海伦—秦九昭公式的推导和应用

海伦—秦九昭公式的推导与应用

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦

（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

而公式里的p为半周长：

p=(a+b+c)/2

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注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。

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由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

证明（1）：

与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为

cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab

S=1/2*ab*sinC

=1/2*ab*√(1-cos^2 C)

=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]

=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]

=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]

=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

设p=(a+b+c)/2

则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/ 2,

上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

证明（2）：

我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。

秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。

所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以

q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2]

当P＝1时，△2＝q,

S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]}

因式分解得

1/16[(c+a) 2-b 2][b 2-(c-a) 2]

=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)

=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)

=p(p-a)(p-b)(p-c)

由此可得：

S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中p=1/2(a+b+c)

这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。

S=c/2*根号下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^ .其中c>b>a.

根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积

这里用海伦公式的推广

S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边）

代入解得s=8√ 3

海伦公式的几种另证及其推广

关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：

设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c),则

S△ABC

=1/2 aha

=1/2 ab×sinC

=1/2 r p

= 2R2sinAsinBsinC

= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中，S△ABC =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。

海伦公式在解题中有十分重要的应用。

一、海伦公式的证明

证一勾股定理

如右图

勾股定理证明海伦公式

。

证二：斯氏定理

如右图。

斯氏定理证明海伦公式

证三：余弦定理

分析：由变形②S = 可知，运用余弦定理c2 = a2 + b2 －2abc osC 对其进行证明。

证明：要证明S =

则要证S =

=

= ab×sinC

此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。

证四：恒等式

恒等式证明(1)

恒等式证明(2)

证五：半角定理

∵由证一，x = = －c = p－c

y = = －a = p－a

z = = －b = p－b

∴r3 = ∴r =

∴S△ABC = r·p= 故得证。

二、海伦公式的推广

由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p= ,则S四边形=

现根据猜想进行证明。

证明：如图，延长DA，CB交于点E。

设EA = e EB = f

∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○

∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD

∴= = =

解得：e = ①f = ②

由于S四边形ABCD = S△EAB

将①，②跟b = 代入公式变形④，得：

∴S四边形ABCD =

所以，海伦公式的推广得证。

三、海伦公式的推广的应用

海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事倍功半。

例题：如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2.

求：四边形可能为等腰梯形。

解：设BC = x

由海伦公式的推广，得：

(4－x)(2＋x)2 =27

x4－12x2－16x＋27 = 0

x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1) = 0

(x－1)(x3＋x2－11x－27) = 0

x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0

当x = 1时，AD = BC = 1

∴四边形可能为等腰梯形。

在程序中实现(VBS):

dima,b,c,p,q,s

a=inputbox("请输入三角形第一边的长度")

b=inputbox("请输入三角形第二边的长度")

c=inputbox("请输入三角形第三边的长度")

a=1*a

b=1*b

c=1*c

p=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c)

q=sqr(p)

s=(1/4)*q

msgbox("三角形面积为"&s), ,"三角形面积"

在VC中实现

#include

#include

main()

{

inta,b,c,s;

printf("输入第一边\n");

scanf("%d",&a);

printf("输入第二边\n");

scanf("%d",&b);

printf("输入第三边\n");

scanf("%d",&c);

s=(a+b+c)/2;

printf("面积为:%f\n",sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))); }

海伦公式