【步步高】2016高考数学大一轮复习 2.5指数与指数函数试题 理 苏教版
第5讲 指数与指数函数
一、填空题 1．方程4x
－2
x ＋1
－3＝0的解是________．
解析 方程4x
－2
x ＋1
－3＝0可化为(2x )2－2·2x －3＝0，即(2x －3)(2x ＋1)＝0，∵2x
>0，
∴2x
＝3，∴x ＝log 23. 答案 log 23
2．已知函数f (x )＝?
????
1－3a x ＋10a ，x ≤7，
a x －7
，x >7是定义域上的递减函数，
则实数a 的取值范围是________．
解析 ∵函数f (x )＝????
?
1－3a x ＋10a ，x ≤7，a x －7
，x >7
是定义域上的递减函数，∴
????
?
1－3a <0，0 ? 1－3a <0，0 解得13 答案 13 3．设集合M ＝{x |2 x －1 <1，x ∈R}，N ＝{x |log 1 2 x <1，x ∈R}，则M ∩N 等于________． 解析 M ＝{x |x <1}，N ＝??????????x ??? x > 1 2 ，则M ∩N ＝?????? ??? ?x ??? 1 2 ??12，1 4．函数y ＝? ?? ??12－x 2 ＋x ＋2的单调递增区间是________． 解析 由－x 2＋x ＋2≥0知，函数定义域为[－1,2]，－x 2 ＋x ＋2＝－? ????x －122＋94， 当x >12时，u (x )＝－x 2＋x ＋2递减，又y ＝? ????12x 在定义域上递减，故函数y ＝? ????12－x 2 ＋x ＋2的 单调递增区间为??????12，2. 答案 ???? ??12，2 5．已知函数f (x )＝? ???? log 2x ，x >0， 3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且 只有一个实根，则实数a 的范围是________． 解析 方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点．结合下面函数图象可知a >1. 答案 (1，＋∞) 6．设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝? ?? ?? 3x －1 ，x ≤0， f x －1 －f x －2 ，x ＞0，则f (2 010) ＝________. 解析 当x ＞0时，f (2 010)＝f (2 009)－f (2 008)＝f (2 008)－f (2 007)－f (2 008)＝－f (2 007)＝f (2 005)－f (2 006)＝f (2 005)－f (2 005)＋f (2 004)＝f (2 004)，所以f (x )是以T ＝6的周期函数，所以f (2 010)＝f (335×6)＝f (0)＝3－1 ＝13. 答案 13 7．已知函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则g (0)， g (2)，g (3)的大小关系是________． 解析 因为f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，所以由f (－x )－g (－x )＝e －x ，得－f (x )－g (x )＝e －x ，与f (x )－g (x )＝e x 联立，求得f (x )＝12(e x －e －x )，g (x )＝－12(e x ＋e －x )，g ′(x ) ＝－12(e x －e －x )＝0，x ＝0，当x <0时，g ′(x )>0，当x >0时，g ′(x )<0.所以g (3)＜g (2) ＜g (0)． 答案 g (3)＜g (2)＜g (0) 8．设函数f (x )＝? ?? ?? 2x ，x ＜0， g x ，x ＞0，若f (x )是奇函数，则g (2)的值是________． 解析 因为f (x )是奇函数，所以g (2)＝f (2)＝－f (－2)＝－2－2 ＝－14. 答案 －1 4 9．已知函数f (x )＝9x －m ·3x ＋m ＋1在x ∈(0，＋∞)上的图象恒在x 轴上方，则m 的取值 范围为________． 解析 设t ＝3x ＞1问题转化为m ＜t 2＋1t －1，t ∈(1，＋∞)，即m 小于y ＝t 2＋1 t －1 ，t ∈(1， ＋∞)的最小值，又y ＝t 2＋1t －1＝t －1＋2 t －1＋2≥2 t －1 2 t －1 ＋2＝2＋22，所以m ＜2＋2 2. 答案 (－∞，2＋22) 10．函数y ＝a 2x －2 (a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0经过点A ，则坐标 原点O 到直线l 的距离的最大值为________． 解析 由指数函数的性质可得：函数y ＝a 2x －2 (a >0，a ≠1)的图象恒过点A (1,1)，而A ∈ l ，∴m ＋n －1＝0，即m ＋n ＝1，由基本不等式可得：m 2＋n 2≥12 (m ＋n )2＝12 .∴O 到直线l 的距离d ＝ 1 m 2＋n 2 ≤122 ＝2，∴O 到直线l 的距离的最大值为 2. 答案 2 二、解答题 11．已知函数f (x )＝2x －12x (x ∈R )． (1)讨论f (x )的单调性与奇偶性； (2)若2x f (2x )＋mf (x )≥0对任意的x ∈[0，＋∞)恒成立，求m 的取值范围． 解 (1)由f (－x )＝2－x －12－x ＝12x －2x ＝－f (x )知f (x )是奇函数．由y 1＝2x 与y 2＝－2 －x 是(－∞，＋∞)上的增函数，得f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数． (2)当x ∈[0，＋∞)时，2x ? ????22x －122x ＋m ? ????2x －12x ≥0，即? ????2x －12x ()22x ＋1＋m ≥0恒成立， 因为x ≥0时，2x －12x ≥0，所以22x ＋1＋m ≥0，m ≥－(22x ＋1)，所以m ≥－(20 ＋1)＝－2. 12．如图，过原点O 的直线与函数y ＝2x 的图象交于A ，B 两点，过B 作y 轴 的垂线交函数y ＝4x 的图象于点C .若AC 平行于y 轴，求A 点的坐标． 解 设C (a,4a )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵AC ∥y 轴，∴x 1＝a ， ∴y 1＝2x 1＝2a ，即A (a,2a )． 又y 2＝2x 2＝4a ，∴x 2＝2a ， 即B (2a,4 a )．∵A 、B 、O 三点共线， ∴2 a a ＝4 a 2a ?a ＝1，∴A (1,2)． 13．已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0. (1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性； (2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时的x 的取值范围． 解 (1)当a ＞0，b ＞0时，因为a ·2x 、b ·3x 都单调递增， 所以函数f (x )单调递增； 当a <0，b <0时， 因为a ·2x 、b ·3x 都单调递减， 所以函数f (x )单调递减． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x ＞0. 当a ＜0，b ＞0时，? ?? ??32x ＞－a 2b ， 解得x >log 32? ?? ?? －a 2b ； 当a ＞0，b ＜0时，? ?? ??32x ＜－a 2b ，解得x 14．设函数f (x )＝ka x －a －x (a ＞0且a ≠1)是奇函数． (1)求k 的值； (2)若f (1)＞0，解关于x 的不等式f (x 2 ＋2x )＋f (x －4)＞0； (3)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －2mf (x )在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m 的值． 解 (1)因为f (x )是奇函数，且f (0)有意义，所以f (0)＝0，所以k －1＝0，k ＝1. (2)因为f (1)＞0，所以a －1a ＞0，∴a ＞1，∴f (x )＝a x －a －x 是R 上的单调增函数． 于是由f (x 2＋2x )＞－f (x －4)＝f (4－x )，得x 2＋2x ＞4－x ，即x 2 ＋3x －4＞0，解得x ＜－4或x ＞1. (3)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，解得a ＝2(a ＞0)，所以g (x )＝22x ＋2－2x －2m (2x －2－x ) ＝(2x －2－x )2 －2m (2x －2－x )＋2.设t ＝f (x )＝2x －2－x ，则由x ≥1， 得t ≥f (1)＝32，g (x )＝t 2－2mt ＋2＝(t －m )2＋2－m 2 . 若m ≥32，则当t ＝m 时，y min ＝2－m 2 ＝－2，解得m ＝2. 若m ＜32，则当t ＝32时，y min ＝17 4 －3m ＝－2， 25 12(舍去)．综上得m＝2. 解得m＝ §13.4 数学归纳法 2014高考会这样考 1.考查数学归纳法的原理和证题步骤；2.用数学归纳法证明与等式、不等式或数列有关的命题，考查分析问题、解决问题的能力． 复习备考要这样做 1.理解数学归纳法的归纳递推思想及其在证题中的应用；2.规范书写数学归纳法的证题步骤． 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0 (n 0∈N *)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法． [难点正本 疑点清源] 1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据． 2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n ＝n 0的n 0不一定为1，而是根据题目要求，选择合适的起始值．第(2)步，证明n ＝k ＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法． 1． 凸k 边形内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和为f (k ＋1)＝f (k )＋________. 答案 π 解析 易得f (k ＋1)＝f (k )＋π. 2． 用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋1 2n －1 $ 指数与指数函数练习题 姓名 学号 （一）指数 1、化简［32)5(-］4 3的结果为 （ ） A ．5 B ．5 C ．－5 D ．－5 2、将322-化为分数指数幂的形式为 （ ） A ．212- B ．3 12- C ．2 12- - D ．6 52- 3.333 4)2 1 ()21() 2()2(---+-+----的值 （ ） ） A 4 3 7 B 8 C －24 D －8 4(a, b 为正数)的结果是_________． 5、3 21 41()6437 ---+-=__________． 6、)3 1 ()3)((65 613 1212132b a b a b a ÷-=__________。 （二）指数函数 一．选择题： 1. 函数x y 24-= 的定义域为 （ ） " A ),2(+∞ B (]2,∞- C (]2,0 D [)+∞,1 2. 下列函数中，在),(+∞-∞上单调递增的是 （ ） A ||x y = B 2 y x = C 3x y = D x y 5.0= 3．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）。经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ） 511.A 个 512.B 个 1023.C 个 1024.D 个 4．在统一平面直角坐标系中，函数ax x f =)(与x a x g =)(的图像可能是 （ ） 5．设d c b a ,,,都是不等于1的正数，x x x x d y c y b y a y ====,,,在同一坐标系中的图像如图所示，则 d c b a ,,,的大小顺序是 （ ） d c b a A <<<. c d b a B <<<. c d a b C <<<. d c a b D <<<. | 6．函数0.(12 >+=-a a y x 且)1≠a 的图像必经过点 )1,0.(A )1,1.(B )0,2.(C )2,2.(D 7 .若01<<-x ，那么下列各不等式成立的是 （ ） x x x A 2.022.<<- x x x B -<<22.02. x x x C 222.0.<<- x x x D 2.022.<<- 8. 函数x a x f )1()(2 -=在R 上是减函数，则a 的取值范围是 （ ） 1.>a A 2. 高考能力测试步步高数学基础训练43 基础训练43 概率与统计(一) ●训练指要 掌握离散型随机变量的分布列、期望和方差的意义，会求简单的离散型随机变量的分布列、期望与方差. 一、选择题 1.随机变量ξ1是1个无线寻呼台1 min 内接到的寻呼次数；随机变量ξ2是某工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径尺寸误差；随机变量ξ3是测量1个学生身高所得的数值(精确到1 cm)；随机变量ξ4是1个沿数轴进行随机运动的质点的坐标，那么这4个随机变量中，离散型随机变量的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 A.1 B.1± 22 C.1+ 2 2 D.1- 2 2 3.如果ξ是离散型随机变量，η=3ξ+2,那么 A.E η=3E ξ+2,D η=9D ξ B.E η=3E ξ,D η=3D ξ+2 C.E η=3E ξ+2,D η=9E ξ+4 D.E η=3E ξ+4,D η=3D ξ+2 二、填空题 5.(胡文2021年年两省一市高考题)一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是_________.(用数字作答) 三、解答题 6.一个袋子里装有分别标有数字的小球，其中标有1的有1个，标有2的有2个，…标有9的有9个，现从中任意取出1个，求取出的球上所标数字的分布列以及所取之球所标数字为奇数的概率. 求：(1)E ,D ,; (2)设η=2ξ+3,求E η,D η. 8.现要从甲、乙两个技工中选派一人参加技术比武比赛，已知他们在同样的条件下每天的产量相等，而出次品的个数的分布列如下： 次品数ξ 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 次品数ξ 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 高考能力测试步步高数学基础训练43答案 一、1.B 2.D 3.A 二、4.0.2 0.7 5.1.2 ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P 451 452 453 454 455 456 457 458 45 9 其中所取之球所标数字为奇数的概率为： .9 54597531459457455453451=++++=++++ 7.(1)E ξ=－ 31;D ξ=9 5 σξ=35=ξD (2)E η=2E ξ+3= 37D η=4D ξ=9 20 . 8.E ξ1=E ξ2=1.3 D ξ1=0.41 D ξ2=1.21 故两人平均水平基本一致，但乙技工的波动性较大，故应选甲参赛. 高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识，基本技能；二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度，数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识，是数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归和转化思想． (一)函数与方程思想 函数思想，就是用函数与变量去思考问题 分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想． 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想． 例1(1)若a>1，则双曲线x2 a2－ y2 (a＋1)2 ＝1的离心率e的取值范围是________． (2)若将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是______________． 思维升华函数与方程思想在解题中的应用 (1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式． (2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要． (3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数有关理论． (4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决． 跟踪演练1(1)(2015·南京模拟)若函数f(x)在R上可导，且满足f(x) 指数和指数函数专题 一、选择题 1．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2.若a>1,b<0,且a b +a -b =22,则a b -a -b 的值等于（ ） （A ）6 （B ）±2 （C ）-2 （D ）2 3．函数f （x ）=(a 2 -1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2b,ab 0≠下列不等式（1）a 2 >b 2 ,(2)2a >2b ,(3)b a 11<,(4)a 31> b 31 ,(5)(31)a <(31) b 中恒成立的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 7．函数y=1 21 2+-x x 是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）既奇又偶函数 （D ）非奇非偶函数 8．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 9．下列函数中，值域为R + 的是（ ） （A ）y=5 x -21 （B ）y=( 3 1)1-x （C ）y=1)21(-x （D ）y=x 21- 10．下列关系中正确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51 ）32 （C ）（51）32<（21）31<（21）32 （D ）（51）32<（21）32<（2 1 ）31 11.已知三个实数a,b=a a ,c=a a a ,其中0.9 ！ 2．1指数与指数函数习题 一、选择题（12*5分） 1．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2．函数f （x ）=(a 2-1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2b,ab 0≠下列不等式（1）a 2 >b 2 ,(2)2a >2b ,(3)b a 1 1<,(4)a 31 >b 31 ,(5)(31)a <(31)b 中恒成立的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 5．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 6．下列函数中，定义域为R 的是（ ） （A ）y=5 x -21 （B ）y=( 3 1)1-x . （C ）y=1)2 1(-x （D ）y=x 2 1- 7．下列关系中正确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21 ）32<（51）32 （C ）（51）32<（21）31<（21）32 （D ）（51）32<（21）32<（2 1 ）31 8．若函数y=3·2x-1 的反函数的图像经过P 点，则P 点坐标是（ ） （A ）（2，5） （B ）（1，3） （C ）（5，2） （D ）（3，1） 9．函数f(x)=3x +5,则f -1 (x)的定义域是（ ） （A ）（０，＋∞） （B ）（５，＋∞） ) 第二章点、直线、平面之间的位置关系 §2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1平面 1．A 2.D 3.C 4.D 5．0 6．A∈m 7. 解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点， 即点S在交线上， 由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示． ∵E∈AC，AC?平面SAC，∴E∈平面SAC. 同理，可证E∈平面SBD. ∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD 和平面SAC的 交线． 8．证明∵l1?β，l2?β，l1D∥\l2， ∴l1、l2交于一点，记交点为P. ∵P∈l1?α，P∈l2?γ，∴P∈α∩γ＝l3， ∴l1，l2，l3交于一点． 9．C10.C 11．③ 12．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上． 13．证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1， 又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上， ∴C1、O、M三点共线． (2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B.∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1. ∴E、C、D1、F四点共面． 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 1．D2．C3．B 4．D 5.平行或异面 6．(1)60°(2)45° 7．(1)证明由已知FG＝GA，FH＝HD， 可得GH 綊12AD .又BC 綊1 2AD ， ∴GH 綊BC ， ∴四边形BCHG 为平行四边形． (2)解 由BE 綊1 2AF ，G 为F A 中点知，BE 綊FG ， ∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面． 又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面． 8．解 (1)如图，∵CG ∥BF ，∴∠EBF (或其补角)为异面直线BE 与CG 所成的角， 又△BEF 中，∠EBF ＝45°，所以BE 与CG 所成的角为45°. (2)连接FH ，BD ，FO ，∵HD 綊EA ，EA 綊FB ， ∴HD 綊FB ， ∴四边形HFBD 为平行四边形， ∴HF ∥BD ， ∴∠HFO (或其补角)为异面直线FO 与BD 所成的角． 连接HA 、AF ，易得FH ＝HA ＝AF ， ∴△AFH 为等边三角形， 又依题意知O 为AH 中点，∴∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角是30°. 9．D 10．B 11．①③ 12．(1)证明 假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线． (2)解 取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相 交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在 Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝1 2AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°. 13．解 如图，取AC 的中点P . 连接PM 、PN ， 则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝1 2CD ， 所以∠MPN 为直线AB 与CD 所成的角(或所成角的补角)． 则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°， 指数与指数函数测试题https://www.360docs.net/doc/db777006.html,work Information Technology Company.2020YEAR 指数与指数函数测试题 编制：陶业强 审核：高二数学组 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、化简11111321684 21212121212-----??????????+++++ ?????????? ?????????，结果是（ ） A 、1 132 112 2-- ? ?- ?? ? B 、 1 132 12-- ??- ?? ? C 、1 32 12-- D 、1321122-??- ??? 2 、44 等于（ ） A 、16a B 、8 a C 、4a D 、2a 3、若1,0a b ><, 且b b a a -+=则b b a a --的值等于（ ） A 、6 B 、2± C 、2- D 、2 4、函数()2()1x f x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A 、1>a B 、2≠，下列不等式（1）22a b >；(2)22a b >；(3) b a 1 1<；(4)1133 a b >；(5)1133a b ???? < ? ????? 中恒成立的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 8、函数21 21 x x y -=+是（ ） A 、奇函数 B 、偶函数 C 、既奇又偶函数 D 、非奇非偶函数 考试内容等级要求数列的概念A 等差数列C 等比数列 C §6.1数列的概念与简单表示法 考情考向分析以考查S n与a n的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点．本节内容在高考中以填空的形式进行考查，难度为低档． 1．数列的定义 按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类 分类原则类型满足条件 按项数分类 有穷数列项数有限 无穷数列项数无限 按项与项间的大小关系分类递增数列a n ＋1 __>__a n 其中n∈N* 递减数列a n ＋1 __<__a n 常数列a n ＋1 ＝a n 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项， 有些项小于它的前一项的数列 3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法． 4．数列的通项公式 如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个 数列的通项公式． 5．a n与S n的关系 若数列{a n}的前n项和为S n， 则a n ， n≥2，n∈N*. 概念方法微思考 1．数列的项与项数是一个概念吗？ 提示不是，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．数列的通项公式a n＝3n＋5与函数y＝3x＋5有何区别与联系？ 提示数列的通项公式a n＝3n＋5是特殊的函数，其定义域为N*，而函数y＝3x＋5的定义域是R，a n＝3n＋5的图象是离散的点，且排列在y＝3x＋5的图象上． 题组一思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(×) (2)所有数列的第n项都能使用公式表达．(×) (3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(√) (4)1,1,1,1，…不能构成一个数列．(×) (5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(×) (6)如果数列{a n}的前n项和为S n，则对?n∈N*，都有a n＝S n－S n－1.(×) 题组二教材改编 2．[P34习题T2]在数列{a n}中，已知a1＝1，a n＋1＝4a n＋1，则a3＝________. 答案21 解析由题意知，a2＝4a1＋1＝5，a3＝4a2＋1＝21. 3．[P34习题T7]根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n＝____________. 答案5n－4 题组三易错自纠 4．数列{a n}中，a n＝－n2＋11n(n∈N*)，则此数列最大项的值是________． 答案30 实用标准 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】（基础题）求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}．值域{y|y ＞0且y ≠1}． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为{|y|y ≥0}． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 1.指数函数Y=ax （a>0且a ≠1）的定义域是R ，值域是（0，+∞） 2. 求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为０③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】（基础题）指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜c C．b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b 解选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c． 【例3】（基础题）比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 指数和指数函数 一、选择题 1．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2.若a>1,b<0,且a b +a -b =22,则a b -a -b 的值等于（ ） （A ）6 （B ）±2 （C ）-2 （D ）2 3．函数f （x ）=(a 2 -1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2b,ab 0≠下列不等式（1）a 2 >b 2 ,(2)2a >2b ,(3)b a 1 1<,(4)a 31>b 31 ,(5)(31)a <(31) b 中恒成立的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 7．函数y=1 21 2+-x x 是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）既奇又偶函数 （D ）非奇非偶函数 8．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 9．下列函数中，值域为R + 的是（ ） （A ）y=5 x -21 （B ）y=( 3 1)1-x （C ）y=1)21(-x （D ）y=x 21- 10.函数y=2 x x e e --的反函数是（ ） （A ）奇函数且在R + 上是减函数 （B ）偶函数且在R + 上是减函数 （C ）奇函数且在R +上是增函数 （D ）偶函数且在R + 上是增函数 11．下列关系中正确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51）32 指数函数 1．指数函数的定义： 函数)1 (≠ > =a a a y x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数的图象和性质： 在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 的图象. 我们观察y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 图象特征，就可以得到)1 (≠ > =a a a y x且的图象和性质。 a>10 ()x f c 的大小关系是_____． 分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-， ∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中 间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得1 4x >．∴x 的取值范围是14 ??+ ??? ， ∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-， ∞． 令26x t -=，则y =， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． 高考能力测试步步高数学基础训练20 基础训练20 不等式的性质、均值不等式及应用 ●训练指要 掌握不等式的运算性质，两个数及三个数的几何平均值与算术平均值的不等关系. 一、选择题 1.若a ＞b ＞1,P =b a lg lg ?,Q = 21(lg a +lg b ),R =lg 2b a +,则 A.R ＜P ＜Q B.P ＜Q ＜R C.Q ＜P ＜R D.P ＜R ＜Q 2.已知a ＞b ，则下列不等式①a 2＞b 2,②b a 11<,③a b a 11>-中不成立的个数是 A.0B.1 C.2 D.3个 3.设a ∈R ，且a 2+a ＜0,那么a ,a 2,-a ,-a 2的大小顺序是 A.a 2＞a ＞-a 2＞-a B.-a ＞a 2＞-a 2＞a C.-a ＞a 2＞a ＞-a 2 D.a 2＞-a ＞a ＞-a 2 二、填空题 4.在“充分而不必要条件，必要而不充分条件，充要条件，非充分非必要条件”中选择适当的词填空： (1)a ＞b ,c ＞d 是a +c ＞b +d 的_________条件； (2)a +b ＞2，ab ＞1是a ＞1且b ＞1的_________条件； (3) b a ＞1是a ＞ b 的_________条件 5.如果-2π≤a ＜β≤2π,则2βα-的范围是_________. 三、解答题 6.已知a ,b ,x ,y 均为正数，且b a 11>,x ＞y ，求证 b y y a x x +>+. 7.已知a ,b ∈R ，比较a 2-2ab +2b 2与2a -3的大小. 8.设a ＞0，且a ≠1,t ＞0，比较 21log a t 与log a 2 1+t 的大小. 高考能力测试步步高数学基础训练20答案 一、1.B 2.D 3.B 二、4.(1)充分而不必要 (2)必要而不充分 (3)非充分非必要 5.－2 π≤2βα-＜0 指数函数练习题 指数与指数函数练习题 姓名 学号 （一）指数 1、化简［ 3 2 ) 5(-］ 4 3的结果为 （ ） A ．5 B ．5 C ．－5 D ．－5 2、将 3 2 2-化为分数指数幂的形式为 （ ） A ．2 12- B ．3 12- C ．2 1 2-- D ． 6 52- 3. 3 334)2 1 ()21()2()2(---+-+----的值 （ ） A 4 3 7 B 8 C －24 D －8 4(a, b 为正数)的结果是_________． 5、 3 2 1 41()6437 ---+-=__________． 6、 ) 3 1 ()3)((65 613 1212132b a b a b a ÷-=__________。 （二）指数函数 一． 选择题： 1. 函数x y 24-=的定义域为 （ ） A ),2(+∞ B (]2,∞- C (]2,0 D [)+∞,1 2. 下列函数中，在),(+∞-∞上单调递增的是 （ ） A ||x y = B 2 y x = C 3x y = D x y 5.0= 3．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分 裂为两个）。经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ） 511 .A 个 512 .B 个 1023 .C 个 1024 .D 个 ax x f =)(x a x g =)(的图 增，则该厂到2010年的产值（单位：万元）是（ ） n a A +1(.％13 ) n a B +1(.％12 ) n a C +1(.％11 ) n D -1(9 10 . ％12 ) 二． 填空题： 1、已知)(x f 是指数函数，且25 5 )23(=-f ，则=)3(f 2、 已知指数函数图像经过点P(1,3)-，则(2)f = 3、 比较大小12 2- 1 3 2- ， 0.32()3 0.22 ()3 ， 0.31.8 1 4、 3 1 1 2 13,32,2-?? ? ??的大小顺序有小到大依 次 为 _________ 。 5、 设10<x x x x a a 成立的x 的集合是 6、 函数 y = 7、 函数 y = 8、若函数1 41 )(++=x a x f 是奇函数，则a =_________ 三、解答题： 2．1指数与指数函数习题 一、选择题（12*5分） 1．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2．函数f （x ）=(a 2-1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2b,ab 0≠下列不等式（1）a 2 >b 2 ,(2)2a >2b ,(3)b a 11<,(4)a 31 >b 31 ,(5)(31)a <(31) b 中恒成立的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 5．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 6．下列函数中，定义域为R 的是（ ） （A ）y=5 x -21 （B ）y=( 3 1)1-x （C ）y=1)2 1(-x （D ）y=x 21- 7．下列关系中正确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51）32 （C ）（51）32<（21）31<（21）32 （D ）（51）32<（21）32<（2 1）31 8．若函数y=3·2x-1 的反函数的图像经过P 点，则P 点坐标是（ ） （A ）（2，5） （B ）（1，3） （C ）（5，2） （D ）（3，1） 9．函数f(x)=3x +5,则f -1 (x)的定义域是（ ） （A ）（０，＋∞） （B ）（５，＋∞） （C ）（６，＋∞） （D ）（－∞，＋∞） 10．已知函数f(x)=a x +k,它的图像经过点（1，7），又知其反函数的图像经过点（4，0），则函数f(x)的表达式是（ ） 1.1 数列的概念与简单表示方法（一） 学习目标 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式． 知识点一数列及其有关概念 思考1数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？ 答案不是．顺序不一样． 思考2数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？ 答案数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性． 梳理(1)按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项． (2) 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{a n}． 知识点二通项公式 思考1数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？ 答案100.由前四项与它们的序号相同，猜第n项a n＝n，从而第100项应为100. 梳理如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 思考2数列的通项公式a n＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？ 答案如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值． 不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集． 知识点三数列的分类 思考对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？ 答案(1)可以按项数分类；(2)可以按项的大小变化分类． 梳理(1)按项数分类，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列． 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集 符号N N*(或N＋)Z Q R 2.集合间的基本关系 关系自然语言符号语言Venn图 子集集合A中所有元素都在集合B中(即 若x∈A，则x∈B) A?B(或B?A) 真子集集合A是集合B的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A中 A B(或 B A) 集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B 互为子集 A＝B 3. 运算自然语言符号语言Venn图 交集由属于集合A且属于集合B的 所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 并集由所有属于集合A或属于集合 B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 补集由全集U中不属于集合A的所 有元素组成的集合 ?U A＝{x|x∈U且x?A} 【知识拓展】 1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1. 2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B. 3．A∩?U A＝?；A∪?U A＝U；?U(?U A)＝A. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．(×) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×) (3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×) (4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(√) (5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)?(A∪B)恒成立．(√) (6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×) 1 / 2 指数与指数函数 一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．化简［32 )5(-］4 3的结果为 （ ） A ．5 B ．5 C ．－5 D ．－5 2．化简46 3 9436 9)()(a a ?的结果为 （ ） A ．a 16 B ．a 8 C ．a 4 D ．a 2 3．设函数的取值范围是则若0021,1)(,. 0,,0,12)(x x f x x x x f x >??? ??>≤-=- （ ） A ．(－1，1) B ．(－1，＋∞) C ．),0()2,(+∞?--∞ D ．),1()1,(+∞?--∞ 4．设5.1344.029 .01)2 1 (,8,4 -===y y y ，则 （ ） A ．y 3＞y 1＞y 2 B ．y 2＞y 1＞y 3 C ．y 1＞y 2＞y 3 D ．y 1＞y 3＞y 2 5．当x ∈［－2，2)时，y=3－ x －1的值域是 （ ） A ．［－ 98 ，8］ B ．［－ 9 8 ，8］ C ．( 91，9) D ．［91，9］ 6．在下列图象中，二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与函数y=(a b )x 的图象可能是 （ ） 7．已知函数f(x)的定义域是(0，1)，那么f(2x )的定义域是 （ ） A ．(0，1) B ．( 2 1 ，1) C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞) 8．若122-=x a ，则x x x x a a a a --++33等于 （ ） A ．22－1 B ．2－22 C ．22＋1 D ． 2＋1 9．设f(x)满足f(x)＝f(4－x)，且当x ＞2 时f(x)是增函数则a ＝f(1.10.9)，b= f(0.91.1)，c ＝)4(log 2 1f 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞b D ．c ＞b ＞a 10．若集合}1|{},2|{-====x y y P y y M x ，则M∩P= （ ） A ．}1|{>y y B ．}1|{≥y y C ．}0|{>y y D ．}0|{≥y y 11．若集合S ＝{y|y ＝3x ，x ∈R}，T ＝{y|y ＝x 2－1，x ∈R}，则S∩T 是 （ ） A ．S B ．T C ．? D ．有限集 12．下列说法中，正确的是 （ ） ①任取x ∈R 都有3x ＞2x ②当a ＞1时，任取x ∈R 都有a x ＞a － x ③y=(3) －x 是增函数 高一指数与指数函数基础练习试题 （一）指数 1、化简［3 2 )5(-］4 3的结果为 （ ） A ．5 B ．5 C ．－5 D ．－5 2、将322-化为分数指数幂的形式为（ ） A ．212- B ．3 12- C ．2 12 - - D ．6 52- 3、化简 4 2 16 13 2 33 2)b (a b b a ab ??(a, b 为正数)的结果是（ ） A ． a b B ．ab C ． b a D ．a 2b 4、化简11111321684 21212121212-----??????????+++++ ?????????? ?????????，结果是（ ） A 、1 132 112 2-- ? ?- ?? ? B 、1 132 12 -- ??- ?? ? C 、1 32 12-- D 、1321122-??- ??? 5、13256)7 1 (027 .0143 23 1+-+-----=__________． 6、 32 113 2132)(---- ÷a b b a b a b a =__________． 7、48373)27102(1.0)972(032 221 +-++--π=__________。 8、)3 1 ()3)((65 613 1212132b a b a b a ÷-=__________。 9 、416 0.250 3 21648200549 -+---）（）（） =__________。 10、已知),0(),(21>>+= b a a b b a x 求1 22--x x ab 的值。 11、若32 12 1=+-x x ，求 2 3 222 32 3-+-+-- x x x x 的值。 （二）指数函数 一、指数函数的定义问题 1、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b ，则n 年后这批设备的价值为（ ） A 、(1%)na b - B 、(1%)a nb - C 、[1(%)]n a b - D 、(1%)n a b - 2、若21(5)2x f x -=-，则(125)f = 。 3、若21025x =，则10x -等于 （ ） A 、 15 B 、15- C 、150 D 、1625 4、某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比 较，变化的情况是（ ） A 、减少7.84% B 、增加7.84% C 、减少9.5% D 、不增不减 5、已知指数函数图像经过点)3,1(-p ，则=)3(f2014《步步高》高考数学第一轮复习13 数学归纳法
指数函数练习题
高考数学能力测试步步高数学基础训练含答案 (25)
2016版《步步高》高考数学大二轮总复习：专题九 数学思想方法
4.2 指数和指数函数练习题及答案
指数与指数函数练习题及答案
数学必修2黄色步步高答案珍藏版
指数与指数函数测试题
2020步步高 苏教版高三一轮复习 数列 含答案解析
指数函数典型例题详细解析汇报
(完整版)指数和指数函数练习题及答案
指数函数经典例题(标准答案)
高考数学能力测试步步高数学基础训练含答案 (50)
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步步高高中数学 必修 5 数列打印版
2020届【步步高】高考文科数学一轮总复习讲义
指数与指数函数习题含答案
高一指数与指数函数基础练习题