全国初中数学联赛金牌教练讲座：第十三讲从勾股定理谈起

兰州第十中学数学组

2013年最新八年级数学竞赛讲座

第十三讲从勾股定理谈起

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，大约在公元前1100多年前，商高已经证明了普通意义下的勾股定理，在国外把勾股定理称为“毕达哥拉斯定理”．

勾股定理是平面几何中一个重要定理，其广泛的应用体现在：勾股定理是现阶段线段计算、证明线段平方关系的主要方法，运用勾股定理的逆定理，通过计算也是证明两直线垂直位置关系的一种有效手段．直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质：两锐角互余(角的关系)、勾股定理(边的关系)，30°角所对的直角边等于斜边的一半(边角关系)，这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有广泛的应用．

例题求解

【例1】如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连结DC，以DC为边作等边△DCE，B、E在CD的同侧，若AB=2，则BE= ．

(重庆市中考题)

思路点拨因BE不是直角三角形的边，故不能用勾股定理直接计算，需找出与BE相等的线段转化问题．

注千百年来，勾股定理的证明吸引着数学爱好者，目前有400多种证法，许多证法的共同特点是通过弦图的割补、借助面积加以证明，美国第20任总统加菲尔德(1831—1881)曾给出一个简单证法．勾股定理的发现是各族人民早期文明的特征，有人建议，将来与“外星人”交往，可以把勾股定理转化为光电讯号，传向异域，他们一定懂得勾股定理．

现已确定的2002年8月在北京举行的国际数学家大会的会标来源于弦图的图案．

【例2】 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么(a+b)2的值为( ) A ．13 B ．19 C ．25 D ．169 (山东省中考题)

思路点拨利用勾股定理、面积关系建立a 、b 的方程组．

【例3】如图，P 为△ABC 边BC 上的一点，且PC ＝2PB ，已知∠ABC ＝45°，∠APC ＝60°，求∠ACB 的度数．

(“祖冲之杯”邀请赛试题)

思路点拨不可能简单地由角的关系推出∠ACB 的度数，解本例的关键是由条件构造出含30°角的直角三角形．

【例4】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，设AC ＝b ，BC ＝a ，AB=c ，CD=h ．求证：（1）

111h

；

(2) h c b a +<+ ；

(3) 以b a +、h 、h c +为边的三角形，是直角三角形．思路点拨 (1)只需证明1)11(

2=+

h ，从左边推导到右边；（2）证明(2

)

()

(h c b a +<+；(3)证明

)

()(h c h

h a +=++．在证明过程中，注意面积关系式ch

=的应用．

【例5】一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在?若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由． (北京市竞赛题)

思路点拨假设存在符合条件的直角三角形，它的三边长为a 、b 、c ，其中c

为斜边，则??

??=++=+2222ab

c b a c b a ，

于是将存在性问题的讨论转化为求方程组的解．

注当勾股定理不能直接运用时，常需要通过等线段的代换、作辅助垂线等途径，为勾股定理的运用创造必要的条件，有时又需要由线段的数量关系去判断线段的位置关系，这就需要熟悉一些常用的勾股数组．从代数角度，考察方程222z y x =+的正整数解，古代中国人发现了“勾三股，四弦五”，古希腊人找到了这个方程的全部整数解（用代数式表示的勾股数组）．

17世纪，法国数学家费尔马提出猜想：当n ≥3时，方程n n n z y x =+无正整数解．

1994年，曼国普林斯顿大学维尔斯教授历尽艰辛证明了这个猜想，被誉为20世纪最伟大的成果．

一般地，在有等边三角形、正方形的条件下，可将图形旋转60°或90°，旋转过程中角度、线段的长度保持不变，在新的位置上分散的条件相对集中，以便挖掘隐含条件，探求解题思路．

学力训练

1．如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ACD 沿AD 对折，点C 落在点C ′的位置，则BC ′与BC 之间的数量关系是．(山西省中考题)

2．如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP'重合，若AP ＝3，则PP ′的长等于．

3．如图，已知AB=13，BC=14，AC=15，AD ⊥BC 于D ，则AD= ． (武汉市选拔赛试题)

4．如图，四边形ABCD 中，AB ＝3cm ，BC=4cm ，CD=12㎝，DA=13cm ，且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是 cm 2．

5．如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8

米，如果梯子的顶端下

滑1米，那么，梯子底端的滑动距离( )

A ．等于1米

B ．大于l 米

C ．小于l 米

D ．不确定

(宁波市中考题)

6．如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30°，那么这个三角形的形状是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定 7．在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D ＝90°，BC=2，CD=3，则AB=( ) A ．4 B ．5 C ．23 D ．3

8．在由单位正方形组成的网格图中标出了AB ，CD ，EF ，GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )

A ．CD ，EF ，GH

B ．AB ，CD ，EF

C ．AB ，C

D ，GH D ．AB ，EF ，GH (北京市竞赛题)

9．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：(1)使三角形的三边长分别为3，22

，5；(2)使三角形为钝角三角形且面积为4．

(吉林省中考题)

10．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，MN 垂直平分AB ，求证：CM=2BM ． (南道市中考题)

11．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，D 为斜边BC 中点，DE ⊥DF ，求证：2

EF +=．

12．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=13，边BC 上的中线AD=6，则BC 的长为． (湖北省预赛试题)

13．如图，设P 是等边△ABC 内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB 的度数是．

14．如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是1997，那么另一条直角边的长为．

15．若△ABC 的三边a 、b 、c 满足条件：c b a c b a 262410338222++=+++，则这个三角形最长边上的高为．

16．在锐角△ABC 中，已知某两边a=1，b=3，那么第三边的变化范围是( )

A ．2

B ．2< c ≤3

C ． 2< c ＜10 8< c ＜10 (“祖冲之杯”邀请赛试题)

17．如图，用3个边长为l 的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( ) A ．

B ．

5 C ．

5 D ．

175

(天津市竞赛题)

18．△ABC 三边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，这三边的高依次为a h 、b h 、c h ，若a ≤a h ，b ≤，则这个三角形为( )

A ．等边三角形

B ．等腰非直角三角形

C ．直角非等腰三角形

D ．等腰直角三角形 (武汉市选拔赛试题)

19．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，且EG ∥AB 交CB 于G ，则CF 与CB 的大小关系是( )

A ． CF>G

B B ． CF ＝GB

C ．GF

D ．无法确定

20．如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，D 是斜边BC 的中点，F 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DF ⊥DF ，若BE=12，CF=5，求△DEF 的面积．

21．如图，在△ABC 中，AB=AC ，(1)若P 是BC 边上的中点，连结AP ，求证：BP ×CP=AB 2一AP 2；(2)若P 是BC 边上任意一点，上面的结论还成立吗?

若成立，请证明，若不成立，请说明理由；(3)若P 是BC 边延长线上一点，线段AB 、AP 、BP 、CP 之间有什么样的关系?请证明你的结论．

22．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB=AC ，E 、F 分别是BC 上两点，若∠EAF=45°，试推断BE 、CF 、EF 之间的数量关系，并说明理由．

23．如图，∠ACB=90°，AD 是∠CAB 的平分线，BC=4，CD=2

3，求AC 的长．

(河南省竞赛题)

24．(1)四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开．大会会标如图甲．它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．

若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积．

(2)现有一张长为6.5cm ．宽为2㎝的纸片，如图乙，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形．(要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据) (烟台市中考题)

25．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD，求证：BD2=AB2+BC2．(北京市竞赛题)

初二数学勾股定理测试题及答案

勾股定理测试题体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。一、选择题 | 1.下列各数组中，不能作为直角三角形三边长的是( ) A. 9,12,15 B. 7,24,25 C. 6,8,10 D. 3,5,7 2.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形( ) A. 可能是锐角三角形 B. 不可能是直角三角形 C. 仍然是直角三角形 D. 可能是钝角三角形！ 3.在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m，目测点到杆的距离为15m，则目测点到杆顶的距离为（设目高为1m） ( ) 4.一等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为( ) A. 12cm B. C. D. ~ 二、填空题 5.如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面积是_________ . 6.直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高为. < 7.已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距. 8.一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长为. 9.以直角三角形的三边为边向形外作正方形P、Q、K，若SP＝4，SQ＝9，则Sk＝ . 三、解答题 @ 10.假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米

为正方形ABCD内一点，将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE的位置，若BP＝a.求：以PE 为边长的正方形的面积. / 12.已知:如图13,△ABC中,AB=10,BC=9,AC=17. 求BC边上的高. 13.拼图填空：剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，· 如图①.（1）拼图一：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②③的形状，观察图②③可发现，图②中两个小正方形的面积之和__________ （填“大于”、“小于”或“等于”）图③中小正方形《的面积，用关系式表示为________ .（2）拼图二：用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有__________个正方形，它们的面积之间的关系是________ ，用关系式表示为_____ .（3）拼图三：用8个直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中3个正方>

勾股定理教案

勾股定理（一）常德市第二中学张美荣教学目标 2、过程与方法让学生经历“观察——猜测——证明——应用”的数学探究过程，在动手实践中体会“特殊到一般”和“数形结合”的数学思想方法。 3、情感态度与价值观通过实验，让学生感受到数学所具有的探索性和创造性，激发学生探究热情，培养学生良好的团队合作意识和创新精神。通过对我国古代数学成就的了解，增强民族自豪感，激发学习热情。教学重点与难点教学重点：勾股定理的探索过程与应用教学难点：勾股定理的证明教学过程一、创设情景引入新知创设校园问题情景 1、观看多媒体照片照片中，你看到了什么？ 2、抽象出数学问题如图，少数师生为了走“捷径”，在学校求索馆前的长方形草坪内走出一条小路AB。已知两步为1m，你能算出“捷径”省了多少路吗？从计算出的结果，你有怎样的想法？引导学生分析：要算节省的路程，就要算出AB的长，Rt△AOB中，已经知道AO、BO 的长，如何计算AB呢？即问题转化为：直角三角形中已知两边，如何求第三边？这就是我们今天要探究的内容：勾股定理二、测量实验猜测新知操作一在方格纸上画一个顶点都在格点上的R t△ABC,∠C=90°，其中a=3,b=4，测量斜边c 的长度。

操作二分别以R t△ABC三边a、b、c为边长向外作正方形S、T、P，则正方形S、T的面积是多少？正方形P呢，如何计算？引导学生先画图，由画图过程去体会正方形P的计算方法（割补法）,然后请学生来表述。操作三 P的面积，由此猜测 222 +=，即勾股定理： a b c 直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方. 222 += a b c 三、拼图探究验证新知（一）拼图实验步骤1剪出四个全等的（如右图）直角三角形，其中c为斜边，且b＞a. 步骤2用这四个直角三角形拼出一个正方形（中间可以出现空心）. 学生作品展示运用多媒体工具（备课王）展示学生作品：

初中数学竞赛定理大全

欧拉（Euler）线：同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。九点圆：任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。

费尔马点：已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。海伦（Heron）公式：

塞瓦（Ceva）定理：在△ABC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别交边BC、CA、AB与点D、E、F，则(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)＝1；其逆亦真。密格尔（Miquel）点：若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。

葛尔刚（Gergonne）点: △ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。西摩松（Simson）线：已知P为△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足，则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。

黄金分割：把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB) 与较小线段(BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。帕普斯（Pappus）定理：已知点A1、A2、A3在直线l1上，已知点B1、B2、B3在直线l2上，且A1 B2与A2 B1交于点X，A1B3与A3 B1交于点Y，A2B3于A3 B2交于点Z，则X、Y、Z三点共线。

初中数学勾股定理拔高综合训练含答案

初中数学勾股定理拔高综合训练一．选择题（共15小题） 1．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 2．如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形，已知③号正方形的面积是1，那么①号正方形的面积是（） A．4 B．8 C．16 D．32 4．分别以下列四组数为一个三角形的边长①6，8，10②5，12，13 ③8，15，16④4，5，6，其中能构成直角三角形的有（） A．①④B．②③C．①②D．②④

5．如图，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两条边是分别是a，b，则a+b和的平方的值（） A．13 B．19 C．25 D．169 6．如图，一架25米的梯子AB靠在一座建筑物AO上，梯子的底部B距离建筑物AO的底部O有7米（即BO=7米），如果梯子顶部A下滑4米至A1，则梯子底部B滑开的距离BB1是（） A．4米 B．大于4米C．小于4米D．无法计算 7．工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或D．60cm 8．如图，A、B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是1，图中使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）

初二数学勾股定理试卷

初二数学勾股定理试卷一．选择题（共2小题） 1．下列说法正确的是（） A．a0=1 B．夹在两条平行线间的线段相等 C．勾股定理是a2+b2=c2 D．若有意义，则x≥1且x≠2 2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=，DC=1，AC=，那么AB的长度是（） A． B．27 C．3 D．25 二．填空题（共1小题） 3．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．小明设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子恰好到达旗杆底端．然后将绳子向外拉．当把绳子接上1米时，此时一端到达离旗杆底端5米处，如图所示，小明算出旗杆高度是米．三．解答题（共5小题） 4．△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，则a2+b2=c2．若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．

5．身高1.6米的小明想利用“勾股定理”测得下图风筝CE的高度，于是他测得BD的长度为25米，并根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米．求风筝的高度CE． 6．阅读：（1）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．（2）若xy=0，根据乘法法则，得x=0或y=0．利用你在阅读材料中所掌握的知识解决问题．问题：如图，在直角△ABC中，三边分别为x，x+1，x﹣1，求三边长． 7．如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC，（1）求证：CE平分∠BCD；（2）若DE=15，CE=20，求四边形ABCD的面积；（3）在（2）的条件下，已知AB=24，求CD的值．（不得利用勾股定理求解） 8．如图；已知甲、乙分别从正方形ABCD广场的顶点B、C两点同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动，甲的速度是1千米/分，乙的速度是2千米/分．若正方形广场的周长为40千米，问：几分钟后甲、乙两之间相距2千米？（友情提示：可以用直角三角形的勾股定理求解）

初中数学竞赛常用公式

初中数学竞赛常用公式Last revision on 21 December 2020

初中数学常用公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理：三角形两边的和大于第三边 16 推论：三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° 18 推论1：直角三角形的两个锐角互余 19 推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS)：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS)：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS)：有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27 定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

新人教版八年级下册数学勾股定理教案

第十七章勾股定理勾股定理（一）教学内容：新课标对本节课的要求：教学目标知识与技能：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。过程与方法：培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。情感态度价值观：介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。教学重点、难点重点：勾股定理的内容及证明。难点：勾股定理的证明。教学过程 1.引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。对于任意的直角三角形也有这个性质吗？命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么。 2、合作探究：方法1：已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、 ∠C 的对边为a 、b 、c 。 A B

初二数学勾股定理教案(模板)

初二数学上册教案模板勾股定理（2课时）一、教学目标及重点 1、教学目标（1）经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，通过自主学习体验获取数学知识的感受，培养学生的思维能力和语言表达能力。（2）运用勾股定理解决实际问题。（3）了解有关勾股定理的历史，通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育。 2、教学重点：勾股定理及其应用。 3、教学难点：通过有关勾股定理的历史讲解，了解数学发展史，激发学习兴趣，对学生进行德育教育。二、探索发现：（在教师的引领下，小组合作，探索学习）通过此案例引出：勾股定理（商高定理、毕达哥拉斯定理、百牛定理）的渊源。三、知识透析： 1.勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为ａ、ｂ，斜边为ｃ，

那么：即：直角三角形两直角边的等于斜边的平方。 2.注意：（1）勾股定理的条件是：只有在直角三角形中才使用；（2）勾股定理的变形：222a =-b c ；222b =-a c 3.勾股定理验证方法：（教师引导学生通过面积计算，实现勾股定理证明）（1）赵爽证明：（2）伽菲尔德“总统证明法” 四、典例分析：题型1：勾股定理 1.=90ABC C A B C ?∠∠∠∠V 例在中，，、、所对的边分别是a 、b 、c 。（1）当a=3，b=4,则c= （2）若a=5，b=12,则c= 例2.一个等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则底边上的高为？（）

（随堂练习：教材3页1、2）题型2：勾股定理验证例3.请您用下图验证勾股定理例4.教材5页第三问（随堂练习：教材6页中间）题型3：勾股定理应用例5.有两棵树，一棵高10米，另一棵高4m，两棵相距8米。一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（）（2013安顺中考） A.8米 B.10米 C.12米 D.14米注：将应用题转化构造为直角三角形例6.教材5页例题

初二数学勾股定理单元测试题及答案

勾股定理单元测试题一、相信你的选择 1、如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝15，AC ＝17，以 AB 为直径作半圆，则此半圆的面积为（）． A ．16π B ．12π C ．10π D ．8π 2、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）． A ．12 B ．7＋7 C ．12或7＋7 D ．以上都不对 3、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m ，梯子的顶端B 到地面的距离为7m ，现将梯子的底端A 向外移动到A ′，使梯子的底端A ′到墙根O 的距离等于3m ．同时梯子的顶端B 下降至B ′，那么BB ′（）． A ．小于1m B ．大于1m C ．等于1m D ．小于或等于1m 4、将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm ，则h 的取值范围是（）． A ．h ≤17cm B ．h ≥8cm C ．15cm ≤h ≤16cm D ．7cm ≤h ≤16cm 二、试试你的身手 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，且2a ＝3b ，c ＝213，则a ＝_____，b ＝_____． 6、如图，矩形零件上两孔中心A 、B 的距离是_____（精确到个位）． 7、如图，△ABC 中，AC ＝6，AB ＝BC ＝5，则BC 边上的高AD ＝______． 8、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要元．三、挑战你的技能 9、如图，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去．（1）记正方形ABCD 的边长为a 1=1，按上述方法所作的正方形150o 20米30米

八年级数学下勾股定理-单元测试题(带答案)

(第6题) A B D C （第12题） 30 7米5米八年级下勾股定理测试题姓名：分数：一、耐心填一填(每小题3分，共36分) 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB=___________； 2、如图,小明的爸爸在院子的门板上钉了一个加固板,从数学的角度看, 这样做的道理是 . 3、小明同学要做一个直角三角形小铁架，他现有4根长度分别为4cm 、6cm 、8cm 、10cm 的铁棒，可用于制作成直角三角形铁架的三条铁棒分别是________________________； 4、若三角形三条边的长分别为7,24,25,则这个三角形的最大内角是度. 5、在△ABC 中，∠C ＝90°，若c ＝10，a ∶b ＝3∶4，则ab ＝． 6、如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，则高AD=________； 7、等腰△ABC 的面积为12cm 2 ，底上的高AD ＝3cm ，则它的周长为________． 8、在Rt △ABC 中，斜边AB ＝2，则AB 2+BC 2+CA 2＝________． 9、有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为； 10、有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了________米． 11、一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm ，则它的面积是________． 12、如图，今年第8号台风“桑美”是50多年以来登陆我国大陆地区最大的一次台风，一棵大树受“桑美”袭击于离地面5米处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为7米，则这棵大树折断前有__________米（保留到0.1米）。二、精心选一选（每小题4分，共24分） 13、下列各组数据为边的三角形中，是直角三角形的是（） A 、 2、3、7 B 、5、4、8 C 、5、2、1 D 、2、3、 5 14、正方形ABCD 中，AC=4，则正方形ABCD 面积为（） A 、 4 B 、8 C 、 16 D 、32 15、已知Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a,b,c ，若∠B=90○ ，则（） A 、b 2= a 2+ c 2 ； B 、c 2= a 2+ b 2； C 、a 2+b 2=c 2； D 、a +b =c 16、三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2 －ｃ2,则此三角形是 ( ). A 、钝角三角形 B 、锐角三角形 C 、直角三角形 D 、等边三角形 17、将Rt △ABC 的三边都扩大为原来的2倍，得△A ’B ’C ’,则△A ’B ’C ’为( )

初中数学《勾股定理》教案教学设计

初中数学《勾股定理》教案教学设计初中数学《勾股定理》教案教学设计一、教学目标【知识与技能】了解勾股定理的不同证明方法，理解勾股定理内容并能够应用公式解决实际问题。【过程与方法】通过小组合作学习探究数学定理的证明过程，在过程中了解数学中的数形结合思想。【情感态度与价值观】提高数学素养能力，并在学习中感受数学的乐趣和魅力。二、教学重难点【重点】勾股定理的内容及应用。【难点】勾股定理的证明。三、教学过程 (一)导入新课 1.在一般三角形当中，三条边存在什么样的关系呢? 学生自由回答，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 2.那么在特殊的三角形即直角三角形当中三边还会存在什么特殊的数量关系呢( 板书一个直角三角形，两直角边分别为a、b，斜边为c。) 引入课题，勾股定理。 (二)提出原理 (1)大屏幕展示毕达哥拉斯发现勾股定理时的地砖图案，给出不同的类型，请学生观察，小组合作(采用拼补或者数方格的方式)填写如下表格： (2)大胆猜想根据表格数据结果小组内交流探究，大胆猜想在直角三角形当中三边存在什么样的数量关系? 引导回答，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 (3)严谨证明大屏幕出示“赵爽弦图”，简单讲解，早在我国汉代就有人证明了这一猜想，及这就是今天所要学习的勾股定理。同学观察，互动方式说出图形的特点，有四个全等的直角三角形及一个正方形，请学生随意裁出四个全等的直角三角形，按照课本图例拼成一个大正方形，计算此正方形的面积，并尝试进行证明勾股定理。(设置巡视即教师指导环节) 请学生代表上台板演计算过程：大正方形面积= 师生共同总结：对任意一个直角三角形都有两直角边的平方和等于斜边的平方。 (三)讲解原理按照板书上的直角三角形，指出直角边和斜边，向学生讲解核心内容： 1.强调a，b，c的含义

2018初中数学竞赛勾股定理讲解学习

精品文档初中数学竞赛专题选讲勾股定理一、内容提要 1. 勾股定理及逆定理：△ABC 中 ∠C ＝Rt ∠?a 2＋b 2=c 2 2. 勾股定理及逆定理的应用 ① 作已知线段a 的2，3， 5……倍 ② 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 ③ 证明线段的平方关系等。 3. 勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c 满足等式a 2＋b 2=c 2，那么这三个正整数a,b,c 叫做一组勾股数. 4. 勾股数的推算公式 ① 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn, m 2+n 2是一组勾股数。 ② 如果k 是大于1的奇数，那么k, 212-k ,2 12+k 是一组勾股数。 ③ 如果k 是大于2的偶数，那么k, 122-??? ??K ,122+?? ? ??K 是一组勾股数。 ④ 如果a,b,c 是勾股数，那么na, nb, nc (n 是正整数)也是勾股数。 5. 熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5； 5， 12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41。二、例题例1.已知线段a a 5a 2a 3a 5 a 求作线段5a a 分析一：5a ＝25a ＝224a a + 2a ∴5a 是以2a 和a 为两条直角边的直角三角形的斜边。分析二：5a ＝2492 a a - ∴5a 是以3a 为斜边，以2a 为直角边的直角三角形的另一条直角边。作图（略）例2.四边形ABCD 中∠DAB ＝60ο，∠B ＝∠D ＝Rt ∠，BC ＝1，CD ＝2 求对角线AC 的长解：延长BC 和AD 相交于E ，则∠E ＝30ο

八年级数学勾股定理测试题

图1 勾股定理（第一周周清试卷）一、选择题（每小题4分，共40分） 1、如图1,图中有一个正方形，此正方形的面积是（ .8 C 2、小强量得家里新购置的彩电荧光屏的长为58厘米,宽为46厘米, 则这台电视机的尺寸是(实际测量的误差可不计) ( ) A. 9英寸(23厘米) B. 21英寸(54厘米) C. 29英寸(74厘米) D. 34英寸(87厘米) 3、一架 4.1m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚 0.9m ．那么梯子的顶端与地面的距离是（） A.3.2m B.4.0m C.4.1m D.5.0m 4、如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是（） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对 5、一根大树被台风刮断，若树离地面3米处折断，树顶端落在离树底部4米处，则树折断之前有（） A ．5米 B ．7米 C ．8米 D ．10米 6、已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）海里海里海里海里 _C _B _A

7、一直角三角形的一条直角边长是7cm ，另一条直角边与斜边长的和是49cm ，则斜边的长( ) 8、如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使点B 与点D 已知AB=6㎝，BC=18㎝，则Rt△CDF 的面积是㎝2 ㎝2 C.22㎝2 ㎝2 9、下列说法不能推出△ABC 是直角三角形的是( ) A ． B ． C ．∠A=∠B=∠C D ．∠A=2∠B=2∠C 10、如图1，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( ) A. 25 B. 12.5 C. 9 D. 二、填空题（每小题4分，共40分） 11、知△ABC 中，AB=17cm,BC=30cm,BC 上的中线AD=8cm ，则△ABC 为_________三角形 12、若直角三角形两直角边的比为3：4，斜边长为20，则此直角三角形的面积为。 13、直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________ 14、小亮想知道学校旗杆的高度．他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2 m ，当他把绳子的下端拉开8m 后，下端刚好接触地面．你能帮他把学校旗杆的高求出来吗？答_________ m. 15．直角三角形的两直角边同时扩大到原来的2倍，其斜边扩大到原

数学：18.2勾股定理的逆定理(一)教案(人教版八年级)

18．2 勾股定理的逆定理（一）一、教学目标 1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。 2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。 3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。二、重点、难点 1．重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。 2．难点：勾股定理的逆定理的证明。三、例题的意图分析例1（补充）使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系。例2（P82探究）通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，锻炼学生的动手操作能力，再通过探究理论证明方法，使实践上升到理论，提高学生的理性思维。例3（补充）使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大。②分别用代数方法计算出a 2+b 2和c 2的值。③判断a 2+b 2和c 2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。四、课堂引入创设情境：⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？ ⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。五、例习题分析例1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？ ⑴同旁内角互补，两条直线平行。 ⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。 ⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 ⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。 ⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。解略。例2（P82探究）证明：如果三角形的三边长a ，b ， c 满足a b c a b B C A A1C1 B1

初中数学勾股定理

聚智堂学科教师辅导讲义年级：课时数：学科教师：学员姓名：辅导科目：数学辅导时间：课题勾股定理教学目的 1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2=c2） 2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 3、满足2 2 2c b a= +的三个正整数，称为勾股数。教学内容一、日校回顾二、知识回顾 1. 勾股定理如图所示，在正方形网络里有一个直角三角形和三个分别以它的三条边为边的正方形，通过观察、探索、发现正方形面积之间存在这样的关系：即C的面积＝B的面积+A的面积，现将面积问题转化为直角三角形边的问题，于是得到直角三角形三边之间的重要关系，即勾股定理。勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 2 2 2c b a= + 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。说明：（1）勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，那么三条边之间就没有这种关系了。

（2）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。在没有特殊说明的情况下，直角三角形中，a ，b 是直角边，c 是斜边，但有时也要考虑特殊情况。（3）除了利用a ，b ，c 表示三边的关系外，还应会利用AB ，BC ，CA 表示三边的关系，在△ABC 中，∠B ＝90°，利用勾股定理有2 2 2 AC BC AB =+。 2. 利用勾股定理的变式进行计算由2 2 2 c b a =+，可推出如下变形公式：（1）2 2 2 b c a -=；（2）2 2 2 a c b -= （3）22b c a -= （4）22a c b -= （5）22b a c += （平方根将在下一章学到）说明：上述几个公式用哪一个，取决于已知条件给了哪些边，求哪条边，要判断准确。三、知识梳理 1、勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、如何判定一个三角形是直角三角形（1）先确定最大边（如c ）（2）验证2 c 与2 2 b a +是否具有相等关系（3）若2 c =2 2 b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2 c ≠2 2 b a + 则△ABC 不是直角三角形。

(完整版)新人教版八年级下册数学勾股定理教案

新人教版八年级下册数学第十七章勾股定理教案勾股定理（一）一、教学目标 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。二、教学重点、难点 1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。三、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。对于任意的直角三角形也有这个性质吗？命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么。四、合作探究：方法1：已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。求证：a 2＋b 2=c 2。分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。 ⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正 A B

初中数学勾股定理知识点-+典型题及答案

初中数学勾股定理知识点-+典型题及答案一、选择题 1．如图，已知ABC 中，4AB AC ==，6BC =，在BC 边上取一点P （点P 不与点B 、C 重合），使得ABP △成为等腰三角形，则这样的点P 共有（）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若（a ＋b ）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 3．如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =6，DC =2，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为（） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 4．如图，已知45∠=MON ，点A B 、在边ON 上，3OA =，点C 是边OM 上一个动点，若ABC ?周长的最小值是6，则AB 的长是（） A ． 1 2 B ． 34 C ． 56 D ．1

5．已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是( ) A．2n﹣2B．2n﹣1C．2n D．2n+1 6．一个直角三角形两边长分别是12和5，则第三边的长是（） A．13B．13或15C．13或119D．15 7．下列命题中，是假命题的是( ) A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形 B．在△ABC中，若a2＝(b＋c) (b－c)，则△ABC是直角三角形 C．在△ABC中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形 D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形 8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（） A．1 B．2021 C．2020 D．2019 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（） A．24 5 B．5 C．6 D．8 10．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（）

初中数学《勾股定理》典型练习题

《勾股定理》典型例题分析一、知识要点： 1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。 2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理. 该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： ①已知的条件：某三角形的三条边的长度. ②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方. ③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角. ④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。 3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：（3，4，5 ）(5，12，13 ) ( 6，8，10 ) ( 7，24，25 ) ( 8，15，17 )(9，12，15 ) 4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积 1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆． 2. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．

3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（） A. S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3< S 1 D. S 2- S 3=S 1 4、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。 5、在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、 =_____________。考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边 1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为． 2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是 3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高． 4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（） A ． 2倍 B ． 4倍 C ． 6倍 D ． 8倍 5、在Rt △ABC 中，∠C=90° S 3 S 2 S 1

八年级初二数学下学期勾股定理单元期末复习测试基础卷试卷

一、选择题 1．如图，已知ABC 中，4AB AC ==，6BC =，在BC 边上取一点P （点P 不与点B 、C 重合），使得ABP △成为等腰三角形，则这样的点P 共有（）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =6，DC =2，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为（） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 3．已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 4．圆柱形杯子的高为18cm ，底面周长为24cm ，已知蚂蚁在外壁A 处（距杯子上沿2cm ）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm ），则蚂蚁从A 处爬到B 处的最短距离为（） A ．813 B ．28 C ．20 D ．122 5．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（）

A ．20 B ．24 C ． 994 D ． 532 6．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 和b ，那么ab 的值为（） A ．49 B ．25 C ．12 D ．10 7．如图，在ABC 中，13AB =，10BC =，BC 边上的中线12AD =，请试着判定 ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．以上都不对 8．如图，点A 和点B 在数轴上对应的数分别是4和2，分别以点A 和点B 为圆心，线段 AB 的长度为半径画弧，在数轴的上方交于点C ．再以原点O 为圆心，OC 为半径画弧，与数轴的正半轴交于点M ，则点M 对应的数为（） A ．3．5 B ．23 C ．13 D ． 36 2 9．下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是 ( ) A ．6，8，10 B ．5，12，13 C ．3，5，6 D ．2，3，5 10．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A ＝90°，BD ＝4，CF ＝6，设正方形ADOF 的边长为 x ，则210x x +=（）

全国初中数学联赛金牌教练讲座：第十三讲 从勾股定理谈起