高考 临场必备答题模板 第5讲
第5讲 圆锥曲线的常规问题
例6 已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >1，b >0)的焦距为2
c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45
c ，求双曲线的离心率e 的取值范围． 审题破题 用a ，b 表示s 可得关于a ，b ，c 的不等式，进而转化成关于e 的不等式，求e 的范围．
解 设直线l 的方程为x a ＋y b
＝1，即bx ＋ay －ab ＝0. 由点到直线的距离公式，且a >1，得到点(1,0)到直线l 的距离d 1＝
b (a －1)a 2＋b 2
， 同理可得点(－1,0)到直线l 的距离为d 2＝
b (a ＋1)a 2＋b 2， 于是s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2ab
c . 由s ≥45c ，得2ab c ≥45
c ，即5a c 2－a 2≥2c 2， 可得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0，
解得54
≤e 2≤5. 由于e >1，故所求e 的取值范围是???
?52，5. 构建答题模板
第一步：提取．从题设条件中提取不等关系式；
第二步：解不等式．求解含有目标参数的不等式，得到不等式的解集；
第三步：下结论．根据不等式的解集，并结合圆锥曲线中几何量的范围，得到所求参数的取值范围；
第四步：回顾反思．根据题设条件给出的不等关系求参数的取值范围，要考虑圆锥曲线自身的一些几何意义，如离心率的范围，圆锥曲线定义中的a ，b ，c 的大小关系等．
跟踪训练6 椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为
22
，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)求m 的取值范围．
解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)， 设
c >0，c 2＝a 2－b 2，由题意，知2b ＝2，c a ＝22
， 所以a ＝1，b ＝c ＝22
. 故椭圆C 的方程为y 2＋x 21
2
＝1，即y 2＋2x 2＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，l 与椭圆C 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由?????
y ＝kx ＋m ，2x 2＋y 2＝1，得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋(m 2－1)＝0， Δ＝(2km )2－4(k 2＋2)(m 2－1)＝4(k 2－2m 2＋2)>0，(*)
x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，x 1x 2＝m 2－1k 2＋2
. 因为AP →＝3PB →，所以－x 1＝3x 2，
所以?????
x 1＋x 2＝－2x 2，x 1x 2＝－3x 22.所以3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0. 所以3·? ??
??－2km k 2＋22＋4·m 2－1k 2＋2＝0. 整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0，
即k 2(4m 2－1)＋(2m 2－2)＝0.
当m 2＝14时，上式不成立；当m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1， 由(*)式，得k 2>2m 2－2，
又k ≠0，所以k 2
＝2－2m 2
4m 2－1>0. 解得－1 ???－1，－12∪????12，1.