2013珠海二模(文数)【含答案--全WORD--精心排版】

珠海市2013年5月高三综合试题（二）

文科数学

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 复数z 满足i z i 21-=?，则=z （ ）

A ．i -2

B ．i --2

C ．i 21+

D ．i 21- 2. 已知集合2

2{1},{log 0}A x x B x x =>=>，则A B = （ ） A ．{1}x x <-

B ．{0}x x >

C ．{1}x x >

D ．{}

11x x x <->或

3. 已知平面向量()1,2a = , ()2,b m =- , 且//a b

, 则b = （ ）

A.

B.

C.

D. 4. 下列函数在其定义域是增函数的是（ ）

A ．tan y x =

B ．3x

y =- C ．3y x = D ．ln y x =

5. 已知数列}{n a 是公差为2的等差数列，且521,,a a a 成等比数列，则}{n a 的前5项和5S （ ） A ． 20

B. 30

C ．25

D ．40

6. 将函数sin(6)4y x π

=+

的图像上各点向右平移

8π

个单位，则得到新函数的解析式为（ ）

A.sin(6)2y x π=-

B.sin(6)4y x π=+

C.5sin(6)8y x π=+

D.sin(6)8

y x π

=+

7．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若,,l ααβ⊥⊥则l β? B ．若//,//,l ααβ则l β? C ．若,//,l ααβ⊥则l β⊥ D ．若//,,l ααβ⊥则l β⊥ 8. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，

可得该几何体的表面积是（ ） A ．9π B ．10π C ．11π D ．12π

9．如果实数y x ,满足:??

???≥+≤-+≤+-01020

1x y x y x ，则目标函数y x z +=4的最大值为（ ） A.2

B.3

C.

2

7 D ．4

10．已知函数)1(-x f 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数1x 、2x ，不等式

[]0)()()(2121>--x f x f x x 恒成立，则不等式0)2(<+x f 的解集为（ ）

A ．()1,+∞

B ．()3,-∞-

C ．()0,+∞

D ．(),1-∞ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）

11. 程序框图（如图）的运算结果为 . 12．已知函数??

?>≤+-=-1

,1,1)1()(1

x a x x a x f x 若21

)1(=f ，则=)3(f ． 13．已知两定点)0,1(-M ，)0,1(N ，若直线上存在点P ，使得4=+PN PM ，

则该直线为“A 型直线”．给出下列直线：

①1+=x y ； ②2=y ； ③3+-=x y ； ④32+-=x y .

其中是“A 型直线”的是 ．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图，圆内的两条弦AB ，

CD 相交于圆内一点P ，已知4=PA ，2=PB ， PD PC =4，则CD 的长为 . 15．（坐标系与参数方程选做题）已知在极坐标系下，点)6

,

2(π

A ，)3

2,

4(π

B ，O 是极点，则AOB ?的面积等 于 ．

16．（本小题满分12分）已知函()sin()(0,||)f x x ω?ω?π=+><的部分图象如图所示： (1)求,ω?的值;

(2)设g()()()1228x x x f π=-

-，当[0,]2

x π

∈时，求函数()g x 的值域．

17．（本小题满分12分）通过随机询问某校100名高中学生在购买食物时是否看营养说明,得到如下的列联表：

（1）从这50名女生中按是否看营养说明采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中看与不看营养说明的女生各有多少名?

（2）从（1）中的5名女生样本中随机选取两名作深度访谈, 求选到看与不看营养说明的女生各一名的概率； （3）根据以下列联表，问有多大把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有关？

性别与看营养说明列联表（单位: 名）

统计量2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．

概率表

18．（本题满分14分）如图：C 、D 是以AB 为直径的圆上两点，==AD AB 232，BC AC =，F 是AB

上一点，且AB AF 3

1

=

，将圆沿直径AB 折起，使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上，已知2=CE . （1）求证：⊥AD 平面BCE ； （2）求证：//AD 平面CEF ； （3）求三棱锥CFD A -的体积．

19．（本小题满分14分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前5项和355=S ，又1,1,1731+++a a a 成等比数列．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设n T 为数列1n S ??????

的前n 项和，问是否存在常数m ，使???

???+++?=)2(21n n n n m T n ，若存在，求m 的值；

若不存在，说明理由．

20．已知椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>，点)21

,515(a a P 在椭圆上． （1）求椭圆的离心率；

（2）设A 为椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若Q 在椭圆上且满足AQ AO =求直线OQ 的斜率的值．

21.（本小题满分14分）已知函数()21,442,x x a

x ax x a

f x x a

-?-+≥?=?-?

（2）已知4-≥a ，若函数()f x 在实数集R 上有最小值，求实数a 的取值范围．

珠海市2013年5月高三综合测试（二） 文科数学试题与参考答案及评分标准

一、选择题：BCCCC ACDCB 1. 【解析】()1212221

i i i i

z i i i i -?-+=

===--?-； 2. 【解析】{}11A x x x =<->或，{}1B x x =>，所以A B = {}

1x x >；

3. 【解析】因为//a b ，所以12(2)m ?=?-，解得：4m =-，所以(2,4)b =-- ，b ==

4. 【解析】tan y x =只在其周期内单调递增，3x y =-在R 上单调递减，3

y x =在R 上单调递增，ln y x =在

(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；

5. 【解析】由数列}{n a 是公差为2的等差数列可设首项为1a ，则1(1)2n a a n =+-?；又因为521,,a a a 成等比

数列，所以2

152a a a ?=，即()

2

111(8)2

a a a ?+=+，解得11a =；所以515(51)

55120252

S a d ?-=+

?=?+=；

6.【解析】sin(6)4y x π=+的图像向右平移8π个单位后变为sin 6()84y x ππ?

?=-+????sin(6)2x π=-；

7．【解析】A 选项中，还可能//l β；B 选项中，也可能//l β；D 中，也可能//l β； 8. 【解析】由三视图可判断出该几何体为球和圆柱体的组合，其中，圆柱体的表面积

221212238S r d h πππππ=?+?=??+??=；球的表面积2224414S r πππ==??=；

所以几何体的总表面积1216S S S π=+=;

9．【解析】通过作图可知可行域为一个三角形，三角形三个顶点坐标分别是(1,0),(1,3)--和13

(,)22

，代入可知

y x z +=4的最大值为

72

； 10．【解析】由[]0)()()(2121>--x f x f x x 可知()f x 在R 上也为单调递增函数，)1(-x f 是由()f x 向右平移一个单位得到的，平移不改变()f x 在R 上的单调递增，又因为)1(-x f 为奇函数，所以(1)0f x -<的解集为

(,0)-∞，又因为(2)f x +可以由(1)f x -向左平移3三个单位得到，所以(2)0f x +<的解集为(,3)-∞-；

二、填空题：11. 24 12.

1

4

13. ①④ 14. 15. 4 （一）必做题（11～13题）

11.【解析】由分析可知，本程序是计算4!的值，即4!432124=???=；

12．【解析】因为1(1)(1)112f a =-?+=，所以12a =；则31

11

(3)24

f -??

==

?

??

； （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14．【解析】根据相交线定理：PA PB PC PD ?=?，设PC x =，则4PD x =，所以2

244x ?=，解得x =，

因此5CD PC PD x =+==

15．【解析】1224sin 4236S AOB ππ??

=

???-= ??

? ； 16．解：(1)由图象知：4()24T πππ=-=，则：22T

π

ω==，…2分

由(0)1f =-得：sin 1?=-，即：2()2k k z π?π=-∈，………4分，∵||?π<，∴ 2

π

?=-…………6分

(2)由(1)知：()sin(2)cos 22

f x x x π

=-=-，……………………………7分

∴g()()()1cos )[cos()]12284

x x x f x x ππ

=-

-=----

2sin )]12cos 2sin cos 1x x x x x x =+-=+-cos 2sin 2)4

x x x π

=+=+………10分

当[0,

]2

x π

∈时，52[,]444

x π

ππ

+

∈，则sin(2)[4x π+∈，∴()g x 的值域为[-……………12分 17．解：（1）根据分层抽样可得：样本中看营养说明的女生有

30

5350

?=名，样本中不看营养说明的女生有20

5250

?=名；…………………………2分 （2）记样本中看营养说明的3名女生为123,,a a a ，不看营养说明的2名女生为12,b b ，从这5名女生中随机选取两名，共有10个等可能的基本事件为：12,a a ；13,a a ；11,a b ；12,a b ；23,a a ；21,a b ；22,a b ；31,a b ；32,a b ；

12,b b .………5分，其中事件A “选到看与不看营养说明的女生各一名”包含了6个的基本事件： 11,a b ；12,a b ； 21,a b ；22,a b ；31,a b ；32,a b .……………7分，所以所求的概率为63

().105

=

=P A ……………9分 (3) 假设0H ：该校高中学生性别与在购买食物时看营养说明无关，则2

K 应该很小.

根据题中的列联表得2100(40203010)100

4.7627030505021k ??-?==≈???

………11分

由2

( 3.841)0.05P K ≥=可知：有95%的把握认为该校高中学生“性别与在购买食物时看营养说明”有关？…13分 18. 解：（1）证明：依题意：⊥AD BD ………2分， ⊥CE 平面ABD ，∴⊥CE AD ………4分

BD E CE =，∴⊥AD 平面BCE ……………5分 （2）证明：BCE Rt ?中，2=

CE ，6=BC ，∴2=BE ………………6分

ABD Rt ?中，32=AB ，3=AD ，∴3=BD ……………7分，∴

3

2

==BD BE BA BF …………………8分，∴EF AD //， AD 在平面CEF 外，∴//AD 平面CEF ……………10分

（3）解：由题设知13AF AB =

=，AD =3

BAD π∠=……………11分

∴11sin sin 223FAD S AF AD BAD π?=

??∠==………12分 ⊥CE 平面ABD ，∴ 6

6

2233131=

??=??=

=?--CE S V V FAD AFD C CFD A ． ……………14分

19. 解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由已知得721=+d a ， …………………………2分 又1,1,1731+++a a a 成等比数列，所以 )16)(1()17(112

+++=+d a a ……………4分 解得：2,31==d a ，所以12)1(1+=-+=n d n a a n …………………… 6分 （2）)2(2

)(1+=+=n n a a n S n n …………… 8分，)21

1(21)2(11+-=+=∴

n n n n S n ………………10分 所以11111111111()2132435112n T n n n n =

-+-+-+-+--++ )21

112111(21+-+-+=n n ………………12 1212(2)n n n n ??=+??++??

………………13分，故存在常数21=m ………………14分 20. 解：(1) 点)21,515(a a P 在椭圆上141251522

22=+?b

a

a a （2分）468318522222=?=-=?=?e a

b e a b （5分） (2) 法一：由(Ⅰ)得,)0,(a A ，椭圆方程为：1582

222=+a y

a x ，（6分） 设),(00y x Q 满足条件，则：1582

2

22

0=+

a y a x ……………① （7分） 由AQ AO =得：a y a x =+-2

020)(……………②（8分）由①②得：051632

02

0=+-a ax x ，（10分）

解得：a x 50=（舍），,3

1

0a x =

故,350a y ±

=（13分）直线OQ 的斜率500±==x y k OQ （14分） 法二：设(cos ,sin )(02)Q a b θθθπ≤<；（6分）则(,0)A a 2

2

2

2

2

sin )cos 1(a b a AO AQ =+-?=θθ

（8分）05cos 16cos 32=+-θθ（10分）， 3

1cos =

θ （12分）直线OQ

的斜率sin cos OQ b k a θ

θ==14分）

21. 解：(1) 因为x a <时，()442x x a f x -=-?，所以令2x

t =，则有02a t <<，

()1f x <当x a <时恒成立，转化为2412a t

t -?<，即412a t t >-在()0,2a t ∈上恒成立，…………2分

令p (t)＝t －1t ，()0,2a t ∈，则()2110p t t '=+>，所以p (t)＝t －1t 在()0,2a

上单调递增，

所以41222

a a a ≥-

，所以2a

≤

2log a ≤ …………………6分

(2) 当x a ≥时，()2

1f x x ax =-+，即()22124a a f x x ??=-+- ??

?，………7分

当2a a ≤时，即0a ≥时，()min ()1f x f a ==；当2

a

a >时，即40a -≤<，2min ()()124a a f x f ==-……8分

当x a <时，()442x x a f x -=-?，令2x

t =，()0,2a t ∈，则 ()2

2424224

a a a h t t t t ??=-=-- ???……10分

当222a

a <，即12a >时，min 24()()24a a h t h ==-； 当222a a ≥，即12

a ≤时，()h t 在开区间()0,2a

t ∈上单调递减，()(44,0)a h t ∈-，无最小值；…………12分

综合x a ≥与x a <，所以当12a >时，即414a >-，函数()min 44

a f x =-； 当1

02

a ≤≤

时， 4401a -<<，函数()f x 无最小值； 当40a -≤<时， 2

44314

a

a -<-≤-，函数()f x 无最小值．…………………13分

综上所述，当12a >

时，函数()f x 有最小值为44a -；当1

42

a -≤≤时，函数()f x 无最小值……………14分．