高一数学必修4三角函数的性质练习题
必修四
高一数学三角函数练习题（一）
一、选择题
1、若 –π/2<α<0，则点)cos ,(tan αα位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．若5
4
cos =α，),0(πα∈则αcot 的值是（ ） A ．
3
4 B ．43 C ． 34± D ．4
3
±
3、函数πsin 23y x ?
?=-
??
?在区间ππ2??-????
，的简图是（ ）
4．函数)6
2sin(2π
+=x y 的最小正周期（ ）
A ．π4
B ．π2
C ．π
D ．
2
π
5．满足函数x y sin =和x y cos =都是增函数的区间是（ ）
A ．]2
2,2[π
ππ+
k k , Z k ∈ B ．]2,2
2[πππ
π++k k , Z k ∈ C ．]22,2[π
πππ-
-k k , Z k ∈
D ．]2,22[ππ
πk k -
Z k ∈
7．函数)2
5
2sin(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是（
）
A ．2
π
-
=x
B ．4
π
-
=x
C ．8
π
=x
D ．4
5π=
x 8．函数y=cos 2x –3cosx+2的最小值是（ ）
A ．2
B ．0
C ．
4
1 D ．6
9．如果α在第三象限，则
2
α
必定在第（ ）象限
A ．一、二
B ．一、三
C ．三、四
D ．二、四 二、填空题
11．终边落在y 轴上的角的集合是____________________
12、设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t ．下表是
该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系： X 0 3
6
9 12
15
18
21
24 Y
12
15.1 12.1
9.1
11.9 14.9 11.9 8.9
12.1
经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(?ω++=t A k y 的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数有(填序号)________ (1)．]24,0[,6sin 312∈+=t t y π
(2)．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππ
(3)．]24,0[,12
sin
312∈+=t t y π
(4)．]24,0[),2
12
sin(
312t t y π
π
+
+=
13．函数x x f cos 21)(-=的定义域是___________________________ 14．已知a
a x --=
43
2cos ，且x 是第二、三象限角，则a 的取值范围是________ 15、函数π()3sin 23f x x ??
=-
??
?
的图象为C ，则如下结论中正确的序号是 _____ ①、图象C 关于
直线11π12x =
对称； ②、图象C 关于点2π03?? ???，对称； ③、函数()f x 在区间π5π1212??- ???
，内是增函数； ④、由3sin 2y x =的图角向右平移π
3
个单位长度可以得到图象C ． 三、解答题：
16．设)4,3(t t P --是角α终边上不同于原点O 的某一点，请求出角α的正弦、余弦、和正切的三角函数之值
.。
17、 已知函数f(x)=Asin(ωx+?)的图象如图所示，试依图指出：
(1)、f(x)的最小正周期； (2、)使f(x)=0的x 的取值集合； (3)、使f(x)＜0的x 的取值集合； (4)、f(x)的单调递增区间和递减区间；(5)、求使f(x)取最小值的x 的集合； (6)、图象的对称轴方程；(7)、图象的对称中心．
18、化简
)4sin()2
3sin()
8cos()2
cos()5sin(πθπ
θθπθπ
πθ---
---
-
19、已知cos3(0)y a b x b =->的最大值为
32，最小值为1
2
-。求函数4sin(3)y a bx =-的周期、最值，并求取得最值时的x 之值；并判断其奇偶性。
20、如图，某大风车的半径为2m ，每12s 旋转一周，它的最低点O 离地面0.5m 。风车圆周上一点A 从最低点O 开始，运动()t s 后与地面的距离为()h m 。
⑴求函数()h f t =的关系式； ⑵画出函数()h f t =的图象。
21、如图所示，函数π
2cos()(00)2
y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤
≤的图象与y 轴相交于点M (03)，，且该函数的最小正周期为π．
（1）求θ和ω的值； （2）已知点π02
A ?? ???
，，点P 是该函数图象上一点，
点00()Q x y ，是PA 的中点，当032y =
，0ππ2x ??
∈????
，时，求0x 的值
总复习参考答案：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A
A
C
D
A
A
B
D
C
11．
},
2
|{Z
k k ∈+
=π
παα 12
、 (1)．]24,0[,6
sin
312∈+=t t y π
13． Z k k k ∈++],3
5
2,32[ππππ 14． )23,1(- 15、
①②③
17题、
O 1
O
A
18题、原式=-sin θ 19题、a=12;b=1 20题、y=2.5-2cos π
6 t (t≥0)
21题、解：（1）将0x =，3y =代入函数2cos()y x ωθ=+中得3
cos 2
θ=， 因为π02θ≤≤
，所以π6θ=．由已知πT =，且0ω>，得2π2π
2T π
ω=
==． （2）因为点π
02
A ?? ???
，，00()Q x y ，是PA 的中点，032y =
．所以点P 的坐标为0π232x ??- ???
，． 又因为点P 在π2cos 26y x ?
?=+
??
?的图象上，且0ππ2x ≤≤，所以05π3cos 462x ??-= ??
?， 07π5π19π4666x -≤≤，从而得05π11π466x -=或05π13π
466x -=，
三角函数练习题（二）
A 组
一、选择题:共6小题
1.(易 函数最大最小值)用A 和B 分别表示函数1
sin 13y x =-的最大值和最小值,则A B +等于( )
A.
23
B.2
3
-
C.4
3
-
D.2-
2.(易 函数单调性)下列函数,在[,2
ππ]上是增函数的是( ) A.cos2y x =
B.cos y x =
C.sin 2y x =
D.sin y x =
3.(易 函数单调区间)下列区间中,函数3sin()6
y x π
=+的递减区间是( ) A.[,]22ππ-
B.2[,]33ππ
C.22[,]33
ππ- D.[,0]-π 4. (中 三角函数的奇偶性及周期)下列函数中是奇函数,且最小正周期是π的函数是( ) A.tan 2y x =
B.sin y x =
C.πsin 22y x ??
=+
???
D.3πcos 22y x ??
=-
???
5.(中,三角函数的对称性)若函数cos()3y x ωπ=+(0)ω>的图象相邻两条对称轴间距离为2
π
,则ω等于( )
A.
12
B.12
C.2
D.4
6.(中,函数的值域)sin sin y x x =-的值域是( )
A.[2,0]-
B.[0,1]
C.[1,1]-
D.[1,0]- 二、填空题:共3小题
7.(易 正切函数的周期)已知函数1sin y x =、2tan y x =的最小正周期分别为1T 、2T 则12T T += .
8.(易 函数的奇偶性)若)(x f 为奇函数,且0>x 时,x x x f sin )(2-=,则0 ①对任意的?,f (x )都是非奇非偶函数; ②不存在?,使f (x )既是奇函数,又是偶函数; ③存在?,使f (x )是奇函数; ④对任意的?,f (x )都不是偶函数. 其中一个假命题的序号是_____.因为当?=_____时,该命题的结论不成立. 三、解答题:共2小题 10.(中,函数的值域)设全集[1,1]U =-,函数21 ()()sin 1 f x x x =∈+R 的值域为 A,sin ()()sin 2 x g x x x =∈+R 的值域为B,求()()U U A B 痧. 11.(中,正切函数的性质)求函数()tan 2 3f x x ??=+ ???π π的定义域、周期和单调递增区间. B 组 一、填空题:共6小题 1.(易 三角函数的图像性质)下列叙述中正确的个数为( ) ①tan y x =在R 上是增函数; ②sin ,[0,2y x x =∈π]的图像关于点(,)P π0成中心对称图形; ③cos ,[0,2y x x =∈π]的图像关于直线x =π成轴对称图形; ④正弦、余弦函数sin y x =、cos y x =的图像不超出两直线1y =-、1y =所夹的范围. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(中 三角函数最值)已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间[3π-,4 π ]上的最小值是－2,则ω的最小值等于( ) A. 32 B.2 3 C.2 D.3 3.(中 三角函数单调性)使函数x y sin =递减且函数x y cos =递增的区间是( ) A.( ,223ππ) B.(2,22 k k k π π-π)(∈)Z C.(2,22k k k ππ+π+π)(∈)Z D.(2,22 k k k 3π π+ππ+ )(∈)Z 4.(中 三角函数定义域)如果[0,2]x ∈π,则函数x x y cos sin -+=的定义域为( ) A.[0,]π B.[, ]22π3π C.[,2 π π] D.[,223ππ] 5.(中 函数对称性)已知函数f (x )＝a sin2x ＋cos2x (a ∈R )图象的一条对称轴方程为x ＝π 12 ,则a 的值为 ( ) A. 33 B.21 C.2 3 D.32 6.(中 三角函数最值)若函数()(13tan )cos f x x x =+,02 x π ≤< ,则()f x 的最大值为( ) A.1 B.2 C.31+ D.32+ 二、填空题:共3小题 7.(易 )设3 ()sin 1f x ax b x =++,(,a b 为常数),且(5)7f =,则(5)f -= . 8.(中 三角函数的对称性周期性) 设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0,ω>0)的图象关于直线x ＝π 3 对称,它 的最小正周期是π,则f (x )图象上的一个对称中心是________(写出一个即可). 9.(难 函数图像)函数[]()sin 2|sin |,0,2f x x x x =+∈π的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是__________. 三、解答题:共2小题 10. (中 三角函数的奇偶性)判断函数f (x )=lg(sin x +x 2sin 1+)的奇偶性. 11. (中 三角函数对称性最大最小值)设函数()sin(2) (0),()f x x y f x ??=+-π<<=图像的一条对称轴是直线8 x π=. (1)求?; (2)若函数2(),(y f x a a a =+∈为常数R )在113[,]244 x ππ ∈上的最大值和最小值之和为1, 求a 的值. C 组 解答题:共2小题 1.(难 三角函数单调性最大最小值)已知函数2 ()2sin 1f x x x θ=+-,31[,]22 x ∈- (1)当6 θπ = 时,求()f x 的最大值和最小值; (2)若()f x 在31 [,]22 x ∈-上是单调函数,且[0,2)θ∈π,求θ的取值范围 2.(较难 三角函数周期性)设)0(cos sin )(>+=ωωωx b x a x f 的周期T =π,最大值为()412 f π =, (1)求ω、a 、b 的值; (2)若α、β为方程()0f x =的两根,且α、β的终边不共线,求tan()αβ+的值. 参考答案 A 组 一、选择题:共6小题 1.D 当1sin =x 时1sin 13y x =-有最大值32-,当1sin -=x 时1 sin 13y x =-有最小值3 4-,所以A+B=－ 2. 2.A x y cos =在[0,2]π的增区间为[,2]ππ,x y 2cos =的增区间为ππ2?? ????， 3.B x y sin =的递减区间为3( 2,2)22k k ππ+π+π,所以3s i n ()6 y x π =+的递减区间为4(2,2)33k k ππ+π+π,其中2[,]33ππ4[2,2]33 k k ππ?+π+π,故选B. 4.D 四个选项中为奇函数的是A 和D,其中x y 2t a n =的最小正周期为2 π .而 3cos(2)cos(2)cos(2)sin 2222 y x x x x πππ =-=π+-=--=-,最小正周期为π,故选D. 5. C x y cos =的图象相邻两条对称轴距离为π,要使cos()3 y x ωπ =+的图像相邻两条对称轴的距离 为2 π ,则其周期缩小为原来的一半,所以2=ω. 6.A 当0sin >x 时,0sin sin sin sin =-=-=x x x x y ;当0sin 2 π 1212,2T T T T =π=π?+=π 8.x x sin 2 -- 设0 2+=---=-,又因为)(x f 为奇函 数,则x x x f x f sin )()(2+=-=-,所以x x x f sin )(2--=. 9.①,k π(k ∈Z );或者①, 2π+k π(k ∈Z );或者④,2 π +k π(k ∈Z ) 当?=2k π,k ∈Z 时,f (x )=sin x 是奇函数.当?=2(k +1)π,k ∈Z 时f (x )=－sin x 仍是奇函数.当 ?=2k π+2 π ,k ∈Z 时,f (x )=c os x ,或当?=2k π－2 π ,k ∈Z 时,f (x )=－c os x ,f (x )都是偶函数.所以②和 ③都是正确的.无论?为何值都不能使f (x )恒等于零.所以f (x )不能既是奇函数又是偶函数.①和④都是假命题. 三、解答题:共2小题 10.解:∵2 0sin 1x ≤≤,∴2 1sin 12x ≤+≤, ∴1 12 y ≤≤, ∴1[,1]2A =,而[1,1]U =-,∴1[1,)2 U A =-e; 由sin ()sin 2x g x x = +,得sin sin 2x y x =+,于是2sin 1y x y =-, ∴1sin 1x -≤≤,∴2111 y y -≤ ≤-,解得113y -≤≤, ∴1{|1}3B y y =-≤≤.而[1,1]U =-,∴1 (,1]3U B =e; ∴11 ()()(,)32 U U A B = 痧. 11.解:由232x k +≠+ππππ,得1 23 x k ≠+(k ∈Z ). ∴函数()f x 的定义域是1|2,3 x x k k ? ?≠+∈??? ? Z ; 由于()()()tan tan tan 2223232 3f x x x x f x ??????=+=++=++=+ ? ?????????πππππ ππ, 因此函数()f x 的最小正周期为２. 由2232k x k - +<+<+ππππππ,k ∈Z ,解得51 2233 k x k -+<<+,k ∈Z . 因此,函数的单调递增区间是512,23 3 k k ??-++ ??? ,k ∈Z . B 组 一、填空题:共6小题 1. C ①错,其余正确. 2. B 由22x ωππ- ≤≤得到一个单调递增区间是[,]22ωωππ-,依题意3,322 ωωππ-≤-∴≥ 3.D 在区间3( ,2)2ππ上x y sin =单调递增,不合要求.在区间3(2,2)2 k k π π+ππ+上x y sin =递减,x y cos =为递减函数,故选D. 4.C 依题意得???≤≥0cos 0sin x x ,即0322 x x ≤≤π?? ?ππ ≤≤??,[,]2x π∴∈π,故选C 5.A ∵x ＝π12是对称轴,∴f (0)＝f (π6),即cos0＝a sin π3＋cos π3,∴a ＝3 3. 6.B 因为()(13tan )cos f x x x =+=cos 3sin x x +=2cos()3 x π - 当3 x π = 是,函数取得最大值为2.故选B 二、填空题:共3小题 7.5- 715sin 5)5(3=++=b a f ,则65sin 53 =+b a , 又51615sin 5)5(3-=+-=+--=-b a f 8.(π12,0) ∵T ＝2πω＝π,∴ω＝2,又∵函数的图象关于直线x ＝π 3 对称, 所以有sin(2×π3＋φ)＝±1,∴φ＝k 1π－π 6(k 1∈Z ), 由sin(2x ＋k 1π－π6)＝0得2x ＋k 1π－π 6 ＝k 2π(k 2∈Z ), ∴x ＝π12＋(k 2－k 1)π2,当k 1＝k 2时,x ＝π12 , ∴f (x )图象的一个对称中心为(π 12,0). 9.(1,3) 3sin ,[0,) ()sin 2sin sin ,[,2]x x f x x x x x ∈π?=+=? -∈ππ? ,由其图像可知当直线k y =,)3,1(∈k 时与 []()sin 2|sin |,0,2 f x x x x =+∈π的图像与直线k y =有且仅有两个不同的交点. 三、解答题:共2小题 10.分析:判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称,然后再看f (x )与f (－x )的关系. 解析:定义域为R ,又f (x )+f (－x )=lg1=0, 即f (－x )=－f (x ),∴f (x )为奇函数. 11.(1)∵2x π= 是它的一条对称轴,∴282k ?ππ?+=π+. ∴,4k ?π=π+又0?-π<<,得4 ?3π =-; (2)由(1)得3 ()sin(2)4 f x x =-π ∴32sin(2)4y x a =-π+,又332644 x ππ ≤-π≤, ∴max min 2,1,y a y a =+=+∴231,a +=∴ 1.a =- 解答题:共2小题 C 组 1. 解:(1)当6θπ= 时,4 5)21(1)(22 -+=-+=x x x x f )(x f ∴在]2 1 ,23[-- 上单调递减,在]21,21[-上单调递增. ∴当21-=x 时,函数)(x f 有最小值45 - 当21=x 时,函数)(x f 有最小值4 1- (2)要使()f x 在31[,]22 x ∈- 上是单调函数,则3 sin 2θ-≤- 或1sin 2θ-≥, 即2 3 sin ≥ θ或21sin -≤θ,又[0,2θ∈π), 解得[, ][,]3366 θπ2π7π11π ∈ . 2.解析:(1))sin()(22?ω++= x b a x f ,∴T =π,∴2ω=, 又()f x 的最大值为( )412 f π =. ∴224a b =+ ① ,且12 2cos b 122sin a 4π+π=②, 由①、②解出a =2 , b =3. (2)()2sin 223cos24sin(2)3 f x x x x π =+=+,∴()()0f f αβ==, ∴4sin(2)4sin(2)33αβππ+ =+, ∴22233k απβππ+=++,或22(2)33 k αβππ +=π+π-+, 即k αβ=π+ (βα、 共线,故舍去) ,或6 k αβπ +=π+, ∴3 tan()tan()63 k αβπ+=π+= ()k ∈Z 三角函数图像及性质练习题 1.已知4k <-，则函数cos 2(cos 1)y x k x =+-的最小值是（ ） Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ．21k + Ｄ．21k -+ 2.已知f (x )的图象关于y 轴对称,且它在［0,+∞)上是减函数,若f (lg x )＞f (1),则x 的取值范围是( ) A.( 10 1 ,1) B.(0, 101)∪(1,+∞) C.( 10 1,10) D.(0,1)∪(10,+∞) 3.定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数.若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈［0，2π ］ 时，f （x ）=sin x ，则f （ 3 π 5）的值为( ) A.－ 21 B.2 1 C.－23 D.23 4.定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=f （x +2），当x ∈［3，5］时，f （x ）=2－|x －4|，则( ) A.f （sin 6π）＜f （cos 6π ） B.f （sin1）＞f （cos1） C.f （cos 3π2）＜f （sin 3 π2） D.f （cos2）＞f （sin2） 5.关于函数f （x ）=sin 2x －( 32)|x |+21 ，有下面四个结论，其中正确结论的个数为 ( ) ． ①()f x 是奇函数 ②当x ＞2003时，1 ()2 f x > 恒成立 ③()f x 的最大值是23 ④f （x ）的最小值是12- A.1 B.2 C.3 D.4 6.使)tan lg(cos θθ?有意义的角θ是( ) A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第一、二象限的角 D.第一、二象限或y 轴的非负半轴上的角 7 函数lg(2cos y x =的单调递增区间为 ( ) ． A ．(2,22)()k k k Z ππππ++∈ B ．11 (2,2)()6 k k k Z ππππ++ ∈ C ．(2,2)()6 k k k Z π ππ- ∈ D ．(2,2)()6 k k k Z π ππ+∈ 8．已知函数()sin()(0,)f x x x R ωφω=+>∈,对定义域内任意的x ，都满足条件(6)()f x f x +=,若 sin(3),sin(3)A x B x ωφωωφω=++=+-,则有 ( ) ． A. A>B B. A=B C.A 任意角的三角函数 一、教学目标 1、知识目标：借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义，根据定义探讨出三角函数值在各个象限的符号，掌握同一个角的不同三角函数之间的关系。 2、能力目标：能应用任意角的三角函数定义求任意角的三角函数值。 3、情感目标：培养数形结合的思想。 二、教材分析 1、教学重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 2、教学难点：从函数角度理解三角函数。 3、教学关键：利用数形结合的思想。 三、教学形式：讲练结合法 四、课时计划：2节课 五、教具：圆规、尺子 六、教学过程 (一)引入 我们已经学过锐角三角函数，知道他们都是以锐角为自变量，以比值 为函数值的函数，你能用直角坐标系中的终边上点的坐标来表示锐角 三角函数吗？ 设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，那么它 的终边在第一象限，在α的终边上任取一点P （a,b ）,它与原点的距离 r=22b a +>0.根据初中学过的三角函数定义，我们有αsin =r b , r a αcos = a b αtan =,取r=1,则a b tan αa,cos αb,αsin ===，引入单位圆概念。 （二）新课 1、设α是以任意角，它的终边与单位圆交于P （x,y ）,那么： （1） y 叫做α的正弦，记作αsin , 即y αsin =； （2） x 叫做α的余弦，记作αcos ，即x αcos =； （3） x y 叫做α的正切，记作αtan ，即x y αtan =)0(≠x . 注：用单位圆定义的好处就在于r=1,点的横坐标表示余弦值，纵坐标 表示正弦值。 2、根据任意角的三角函数定义，得到三种函数值在各象限的符号。 通过观察发现：第一象限全为正，第二象限只有正弦为正，第三象限只有正切为正，第四象限只有余弦为正。总结出一条法则：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 注：这有利于培养学生观察和思考的能力，以方便记忆。 3、利用勾股定理可以推出：1cos sin 22=+αα，根据三角函数定义，当)(2z k k ∈+≠π πα时，有αα αtan cos sin =。这就是说同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切。 4、例题 例1求 3 5π的正弦、余弦和正切值。 解:在直角坐标系中，作3π5=∠AOB ,易知AOB ∠的终边与单位圆的交点 坐标为)2 3,21 (-，所以 高一数学必修4 第一章三角函数测试卷 一、选择题（每小题5分，共50分） 1．下列各组角中，终边相同的角是 （ ） A ． π2k 与)(2 Z k k ∈+ππ B ．)(3 k 3Z k k ∈± ππ π与 C ．ππ)14()12(±+k k 与)(Z k ∈ D ．)(6 6 Z k k k ∈± + π ππ π与 2.已知角α的终边过点()m m P 34， -，()0≠m ，则ααcos sin 2+的值是（ ） A ．1或－1 B ． 52或 52- C ．1或5 2 - D ．－1或52 3．一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积为 （ ） A ． 2)1cos 1sin 2(2 1 R ?- B ． 1cos 1sin 2 12 ?R C ． 2 2 1R D ．221cos 1sin R R ??- 4．已知αα αα αtan ,5cos 5sin 3cos 2sin 那么-=+-的值为 （ ） A ．－2 B ．2 C ．16 23 D ．－ 16 23 5．1sin 、1cos 、1tan 的大小关系为 （ ） A ．1tan 1cos 1sin >> B ．1cos 1tan 1sin >> C ．1cos 1sin 1tan >> D ．1sin 1cos 1tan >> 6.为得到函数)3 2sin(π -=x y 的图象，只需将函数)6 2sin(π + =x y 的图像（ ） A ．向左平移 4π个单位长度 B ．向右平移4π 个单位长度 C ．向左平移2π个单位长度 D ．向右平移2π 个单位长度 7.函数sin(2)3 y x π =+图像的对称轴方程可能是（ ） A ．6x π=- B ．12 x π =- C ．6x π=D ．12x π=8．已知函数1tan sin )(++=x b x a x f ，满足.7)5(=f 则)5(-f 的值为 （ ） A ．5 B ．－5 C ．6 D ．－6 9．函数)4 sin(π +=x y 在下列哪个闭区间上为增函数 （ ） A ．]4 , 4 3 [π π- B ．]0,[π- C ．]4 3 ,4[ππ- D ．]2 ,2[π π- 三角函数公式 （一）同角三角函数的基本关系式 （1）平方形式：sin 2α＋cos 2α＝1 （2）倒数形式：sinα/cosα＝tanα （二）诱导公式 （1）sin （2k π＋α）＝sin α cos （2k π＋α）＝cos α tan （2k π＋α）＝tan α (其中k ∈Z) （2）sin （2k π－α）＝－sin α cos （2k π－α）＝cos α tan （2k π－α）＝－tan α (其中k ∈Z) （3）sin （－α）＝－sin α cos （－α）＝cosα tan （－α）＝－tan α （4）sin （π－α）＝sin α cos （π－α）＝－cosα tan （π－α）＝－tan α （5）sin （π＋α）＝－sin α cos （π＋α）＝－cos α tan （π＋α）＝tan α （6）sin （π/2－α）＝cos α cos （π/2－α）＝sin α （7）sin （π/2＋α）＝cos α cos （π/2＋α）＝－sin α （8）sin （3π/2＋α）＝－cos α cos （3π/2＋α）＝sin α （9）sin （3π/2－α）＝－cos α cos （3π/2－α）＝－sin α (三) 两角和与差的三角函数公式 （1）sin （α＋β）＝sin αcosβ＋cos αsinβ （2）sin （α－β）＝sin αcosβ－cos αsinβ （3）cos （α＋β）＝cos αcosβ－sin αsinβ （4）cos （α－β）＝cos αcosβ＋sin αsinβ （5）tan （α＋β）＝ tanα+tanβ1－tanαtanβ （6） tan （α－β）=tanα－tanβ1+tanαtanβ （四）二倍角的正弦、余弦和正切公式 （1）sin2α＝2sin αcos α （2）cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α （3）tan2α= 2tan α/（1－tan 2α） （五）三角函数的降幂公式 （六）半角的正弦、余弦和正切公式 (七)（辅助角的三角函数的公式） (八)正、余弦定理公式及其变形 ● a sinA =b sinB =c sinC =2R （R 为△ABC 的外接圆的半径） ● a 2=b 2+c 2-2bccosA ● b 2= a 2+ c 2-2accosB ● c 2= b 2+ a 2-2abcosC （ⅰ) sinA=a 2R ，sinB=b 2R ，sinC=c 2R （ⅱ）a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC （ⅲ）a:b:c=sinA: sinB: sinC （ⅳ）asinB=bsinA bsinC=csinB asinC=csinA （九）常用的三角形面积公式 （ⅰ) S=12 absinC=12 acsinB=12 bcsinA （ⅱ）S =12 (a+b+c)r (r 为△ABC 的内切圆的半径) （ⅲ）S=abc 4R （R 为△ABC 的外接圆的半径） （十）利用余弦定理判断三角形的形状 （ⅰ)在△ABC 中，若a 2﹤b 2+c 2，则0°﹤A ﹤90°；反之，若0°﹤A ﹤90°，则a 2﹤b 2+c 2。 （ⅱ）在△ABC 中，若a 2=b 2+c 2，则A=90°；反之，若A=90°，则a 2=b 2+c 2。 （ⅲ）在△ABC 中，若a 2﹥b 2+c 2，则90°﹤A ﹤180°；反之，若90°﹤A ﹤180°，则a 2﹥b 2+c 2。 高一数学同步测试（1）—角的概念·弧度制 一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C=C C ．A ?C D ．A=B=C 2．下列各组角中，终边相同的角是 （ ） A ． π2 k 与)(2Z k k ∈+ π π B ．)(3k 3Z k k ∈± ππ π与 C ．ππ)14()12(±+k k 与 )(Z k ∈ D ．)(6 6Z k k k ∈± + π πππ与 3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ） A ．2 B ． 1 sin 2 C ．1sin 2 D ．2sin 4．设α角的终边上一点P 的坐标是)5 sin ,5(cos π π ，则α等于 （ ） A ． 5 π B ．5 cot π C ．)(10 32Z k k ∈+ππ D ．)(5 92Z k k ∈- ππ 5．将分针拨慢10分钟，则分钟转过的弧度数是 （ ） A ． 3 π B ．－ 3 π C ． 6 π D ．－6 π 6．设角α和β的终边关于y 轴对称，则有 （ ） A ．)(2 Z k ∈-= βπ α B ．)()2 1 2(Z k k ∈-+ =βπα C ．)(2Z k ∈-=βπα D ．)()12(Z k k ∈-+=βπα 7．集合A={}, 32 2|{},2|Z n n Z n n ∈±=?∈= ππααπαα， B={}, 2 1 |{},3 2|Z n n Z n n ∈+=?∈=ππββπ ββ， 则A 、B 之间关系为 （ ） A ．A B ? B ．B A ? C ．B ?A D ．A ?B 8．某扇形的面积为12 cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为 （ ） A ．2° B ．2 C ．4° D ．4 9．下列说法正确的是 （ ） A ．1弧度角的大小与圆的半径无关 B ．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大 ≠ ≠ ≠ 人教版数学必修四三角函数 复习讲义 本页仅作为文档页封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March 第一讲 任意角与三角函数诱导公式 1. 知识要点 角的概念的推广： 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 象限角的概念： 在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 终边相同的角的表示： α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z 。 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2 k k Z π απ=+∈； α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α= ∈. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. α与2 α的终边关系： 任意角的三角函数的定义: 设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点）， 它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==， ()tan ,0y x x α= ≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 三角函数线的特征：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线 OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A 处(起点是A )” 同角三角函数的基本关系式： 1. 平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 2. 倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 3. 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 注意：1.角α的任意性。 2.同角才可使用。 3.熟悉公式的变形形 式。 三角函数诱导公式：“ （2 k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限” 典型例题 例1．求下列三角函数值： （1）cos210o； (2)sin 4 5π 例2．求下列各式的值： （1）sin(－3 4π )； (2)cos(－60o)－sin(－210o) 例3．化简 ) 180sin()180cos() 1080cos()1440sin(?--?-?-?-?+?αααα 例4．已知cos(π+α)=－2 1，2 3π<α<2π，则sin(2π－α)的值是（ ）． 必修4三角函数综合测试题及答案详解 一、选择题 1．下列说法中，正确的是( ) A ．第二象限的角是钝角 B ．第三象限的角必大于第二象限的角 C ．－831°是第二象限角 D ．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角 2．若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π 6的值为( ) A ．0 B.3 3 C ．1 D. 3 3．若|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ 2的终边在( ) A ．第一、三象限 B ．第二、四象限 C ．第一、三象限或x 轴上 D ．第二、四象限或x 轴上 4．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ，且当x ＝2时取得最大值，那么( ) A ．T ＝2，θ＝π 2 B ．T ＝1，θ＝π C ．T ＝2，θ＝π D ．T ＝1，θ＝π 2 5．若sin ? ???? π2－x ＝－32，且π 7．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到y ＝sin ? ?? ?? x －π6的图象，则φ＝( ) A.π6 B.5π6 C.7π6 D.11π6 8．若tan θ＝2，则2sin θ－cos θ sin θ＋2cos θ的值为( ) A ．0 B ．1 C.34 D.54 9．函数f (x )＝tan x 1＋cos x 的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既不是奇函数也不是偶函数 10．函数f (x )＝x －cos x 在(0，＋∞)内( ) A ．没有零点 B ．有且仅有一个零点 C ．有且仅有两个零点 D ．有无穷多个零点 三角函数 公式大全 姓名： 1、两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) = tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan( 3π+a)·tan(3 π-a) 4、半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2 cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 5、和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cos b = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 6、积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1 [sin(a+b)-sin(a-b)] 必修四第一章三角函数测试题 班别 姓名 分数 一、选择题 1．已知cos α＝1 2 ，α∈(370°，520°)，则α等于 ( ) A ．390° B ．420° C ．450° D ．480° 2．若sin x ·tan x <0，则角x 的终边位于 ( ) A ．第一、二象限 B ．第二、三象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限 3．函数y ＝tan x 2 是 ( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π 2的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数 4．已知函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图，那么ω等于 ( ) A ．1 B ．2 C.12 D.13 5．函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ等于 ( ) A ．－π2 B ．2k π－π 2 (k ∈Z ) C ．k π(k ∈Z ) D ．k π＋π 2(k ∈Z ) 6．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ ＝2，则sin θcos θ的值是 ( ) A ．－310 B.310 C ．±310 D.34 7．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π 10 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸 长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ( ) A ．y ＝sin ? ???2x －π10 B ．y ＝sin ????2x －π5 C ．y ＝sin ????12x －π10 D ．y ＝sin ??? ?12x －π 20 8．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos ????x 2＋3π2(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝1 2的交点个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 9．已知集合M ＝???? ??x |x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，N ＝{x |x ＝k π4＋π 2，k ∈Z }．则 ( ) A ．M ＝N B ．M N C ．N M D ．M ∩N ＝? 1.4—1.5 三角函数的图象与性质 一、正弦函数的图象与性质 1、利用描点法作函数图象 (列表、描点、连线) 自变量x 2π- 32π- π- 2 π- 0 2π π 32 π 2π 函数值sin x 0 1 0 1- 0 1 1- 0 注意：（1）由于sin(2k π＋α)＝sin α，因此作正弦函数图象时，我们经常采用 “五点法”：．．．．．．(0．．，．0)．．，．(．2 π ，．1)．．，．(．π，．0)．．，．(．23π ，－．．1)．．，．(2．．π，．0)．．；． 再通过向左、右平移(每次2π个单位)，即可得正弦函数图象；（2）正弦函数自变量一般采用弧度制。 二、余弦函数的图象 1、余弦函数的图象：y ＝cosx ＝sin(x ＋ 2π)可将正弦函数y ＝sinx 向左平移2 π 个单位得到。 2、“五点作图法”： (0．．，．1．)．，． (．2 π ，．0．)．，． (．π，－．．1．)．，． (．23π ，．0．)．，． (2．．π，．1．)． – – π 2 π 2 π - 2π 5π π- 2π- 5π- O x y 1 1- 三、正、余弦函数的性质 f(x)＝sinx h(x)＝cosx f(x)＝sinx h(x)＝cosx 定义域 R R 值域 [－1，1] 当x ＝2k π＋ 2π 时，f(x)max ＝1 当x ＝2k π－2π 时，f(x)min ＝－1 [－1，1] 当x ＝2k π时，f(x)max ＝1 当x ＝2k π＋π时，f(x)min ＝－1 单调区间 [2 k π－2π，2 k π＋2 π ] 单增 [2 k π＋2 π ，2 k π＋23π] 单减 [2 k π，2 k π＋π] 单减 [2 k π＋π，2 k π＋2π] 单增 对称轴 x ＝k π＋2 π x ＝k π 对称中心 (k π，0) (k π＋ 2 π ，0) 周期性 sin(2 k π＋α)＝sin α cos(2 k π＋α)＝cos α 最小正周期为2π 奇偶性 sin(－α)＝－sin α 奇函数 cos(－α)＝cos α 例1：求下列函数的定义域。 （1）f(x)＝x sin （2）f(x)＝2 1cos -x 高中数学必修四三角函数重要公式 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα (以上k∈Z) 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变； ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. （奇变偶不变） 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。 （符号看象限） 例如： sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。 当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。 所以sin(2π－α)＝－sinα y x 1 1 2 3 O （人教版）高二数学必修4第一章三角函数单元测试题（含答案） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1 ． A B ． C D 2．下列函数中，最小正周期为 的是 A ． B ． C ． D ． 3．已知 ， ，则 A B C D ． 4．函数 是周期为的偶函数，且当 A B C ． D ．2 5 A B 个单位 C 个单位 D ．向右平 移 6 ．函数的零点个数为 A ．5 B ．7 C ．3 D ．9 7 ．函数 可取的一组值为 A B C D 8 ．已知函数 的值可能是 A B C D ． 9 ，则 这个多边形为 A ．正六边形 B ．梯形 C ．矩形 D ．正五边 形 10 ．函数有3个零点，则 的值为 A ．0 B ．4 C ．2 D ．0，或2 11 ．对于函数的一组值计 ，所得的结果可能是 A ．0与1 B ．1 C ．101 D ．与 12．给出下列3个命题： ①函数； ②函数 ③ A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在题中横线上．13．角的终边过点，且，则的值为▲． 14．设，若函数在上单调递增，则的取值范围是▲． 15．已知，则▲． 16．函数个单位，所的函数为偶函数； 的最大值为▲． 三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分） 已知扇形的周长为4，那么当扇形的半径为何值时，它的面积最大，并求出最大面积，以及相应的圆心角． 18．（本小题满分12分） 已知函数时，取得最小值 （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）求函数的解析式． 19．（本小题满分12分） 若，为第四象限角，求 20．（本小题满分12分） 求下列函数的值域 （Ⅰ） （Ⅱ）． 21．（本小题满分12分） 已知函数．求的 （Ⅰ）定义域； （Ⅱ）单调递增区间； （Ⅲ）值域． 22．（本小题满分12分） 《三角函数》【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈ x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈ y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈ 3、第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈ 第二象限角：{}()90360180360k k k Z αα??+<<+∈ 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈ 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈ 4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈ 锐角： {}090αα<< 小于90的角：{}90αα< 5、若α为第二象限角，那么 2 α 为第几象限角？ ππαππ k k 222 +≤≤+ ππ α ππ k k +≤ ≤ +2 2 4 ,24,0παπ≤≤=k ,2345,1παπ≤≤=k 所以2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 8、角度与弧度对应表： 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α 终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全s t c ”） 三角函数 一、选择题 1．已知 α 为第三象限角，则 2 α 所在的象限是( )． A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限 2．若sin θcos θ＞0，则θ在( )． A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四象限 3．sin 3π4cos 6π5tan ?? ? ??3π4－＝( )． A ．－ 4 3 3 B ． 4 3 3 C ．－ 4 3 D ． 4 3 4．已知tan θ＋θ tan 1 ＝2，则sin θ＋cos θ等于( )． A ．2 B ．2 C ．－2 D ．±2 5．已知sin x ＋cos x ＝5 1(0≤x ＜π)，则tan x 的值等于( )． A ．－4 3 B ．－3 4 C ．4 3 D ．3 4 6．已知sin α ＞sin β，那么下列命题成立的是( )． A ．若α，β 是第一象限角，则cos α ＞cos β B ．若α，β 是第二象限角，则tan α ＞tan β C ．若α，β 是第三象限角，则cos α ＞cos β D ．若α，β 是第四象限角，则tan α ＞tan β 7．已知集合A ＝{α|α＝2k π±3π2，k ∈Z }，B ＝{β|β＝4k π±3 π 2，k ∈Z }，C ＝ {γ|γ＝k π± 3 π 2，k ∈Z }，则这三个集合之间的关系为( )． A ．A ?B ?C B ．B ?A ?C C ．C ?A ?B D ．B ?C ?A 8．已知cos (α＋β)＝1，sin α＝3 1，则sin β 的值是( )． A ．3 1 B ．－3 1 C ． 3 2 2 D ．－ 3 2 2 9．在(0，2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为( )． A ．??? ??2π ， 4π∪??? ??4π5 ，π B ．?? ? ??π ， 4 π C ．?? ? ??4π5 ，4π D ．??? ??π ， 4 π∪?? ? ??23π ，4π5 10．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的2 1 倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )． A ．y ＝sin ?? ? ? ?3π － 2x ，x ∈R B ．y ＝sin ??? ??6π ＋ 2x ，x ∈R C ．y ＝sin ??? ? ?3π ＋ 2x ，x ∈R D ．y ＝sin ??? ? ? 32π ＋ 2x ，x ∈R 二、填空题 11．函数f (x )＝sin 2 x ＋3tan x 在区间??? ???3π 4π ，上的最大值是 ． 12．已知sin α＝ 552，2 π ≤α≤π，则tan α＝ ． 13．若sin ??? ??α ＋ 2π＝53，则sin ?? ? ??α － 2π＝ ． 14．若将函数y ＝tan ??? ? ? 4π ＋ x ω(ω＞0)的图象向右平移6π个单位长度后，与函 数y ＝tan ?? ? ??6π ＋ x ω的图象重合，则ω的最小值为 ． 15．已知函数f (x )＝21(sin x ＋cos x )－2 1 |sin x －cos x |，则f (x )的值域是 ． 16．关于函数f (x )＝4sin ?? ? ? ?3π ＋ 2x ，x ∈R ，有下列命题： ①函数 y = f (x )的表达式可改写为y = 4cos ?? ? ? ?6π － 2x ； ②函数 y = f (x )是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数y ＝f (x )的图象关于点(－ 6 π ，0)对称； 数学必修四三角函数公式盘点与归纳 1、诱导公式： sin(2kπ+α)=sinα, cos(2kπ+α)=cosα sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα sin(2π-α)=-sinα, cos(2π-α)=cosα sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα sin(π+α)=-sinα, cos(π+α)=-cosα sin(+α)=cosα, cos(+α)=-sinα sin(-α)=cosα, cos(-α)=sinα 2、同角三角函数基本关系： sin2α+cos2α=1, =tanα, tanα×cotα=1, 1+tan2α=， 1+cot2α= cosα=， sinα= 3、两角和与差的三角函数： cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ， cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ， sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ， sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ tan（α+β）=， tan（α-β）=， 4、二倍角的三角函数： sin2α=2sinαcosα， cos2α=cos2α-sin2α =1-2sin2α =2cos2α-1， tan2α=， sin=， cos=， tan= = = 5、万能公式： sin2α=， cos2α= 6、合一变式： asinα+bcosα =sin（α+γ）（tanγ=）7、其他公式： sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]， cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]， cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]，sinαsinβ=[cos（α+β）-cos（α-β）]，sinα+sinβ=2sin cos， sinα-sinβ=2cos sin， cosα+cosβ=2cos cos， cosα-cosβ=2sin cos 第一讲 任意角与三角函数诱导公式 1. 知识要点 角的概念的推广： 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 象限角的概念： 在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 终边相同的角的表示： α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z 。 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2 k k Z π απ=+∈； α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α= ∈. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. α与2 α的终边关系： 任意角的三角函数的定义: 设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点）， 它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==， ()tan ,0y x x α= ≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 三角函数线的特征：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A 处(起点是A )” 同角三角函数的基本关系式： 1. 平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 2. 倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 3. 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 注意：1.角α的任意性。 2.同角才可使用。 3.熟悉公式的变 形形式。 三角函数诱导公式：“ （2 k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限” 典型例题 例1．求下列三角函数值： （1）cos210o； (2)sin 4 5π 例2．求下列各式的值： （1）sin(－3 4π )； (2)cos(－60o)－sin(－210o) 例3．化简 ) 180sin()180cos() 1080cos()1440sin(?--?-?-?-?+?αααα 三角函数 单元测试 一、选择题 1．sin 210=o （ ） A ． B ． C ．12 D ．12 - 2．下列各组角中，终边相同的角是 ( ) A ．π2k 或()2k k Z π π+∈ B ． (21)k π+或(41)k π± )(Z k ∈ C ．3 k π π± 或k ()3 k Z π ∈ D ．6 k π π+ 或()6 k k Z π π± ∈ 3．已知cos tan 0θθ?<，那么角θ是（ ） A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D ．第一或第四象限角 4．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ） A ．2 B ． 1sin 2 C ．1sin 2 D ．2sin 5．为了得到函数2sin(),36 x y x R π =+∈的图像，只需把函数2sin ,y x x R =∈的图 像上所有的点（ ） A ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3 1 倍（纵坐标不变） B ．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3 1 倍（纵坐标不变） C ．向左平移6 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D ．向右平移6 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） 6．设函数()sin ()3f x x x π? ?=+∈ ?? ?R ，则()f x （ ） A ．在区间2736ππ?? ? ??? ，上是增函数 B ．在区间2π? ? -π-??? ?，上是减函数 C ．在区间84ππ?? ????，上是增函数 D ．在区间536ππ?? ???? ，上是减函数 7．函数sin()(0,,)2 y A x x R π ω?ω?=+>< ∈的部分图象如图所示， 则函数表达( ) A ．)48sin(4π+π-=x y B ．)48sin(4π -π=x y C ．)48sin(4π-π-=x y D ．)4 8sin(4π +π=x y 8． 函数sin(3)4 y x π =-的图象是中心对称图形,其中它的一个对称中心是 ( ) A ．,012π??- ??? B ． 7,012π??- ??? C ． 7,012π?? ??? D ． 11,012π?? ??? 9．已知()21cos cos f x x +=，则 ()f x 的图象是下图的 ( ) A B C D 10．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =+，当[]3,4x ∈时，()2f x x =-，则 （ ） A ．11sin cos 22f f ??? ?< ? ???? ? B ． sin cos 33f f ππ??? ?> ? ???? ? C ．()()sin1cos1f f < D ．33sin cos 22f f ??? ?> ? ???? ? 二、填空题 11．若2cos 3 α=，α是第四象限角,则sin(2)sin(3)cos(3)απαπαπ-+---＝___ 12．若tan 2α=，则22sin 2sin cos 3cos αααα++=___________ 13．已知3sin 4πα??+= ???，则3sin 4πα?? - ??? 值为 14．设()f x 是定义域为R ，最小正周期为 32 π 的周期函数，若必修4三角函数的图像和性质专题练习
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