【2015鹰潭一模】江西省鹰潭市2015届高三第一次模拟考试理科数学试题 Word版含答案

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鹰潭市2015届高三第一次模拟考试

数学试题(理科)

命题人:金俊颖 余江一中

审题人:何卫中 贵溪一中

本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷两部分,满分150分,时间120分钟

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一项

是符合

题目要求的。

1.设集合{}512|≥-=x x A ,集合???

?

??

-=

=x x y x B 7cos |,则B A 等于( ) A .()3,7 B .[]3,7 C .(]3,7 D .[)3,7

2.已知i 为虚数单位,a 为实数,复数(2)(1)z a i i =-+在复平面内对应的点为M ,则“2

1=a ”是“点M 在第四象限”的( )

A .充分而不必要条件

B .必要而不充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要条

3.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足0,1n a q >>,且352620,64a a a a +==,

则6S =( )

A .63

B .48

C .42

D .36 4.已知5

8cos 3sin =

+x x ,则=-)6cos(x π

( )

A .-35

B .35

C .-45

D .45

5.已知命题p :函数21

()sin 2

f x x =-

的最小正周期为π;命题q :若函数)1(+x f 为偶函数,则)(x f 关于1=x 对称.则下列命题是真命题的是( ) A .q p ∧ B .q p ∨ C .()()p q ?∧? D .()p q ∨?

6.已知实数{},8,7,6,5,4,3,2,1∈x ,执行如图所示的程序框图,则输出的x 不小于...

121的概率为( )

A .3

4

B .

8

5

C .

8

7 D .

2

1 7.已知?-=20)cos (π

dx x a ,则9

12ax ax ??+ ??

?展开式中,3

x 项的系数为( ) 否

开始

n=1

输入x n= n +1

x= 3x +1

输入

x 输出结束

3?n ≤

A .

638 B .6316 C .221- D .63

8

-

8.甲乙两人从4门课程中各选修两门,则甲乙所选的课程中至少有1门不相同...

的选法共有( )

A .30种

B .36种

C .60种

D .72种

9.已知F 是双曲线

)0,0(12

22

2>>=-

b a b

y a

x 的左焦点,过F 作倾斜角为o 60的直线l ,直

线l 与双曲线交于点A 与y 轴交于点B 且FB FA 3

1

=,则该双曲线的离心率等于( ) A .15+ B .217+ C .15- D .2

1

7- 10.已知方程sin x

k x =在(0,)+∞有两个不同的解,αβ(αβ<),则下面结论正确的是( )

A .1tan()41π

ααα++

=

- B .1tan()41πα

αα-+=+

C .1tan()41πβββ++=-

D .1tan()41πβββ

-+=+ 11.设函数)(x f 是定义在)0,(-∞上的可导函数,其导函数为)(x f ',且有0)()(3>'+x f x x f ,则

不等式0)3(27)2015()2015(3

>-+++f x f x 的解集( )

A .)2015,2018(--

B .)2016,(--∞

C .)2015,2016(--

D .)2012,(--∞

12.设函数???>≤=0

,log 0

,2)(2x x x x f x ,若对任意给定的),1(+∞∈t ,都存在唯一的R x ∈,满足

at t a x f f +=222))((,则正实数...a 的最小值是 ( )

A . 2

B .

21 C .4

1 D .81

第Ⅱ卷

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分

13.已知2a = ,3b =,,a b 的夹角为60°,则2a b -= .

14.设实数,x y 满足,

102,1,

x y y x x ≤??≤-??≥?

则124y x z ??=? ???的最大值为 . 15.棱锥的三视图如上图所示,且三个三角形均为直角三角形,

y

x 1

1+的最小值为 . 16.球O 为边长为4的正方体1111D C B A ABCD -的内切球,P

为球O 的球面上动点,M 为11C B 中点,DP

BM ⊥,则点

P 的轨迹周长为 .

三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)

已知公比为负值的等比数列{}n a 中,154a a =,41a =-. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设()

111

12231n n n n b n n +++=

++???+

??+,求数列{}n n a b +的前n 项和n S . 18.(本小题满分12分)

湖南卫视“我是歌手”这个节目深受广大观众喜爱,节目每周直播一次,在某周比赛中歌手甲、乙、丙竞演完毕,现场的某4位大众评审对这3位歌手进行投票,每位大众评审只能投一票且把票投给任一歌手是等可能的,求: (Ⅰ)恰有2人把票投给歌手甲的概率;

(Ⅱ)投票结束后得票歌手的个数ζ的分布列与期望. 19.(本小题满分12分)

在如图所示的几何体中,AE ⊥平面ABC ,CD ∥AE ,F 是

BE 的中点,AC BC =1=,90ACB ∠=?,22AE CD ==.

(Ⅰ)证明 DF ⊥平面ABE ;

(Ⅱ)求二面角A BD E --的余弦值的大小. 20.(小题满分12)

椭圆C 的方程为22

22 1 (0)x y a b a b

+=>>,1F 、2F 分别是它

的左、右焦点,已知椭圆C 过点(0, 1),且离心率22

3

e =. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)如图,设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ,直线l

的方程为4x =,P 是椭圆上异于A 、B 的任意一

点,直线PA 、PB 分别交直线l 于D 、E 两点,求12F D F E ?的值;

(Ⅲ)过点(1 0)Q ,

任意作直线m (与x 轴不垂直)与椭圆C 交于M 、N 两点,与l 交 于R 点,RM xMQ =,RN yNQ =. 求证:4450x y ++=.

21.(本大题满分12分)

已知函数2

()(0)f x x ax a =-≠,()ln g x x =,()f x 图象与x 轴异于原点的交点M 处 的切线为1l ,(1)g x -与x 轴的交点N 处的切线为2l , 并且1l 与2l 平行. (Ⅰ)求(2)f 的值;

(Ⅱ)已知实数R t ∈,求[]ln ,1,u x x x e =∈的取值范围及函数

[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值;

(Ⅲ)令()()'()F x g x g x =+,给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<,对于两个大于1的正数

βα,,存在实数m 满足:21)1(x m mx -+=α,21)1(mx x m +-=β,并且使得

F E

D C

B

A

m Q

l E D

R P

F 2F 1

y

x

O

N

M

B

A

不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立,求实数m 的取值范围..

22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲

如图,ABC ?内接于直径为BC 的圆O ,过点A 作圆O 的切线交

CB 的延长线于点P ,BAC ∠的平分线分别交BC 和圆O 于点

E D 、,若102==PB PA .

(Ⅰ)求证:AB AC 2=; (Ⅱ)求DE AD ?的值.

23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴

的正

半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是

t t y t x (sin cos 1??

?=+=αα

是参数). (Ⅰ)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程;

(Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且14=AB ,求直线的倾斜角α的值.

24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲

设函数()f x x a =-.

(Ⅰ)当2a =时,解不等式()41f x x ≥--; (Ⅱ)若()1f x ≤的解集为[]0,2,()11

0,02a m n m n

+=>>,求证:24m n +≥.

鹰潭市2015届高三第一次模拟考试数学(理科)答案

一、选择题:1—5 DAADB 6 —10 BCABC 11—12 AB

二、填空题:

13.13 14. 2

1

15.

510

2 16.π5

58

三、解答题:

17.解:(Ⅰ)因为数列{}n a 是等比数列,所以42

351==a a a ,则23-=a 或2,因为数列{}

n a 的

P

A

B

C

D

E 22题图 O

公比为负值,所以23=a ,故2134-==

a a q ,则82

31==q

a a ,故11

1)21(8---==n n n q a a 即数列{}n a 的通项公式为1

)2

1(8--=n n a ……………………………………6分

(Ⅱ)由条件知,)

1(1

321211+++

????+?++?+=n n n n n b n ))1(1

321211)(1(++????+?+?+=n n n

)11

13121211)(1(+-+????+-+-+=n n n

n n n =+-+=)1

1

1)(1(………………9分

则n b a n n n +-=+-1

)21(8故)(21n n a a a S +????++=)(21n b b b +????+++

??????--=n )21(1316)1(2

1

++n n 。……………………………12分 18.解:(Ⅰ)解法一:所有可能的投票方式有4

3种,恰有2人把票投给歌手甲的方

式2

2

42?C 种,从而恰有2人把票投给歌手甲的概率为2783

2422

4=

?C ……5分

解法二:设对每位投票人的观察为一次试验,这是4次独立重复试验.

记“把票投给歌手甲”为事件ζ,则3

1

)(=A P ,从而,由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的

概率计算公式知,恰有2人把票投给歌手甲的概率为27

8

)32()31()2(22244==C P

(Ⅱ)ξ的所有可能值为:3,2,1

4

21322

2432442344

31

(1),273

()(22)1414

(2)((2))272733

P C C C C C C P P ξξξ==

=+-======或 12123342434444

(3)((3)).

9933C C C C A P P ξξ======或………………………11分 综上知,ξ有分布列

ξ[https://www.360docs.net/doc/d6835933.html,]

1 2 3

P

127 1427 49

从而有

114465123.2727927E ξ=?

+?+?=………………………12分

19.解法一(1)取AB 的中点G ,连结CG 、FG .

因为CD ∥AE ,GF ∥AE ,所以CD ∥GF . 又因为1CD =,112

GF AE ==,所以CD =GF .

所以四边形CDFG 是平行四边形,DF ∥CG ……………………2分 在等腰Rt ACB ?中,G 是AB 的中点,所以CG AB ⊥. 因为EA ⊥平面ABC ,CG ?平面ABC ,所以EA CG ⊥. 而AB EA A =,所以CG ⊥平面ABE .

又因为DF ∥CG ,所以DF ⊥平面ABE . ………………………6分 (2)因为DF ⊥平面ABE ,DF ?平面BDE ,所以平面BDE ⊥平面ABE . 过点A 作AM BE ⊥于M ,则AM ⊥平面BDE ,所以AM BD ⊥.

过点M 作MN BD ⊥于N ,连结AN ,则BD ⊥平面AMN ,所以BD AN ⊥. 所以ANM ∠是二面角A BD E --的平面角 ………………………10分 在Rt ABE ?中,232236

AE AB AM BE ?===.

因为2AD BD AB ===,所以ABD ?是等边三角形.又AN BD ⊥,

所以3622

AN AB ==,NM =66.

在Rt AMN ?中,621cos 636

NM ANM AN ∠==?=.

所以二面角A BD E --的余弦值是13

.……………12分

解法二(1)因为EA ⊥平面ABC ,CD ∥AE ,所以CD ⊥平面ABC . 故以C 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则

相关各点的坐标分别是(1,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,0)C ,

(0,0,1)D ,(1,0,2)E ,11(,,1)22F .……………………3分

所以11(,,0)22

DF =,(0,0,2)AE =,(1,1,0)AB =-. 因为11(,,0)(0,0,2)022DF AE ?=?=,11(,,0)(1,1,0)022

DF AB ?=?-=,

所以DF AE ⊥,DF AB ⊥.而AE AB A =,所以DF ⊥平面ABE ………6分

(2)由(Ⅰ)知,(0,1,1)BD =-,(1,1,0)AB =-,(1,1,2)BE =-.

设1111(,, )x y z =n 是平面ABD 的一个法向量,由110,

BD AB ??=???=??n n

得1111

0,0.y z x y -+=??-+=?即111x y z ==.取1111x y z ===,则1(1,1,1)=n .

设222(,, )x y z =2n 是平面BDE 的一个法向量,由0,0

BD BE ??=???=??22n n

得22222

0,20.y z x y z -+=??-+=?即222x y z =-=-.取221y z ==,21x =-,则(1,1,1)=-2n .

(10)

∵二面角A BD E --为锐二面角,设二面角A BD E --的大小为θ,则

1111cos 3 33θ?-++===??12

12n n n n 故二面角A BD E --的余弦值是13………12分

20.解:(Ⅰ)2

219

x y +=…………………………4分

(Ⅱ)设00(,)P x y ,则直线PA 、PB 的方程分别为00(3)3y y x x =

++,0

0(3)3

y y x x =--, z y

x

A B C

D E

F

将4x =分别代入可求得D E ,两点的坐标分别为007(4,)3y D x +,00(4,)3

y

E x -. 由(Ⅰ),12(22,0),(22,0)

F F -,

所以2

00012200077(422 )(422 )8339y y y F D F E x x x ?=+?-=++--,,, 又∵点00(,)P x y 在椭圆C 上,∴22

2

0002

011999

x y y x +=?=--, ∴1265

9

F D F E ?=

.…………………………8分 (Ⅲ)设11(,)M x y ,22(,)N x y ,(4,)R t ,由RM xMQ =得1111(4,)(1,)x y t x x y --=--

所以11411x x x

t y x +?=??+?

?=?+?

(1)λ≠-,代入椭圆方程得 222(4)99(1)x t x ++=+ ① 同理由RN yNQ =得222(4)99(1)y t y ++=+ ②

①-②消去t ,得5

4

x y +=-,所以4450x y ++=.……………12分

21.解:(1) ()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ,'()2f x x a =-

(1)ln(1)y g x x =-=-图象与x 轴的交点(2,0)N ,1

'(1)1

g x x -=

- 由题意可得12l l k k =,即1a =, ……………………2分

∴2(),f x x x =-,2(2)222f =-= …………………3分

(2)2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+- 令ln u x x =,在 []1,x e ∈时,'ln 10u x =+>,

∴ln u x x =在[]1,e 单调递增,0,u e ≤≤ ………………4分

22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122

t

u -=

,抛物线开口向上 ①当1202t u -=

≤即1

2t ≥时,2min 0|u y y t t ===- ………………5分 ②当122t u e -=≥即122e

t -≤时,22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+-………6分 ③当1202t e -<<即121

22

e t -<<时, 22min 122

12121

|()(21)224t u t t y y t t t -=--==+-+-=- ………………7分

1(3)()()'()ln F x g x g x x x =+=+,22111

'()0x F x x x x

-=-=≥1x ≥得

所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增

∴1x ≥当时,F F x ≥>()

(1)0 ①当(0,1)m ∈时,有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=,

12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=, 得12(,)x x α∈,同理12(,)x x β∈,

∴ 由)(x f 的单调性知 0<1()()F x F α<、2()()F F x β<

从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-,符合题设. ………………9分

②当0m ≤时,12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=,

12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=,

由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤,

∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-,与题设不符 ……………11分 ③当1m ≥时,同理可得12,x x αβ≤≥,

得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-,与题设不符.

∴综合①、②、③得(0,1)m ∈ ……………12分

22. 选修4—1:几何证明选讲

解:(1)∵PA 是圆O 的切线 ∴ACB PAB ∠=∠ 又P ∠是公共角

∴ABP ?∽CAP ? …………………2分

2==PB

AP

AB AC ∴AB AC 2= …………………4分 (2)由切割线定理得:PC PB PA ?=2

∴20=PC

又PB=5 ∴15=BC …………………6分

又∵AD 是BAC ∠的平分线 ∴

2==DB

CD

AB AC ∴DB CD 2= ∴5,10==DB CD ………8分

又由相交弦定理得:50=?=?DB CD DE AD ………10分

23.选修4—4:坐标系与参数方程

解:(1)由θρcos 4=得4)2(2

2=+-y x ……………3分

(2)将??

?=+=α

α

sin cos 1t y t x 代入圆的方程得4)sin ()1cos 22=+-ααt t (,

化简得03cos 22

=--αt t .

设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ,则??

?-==+3

cos 22121t t t t α

, (7)

()1412cos 4422

122121=+=-+=

-=∴αt t t t t t AB ,

∴2cos

42

=α,22cos ±

=α,4

πα=或43π.……………10分

24. 解:(1)当a=2时,不等式为214x x -+-≥,

不等式的解集为17,,2

2????

-∞-+∞ ??

?????

;……………5分 (2)()1f x ≤即1x a -≤,解得11a x a -≤≤+,而()1f x ≤解集是[]0,2,

∴1012

a a -=??+=?,解得a=1,所以()11

10,02m n m n +=>>

所以112(2)42m n m n m n ??

+=++≥ ???

. ……………10分

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