福建省三明一中2014-2015学年高二上学期第二次月考数学试卷(文科) Word版含解析
福建省三明一中2014-2015学年高二上学期第二次月考数学试卷（文科）
一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项是正确的．）1．（5分）为了检验中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力（）
A．平均数B．方差C．回归分析D．独立性检验
2．（5分）设动点C到点M（0，3）的距离与到直线y=﹣3的距离相等，则动点C的轨迹是（）
A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆
3．（5分）两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（）
A．模型1的相关指数R2为0.98 B．模型2的相关指数R2为0.80
C．模型3的相关指数R2为0.50 D．模型4的相关指数R2为0.25
4．（5分）一位母亲记录了她的儿子3～9岁的身高数据，并由此建立身高与年龄的回归模型为y=7.19x+73.93，用这个模型预测她的儿子10岁时的身高，则正确的叙述是（）
A．身2014-2015学年高一定是145.83 cm B．身高在145.83 cm以上
C．身高在145.83 cm左右D．身高在145.83 cm以下
5．（5分）过点M（2，4）与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线共有（）
A．1B．2C．3D．4
6．（5分）函数f（x）=x2+1在点（1，2）处的切线斜率为（）
A．1B．2C．3D．4
7．（5分）函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（）
A．2B．3C．4D．5
8．（5分）函数f（x）=x﹣lnx的增区间为（）
A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（0，+∞）
9．（5分）设函数f（x）的图象如图，则函数y=f′（x）的图象可能是下图中的（）
A．B．C．
D．
10．（5分）若抛物线的焦点恰巧是椭圆+=1的右焦点，则抛物线的标准方程为（）
A．y2=﹣4x B．y2=4x C．y2=﹣8x D．y2=8x
11．（5分）三次函数f（x）=mx3﹣x在（﹣∞，+∞）上是减函数，则m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＜1 C．m≤0 D．m≤1
12．（5分）若点P在y2=x上，点Q在（x﹣3）2+y2=1上，则|PQ|的最小值为（）
A．﹣1 B．﹣1 C．2D．﹣1
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卷相应的位置上．）13．（4分）质点M的运动规律为s=4t+4t2，则质点M在t=1时的速度为．
14．（4分）若施化肥量x与水稻产量y的回归直线方程为y=5x+250，当施化肥量为80kg时，预计的水稻产量为kg．
15．（4分）做一个容积为256，底为正方形的长方体无盖水箱，它的高为时最省料．
16．（4分）若直线l与曲线C满足下列两个条件：
（i）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ii）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．
下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．
①直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3
②直线l：x=﹣1在点P（﹣1，0）处“切过”曲线C：y=（x+1）2
③直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=sinx
④直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=tanx
⑤直线l：y=x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx．
三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．）17．（12分）求下列函数的导数．
（1）f（x）=cosx﹣﹣1；
（2）f（x）=．
18．（12分）根据下列条件，分别求抛物线的标准方程．
（1）顶点在原点，准线方程为y=﹣1；
（2）顶点在原点，对称轴是x轴，并经过点P（﹣3，﹣6）．
19．（12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查500位老人，结果如下：
男女合计
需要40 30 70
不需要160 270 430
合计200 300 500
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？附：
P（K2≥k）0.50 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
．
20．（12分）设a为实数，函数f（x）=x3﹣x2﹣x+a．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a在什么范围内取值时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点．
21．（12分）已知抛物线x2=ay（a＞0），点O为坐标原点，斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点．
（1）若直线过点D（0，2）且a=4，求△AOB的面积；
（2）若直线过抛物线的焦点且=﹣3，求抛物线的方程．
22．（14分）已知函数f（x）=lnx+，m∈R，
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴交点的纵坐标为1，求m；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．
福建省三明一中2014-2015学年高二上学期第二次月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项是正确的．）1．（5分）为了检验中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力（）
A．平均数B．方差C．回归分析D．独立性检验
考点：收集数据的方法．
专题：计算题；概率与统计．
分析：这是一个独立性检验应用题，处理本题时要注意根据已知数据得到列联表，利用K2的计算公式，计算出K2的值，并代入临界值表中进行比较，不难得到答案．
解答：解：根据已知数据得到列联表，利用K2的计算公式，计算出K2的值与临界值比较，即可检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关，
故利用独立性检验的方法最有说服力．
故选D．
点评：独立性检验，就是要把采集样本的数据，利用公式计算K2的值，比较与临界值的大小关系，来判定事件A与B是否无关的问题．具体步骤：（1）采集样本数据．（2）由公式计算的K2值．（3）统计推断，当K2＞3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；当K2＞6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；当K2≤3.841时，认为事件A与B是无关的．
2．（5分）设动点C到点M（0，3）的距离与到直线y=﹣3的距离相等，则动点C的轨迹是（）
A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆
考点：抛物线的定义；抛物线的标准方程．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由抛物线的定义，可得点P的轨迹是以F为焦点、直线l：y=﹣3为准线的抛物线．解答：解：∵点P到直线y=﹣3的距离与它到点（0，3）的距离相等，
∴点P的轨迹是以F为焦点、直线l：y=﹣3为准线的抛物线，
故选：A．
点评：本题给出动点满足的条件，求该点的轨迹，着重考查了圆锥曲线的定义和轨迹方程的求法等知识，属于基础题．
3．（5分）两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（）
A．模型1的相关指数R2为0.98 B．模型2的相关指数R2为0.80
C．模型3的相关指数R2为0.50 D．模型4的相关指数R2为0.25
考点：相关系数．
专题：常规题型．
分析：两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2，越接近于1，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中0.98是相关指数最大的值，得到结果．
解答：解：两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2，越接近于1，
这个模型的拟合效果越好，
在所给的四个选项中0.98是相关指数最大的值，
∴拟合效果最好的模型是模型1．
故选A．
点评：本题考查相关指数，这里不用求相关指数，而是根据所给的相关指数判断模型的拟合效果，这种题目解题的关键是理解相关指数越大拟合效果越好．
4．（5分）一位母亲记录了她的儿子3～9岁的身高数据，并由此建立身高与年龄的回归模型为y=7.19x+73.93，用这个模型预测她的儿子10岁时的身高，则正确的叙述是（）
A．身2014-2015学年高一定是145.83 cm B．身高在145.83 cm以上
C．身高在145.83 cm左右D．身高在145.83 cm以下
考点：线性回归方程．
专题：应用题；概率与统计．
分析：根据所给的高与年龄的回归模型，可以估计孩子在10岁时可能的身高，这是一个预报值，不是确定的值，在叙述时注意不要出错．
解答：解：∵身高与年龄的回归模型为=7.19x+73.93．
∴可以预报孩子10岁时的身高是=7.19x+73.93．
=7.19×10+73.93=145.83
则她儿子10岁时的身高在145.83cm左右．
故选C．
点评：本题考查回归分析的初步应用，是一个基础题，这种根据回归直线方程预报出的结果，是一个估计值，不是确定的值，这是题目要考查的知识点．
5．（5分）过点M（2，4）与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线共有（）
A．1B．2C．3D．4
考点：抛物线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由于点M（2，4）满足抛物线的方程：y2=8x．因此过点M（2，4）与抛物线y2=8x 只有一个公共点的直线共有两条：一条是切线，另一条是与抛物线的对称轴平行的一条直线．解答：解：∵点M（2，4）满足抛物线的方程：y2=8x．
因此过点M（2，4）与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线共有两条：一条是过点M且与抛物线相切的直线，另一条是过点M且与抛物线的对称轴x轴平行的一条直线．
故选：B．
点评：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线位置关系、相切与相交的公共点的个数问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．（5分）函数f（x）=x2+1在点（1，2）处的切线斜率为（）
A．1B．2C．3D．4
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的概念及应用．
分析：求出原函数的导函数，在导函数中取x=1得答案．
解答：解：由f（x）=x2+1，得f′（x）=2x，
∴f′（1）=2×1=2，
∴函数f（x）=x2+1在点（1，2）处的切线斜率为2．
故选：B．
点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．
7．（5分）函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（）
A．2B．3C．4D．5
考点：利用导数研究函数的极值．
专题：计算题．
分析：因为f（x）在x=﹣3是取极值，则求出f′（x）得到f′（﹣3）=0解出求出a即可．解答：解：∵f′（x）=3x2+2ax+3，又f（x）在x=﹣3时取得极值
∴f′（﹣3）=30﹣6a=0
则a=5．
故选D
点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力．
8．（5分）函数f（x）=x﹣lnx的增区间为（）
A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（0，+∞）
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的概念及应用．
分析：先求出函数的导数，由导数值大于0，解得x＞1，从而求出单调增区间．
解答：解：∵函数f（x）=x﹣lnx，
∴f′（x）=1﹣，
由1﹣＞0，解得：x＞1，
∴函数f（x）=x﹣lnx的增区间为（1，+∞），
故选：C．
点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．
9．（5分）设函数f（x）的图象如图，则函数y=f′（x）的图象可能是下图中的（）
A．B．C．
D．
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的概念及应用．
分析：由题意可知，导函数y=f′（x）的图象应有两个零点，且在区间（﹣∞，0）上导函数f′（x）＞0，结合选项可得答案．
解答：解：由函数f（x）的图象可知，函数有两个极值点，
故导函数y=f′（x）的图象应有两个零点，
即与x轴有两个交点，故可排除A、B，
又由函数在（﹣∞，0）上单调递增，
可得导函数f′（x）＞0，即图象在x轴上方，
结合图象可排除C，
故选D
点评：本题考查函数的单调性和导函数的正负的关系，属基础题．
10．（5分）若抛物线的焦点恰巧是椭圆+=1的右焦点，则抛物线的标准方程为（）A．y2=﹣4x B．y2=4x C．y2=﹣8x D．y2=8x
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据已知的椭圆方程，可求出它的右焦点，此焦点即为抛物线焦点，进一步求出抛物线的标准方程．
解答：解：∵+=1
∴a2=6，b2=2
∴c2=4
∴椭圆的右焦点为（2，0）
∴抛物线的焦点也为（2，0）
设抛物线的标准方程为y2=2px
则
∴p=4
∴y2=8x
故选：D．
点评：本题考查了抛物线的标准方程及它的焦点坐标．
11．（5分）三次函数f（x）=mx3﹣x在（﹣∞，+∞）上是减函数，则m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＜1 C．m≤0 D．m≤1
考点：函数的单调性与导数的关系．
专题：计算题．
分析：先求函数f（x）的导数，因为当函数为减函数时，导数小于0，所以若f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，则f′（x）≤0在R上恒成立，再利用一元二次不等式的解的情况判断，来求m的范围．
解答：解：对函数f（x）=mx3﹣x求导，得f′（x）=3mx2﹣1
∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，
∴f′（x）≤0在R上恒成立
即3mx2﹣1≤0恒成立，
∴，解得m≤0，
又∵当m=0时，f（x）=﹣x不是三次函数，不满足题意，
∴m＜0
故选A
点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．属基础题．
12．（5分）若点P在y2=x上，点Q在（x﹣3）2+y2=1上，则|PQ|的最小值为（）
A．﹣1 B．﹣1 C．2D．﹣1
考点：抛物线的简单性质；圆的标准方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设P（y2，y），圆心C（3，0），则|PQ|=|CP|﹣1=﹣
1=﹣1，利用二次函数的单调性即可得出．
解答：解：设P（y2，y），圆心C（3，0），则|PQ|=|CP|﹣1=﹣
1=﹣1≥﹣1，
当且仅当y2=，即取点P时，|PQ|取得最小值为﹣1，
故选：D．
点评：本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、两点之间的距离个数、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卷相应的位置上．）13．（4分）质点M的运动规律为s=4t+4t2，则质点M在t=1时的速度为12．
考点：导数的运算．
专题：导数的概念及应用．
分析：根据导数的物理意义求函数的导数即可．
解答：解：∵s=4t+4t2，
∴s'=s'（t）=4+8t，
∴当t=1时，s'（1）=4+8×1=12，
故答案为：12．
点评：本题主要考查导数的物理意义，要求熟练掌握导数的基本运算，比较基础．
14．（4分）若施化肥量x与水稻产量y的回归直线方程为y=5x+250，当施化肥量为80kg时，预计的水稻产量为650kg．
考点：线性回归方程．
专题：计算题；压轴题．
分析：把所给的自变量x代入方程y=5x+250，得到y的一个估计值，得到结果．
解答：解：∵施化肥量x与水稻产量y的回归直线方程为y=5x+250，
∴当施化肥量为80kg时，预计的水稻产量为y=5×80+250=650kg，
故答案为：650．
点评：此题是个基础题．本题考查回归分析的初步应用．
15．（4分）做一个容积为256，底为正方形的长方体无盖水箱，它的高为4时最省料．
考点：不等式的实际应用．
专题：应用题；不等式的解法及应用．
分析：设底边长为x，（x＞0），用料=x2+4xh=x2+=x2++，利用基本不等式可求满足最小时的x，即可得出结论．
解答：解：设底边长为x，（x＞0）由题意可得，高h=
用料y=x2+4xh=x2+=x2++
≥3=192，
当且仅当x2=即x=8时取等号
故它的底边长为8，高为4时最省材料
故答案为：4．
点评：本题主要考查了基本不等式在求解实际问题中的最值的应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题．
16．（4分）若直线l与曲线C满足下列两个条件：
（i）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ii）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．
下列命题正确的是①③④（写出所有正确命题的编号）．
①直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3
②直线l：x=﹣1在点P（﹣1，0）处“切过”曲线C：y=（x+1）2
③直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=sinx
④直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=tanx
⑤直线l：y=x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx．
考点：命题的真假判断与应用；曲线与方程．
专题：简易逻辑．
分析：分别求出每一个命题中曲线C的导数，得到曲线在点P出的导数值，求出曲线在点P 处的切线方程，再由曲线在点P两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足（ii），则正确的选项可求．
解答：解：对于①，由y=x3，得y′=3x2，则y′|x=0=0，直线y=0是过点P（0，0）的曲线C 的切线，
又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=0两侧，
∴命题①正确；
对于②，由y=（x+1）2，得y′=2（x+1），则y′|x=﹣1=0，
而直线l：x=﹣1的斜率不存在，在点P（﹣1，0）处不与曲线C相切，
∴命题②错误；
对于③，由y=sinx，得y′=cosx，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，
又x∈时x＜sinx，x∈时x＞sinx，满足曲线C在P（0，0）附近位
于直线y=x两侧，
∴命题③正确；
对于④，由y=tanx，得，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，又x∈时tanx＜x，x∈时tanx＞x，满足曲线C在P（0，0）附近位
于直线y=x两侧，
∴命题④正确；
对于⑤，由y=lnx，得，则y′|x=1=1，曲线在P（1，0）处的切线为y=x﹣1，
设g（x）=x﹣1﹣lnx，得，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．
∴g（x）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g（1）=0．
∴y=x﹣1恒在y=lnx的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，
命题⑤错误．
故答案为：①③④．
点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求函数的最值，判断③④时应熟记当x∈时，tanx＞x＞sinx，该题是中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．）17．（12分）求下列函数的导数．
（1）f（x）=cosx﹣﹣1；
（2）f（x）=．
考点：导数的运算．
专题：导数的概念及应用．
分析：根据导数的运算法则求导即可
解答：解：（1）f′（x）=﹣sinx﹣；
（2）
点评：本题考查了导数的运算法则，属于基础题
18．（12分）根据下列条件，分别求抛物线的标准方程．
（1）顶点在原点，准线方程为y=﹣1；
（2）顶点在原点，对称轴是x轴，并经过点P（﹣3，﹣6）．
考点：抛物线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）依题意可设抛物线的标准方程为：x2=2py（p＞0），由准线方程可得p=2，即可得到抛物线方程；
（2）依题意可设所求抛物线的标准方程为：y2=﹣2px（p＞0），代入点P，即可求得p=6，进而得到抛物线方程．
解答：解：（1）依题意可设抛物线的标准方程为：x2=2py（p＞0），
因为准线为y=﹣1，所以=1，即p=2，
所以抛物线标准方程为x2=4y；
（2）依题意可设所求抛物线的标准方程为：y2=﹣2px（p＞0），
把点P（﹣3，﹣6）代入可得p=6，
所以抛物线标准方程为：y2=﹣12x．
点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查待定系数法求方程，属于基础题．
19．（12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查500位老人，结果如下：
男女合计
需要40 30 70
不需要160 270 430
合计200 300 500
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？附：
P（K2≥k）0.50 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
．
考点：独立性检验的应用．
专题：计算题；概率与统计．
分析：（1）用频率估计概率，从而得到需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值；（2）由公式计算k的值，从而查表即可．
解答：解：（1）需要志愿者提供帮助的老年人的比例估计为=14%；
（2）由代入得，
k=≈9.967＞6.635；
查表得P（K2≥6.635）=0.01；
故有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．
点评：本题考查了独立性检验的应用，属于基础题．
20．（12分）设a为实数，函数f（x）=x3﹣x2﹣x+a．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a在什么范围内取值时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点．
考点：利用导数研究函数的极值．
专题：计算题；压轴题．
分析：（1）函数连续可导，只需讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值．
（2）曲线f（x）与x轴仅有一个交点，可转化成f（x）极大值＜0或f（x）极小值＞0即可．
解答：解：（1）令f'（x）=3x2﹣2x﹣1=0得：．
又∵当x∈（﹣∞，）时，f'（x）＞0；
当x∈（，1）时，f'（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0；
∴与x2=1分别为f（x）的极大值与极小值点．
∴f（x）极大值=；f（x）极小值=a﹣1
（2）∵f（x）在（﹣∞，）上单调递增，
∴当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；
又f（x）在（1，+∞）单调递增，当x→+∞时，f（x）→+∞
∴当f（x）极大值＜0或f（x）极小值＞0时，曲线f（x）与x轴仅有一个交点．
即或a﹣1＞0，
∴a∈（﹣∞，）∪（1，+∞）
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的单调性，属于中档题．
21．（12分）已知抛物线x2=ay（a＞0），点O为坐标原点，斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点．
（1）若直线过点D（0，2）且a=4，求△AOB的面积；
（2）若直线过抛物线的焦点且=﹣3，求抛物线的方程．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）斜率为1的直线方程为y=x+2，代入抛物线方程，即可求△AOB的面积；（2）直线方程为y=x+代入抛物线方程，利用韦达定理，结合=﹣3，即可求抛物线的
方程．
解答：解：（1）斜率为1的直线方程为y=x+2，
代入抛物线方程可化为x2﹣4x﹣8=0，∴x=2±2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），∴S△AOB=|DO|?|x1﹣x2|=4；
（2）直线方程为y=x+代入抛物线方程可化为x2﹣ax﹣=0，
∴x1+x2=a，x1x2=﹣．
∴y1y2=（x1+）（x2+）=x1x2+（x1+x2）+=．
∴=x1x2+y1y2=﹣+=﹣3
∵a＞0，
∴a=4，
∴抛物线的方程为x2=4y．
点评：本题考查了直线与抛物线的相交问题转化为方程联立可得根与系数、数量积运算、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
22．（14分）已知函数f（x）=lnx+，m∈R，
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴交点的纵坐标为1，求m；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求m；
（2）求函数的导数，利用导数即可研究f（x）的单调性；
（3）构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可．
解答：解：（1）∵f′（x）=﹣，∴f′（1）=1﹣m，又f（1）=m，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：
y﹣m=（1﹣m）（x﹣1），…2分
令x=0，得y=2m﹣1，
∴2m﹣1=1，解得m=1．…4分
（2）易得函数f（x）的定义域为（0，+∞）
由（1）知f′（x）=﹣=
∴①当m≤0时，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；…5分
②当m＞0时，由f′（x）＞0可得x＞m，由f′（x）＜0 可得0＜x＜m，
∴f（x）在（0，m）单调递减，在（m，+∞）单调递增．…7分
综上所述，当m≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；
当m＞0 时，f（x）在（0，m）单调递减，在（m，+∞）单调递
增．…8分
（3）对任意b＞a＞0，＜1 恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a 恒成立设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），…10分
则等价于h（x）在（0，+∞）上单调递减，
即h′（x）=﹣﹣1≤0 在（0，+∞）恒成立
∴m≥﹣x2+x（x＞0）恒成立，…11分
∵﹣x2+x=﹣（x﹣）2+∴（﹣x2+x）max=…12分
∴m≥（对m=，h′（x）=0仅在x=时成立），…13分
m的取值范围是[，+∞）．…14分
点评：本题主要考查导数的几何意义以及函数最值的求解，利用导数的应用是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．