【2015鹰潭一模】江西省鹰潭市2015届高三第一次模拟考试理科数学试题 Word版含答案
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鹰潭市2015届高三第一次模拟考试
数学试题(理科)
命题人:金俊颖 余江一中
审题人:何卫中 贵溪一中
本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷两部分,满分150分,时间120分钟
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一项
是符合
题目要求的。
1.设集合{}512|≥-=x x A ,集合???
?
??
-=
=x x y x B 7cos |,则B A 等于( ) A .()3,7 B .[]3,7 C .(]3,7 D .[)3,7
2.已知i 为虚数单位,a 为实数,复数(2)(1)z a i i =-+在复平面内对应的点为M ,则“2
1=a ”是“点M 在第四象限”的( )
A .充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条
3.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足0,1n a q >>,且352620,64a a a a +==,
则6S =( )
A .63
B .48
C .42
D .36 4.已知5
8cos 3sin =
+x x ,则=-)6cos(x π
( )
A .-35
B .35
C .-45
D .45
5.已知命题p :函数21
()sin 2
f x x =-
的最小正周期为π;命题q :若函数)1(+x f 为偶函数,则)(x f 关于1=x 对称.则下列命题是真命题的是( ) A .q p ∧ B .q p ∨ C .()()p q ?∧? D .()p q ∨?
6.已知实数{},8,7,6,5,4,3,2,1∈x ,执行如图所示的程序框图,则输出的x 不小于...
121的概率为( )
A .3
4
B .
8
5
C .
8
7 D .
2
1 7.已知?-=20)cos (π
dx x a ,则9
12ax ax ??+ ??
?展开式中,3
x 项的系数为( ) 否
开始
n=1
输入x n= n +1
x= 3x +1
输入
x 输出结束
是
3?n ≤
A .
638 B .6316 C .221- D .63
8
-
8.甲乙两人从4门课程中各选修两门,则甲乙所选的课程中至少有1门不相同...
的选法共有( )
A .30种
B .36种
C .60种
D .72种
9.已知F 是双曲线
)0,0(12
22
2>>=-
b a b
y a
x 的左焦点,过F 作倾斜角为o 60的直线l ,直
线l 与双曲线交于点A 与y 轴交于点B 且FB FA 3
1
=,则该双曲线的离心率等于( ) A .15+ B .217+ C .15- D .2
1
7- 10.已知方程sin x
k x =在(0,)+∞有两个不同的解,αβ(αβ<),则下面结论正确的是( )
A .1tan()41π
ααα++
=
- B .1tan()41πα
αα-+=+
C .1tan()41πβββ++=-
D .1tan()41πβββ
-+=+ 11.设函数)(x f 是定义在)0,(-∞上的可导函数,其导函数为)(x f ',且有0)()(3>'+x f x x f ,则
不等式0)3(27)2015()2015(3
>-+++f x f x 的解集( )
A .)2015,2018(--
B .)2016,(--∞
C .)2015,2016(--
D .)2012,(--∞
12.设函数???>≤=0
,log 0
,2)(2x x x x f x ,若对任意给定的),1(+∞∈t ,都存在唯一的R x ∈,满足
at t a x f f +=222))((,则正实数...a 的最小值是 ( )
A . 2
B .
21 C .4
1 D .81
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分
13.已知2a = ,3b =,,a b 的夹角为60°,则2a b -= .
14.设实数,x y 满足,
102,1,
x y y x x ≤??≤-??≥?
则124y x z ??=? ???的最大值为 . 15.棱锥的三视图如上图所示,且三个三角形均为直角三角形,
则
y
x 1
1+的最小值为 . 16.球O 为边长为4的正方体1111D C B A ABCD -的内切球,P
为球O 的球面上动点,M 为11C B 中点,DP
BM ⊥,则点
P 的轨迹周长为 .
三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)
已知公比为负值的等比数列{}n a 中,154a a =,41a =-. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设()
111
12231n n n n b n n +++=
++???+
??+,求数列{}n n a b +的前n 项和n S . 18.(本小题满分12分)
湖南卫视“我是歌手”这个节目深受广大观众喜爱,节目每周直播一次,在某周比赛中歌手甲、乙、丙竞演完毕,现场的某4位大众评审对这3位歌手进行投票,每位大众评审只能投一票且把票投给任一歌手是等可能的,求: (Ⅰ)恰有2人把票投给歌手甲的概率;
(Ⅱ)投票结束后得票歌手的个数ζ的分布列与期望. 19.(本小题满分12分)
在如图所示的几何体中,AE ⊥平面ABC ,CD ∥AE ,F 是
BE 的中点,AC BC =1=,90ACB ∠=?,22AE CD ==.
(Ⅰ)证明 DF ⊥平面ABE ;
(Ⅱ)求二面角A BD E --的余弦值的大小. 20.(小题满分12)
椭圆C 的方程为22
22 1 (0)x y a b a b
+=>>,1F 、2F 分别是它
的左、右焦点,已知椭圆C 过点(0, 1),且离心率22
3
e =. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)如图,设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ,直线l
的方程为4x =,P 是椭圆上异于A 、B 的任意一
点,直线PA 、PB 分别交直线l 于D 、E 两点,求12F D F E ?的值;
(Ⅲ)过点(1 0)Q ,
任意作直线m (与x 轴不垂直)与椭圆C 交于M 、N 两点,与l 交 于R 点,RM xMQ =,RN yNQ =. 求证:4450x y ++=.
21.(本大题满分12分)
已知函数2
()(0)f x x ax a =-≠,()ln g x x =,()f x 图象与x 轴异于原点的交点M 处 的切线为1l ,(1)g x -与x 轴的交点N 处的切线为2l , 并且1l 与2l 平行. (Ⅰ)求(2)f 的值;
(Ⅱ)已知实数R t ∈,求[]ln ,1,u x x x e =∈的取值范围及函数
[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值;
(Ⅲ)令()()'()F x g x g x =+,给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<,对于两个大于1的正数
βα,,存在实数m 满足:21)1(x m mx -+=α,21)1(mx x m +-=β,并且使得
F E
D C
B
A
m Q
l E D
R P
F 2F 1
y
x
O
N
M
B
A
不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立,求实数m 的取值范围..
22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图,ABC ?内接于直径为BC 的圆O ,过点A 作圆O 的切线交
CB 的延长线于点P ,BAC ∠的平分线分别交BC 和圆O 于点
E D 、,若102==PB PA .
(Ⅰ)求证:AB AC 2=; (Ⅱ)求DE AD ?的值.
23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴
的正
半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是
t t y t x (sin cos 1??
?=+=αα
是参数). (Ⅰ)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且14=AB ,求直线的倾斜角α的值.
24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
设函数()f x x a =-.
(Ⅰ)当2a =时,解不等式()41f x x ≥--; (Ⅱ)若()1f x ≤的解集为[]0,2,()11
0,02a m n m n
+=>>,求证:24m n +≥.
鹰潭市2015届高三第一次模拟考试数学(理科)答案
一、选择题:1—5 DAADB 6 —10 BCABC 11—12 AB
二、填空题:
13.13 14. 2
1
15.
510
2 16.π5
58
三、解答题:
17.解:(Ⅰ)因为数列{}n a 是等比数列,所以42
351==a a a ,则23-=a 或2,因为数列{}
n a 的
P
A
B
C
D
E 22题图 O
公比为负值,所以23=a ,故2134-==
a a q ,则82
31==q
a a ,故11
1)21(8---==n n n q a a 即数列{}n a 的通项公式为1
)2
1(8--=n n a ……………………………………6分
(Ⅱ)由条件知,)
1(1
321211+++
????+?++?+=n n n n n b n ))1(1
321211)(1(++????+?+?+=n n n
)11
13121211)(1(+-+????+-+-+=n n n
n n n =+-+=)1
1
1)(1(………………9分
则n b a n n n +-=+-1
)21(8故)(21n n a a a S +????++=)(21n b b b +????+++
??????--=n )21(1316)1(2
1
++n n 。……………………………12分 18.解:(Ⅰ)解法一:所有可能的投票方式有4
3种,恰有2人把票投给歌手甲的方
式2
2
42?C 种,从而恰有2人把票投给歌手甲的概率为2783
2422
4=
?C ……5分
解法二:设对每位投票人的观察为一次试验,这是4次独立重复试验.
记“把票投给歌手甲”为事件ζ,则3
1
)(=A P ,从而,由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的
概率计算公式知,恰有2人把票投给歌手甲的概率为27
8
)32()31()2(22244==C P
(Ⅱ)ξ的所有可能值为:3,2,1
4
21322
2432442344
31
(1),273
()(22)1414
(2)((2))272733
P C C C C C C P P ξξξ==
=+-======或 12123342434444
(3)((3)).
9933C C C C A P P ξξ======或………………………11分 综上知,ξ有分布列
ξ[https://www.360docs.net/doc/d6835933.html,]
1 2 3
P
127 1427 49
从而有
114465123.2727927E ξ=?
+?+?=………………………12分
19.解法一(1)取AB 的中点G ,连结CG 、FG .
因为CD ∥AE ,GF ∥AE ,所以CD ∥GF . 又因为1CD =,112
GF AE ==,所以CD =GF .
所以四边形CDFG 是平行四边形,DF ∥CG ……………………2分 在等腰Rt ACB ?中,G 是AB 的中点,所以CG AB ⊥. 因为EA ⊥平面ABC ,CG ?平面ABC ,所以EA CG ⊥. 而AB EA A =,所以CG ⊥平面ABE .
又因为DF ∥CG ,所以DF ⊥平面ABE . ………………………6分 (2)因为DF ⊥平面ABE ,DF ?平面BDE ,所以平面BDE ⊥平面ABE . 过点A 作AM BE ⊥于M ,则AM ⊥平面BDE ,所以AM BD ⊥.
过点M 作MN BD ⊥于N ,连结AN ,则BD ⊥平面AMN ,所以BD AN ⊥. 所以ANM ∠是二面角A BD E --的平面角 ………………………10分 在Rt ABE ?中,232236
AE AB AM BE ?===.
因为2AD BD AB ===,所以ABD ?是等边三角形.又AN BD ⊥,
所以3622
AN AB ==,NM =66.
在Rt AMN ?中,621cos 636
NM ANM AN ∠==?=.
所以二面角A BD E --的余弦值是13
.……………12分
解法二(1)因为EA ⊥平面ABC ,CD ∥AE ,所以CD ⊥平面ABC . 故以C 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则
相关各点的坐标分别是(1,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,0)C ,
(0,0,1)D ,(1,0,2)E ,11(,,1)22F .……………………3分
所以11(,,0)22
DF =,(0,0,2)AE =,(1,1,0)AB =-. 因为11(,,0)(0,0,2)022DF AE ?=?=,11(,,0)(1,1,0)022
DF AB ?=?-=,
所以DF AE ⊥,DF AB ⊥.而AE AB A =,所以DF ⊥平面ABE ………6分
(2)由(Ⅰ)知,(0,1,1)BD =-,(1,1,0)AB =-,(1,1,2)BE =-.
设1111(,, )x y z =n 是平面ABD 的一个法向量,由110,
BD AB ??=???=??n n
得1111
0,0.y z x y -+=??-+=?即111x y z ==.取1111x y z ===,则1(1,1,1)=n .
设222(,, )x y z =2n 是平面BDE 的一个法向量,由0,0
BD BE ??=???=??22n n
得22222
0,20.y z x y z -+=??-+=?即222x y z =-=-.取221y z ==,21x =-,则(1,1,1)=-2n .
(10)
分
∵二面角A BD E --为锐二面角,设二面角A BD E --的大小为θ,则
1111cos 3 33θ?-++===??12
12n n n n 故二面角A BD E --的余弦值是13………12分
20.解:(Ⅰ)2
219
x y +=…………………………4分
(Ⅱ)设00(,)P x y ,则直线PA 、PB 的方程分别为00(3)3y y x x =
++,0
0(3)3
y y x x =--, z y
x
A B C
D E
F
将4x =分别代入可求得D E ,两点的坐标分别为007(4,)3y D x +,00(4,)3
y
E x -. 由(Ⅰ),12(22,0),(22,0)
F F -,
所以2
00012200077(422 )(422 )8339y y y F D F E x x x ?=+?-=++--,,, 又∵点00(,)P x y 在椭圆C 上,∴22
2
0002
011999
x y y x +=?=--, ∴1265
9
F D F E ?=
.…………………………8分 (Ⅲ)设11(,)M x y ,22(,)N x y ,(4,)R t ,由RM xMQ =得1111(4,)(1,)x y t x x y --=--
所以11411x x x
t y x +?=??+?
?=?+?
(1)λ≠-,代入椭圆方程得 222(4)99(1)x t x ++=+ ① 同理由RN yNQ =得222(4)99(1)y t y ++=+ ②
①-②消去t ,得5
4
x y +=-,所以4450x y ++=.……………12分
21.解:(1) ()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ,'()2f x x a =-
(1)ln(1)y g x x =-=-图象与x 轴的交点(2,0)N ,1
'(1)1
g x x -=
- 由题意可得12l l k k =,即1a =, ……………………2分
∴2(),f x x x =-,2(2)222f =-= …………………3分
(2)2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+- 令ln u x x =,在 []1,x e ∈时,'ln 10u x =+>,
∴ln u x x =在[]1,e 单调递增,0,u e ≤≤ ………………4分
22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122
t
u -=
,抛物线开口向上 ①当1202t u -=
≤即1
2t ≥时,2min 0|u y y t t ===- ………………5分 ②当122t u e -=≥即122e
t -≤时,22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+-………6分 ③当1202t e -<<即121
22
e t -<<时, 22min 122
12121
|()(21)224t u t t y y t t t -=--==+-+-=- ………………7分
1(3)()()'()ln F x g x g x x x =+=+,22111
'()0x F x x x x
-=-=≥1x ≥得
所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增
∴1x ≥当时,F F x ≥>()
(1)0 ①当(0,1)m ∈时,有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=,
12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=, 得12(,)x x α∈,同理12(,)x x β∈,
∴ 由)(x f 的单调性知 0<1()()F x F α<、2()()F F x β<
从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-,符合题设. ………………9分
②当0m ≤时,12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=,
12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=,
由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤,
∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-,与题设不符 ……………11分 ③当1m ≥时,同理可得12,x x αβ≤≥,
得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-,与题设不符.
∴综合①、②、③得(0,1)m ∈ ……………12分
22. 选修4—1:几何证明选讲
解:(1)∵PA 是圆O 的切线 ∴ACB PAB ∠=∠ 又P ∠是公共角
∴ABP ?∽CAP ? …………………2分
∴
2==PB
AP
AB AC ∴AB AC 2= …………………4分 (2)由切割线定理得:PC PB PA ?=2
∴20=PC
又PB=5 ∴15=BC …………………6分
又∵AD 是BAC ∠的平分线 ∴
2==DB
CD
AB AC ∴DB CD 2= ∴5,10==DB CD ………8分
又由相交弦定理得:50=?=?DB CD DE AD ………10分
23.选修4—4:坐标系与参数方程
解:(1)由θρcos 4=得4)2(2
2=+-y x ……………3分
(2)将??
?=+=α
α
sin cos 1t y t x 代入圆的方程得4)sin ()1cos 22=+-ααt t (,
化简得03cos 22
=--αt t .
设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ,则??
?-==+3
cos 22121t t t t α
, (7)
分
()1412cos 4422
122121=+=-+=
-=∴αt t t t t t AB ,
∴2cos
42
=α,22cos ±
=α,4
πα=或43π.……………10分
24. 解:(1)当a=2时,不等式为214x x -+-≥,
不等式的解集为17,,2
2????
-∞-+∞ ??
?????
;……………5分 (2)()1f x ≤即1x a -≤,解得11a x a -≤≤+,而()1f x ≤解集是[]0,2,
∴1012
a a -=??+=?,解得a=1,所以()11
10,02m n m n +=>>
所以112(2)42m n m n m n ??
+=++≥ ???
. ……………10分