三角形,请直接写出AD的长为. 7.(2011?莆田)已知菱形ABCD的边长为1.∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F. (1)特殊发现:如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中点.求证:菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心; (2)若点E、F始终分别在边DC、CB上移动.记等边△AEF的外心为点P. ①猜想验证:如图2.猜想△AEF的外心P落在哪一直线上,并加以证明;

中考数学二次函数压轴题(含答案)

中考数学二次函数压轴题(含答案) 面积类 1.如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点. (1)求抛物线的解析式. (2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长. (3)在(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?若存在,求m的值;若不存在,说明理由. 解答: 解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣3),则: a(0+1)(0﹣3)=3,a=﹣1; ∴抛物线的解析式:y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3. (2)设直线BC的解析式为:y=kx+b,则有: , 解得;

故直线BC的解析式:y=﹣x+3. 已知点M的横坐标为m,MN∥y,则M(m,﹣m+3)、N(m,﹣m2+2m+3); ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m(0<m<3). (3)如图; ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN?OB, ∴S△BNC=(﹣m2+3m)?3=﹣(m﹣)2+(0<m<3); ∴当m=时,△BNC的面积最大,最大值为. 2.如图,抛物线的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0). (1)求抛物线的解析式; (2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标; (3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标. 解答:

解:(1)将B(4,0)代入抛物线的解析式中,得: 0=16a﹣×4﹣2,即:a=; ∴抛物线的解析式为:y=x2﹣x﹣2. (2)由(1)的函数解析式可求得:A(﹣1,0)、C(0,﹣2); ∴OA=1,OC=2,OB=4, 即:OC2=OA?OB,又:OC⊥AB, ∴△OAC∽△OCB,得:∠OCA=∠OBC; ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°, ∴△ABC为直角三角形,AB为△ABC外接圆的直径; 所以该外接圆的圆心为AB的中点,且坐标为:(,0). (3)已求得:B(4,0)、C(0,﹣2),可得直线BC的解析式为:y=x﹣2; 设直线l∥BC,则该直线的解析式可表示为:y=x+b,当直线l与抛物线只有一个交点时,可列方程:x+b=x2﹣x﹣2,即:x2﹣2x﹣2﹣b=0,且△=0; ∴4﹣4×(﹣2﹣b)=0,即b=﹣4; ∴直线l:y=x﹣4. 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点,有: ,解得:即M(2,﹣3). 过M点作MN⊥x轴于N, S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×(2+3)+×2×3﹣×2×4=4.

2020中考数学压轴题100题精选(附答案解析)

2020中考数学压轴题100题精选 (附答案解析) 【001 】如图,已知抛物线2(1)y a x =-+(a ≠0)经过点 (2)A -,0,抛物线的顶点为D ,过O 作射线OM AD ∥.过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ,B 在x 轴正半轴上,连结 BC . (1)求该抛物线的解析式; (2)若动点P 从点O 出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动,设点P 运动的时间为()t s .问当t 为何值时,四边形DAOP 分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形? (3)若OC OB =,动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t ()s ,连接PQ ,当t 为何值时,四边形BCPQ 的面积最小?并求出最小值及此时PQ 的长.

【002】如图16,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC = 3,AB = 5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B 时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t 秒(t>0). (1)当t = 2时,AP = ,点Q到AC的距离是; (2)在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S 与 t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)(3)在点E从B向C 成 为直角梯形?若能,求t (4)当DE经过点C 时,请直接 图16 【003】如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;

二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做(经典)

二次函数与几何综合
题目背景
07 年课改后,最后一题普遍为抛物线和几何结合(主要是与三角形结合)的 代数几何综合题,计算量较大。几何题可能想很久都不能动笔,而代数题则可以 想到哪里写到哪里,这就让很多考生能够拿到一些步骤分。因此,课改之后,武 汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少,而这也符合教育部要求给学 生减轻负担的主旨,因此也会继续下去。要做好这最后一题,主要是要在有限的 时间里面找到的简便的计算方法。要做到这一点,一是要加强本身的观察力,二 是需要在平时要多积累一些好的算法,并能够熟练运用,最后就是培养计算的耐 心,做到计算又快又准。
题型分析
题目分析及对考生要求 (1)第一问通常为求点坐标、解析式:本小问要求学生能够熟练地掌握待定系 数法求函数解析式,属于送分题。 (2)第二问为代数几何综合题,题型不固定。解题偏代数,要求学生能够熟练 掌握函数的平移,左加右减,上加下减。要求学生有较好的计算能力,能够把题 目中所给的几何信息进行转化,得到相应的点坐标,再进行相应的代数计算。 (3)第三问为几何代数综合,题型不固定。解题偏几何,要求学生能够对题目 所给条件进行转化,合理设参数,将点坐标转化为相应的线段长,再根据题目条 件合理构造相似、全等,或者利用锐角三角函数,将这些线段与题目构建起联系, 再进行相应计算求解,此处要求学生能够熟练运用韦达定理,本小问综合性较强。
在我们解题时,往往有一些几何条件,我们直接在坐标系中话不是很好用, 这时我们需要对它进行相应的条件转化,变成方便我们使用的条件,以下为两种 常见的条件转化思想。 1、遇到面积条件:a.不规则图形先进行分割,变成规则的图形面积;b.在第一 步变化后仍不是很好使用时,根据同底等高,或者等底同高的三角形面积相等这 一性质,将面积进行转化;c.当面积转化为一边与坐标轴平行时,以这条边为底, 根据面积公式转化为线段条件。 2、遇到角度条件:找到所有与这些角相等的角,以这些角为基础构造相似、全 等或者利用锐角三角函数,转化为线段条件。
二次函数与三角形综合
【例1】. (2012 武汉中考)如图 1,点 A 为抛物线 C1:y= x2﹣2 的顶点,点 B 的坐标为(1,
0)直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C

中考数学压轴题解析二十

中考数学压轴题解析二十 103.(2017黑龙江省龙东地区,第25题,8分)在甲、乙两城市之间有一服务区,一辆客车从甲地驶往乙地,一辆货车从乙地驶往甲地.两车同时出发,匀速行驶,客车、货车离服务区的距离y1(千米),y2(千米)与行驶的时间x(小时)的函数关系图象如图1所示. (1)甲、乙两地相距千米. (2)求出发3小时后,货车离服务区的路程y2(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系式. (3)在客车和货车出发的同时,有一辆邮政车从服务区匀速去甲地取货后返回乙地(取货的时间忽略不计),邮政车离服务区的距离y3(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系图线如图2中的虚线所示,直接写出在行驶的过程中,经过多长时间邮政车与客车和货车的距离相等? 【答案】(1)480;(2)y2=40x﹣120;(3)1.2或4.8或7.5小时. 【分析】(1)根据图1,根据客车、货车离服务区的初始距离可得甲乙两地距离; (2)根据图象中的数据可以求得3小时后,货车离服务区的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式; (3)分三种情况讨论,当邮政车去甲地的途中会有某个时间邮政车与客车和货车的距离相等;当邮政车从甲地返回乙地时,货车与客车相遇时,邮政车与客车和货车的距离相等;货车与客车相遇后,邮政车与客车和货车的距离相等. . 106.(2017山东省莱芜市,第22题,10分)某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩,已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元,小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元. (1)改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元? (2)根据消费者需求,网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋,且甲 种口罩的数量大于乙种口罩的4 5,已知甲种口罩每袋的进价为22.4元,乙种口罩每袋的 进价为18元,请你帮助网店计算有几种进货方案?若使网店获利最大,应该购进甲、乙两种口罩各多少袋,最大获利多少元? 【答案】(1)该网店甲种口罩每袋的售价为25元,乙种口罩每袋的售价为20元;(2)该网店购进甲种口罩227袋,购进乙种口罩273袋时,获利最大,最大利润为1136.2元.【分析】(1)分别根据甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元,小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元,得出等式组成方程求出即可; (2)根据网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋,甲种口罩的数量大

中考压轴题之相似(含非常详细的解答)

因动点产生的相似三角形 例1:如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ. (1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值; (2)如图2,连接AQ、CP,若AQ⊥CP,求t的值; (3)试证明:PQ的中点在△ABC的一条中位线上. 图1 图2 思路点拨 1.△BPQ与△ABC有公共角,按照夹角相等,对应边成比例,分两种情况列方程.2.作PD⊥BC于D,动点P、Q的速度,暗含了BD=CQ. 3.PQ的中点H在哪条中位线上?画两个不同时刻P、Q、H的位置,一目了然. 满分解答 (1)Rt△ABC中,AC=6,BC=8,所以AB=10. △BPQ与△ABC相似,存在两种情况: ①如果BP BA BQ BC =,那么 510 848 t t = - .解得t=1. ②如果BP BC BQ BA =,那么 58 8410 t t = - .解得 32 41 t=. 图3 图4 (2)作PD⊥BC,垂足为D. 在Rt△BPD中,BP=5t,cos B=4 5 ,所以BD=BP cos B=4t,PD=3t. 当AQ⊥CP时,△ACQ∽△CDP. 所以AC CD QC PD =,即 684 43 t t t - =.解得 7 8 t=.

图5 图6 (3)如图4,过PQ 的中点H 作BC 的垂线,垂足为F ,交AB 于E . 由于H 是PQ 的中点,HF //PD ,所以F 是QD 的中点. 又因为BD =CQ =4t ,所以BF =CF . 因此F 是BC 的中点,E 是AB 的中点. 所以PQ 的中点H 在△ABC 的中位线EF 上. 例2:如图1,在平面直角坐标系xOy 中,顶点为M 的抛物线y =ax 2+bx (a >0)经过点A 和x 轴正半轴上的点B ,AO =BO =2,∠AOB =120°. (1)求这条抛物线的表达式; (2)连结OM ,求∠AOM 的大小; (3)如果点C 在x 轴上,且△ABC 与△AOM 相似,求点C 的坐标. 图1 思路点拨 1.第(2)题把求∠AOM 的大小,转化为求∠BOM 的大小. 2.因为∠BOM =∠ABO =30°,因此点C 在点B 的右侧时,恰好有∠ABC =∠AOM . 3.根据夹角相等对应边成比例,分两种情况讨论△ABC 与△AOM 相似. 满分解答 (1)如图2,过点A 作AH ⊥y 轴,垂足为H . 在Rt △AOH 中,AO =2,∠AOH =30°, 所以AH =1,OH =3.所以A (1,3)-. 因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点, 设y =ax (x -2),代入点A (1,3)-,可得3 3 a = .

2018年中考数学二次函数压轴题集锦(50道含解析)

1.如图1,已知二次函数y=ax2+x+c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B、C,点C坐标为(8,0),连接AB、AC. (1)请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式; (2)判断△ABC的形状,并说明理由; (3)若点N在x轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点N的坐标; (4)如图2,若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合),过点N作NM∥AC,交AB于点M,当△AMN面积最大时,求此时点N的坐标. 2.对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为图形N上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的“闭距离“,记作d(M,N). 已知点A(﹣2,6),B(﹣2,﹣2),C(6,﹣2). (1)求d(点O,△ABC); (2)记函数y=kx(﹣1≤x≤1,k≠0)的图象为图形G.若d(G,△ABC)=1,直接写出k的取值范围; (3)⊙T的圆心为T(t,0),半径为1.若d(⊙T,△ABC)=1,直接写出t 的取值范围. 3.如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=﹣x2+4x上,且横坐标为1,点B与点A关于抛物线的对称轴对称,直线AB与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,点E的坐标为(1,1). (1)求线段AB的长; (2)点P为线段AB上方抛物线上的任意一点,过点P作AB的垂线交AB于点 H,点F为y轴上一点,当△PBE的面积最大时,求PH+HF+FO的最小值;

(3)在(2)中,PH+HF+FO取得最小值时,将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′,过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q,点R为抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点S,使以点D,Q,R,S为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点S的坐标,若不存在,请说明理由. 4.如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x﹣5经过点B,C. (1)求抛物线的解析式; (2)过点A的直线交直线BC于点M. ①当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标; ②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时,请直接写出点M 的坐标.

数学中考数学压轴题(讲义及答案)附解析

一、中考数学压轴题 1.如图,在长方形ABCD 中,AB =4cm ,BE =5cm ,点E 是AD 边上的一点,AE 、DE 分别长acm .bcm ,满足(a -3)2+|2a +b -9|=0.动点P 从B 点出发,以2cm/s 的速度沿B→C→D 运动,最终到达点D ,设运动时间为t s . (1)a =______cm ,b =______cm ; (2)t 为何值时,EP 把四边形BCDE 的周长平分? (3)另有一点Q 从点E 出发,按照E→D→C 的路径运动,且速度为1cm/s ,若P 、Q 两点同时出发,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动.求t 为何值时,△BPQ 的面积等于6cm 2. 2.在平面直角坐标系中,抛物线2 4y mx mx n =-+(m >0)与x 轴交于A ,B 两点,点B 在点A 的右侧,顶点为C ,抛物线与y 轴交于点D ,直线CA 交y 轴于E ,且 :3:4??=ABC BCE S S . (1)求点A ,点B 的坐标; (2)将△BCO 绕点C 逆时针旋转一定角度后,点B 与点A 重合,点O 恰好落在y 轴上, ①求直线CE 的解析式; ②求抛物线的解析式. 3.如图1,抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠的顶点为C (1,4),交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于点D ,其中点B 的坐标为(3,0). (1)求抛物线的解析式; (2)如图2,点E 是BD 上方抛物线上的一点,连接AE 交DB 于点F ,若AF=2EF ,求出点E 的坐标. (3)如图3,点M 的坐标为( 3 2 ,0),点P 是对称轴左侧抛物线上的一点,连接MP ,将MP 沿MD 折叠,若点P 恰好落在抛物线的对称轴CE 上,请求出点P 的横坐标.

中考数学压轴题典型题型解析

中考数学压轴题精选精析 37.(09年黑龙江牡丹江)28.(本小题满分8分) 如图, 在平面直角坐标系中,若、的长是关于的一元二 次方程的两个根,且 (1)求的值. (2)若为轴上的点,且求经过、两点的直线的解析式,并判断与是否相似? (3)若点在平面直角坐标系内,则在直线上是否存在点使以、、、为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理 由. (09年黑龙江牡丹江28题解析)解:(1)解得 ·············································································· 1分 在中,由勾股定理有 ········································································ 1分 (2)∵点在轴上, ········································································ 1分 ABCD 6AD =,OA OB x 2 7120x x -+=OA OB >.sin ABC ∠E x 16 3 AOE S = △,D E AOE △DAO △M AB F ,A C F M F 2 7120x x -+=1243x x ==,OA OB >43OA OB ∴==,Rt AOB △225AB OA OB =+=4 sin 5 OA ABC AB ∴∠= =E x 163 AOE S = △11623AO OE ∴?=8 3 OE ∴= 880033E E ????∴- ? ????? ,或,x y A D B O C 28题图

2017年中考数学相似三角形压轴题

相似三角形中考压轴试题 一、选择题 1.(2014年江苏宿迁3分)如图,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4, 点P 为AB 边上一动点,若△P 与A △DPBC 是相似三角形,则满足条件的点P 的个数是【】 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 1.(2015贺州)如图,在△ABC 中,AB=AC=15,点D 是BC 边上的一动点(不与B 、C 重合),∠ADE= ∠B=∠α,DE 交AB 于点E ,且tan ∠α= 3 4 .有以下的结论:①△ADE ∽△ACD ;②当CD=9时,△ACD 与△DBE 全等;③△BDE 为直角三角形时,BD 为12或 21 4 ;④0<BE ≤ 24 5 ,其中正确的结论是(填 入正确结论的序号). 三、解答题 1.(2014年福建三明14分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax 2 +bx+4与x 轴的一个交点为A (﹣ 2,0),与y 轴的交点为C ,对称轴是x=3,对称轴与x 轴交于点B . (1)求抛物线的函数表达式; (2)经过B ,C 的直线l 平移后与抛物线交于点M ,与x 轴交于点N ,当以B ,C ,M ,N 为顶点的四边形 是平行四边形时,求出点M 的坐标; (3)若点D 在x 轴上,在抛物线上是否存在点P ,使得△PBD ≌△PBC ?若存在,直接写出点P 的坐标; 若不存在,请说明理由.

2.(2014年湖北十堰12分)已知抛物线C1: 2 yax12的顶点为A,且经过点B(﹣2,﹣1). (1)求A点的坐标和抛物线C1的解析式; (2)如图1,将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2,且抛物线C2与直线AB相交于C,D两点, 求S△OAC:S△OAD的值; (3)如图2,若过P(﹣4,0),Q(0,2)的直线为l,点E在(2)中抛物线C2对称轴右侧部分(含顶点)运动,直线m过点C和点E.问:是否存在直线m,使直线l,m与x轴围成的三角形和直线l,m与 y轴围成的三角形相似?若存在,求出直线m的解析式;若不存在,说明理由. 3.(2014年湖南郴州10分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°BC,=16cm,AD是斜边 BC上的高,垂足为D,BE=1cm.点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动,点N从点E出发, 与点M同时同方向以相同的速度运动,以MN为边在BC的上方作正方形MNGH.点M到达点D时停止 运动,点N到达点C时停止运动.设运动时间为t(s). (1)当t为何值时,点G刚好落在线段AD上? (2)设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S,当重叠部分的图形是正方形时,求出S关 于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围. (3)设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P,连接DP,当t为何值时,△CP是D等腰 三角形?

中考数学二轮复习中考数学压轴题知识点及练习题附解析(1)

一、中考数学压轴题 1.(1)如图1,A 是⊙O 上一动点,P 是⊙O 外一点,在图中作出PA 最小时的点A . (2)如图2,Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8,BC =6,以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6,Q 是⊙C 上一动点,在线段AB 上确定点P 的位置,使PQ 的长最小,并求出其最小值. (3)如图3,矩形ABCD 中,AB =6,BC =9,以D 为圆心,3为半径作⊙D ,E 为⊙D 上一动点,连接AE ,以AE 为直角边作Rt △AEF ,∠EAF =90°,tan ∠AEF = 1 3 ,试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值,如果有,请求出最大或最小值,否则,请说明理由. 2.如图,已知抛物线y =2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-(),B 33,0()两点,与y 轴交于点C 0,3(). (1)求抛物线的解析式及顶点M 坐标; (2)在抛物线的对称轴上找到点P ,使得PAC 的周长最小,并求出点P 的坐标; (3)在(2)的条件下,若点D 是线段OC 上的一个动点(不与点O 、C 重合).过点 D 作D E //PC 交x 轴于点E .设CD 的长为m ,问当m 取何值时, PDE ABMC 1 S S 9 =四边形. 3.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线239 334 y x x = --x 轴交于A B 、两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点 C . (1)过点C 的直线5 334 y x = -x 轴于点H ,若点P 是第四象限内抛物线上的一个动

点,且在对称轴的右侧,过点P 作//PQ y 轴交直线CH 于点Q ,作//PN x 轴交对称轴于点N ,以PQ PN 、为邻边作矩形PQMN ,当矩形PQMN 的周长最大时,在y 轴上有一动点K ,x 轴上有一动点T ,一动点G 从线段CP 的中点R 出发以每秒1个单位的速度沿R K T →→的路径运动到点T ,再沿线段TB 以每秒2个单位的速度运动到B 点处停止运动,求动点G 运动时间的最小值: (2)如图2, 将ABC ?绕点B 顺时针旋转至A BC ''?的位置, 点A C 、的对应点分别为A C ''、,且点C '恰好落在抛物线的对称轴上,连接AC '.点E 是y 轴上的一个动点,连 接AE C E '、, 将AC E ?'沿直线C E '翻折为A C E ?'', 是否存在点E , 使得BAA ?'为等腰三角形?若存在,请求出点E 的坐标;若不存在,请说明理由. 4.如图1,正方形CEFG 绕正方形ABCD 的顶点C 旋转,连接AF ,点M 是AF 中点. (1)当点G 在BC 上时,如图2,连接BM 、MG ,求证:BM =MG ; (2)在旋转过程中,当点B 、G 、F 三点在同一直线上,若AB =5,CE =3,则MF = ; (3)在旋转过程中,当点G 在对角线AC 上时,连接DG 、MG ,请你画出图形,探究DG 、MG 的数量关系,并说明理由. 5.“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础,重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口,着力提升学生的核心素养.”全校师生积极响应和配合,开展各种活动丰富其课余生活.在数学兴趣小组中,同学们从书上认识了很多有趣的数.其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣.描述如下:一个四位数,记千位上和百位上的数字之和为x ,十位上和个位上的数字之和为y ,如果x y =,那么称这个四位数为“和平数”. 例如:1423,14x =+,23y =+,因为x y =,所以1423是“和平数”. (1)直接写出:最小的“和平数”是________,最大的“和平数”是__________; (2)求同时满足下列条件的所有“和平数”:

2019年中考数学压轴题精选例题及答案解析

一.解答题(共30小题) 1.(顺义区)如图,直线l 1:y=kx+b平行于直线y=x﹣1,且与直线l 2 : 相交于点P(﹣1,0). (1)求直线l 1、l 2 的解析式; (2)直线l 1 与y轴交于点A.一动点C从点A出发,先沿平行于x轴的方向运 动,到达直线l 2上的点B 1 处后,改为垂直于x轴的方向运动,到达直线l 1 上的 点A 1处后,再沿平行于x轴的方向运动,到达直线l 2 上的点B 2 处后,又改为垂 直于x轴的方向运动,到达直线l 1上的点A 2 处后,仍沿平行于x轴的方向运动,… 照此规律运动,动点C依次经过点B 1,A 1 ,B 2 ,A 2 ,B 3 ,A 3 ,…,B n ,A n ,… ①求点B 1,B 2 ,A 1 ,A 2 的坐标; ②请你通过归纳得出点A n 、B n 的坐标;并求当动点C到达A n 处时,运动的总路径 的长? 2.(莆田)如图1,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=1,OC=2,点D在边OC上且OD=. (1)求直线AC的解析式; (2)在y轴上是否存在点P,直线PD与矩形对角线AC交于点M,使得△DMC为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. (3)抛物线y=﹣x2经过怎样平移,才能使得平移后的抛物线过点D和点E(点E在y轴的正半轴上),且△ODE沿DE折叠后点O落在边AB上O′处.

3.(资阳)已知Z 市某种生活必需品的年需求量y 1(万件)、供应量y 2(万件)与价格x (元/件)在一定范围内分别近似满足下列函数关系式:y 1=﹣4x+190,y 2=5x ﹣170.当y 1=y 2时,称该商品的价格为稳定价格,需求量为稳定需求量;当y 1<y 2时,称该商品的供求关系为供过于求;当y 1>y 2时,称该商品的供求关系为供不应求. (1)求该商品的稳定价格和稳定需求量; (2)当价格为45(元/件)时,该商品的供求关系如何?为什么? 4.(哈尔滨)如图1,在平面直角坐标系中,点O 是坐标原点,四边形ABCO 是菱形,点A 的坐标为(﹣3,4),点C 在x 轴的正半轴上,直线AC 交y 轴于点M ,AB 边交y 轴于点H . (1)求直线AC 的解析式; (2)连接BM ,如图2,动点P 从点A 出发,沿折线ABC 方向以2个单位/秒的速度向终点C 匀速运动,设△PMB 的面积为S (S≠0),点P 的运动时间为t 秒,求S 与t 之间的函数关系式(要求写出自变量t 的取值范围); (3)在(2)的条件下,当t 为何值时,∠MPB 与∠BCO 互为余角,并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值. 5.(桂林)如图已知直线L :y=x+3,它与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B 两点. (1)求点A 、点B 的坐标. (2)设F 为x 轴上一动点,用尺规作图作出⊙P,使⊙P 经过点B 且与x 轴相切于点F (不写作法,保留作图痕迹). (3)设(2)中所作的⊙P 的圆心坐标为P (x ,y ),求y 关于x 的函数关系式. (4)是否存在这样的⊙P,既与x 轴相切又与直线L 相切于点B ?若存在,求出圆心P 的坐标;若不存在,请说明理由.

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