湖北省部分重点中学2017届高三理联考一数学试卷(解析版)
第I 卷（选择题）
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一、选择题
1．i 为虚数单位，若i z i -=+3)3(，则=||z （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 【答案】A 【解析】
试题分析：由题意可得：
(
)
(
)(
)
i i i
i i i
i z 23
214322333332
-=-=-+-=+-=，则1=z ，
故选A.
考点：复数的运算.
2．已知集合}0352|{2
≤--=x x x A ，}2|{≤∈=x Z x B ，则B A 中的元素个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 【答案】B 【解析】
试题分析：由题意可得?
?????≤≤-
=321
x x A ，{}2,1,0=B ，
则{}2,1,0=B A ，故B A 中的元素个数为3，故选B.
考点：（1）一元二次不等式的解；（2）集合的交集.
3．下列函数中既是奇函数，又在区间)2,0(内是增函数的为（ ） A ．R x x y ∈=,sin B ．R x x y ∈=|,|ln 且0≠x
C ．R x e e y x
x
∈-=-, D ．R x x y ∈+=,13 【答案】C 【解析】
试题分析：A.x y sin =在)2,0(上没有单调性，∴该选项错误；B ．x y ln =是偶函数，∴该选项错误；C ．由()x
x
e
e x
f --=，得()()x f e e
x f x x
-=-=--，∴该函数为奇函
数；在)2,0(上为增函数，∴该选项正确；D.13
+=x y 为非奇非偶函数，∴该选项错误．故选C ． 考点：（1）函数单调性的判断与证明；（2）函数的奇偶性.
4．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若21-=-m S ，0=m S ，31=+m S ，则=m （ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】C 【解析】
试题分析：21=-=-m m m S S a ，311=-=++m m m S S a ，所以公差11=-=+m m a a d ，
()02
1=+=
m m a a m S ，得21-=a ，所以()2112=?-+-=m a m ，解得5=m ，故选C ．
考点：（1）等差数列的性质；（2）等差数列的前n 项和.
5．设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若βα⊥，α?m ，β?n ，则n m ⊥ B ．若βα//，α?m ，β?n ，则n m //
C ．若n m ⊥，α?m ，β?n ，则βα⊥
D ．若α⊥m ，n m //，β//n ，则βα⊥ 【答案】D 【解析】
试题分析：选项A ，若βα⊥，α?m ，β?n ，则可能n m ⊥，n m //，或m ，n 异面，故A 错误；选项B ，若βα//，α?m ，β?n ，则n m //，或m ，n 异面，故B 错误；选项C ，若n m ⊥，α?m ，β?n ，则α与β可能相交，也可能平行，故C 错误；选项D ，若α⊥m ，n m //，则α⊥n ，再由β//n 可得βα⊥，故D 正确．故选D ． 考点：（1）空间中直线与平面的位置关系；（2）命题真假的判断与应用；（3）平面与平面之间的位置关系.
6．设等比数列}{n a 的公比为q ，则“10< 试题分析：∵数列}{n a 是公比为q 的等比数列，则“10< 故选：D. 考点：充要条件. 7．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ） A ． 320 B ．3 16 C ．6 8π - D ．3 8π - 【答案】A 【解析】 试题分析：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，如图所示，∴该几何体的体积为 3 203481231223=-=??-，故选A ． 考点：由三视图求面积、体积. 8．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 （ ） A ．12万元 B ．20万元 C ．25万元 D ．27万元 【答案】D 【解析】 试题分析：设该企业生产甲产品为x 吨，乙产品为y 吨，则该企业可获得利润为 y x z 35+=，且???? ???≤+≤+≥≥18 3213 30 0y x y x y x ，联立???=+=+1832133y x y x ，解得3=x ， 4=y ，由图可知， 最优解为()4,3P ，∴z 的最大值为274335=?+?=z （万元）．故选D ． 考点：简单的线性规划. 【方法点睛】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件?②由约束条件画出可行域?③分析目标函数z 与直线截距之间的关系?④使用平移直线法求出最优解?⑤还原到现实问题中．在该题中先设该企业生产甲产品为x 吨，乙产品为y 吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设 y x z 35+=，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线y x z 35+=过可行域内的点 时，从而得到z 值即可． 9．已知0>ω，函数)4sin()(π ω+=x x f 在),2 (ππ 上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．]45,21[ B ．]43 ,21[ C ．]2 1 ,0( D ．]2,0( 【答案】A 【解析】 试题分析：∵?? ? ??∈ππ,2x ，0>ω，∴??? ??++∈+44214πωππωππω，x ，∵函数 )4sin()(π ω+ =x x f 在),2(ππ 上单调递减，∴周期πω π≥=2T ，解得2≤ω，∵)4sin()(π ω+=x x f 的减区间满足：Z k k x k ∈+<+<+,223422πππωππ，∴取 0=k ，得??? ????≤+≥+2342421π πωπππωπ，解之得4521≤≤ω，故选A. 考点：三角函数的性质. 【方法点睛】本题给出函数()?ω+=x A y sin 的一个单调区间，求ω的取值范围，着重考查了正弦函数的单调性和三角函数的图象变换等知识，属于基础题；根据题意，得函数的周期πω π ≥= 2T ，解得2≤ω．又因为)4 sin()(π ω+=x x f 的减区间满足： Z k k x k ∈+< + <+,2234 22 ππ π ωππ ，而题中?? ? ??++∈+4,4214πωππωππωx ．由此建立不等关系，解之即得实数ω的取值范围． 10．已知P 是ABC ?所在平面内一点，若3 2 43-=，则PBC ?与ABC ?的面积的比为（ ） A ．31 B ．21 C ．32 D ．4 3 【答案】A 【解析】 试题分析：在线段AB 上取D 使AB AD 32= ，则3 2 -=，过A 作直线l 使BC l //，在l 上取点E 使4 3 = ，过D 作l 的平行线，过E 作AB 的平行线，设交点为P ，则由平行四边形法则可得3 2 43-=，设PBC ?的高线为h ， ABC ?的高线k ，由三角形相似可得3:1:=k h ，∵PBC ?与ABC ?有公共的底边 BC ，∴PBC ?与ABC ?的面积的比为31 ，故选：A. 考点：平面向量基本定理及其意义. 11．如图所示，已知在一个 60的二面角的棱上，有两个点B A 、，BD AC 、分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，且cm AB 4=，cm AC 6=，cm BD 8=，则CD 的长为（ ） A ．172 B ．412 C ．2 D ．10 【答案】A 【解析】 试题分析：∵AB CA ⊥，AB BD ⊥，∴0=?=?， 60=， ∴ 120=． ∵ ++=，∴ ?+?+?+++=2222 2 2 2 680120cos 8620846222=+???++++= ．∴172=CD ．故选：A ． 考点：与二面角有关的立体几何. 12．已知函数??? ??≤<+≤≤-+-=)20(1 1 ln )02(2)(2x x x x x x f ，若a ax x f x g --=|)(|)(的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)1,0(e B ．)21 ,0(e C ．)1,33ln [ e D ．)21 ,33ln [e 【答案】C 【解析】 试题分析：∵? ?? ??≤<+≤≤-+-=)20(1 1 ln ) 02(2)(2x x x x x x f ，∴()()???≤<+≤≤--=20,1ln 02,22x x x x x x f ，∵a ax x f x g --=|)(|)(的图象与x 轴有3个不同的交点，∴函数()x f 与函数a ax y +=的图象有3个不同的交点；作函数()x f 与函数a ax y +=的图象如下，图 中()0,1-A ，()3ln 2，B ，故此时直线AB 的斜率()3 3 ln 103ln =---= x k ；当直线AB 与 ()()1ln +=x x f 相切时，设切点为()()1ln ,+x x ；则()()1 1 101ln +=---+x x x ，解得1-=e x ； 此时直线AB 的斜率e k 1= ；结合图象可知， e a 1 33ln <≤；故选C ． 考点：根的存在性及根的个数判断. 第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．将参数方程为??? ? ?? ? +=+=t y t x 5 115 2 1（t 为参数）化为普通方程为 . 【答案】0323=-+y x 【解析】 试题分析：由t x 521+ =得()125-=x t ，代入t y 5 11+=化简可得 0323=-+y x ，故答案为0323=-+y x . 考点：参数方程化为普通方程. 14．所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥ABC S -中，M 是SC 的中点，且SB AM ⊥，底面边长 22=AB ，则其外接球的表面积为 . 【答案】π12 【解析】 试题分析：设O 为S 在底面ABC 的投影，则O 为等边三角形ABC 的中心，∵⊥SO 平 面ABC ，?AC 平面ABC ，∴SO AC ⊥，又AC BO ⊥，∴⊥AC 平面SBO ，∵? SB 平面SBO ，∴AC SB ⊥，又SB AM ⊥，?AM 平面SAC ，?AC 平面SAC ，A AC AM = ，∴⊥SB 平面SAC ，同理可证⊥SC 平面SAB ．∴SA ，SB ，SC 两 两垂直．∵S O C ≌≌???S O B S O A ，∴SC SB SA ==，∵22=AB ，∴2===SC SB SA ．设外接球球心为N ，则N 在SO 上．∵ 3622332=?=AB BO ．∴3322 2=-=BO SB SO ，设外接球半径为r ，则 r r SO NO -=-=332，r NB =，∵222NB ON OB =+，∴22 33 238r r =??? ? ??-+，解得3=r ．∴外接球的表面积ππ1234=?=S ．故答案为：π12． 考点：（1）棱柱、棱锥、棱台的体积；（2）球的表面积和体积. 【方法点睛】本题考查了正棱锥的结构特征，棱锥与外接球的关系，属于中档题．设棱锥的高为SO ，则由正三角形中心的性质可得OB AC ⊥，SO AC ⊥，于是⊥AC 平面SBO ，得AC SB ⊥，结合AM SB ⊥可证⊥SB 平面SAC ，同理得出SA ，SB ，SC 两两垂直，从而求得侧棱长，外接球的球心N 在直线SO 上，设r BN SN ==，则 r SO ON -=，利用勾股定理列方程解出r ． 15．已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2 3(x f x f =-，3)2(-=-f ，则 =-+-)63()31(f f . 【答案】3 【解析】 试题分析：因为()x f 为R 上的奇函数，故??? ? ? --=??? ??-2323x f x f ，易得 ()x f x f -=??? ? ? -23， 则()()x f x f x f x f =??? ? ? --=??? ??--=-2323233，即函数()x f 是以3为周期的周期函数， 故()()()()322131=--==-=-f f f f ，()()063f f =-，则()()36331=-+-f f ，故答案为3. 考点：（1）函数的奇偶性与周期性；（2）函数的值. 【方法点晴】本题考查了函数的奇偶性与周期性，函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．对于抽象函数中常出现的转化形式有：1、形如 ()()x f x t f =-，得到函数的对称性，即对称轴为2 t x = ；2、形如()()x f t x f -=±或()() x f t x f 1 = ±时，得到函数是以t 2为周期的周期函数.当奇偶性与对称性结合时可得周期性等. 16．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，对任意的* N n ∈，321 )1(-++ -=n a S n n n n 且 0))((1<--+p a p a n n 恒成立，则实数p 的取值范围是 . 【答案】)4 11,43(- 【解析】 试题分析：由321 )1(-++ -=n a S n n n n ，得4 31-=a ；当2≥n 时，()()()()()1 211131211321111 1111+--+-=+------++-=-=------n n n n n n n n n n n n n n a a n a n a S S a ．若n 为偶数，则1211-=-n n a ，∴12 1 1-=+n n a （n 为正奇数）；若n 为奇数，则 1 11213121 12121212-+--=+-?? ? ??--=+- -=n n n n n n a a （n 为正偶数）．函数1211 -= +n n a （n 为正奇数）为减函数，最大值为431- =a ，函数n n a 2 1 3-=（n 为正偶数）为增函数，最小值为4 11 2= a ．若0))((1<--+p a p a n n 恒成立，则21a p a <<，即4 1143<<-p ．故答案为：)411,43(-． 考点：数列递推式. 【方法点晴】本题考查数列递推式，考查了数列通项公式的求法，体现了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是中档题．由数列递推式求出首项，写出2≥n 时的递推式，作差后对n 分偶数和奇数讨论，求出数列通项公式，可得函数1211 -=+n n a （n 为正奇数）为减函数，最大值为431-=a ，函数n n a 2 1 3-=（n 为正偶数）为增函数，最小值为4 11 2=a ．再由0))((1<--+p a p a n n 恒成立求得实数p 的取值范围． 三、解答题 17．已知4||=，3||=， 61)2()32(=+?-. （1）求与的夹角θ； （2）若=，=，21= ，3 2 =，且AD 与BC 交于点P ，求||OP . 【答案】（1）32π θ=；（2）2 7||=. 【解析】 试题分析：（1）将61)2()32(=+?-展开，利用向量数量积的定义可得其夹角； （2）由平面向量基本定理可得2 1 41+= ，对其平方结合（1）可得||. 试题解析：（1）∵61)2()32(=+?-b a b a ，∴61||34||422=-?-b b a a . 又4||=，3||=，∴6127464=-?-，∴6-=?. ∴2 1 346| |||cos -=?-= = b a b a θ. 又πθ≤≤0，∴3 2π θ= . （2） b x a x OD x OA x OP 3 ) 1(2)1(-+ =-+=， a y b y OC y OB y OP 2 1)1(-+ =-+=， ∴21,21=-=y y x ，∴)1(32,41x y x -==，∴21 41+=， ∴47 4141161||222 =+?+= ，∴27||=. 考点：（1）向量的数量积；（2）平面向量基本定理；（2）向量的模长. 18．已知函数)()cos (sin cos 2)(R m m x x x x f ∈+-=，将)(x f y =的图象向左平移 4 π 个单位后得到)(x g y =的图象，且)(x g y =在区间]4 , 0[π 内的最大值为2. （1）求实数m 的值； （2）在ABC ?中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若1)4 3 (=B g ，且2=+c a ，求ABC ?周长l 的取值范围. 【答案】（1）1=m ；（2）)4,3[. 【解析】 试题分析：（1）先利用两角和公式和对函数解析式化简整理，根据图象的平移确定()x g 的解析式，根据x 的范围和三角函数的图象与性质确定()x g 的最大值的解析式，求得m ；（2）根据第一问中函数的解析式确定B 的值，进而利用余弦定理和基本不等式确定b 的范围，最后确定周长的范围． 试题解析：（1）由题设得m x m x x x f +-- =+--=1)4 2sin(212cos 2sin )(π ， ∴m x m x x g +-+ =+-- + =1)4 2sin(21]4 )4 (2sin[2)(π π π ， ∵当]4 , 0[π ∈x 时，]4 3,4[42πππ ∈+ x ， ∴由已知得2 4 2π π = + x ，即8 π =x 时，212)(max =+-= m x g ，∴1=m . （2）由已知，1)4 23sin(2)4 3(=+= π B B g ∵在ABC ?中，23230π< π =B ， 又∵2=+c a ，由余弦定理得： 14 )(3)(3)(cos 22 2 2 2 2 2 2 2 =+-+≥-+=-+=-+=c a c a ac c a ac c a B ac c a b ， 当且仅当1==c a 时等号成立， 又∵2=+ 考点：（1）三角函数图象变换；（2）余弦定理. 19．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且21=a ，82=a ，243=a ，}2{1n n a a -+为等比数列. （1）求证：}2{ n n a 是等差数列； （2）求证：2≥n S . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）利用21=a ，82=a ，243=a ，}2{1n n a a -+为等比数列，可得 1112242+-+=?=-n n n n a a ，从而 12211=-++n n n n a a ，即可证明结论；（2）由于数列的通项是一个等差数列与等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的和即可． 试题解析：（1）∵4212=-a a ，8223=-a a ，∴1 12 42-+?=-n n n a a ， ∴ 12211=-++n n n n a a ，∴}2{n n a 是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）可得n n a n n =-+=）（112 ，∴n n n a 2?=， ∴n n n S 22322213 2 ?++?+?+?= ① 143222322212+?++?+?+?=n n n S ② 由①-②得22 )1(1 +?-=-n n n S ，∵*N n ∈，∴2≥n S . 考点：（1）等比数列的性质；（2）等差关系的确定. 【方法点晴】求数列的前n 项和一般先求出通项，根据通项的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组法；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n b a c +=，其中{} n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于() 11 += n n a n ，错位相减法类似于 n n n b a c ?=，其中{} n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等. 20．如图，已知四棱锥ABCD P -的底面A B C D 为菱形，且 60=∠ABC ， 2==PC AB ，2==PB PA . （1）求证：平面⊥PAB 平面ABCD ； （2）设H 是PB 上的动点，求CH 与平面PAB 所成最大角的正切值； （3）求二面角B AC P --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）6；（3） 7 21 . 【解析】 试题分析：（1）取AB 中点O ，连结PO 、CO ，由PB PA =可得AB PO ⊥，利用特殊三角形的性质计算PO ，OC ，PC ，可证OC PO ⊥，于是⊥PO 平面ABCD ，故平面⊥PAB 平面ABCD ；（2）由面面垂直的性质可知CHO ∠为CH 与平面PAB 所成的角，故当OH 最小值，OH OC CHO = ∠tan 取得最大值；（3）以AB 中点为原点，建立空间直角坐标系，求出面PAC 的法向量为)1,1,3 3 (-=，得到面BAC 的法向量为)1,0,0(=，求出法向量的夹角即可得到二面角. 试题解析：（1）证明：取AB 中点O ，连结CO PO ,， 由2= =PB PA ，2=AB ，知PAB ?为等腰直角三角形， ∴1=PO ，AB PO ⊥， 由2==BC AB ， 60=∠ABC ，知 60=?ABC 为等边三角形，∴3=CO ， 由2=PC 得2 22PC CO PO =+，∴CO PO ⊥， 又O CO AB = ，∴⊥PO 平面ABC ，又?PO 平面PAB ，∴平面⊥PAB 平面 ABCD . （2）解：如图，连结OH ，由（1）知CO PO ⊥，AB CO ⊥， ∴⊥CO 平面PAB ，CHO ∠为CH 与平面PAB 所成的角. 在COH Rt ?中，∵OH OH OC CHO 3 tan == ∠，要使CHO ∠最大，只需OH 最小， 而OH 的最小值即点O 到PB 的距离，这时PB OH ⊥，2 2= OH ， 故当CHO ∠最大时，6tan =∠CHO ，即CH 与平面PAB 所成最大角的正切值为 6. （3）解：如图建立空间直角坐标系，则)0,1,0(-A ，)0,0,3(C ，)1,0,0(P ， ∴)0,1,3(=AC ，)1,1,0(=AP ， 设平面PAC 的法向量为),,(z y x =， 则?????=+=?=+=?0 3z y y x AC n ，取1-=y ，则33=x ，1=z ，即)1,1,33( -=n ， 平面BAC 的一个法向量为)1,0,0(=，设二面角B AC P --的大小为θ，易知其为锐角， ∴7 21113 1 1| |||||,cos |cos = ++= = ><=m n m n θ. ∴二面角B AC P --的余弦值为 7 21. 考点：（1）平面与平面垂直的判定；（2）直线与平面所成的角；（3）平面与平面所成的角. 【方法点晴】本题主要考查的是线面垂直、二面角、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线． 21．设函数)0)(1ln(2 1)(2 ≠++= b x b x x f . （1）若函数)(x f 在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围； （2）求函数)(x f 的极值点； （3）令1=b ，x x x f x g +- =2 2 1)()(，设),(),,(),,(332211y x C y x B y x A 是曲线)(x g y =上相异三点， 其中3211x x x <<<-.求证：2 3231212) ()()()(x x x g x g x x x g x g -->--. 【答案】（1）),41 [+∞；（2） 0 411b x -+-=， 41 0< 和一个极小值点2 411b x -+-=， 41≥b 时，)(x f 无极值点；（3）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）根据题意，求导函数，要使()x f 在()+∞-,1上为单调函数，只须在 ()+∞-,1上0)(≥'x f 或0)(≤'x f 恒成立，分类讨论，分离参数，即可求b 的取值范围； （2）在定义域内按①当0 1 ≥b 时三种情况解不等式()0>'x f ，()0<'x f ，根据极值点的定义即可求得；（3）利用分析法将所证转化为 11111ln 1212++->++x x x x ，令t x x =++1 112（1>t ），()11 ln -+=t t t p ，对其求导根据其单调 性得()()01=>p t p ，得证. 试题解析：（1）1 41 )21(1)(22 +- ++=+++='x b x x b x x x f ， ∵函数)(x f 在定义域上是单调函数，∴0)(≥'x f 或0)(≤'x f 在),1(+∞-上恒成立. 若0)(≥'x f 恒成立，得4 1≥ b . 若0)(≤'x f 恒成立，即4 1 )21(2++-≤x b 恒成立. ∵4 1 )21(2++ -x 在),1(+∞-上没有最小值，∴不存在实数b 使0)(≤'x f 恒成立. 综上所述，实数b 的取值范围是),4 1 [+∞. （2）由（1）知当4 1 ≥b 时，函数)(x f 无极值点. 当41 < b 时，0)(=x f 有两个不同解，24111b x ---=，2 4112b x -+-=， ∵0 b x ，12 4112->-+-=b x ，即),1(1+∞-?x ， ),1(2+∞-∈x ， ∴0 2 4112b x -+-= ； 当41 0< 4111->---= b x . ∴),1(,21+∞-∈x x ，0)(=x f 在),1(1x -上递增，在),(21x x 上递减，在),(2+∞x 上递增， )(x f 有一个极大值点24111b x ---= 和一个极小值点2 4112b x -+-=. 综上所述， 0 411b x -+-= ， 41 0< 411b x ---=和一个极小值点2 411b x -+-= ； 4 1 ≥ b 时，)(x f 无极值点. （3）先证： )()()(2'1212x g x x x g x g >--，即证1 1 1)1ln()1ln(2121122++>-+--++x x x x x x x ， 即证1 111)1()1(111ln 2121221212++-=++-+=+->++x x x x x x x x x x ， 令 t x x =++1 112（1>t ），1()ln 1p t t t =+- ，211'()0p t t t =->, 所以1 ()ln 1p t t t =+-在(1,)+∞ 上单调递增，即()(1)0p t p >= ,即有1ln 10t t +->, 所以获证. 同理可证： )() ()(22 323x g x x x g x g '<--， 所以 2 3231212) ()()()(x x x g x g x x x g x g --> --. 考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）利用导数研究函数的极值. 22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为? ??=+=?? sin cos 1y x （?为参数），以O 为极 点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是33)3 sin(2=+ π θρ，射线OM ：3 π θ= 与圆C 的交点 为P O ,，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 【答案】（1）θρcos 2=；（2）2||=PQ . 【解析】 试题分析：（1）把1sin cos 22 =+??代入圆C 的参数方程为? ? ?=+=?? sin cos 1y x （?为参 数），消去参数化为普通方程，把θρcos =x ，θρsin =y 代入可得圆C 的极坐标方程；（2）设),(11θρP ，联立圆C ，解得1ρ，1θ；设),(22θρQ ，联立直线l ，解得2ρ， 2θ，可得PQ ． 试题解析：（1）圆C 的普通方程为1)1(2 2 =+-y x ，又θρcos =x ，θρsin =y ， ∴圆C 的极坐标方程为θρcos 2=. （2）设),(11θρP ，则由?????==3cos 2πθθ ρ解得?? ? ??==3111πθρ. 设),(22θρQ ，则由?? ???==+333)cos 3(sin πθθθρ解得??? ??==3322πθρ. ∴2||=PQ . 考点：（1）参数方程化为普通方程；（2）简单曲线的极坐标方程.