2016辽宁机电职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解析)

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2016辽宁机电职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解

析)

一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．

1．（理）全集设为U，P、S、T均为U的子集，若（）＝（）

则（）

A．B．P＝T＝S C．T＝U D．＝T

（文）设集合，，若U＝R，且

，则实数m的取值范围是（）

A．m＜2B．m≥2 C．m≤2D．m≤2或m≤-4

2．（理）复数（）

A．B．C．

D．

（文）点M（8，-10），按a平移后的对应点的坐标是（-7，4），则a＝（）A．（1，-6）B．（-15，14）C．（-15，-14）D．（15，-14）

3．已知数列前n项和为，则的值是（）

A．13B．-76 C．46D．76

4．若函数的递减区间为（，），则a的取值范围是（）

A．a＞0B．-1＜a＜0 C．a＞1D．0＜a＜1

5．与命题“若则”的等价的命题是（）

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A．若，则B．若，则

C．若，则D．若，则

6．（理）在正方体中，M，N分别为棱和之中点，则sin （，）的值为（）

A．B．C．D．

（文）已知三棱锥S-ABC中，SA，SB，SC两两互相垂直，底面ABC上一点P到三个面SAB，SAC，SBC的距离分别为，1，，则PS的长度为（）

A．9B．C．D．3

7．在含有30个个体的总体中，抽取一个容量为5的样本，则个体a被抽到的概率为（）

A．B．C．D．

8．（理）已知抛物线C：与经过A（0，1），B（2，3）两点的线段AB有公共点，则m的取值范围是（）

A．，[3，B．[3，C．，D．[-1，3]

（文）设，则函数的图像在x轴上方的充要条件是（）

A．-1＜x＜1B．x＜-1或x＞1

C．x＜1D．-1＜x＜1或x＜-1

9．若直线y＝kx＋2与双曲线的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（）

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A．，B．，C．，D．，

10．a，b，c（0，＋∞）且表示线段长度，则a，b，c能构成锐角三角形的充要条件是（）

A．B．C．

D．

11．今有命题p、q，若命题S为“p且q”则“或”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

12．（理）函数的值域是（）

A．[1，2]B．[0，2] C．（0，D．，

（文）函数与图像关于直线x-y＝0对称，则的单调增区间是（）

A．（0，2）B．（-2，0）C．（0，＋∞）D．（-∞，0）

二、填空题：本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上

13．等比数列的前n项和为，且某连续三项正好为等差数列中的第1，5，6项，则________．

14．若，则k＝________．

15．有30个顶点的凸多面体，它的各面多边形内角总和是________．

16．长为l0＜l＜1的线段AB的两个端点在抛物线上滑动，则线段AB中点M到x轴距离的最小值是________．

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三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（12分）从一批含有13只正品，2只次品的产品中不放回地抽取3次，每次抽取一只，设抽得次品数为．

（1）求的分布列；

（2）求E（5-1）．

18．（12分）如图，在正三棱柱中，M，N分别为，BC之中点．

（1）试求，使．

（2）在（1）条件下，求二面角的大小．

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19．（12分）某森林出现火灾，火势正以每分钟的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元．问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？

20．（12分）线段，BC中点为M，点A与B，C两点的距离之和为6，设，．

（1）求的函数表达式及函数的定义域；

（2）（理）设，试求d的取值范围；

（文）求y的取值范围．

21．（12分）定义在（-1，1）上的函数，（i）对任意x，（-1，1）都有：

；（ii）当（-1，0）时，，回答下列问题．（1）判断在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由．

（2）判断函数在（0，1）上的单调性，并说明理由．

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（3）（理）若，试求的值．

22．（14分）（理）已知Ｏ为△ABC所在平面外一点，且a，b，c，OA，OB，OC两两互相垂直，H为△ABC的垂心，试用a，b，c表示．

（文）直线l∶y＝ax＋1与双曲线C∶相交于A，B两点．

（1）a为何值时，以AB为直径的圆过原点；

（2）是否存在这样的实数a，使A，B关于直线x-2y＝0对称，若存在，求a的值，若不存在，说明理由．

参考答案

1．（理）A（文）B2．（理）B（文）B3．B4．A5．D

6．（理）B（文）D7．B8．（理）C（文）D9．D10．D11．C

12．（理）A（文）A13．1或014．15．10080°16．

17．解析：（1）的分布如下

012

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P

（2）由（1）知．

∴．

18．解析：（1）以点为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设，（a，（0，＋∞）．

∵三棱柱为正三棱柱，则，B，，C的坐标分别为：（b，0，0），，，，，，，（0，0，a）．∴，，，，，

．

（2）在（1）条件下，不妨设b＝2，则，

又A，M，N坐标分别为（b，0，a），（，，0），（，，a）．∴，．∴

同理．

∴△与△均为以为底边的等腰三角形，取中点为P，则，为二面角的平面角，而点P坐标为

（1，0，），

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∴，，．同理，，．

∴．

∴∠NPM＝90°二面角的大小等于90°．

19．解析：设派x名消防员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y，则

y＝灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费

＝125tx＋100x＋60（500＋100t）

＝

＝

＝

当且仅当，即x＝27时，y有最小值36450．

故应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元．20．解析：（1）当A、B、C三点不共线时，由三角形中线性质知

；

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当A，B，C三点共线时，由在线段BC外侧，由

或x＝5，因此，当x＝1或x＝5时，有，

同时也满足：．当A、B、C不共线时，

定义域为[1，5]．

（2）（理）∵．∴d＝y＋x-1＝．

令t＝x-3，由，，

两边对t求导得：关于t在[-2，2]上单调增．

∴当t＝2时，＝3，此时x＝1．当t＝2时，＝7．此时x＝5．故d的取值范围为[3，7]．

（文）由且，，

∴当x＝3时，．当x＝1或5时，．

∴y的取值范围为[，3]．

21．解析：（1）令，令y＝-x，则

在（-1，1）上是奇函数．

（2）设，则，而，．即当时，．

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∴f（x）在（0，1）上单调递减．

（3）（理）由于，

，，

∴．

22．解析：（理）由平面，连AH并延长并BC于M．

则由H为△ABC的垂心．∴AM⊥BC．

于是BC⊥平面OAH OH⊥BC．

同理可证：平面ABC．

又，，是空间中三个不共面的向量，由向量基本定理知，存在三个实数，，使得＝a＋b＋c．

由且＝＝0b＝c，同理．∴．①

又AH⊥OH，

∴＝0

②

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联立①及②，得③

又由①，得，，，代入③得：

，，，

其中，于是

．

（文）（1）联立方程ax＋1＝y与，消去y得：

（*）

又直线与双曲线相交于A，B两点，∴．

又依题OA⊥OB，令A，B两点坐标分别为（，），（，），则．

且

，而由方程（*）知：，代入上式得

．满足条件．

（2）假设这样的点A，B存在，则l：y＝ax＋1斜率a＝-2．又AB中点，在上，则，

又，

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代入上式知这与矛盾．故这样的实数a不存在．