杭电高数期中考试样卷

杭州电子科技大学学生考试卷（期中）卷

考试课程：高等数学(甲) 考试日期：07年4月 日

一. 选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）

1. 已知直线L ：?

??031020

123=+--=+++z y x z y x 及平面π：x-2y+z=1,则直线L 与π的关系是

（ ）

A.L π⊥

B.L//π,但L 不在π内

C.L 在π内

D. L 与π斜交

2.函数z=f （x ，y ）在点（x 0，y 0）处具有偏导数是它在该点在全微分的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分有不必要条件

3.曲线?????==2

2x

z y x 上点（1，1，1）处的法平面方程是（ ）

A.2x-y-4z+3=0

B.2x-y+4z-5=0

C.2x+y+4z-7=0

D.-2x-y+4z-1=0

4.设u=2xy-z 2，则u 在（2，-11）处的方向导数的最大值为（ ） A.26 B.4 C.22 D.24

5.若区域D 为01x ≤≤，0y 1≤≤，则积分x y

dxdy D

+??

的值为（ ）

A.2(1)e -

B.2e

C.2

(1)e + D.e 6.计算I=zdv Ω

???其中Ω为22

2z =x

y +，z=1围成的立体，则正确的解法为（ ）和（ ）

A.1

2z

dz d zrdr I π

θ=??? B.21

1

d rdr zdz r

I π

θ=???

C.21

1

d d rdr r

I z π

θ=?

?? D.211

d rd I r zdz πθ=???

7.设积分区域D ：22

1x y +≤，f （u ）是连续函数（0u ≥）则

22()D

f x y dxdy +=??

（ ）

A.1

2()rf r dr π?

B.1

4()rf r dr π? C.1

20

2()f r dr π? D.1

2()f r dr π?

8.设f （x ，y ）是平面区域D={}

222

()|x y x y a ++≤上连续的函数，则当a →0时

2

1(,)D

f x y d a σπ??的极限为（ ）

A.不存在

B.f （0,0）

C.f （1,1）

D.f （1,0）

二. 填空题（每小题4分，共16分）

1.平面2x-2y+z-1=0与平面2x-2y+z+5=0之间的距离为

2.设x=x(y ，z)由方程arctan 1z x xe ye +=确定，则z x =

3.过空间曲线x=f （y ），y=g （z ）（其中x=f （y ），y=g （z ）均是可微函数）上相应于z=0z 点处的切线方程是

4.交换积分次序2

31

3

20

1

(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy -+=??

??

三.1.（6分）设2

2

y z x y

=+，求dz.

2.（6分）设z=(,)f xy x y +，（其中f 具有二阶连续偏导数），求2z

x y

???.

四（7分）求曲面.2

2

2

30x y z xy ++--=上同时垂直余平面z=0与x+y+1=0的切平面方程.

五.1.（6分）计算积分22D

x y dxdy +??

，其中D={}22(,)|0,2x y y x x y x ≤≤+≤.

2.（6分）计算三重积分()x z dxdydz Ω

+???

，其中Ω由曲面22z x y =+与22

1z x y =--所围成的空间区域.

六.（8分）设椭圆22

1

z x y x y z ?=+?++=?，试求原点到这椭圆的最长与最短距离.

七.（7分）求由曲面2221z x y =++和平面x+y=1，x=0，z=0所围成立体的体积.

八.（9分）设函数22

22

22

,0,(,)0,0

xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?

（1）问f （x ，y ）在点（0,0）处是否连续？

（2）问f （x ，y ）在点（0,0）处关于x ，y 的一阶偏导数是否存在？若存在，试求之. （3）问f （x ，y ）在点（0,0）处是否可微？

九（5分）证明：

1

21

()()(1)f z dv f u u du π-Ω

=-???

?，其中Ω：2221x y z ++≤，并计算：

222431

()x y z z z dv ++≤-???

的值.

答案见下页

高等数学甲答案(仅供参考)

一. 选择题

1.D

2.A

3.C

4.A

5.A

6.AB

7.A

8.B

二. 填空题

1.2

2.22(1)

z

z x z xe e ye x e -++ 3.000,,,00(())()()()()x f g z y g z z z f y g z g z --==-

4.1

320

(,)y y

dy f x y dx -?

?

三.1.222

22

22 1.5

22

22 1.5122()*()()

y x y x y x

dz y dx dy

x y x y x xdy ydx x y +-

+=-+++=-+

2.

,,12z

yf f x

?=+? 2,,,,,,,1111222

()z f xyf x y f f x y

?=++++??

四.()2F x x y =- ()2F y y

x =- ()2F z z = 设平面切平面点为（000,,x y z ），切平面法向量为（A,B,C ）

C A B =??

+=? 又00000

222x y A y x B z C -=??-=??=?且222

000000x y z x y ++-= ?0001

1

3

3

0x y z A B C =??=-?

?=??

=??=-?

=??

或000110330x y z A B C =-??=??=??=-??=?=?? ?切平面方程为x-y-2=0或x-y+2=0 五.1.

22D

x y dxdy +??

=

102

9

2.()x z dxdydz Ω

+???=

8

F

六.最长距离为

622+，最短距离为62

2

- 七.

221

121

x

x y dxdydz dx dy dz -++Ω

=?????

?

=

3

4

八，九略