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数学模拟试卷

参考答案详解

一、选择题（1～10小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）

（1） B

【详解】

所以选B ．

【详解】=

，积分收敛，

（3）B

【详解】把两边对求导，有，再求导，有

a

再把两边对求导，有 b

由a 与 b 得

【详解】 在区域上，有，从而有

由于在 上为单调减函数，于是

因此 ，故应选(A)．

【详解】 因为可微，所以连续，则

，

因为，

所以

所以是的极小值

（8）A

【详解】初等行变换不改变矩阵的列向量之间的线性关系，对于变换后的矩

【详解】由题设，知，又事件与相互独立，于是有

即=，由此可解得=0.4, b=0.1．

【详解】因为不相关，所以相关系数，

从而，

（11）

【详解】

【详解】 原方程可化为，积分得 ，代入初始条件得C =2，故所求特解为

【详解】 ，

解得：

又因为A

可对角化，所以A 的属于特征值的线性无关的特征向量有2个， 即有非零解．

【详解】 因为，所以与相互独立，又，

骤.）

（17）

【详解】 由已知条件可得

，

，

，，

所以

=

=

（18）

【证明】(I)设，则在上连续，且，，由介值定理可知存在，使，即．(II)设，则在上连续，在内可导，且

又由罗尔定理可知，存在，使得

【详解】（I）由题意可知总利润函数，令

，解得。

又产量和不受限制，所以计算表明当时可获得最大利润，且最大利润为

，即为所求．

（II）由题意得．

此时可引入拉格朗日函数，令

，解得，。

【证明】设，

则F(x)在[0，1]上的导数连续，

并且，

由于时，，因此，即F(x)在[0，1]上单调递减．

又，

=，

所以F(1)=0.

因此时，，由此可得对任何，有

【详解】因为线性方程组（i）、（ii）有公共的非零解，所以它们的联立方程组（iii）有

非零解，即（iii）系数矩阵A的秩小于4。对矩阵A进行初等行变换，得，所以．

且．

此时可解方程组，得，即为（iii）的一个非零解．

又，所以构成（iii）的基础解系。因此，（i）和（ii）的全部公共解为（其中k

（22）

【详解】（I），可知．

（II）因为是线性无关的三维列向量，可知矩阵可逆，所以

，即矩阵A与B相似，由此可得矩阵A与B有相同的特征值.

，得矩阵B的特征值，

也即矩阵A的特征值为

（III）对应于，解齐次线性方程组(E-B)X=0，得基础解系

，；

对应于，解齐次线性方程组(4E-B)X=0，得基础解系

令矩阵，则

又因为，

令矩阵

=，

则P即为所求的可逆矩阵．

（23）

【详解】因为，相互独立，所以，的联合密度函数为：

当时，，

当时，

当时，

所以