实数与二次根式
一 实数
一 填空
12，那么a = ．
2_______；9的平方根是_______．
3.若一个正数的平方根是2a-1和-a+2，则a= ，这个正数是 ． 4
的平方根是 ，25的平方根记作 ，结果是 5．若a 的平方根是±5，则a = 。 6．如果a 的平方根等于2±，那么_____=a ；
7．1的立方根是________． 2是________的立方根． ________的立方根是
1.0-．
立方根是
65的数是________ 64
27-是________的立方根． =-3)3(________． 3)3(-的立方根是________ 5
3
-是________的立方根．
8．3
27＝_______． 立方根等于它本身的数是_______． 109)1(-的立方根是______． 9．008.0-的立方根是________． 10
3
-
是________的立方根．
10的平方根是 ，3
5
±
是 的平方根． 11. 144的算术平方根是 ，16的平方根是 ； 12、327= ， 64-的立方根是 ；
13、7的平方根为 ，21.1= ；
14、一个数的平方是9，则这个数是 ，一个数的立方根是1，则这个数是 二、选择题
1、判断下列说法正确的个数为（ ） ① -5是-25的算术平方根； ② 6是()26-的算术平方根； ③ 0的算术平方根是0； ④ 0.01是0.1的算术平方根；
⑤ 一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根． A ．0 个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2．下列说法中正确的是（ ）
A ．9的平方根是3 B
2
2
3．当≥m 0时，m 表示（ ） A ．m 的平方根 B ．一个有理数
C ．m 的算术平方根
D ．一个正数
4．用数学式子表示“16
9的平方根是4
3±”应是（ ）
A ．4
316
9±= B ．4
316
9±=±
C ．4
316
9= D ．43169-=-
5．0196.0的算术平方根是（ ）
A 、14.0
B 、014.0
C 、14.0±
D 、014.0± 6. 若a 和a -都有意义，则a 的值是（ ） A.0≥a B.0≤a
C.0=a
D.0≠a
7.2
2)4(+x 的算术平方根是（ ）
A 、 42)4(+x
B 、2
2)4(+x C 、42
+x D 、42+x
8．2
)5(-的平方根是（ ）
A 、 5±
B 、 5
C 、5-
D 、5±
9.如果一个有理数的平方根和立方根相同，那么这个数是（ ） A. ±1. B. 0. C. 1. D. 0和1.
10.3的值（ ） A ．在5和6之间 B ．在6和7之间 C ．在7和8之间
D ．在8和9之间
11.已知0＜x ＜1，那么在x ，x
1，x ，x 2
中最大的是（ ） A ．x B ．
x
1 C ．x D ．x 2
12． 有下列说法：
（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；
（3）无理数包括正无理数、零、负无理数； （4）无理数都可以用数轴上的点来表示。 其中正确的说法的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
13.能与数轴上的点一一对应的是（ ）
A 整数
B 有理数
C 无理数
D 实数
14. 如果
25.0=y ，那么y 的值是（ ）
A. 0.0625
B. —0.5
C. 0.5 D .±0.5 15. 下列说法错误的是（ ） A . a 2
与（—a ）2
相等 B.
a
2
与
)
(2
a -互为相反数
C. 3a 与3a - 是互为相反数
D. a 与a - 互为相反数
16.下列说法正确的是（ ）
A. 0.25是0.5 的一个平方根 B .正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0 C . 7 2 的平方根是7 D. 负数有一个平方根 17. 下列各数中，不是无理数的是 （ ）
A 7
B 0.5
C 2π
D 0.151151115…）个之间依次多两个115( 18．如果b -是a 的立方根，那么下列结论正确的是（ ）．
A ．b -也是a -的立方根
B ．b 也是a 的立方根
C ．b 也是a -的立方根
D ．b ±都是a 的立方根
19，若ｘ使（ｘ－1）2
＝4成立，则ｘ的值是（ ）
A ，3
B ，－1
C ，3或－1
D ，±2
20．如果a 是负数，那么2
a 的平方根是（ ）．A ．a B ．a - C ．a ± D ．
21a 有（ ）．A ．0个 B ．1个 C ．无数个 D ．以上都不对
22,则a 是一个( )?
A.正实数
B.负实数
C.非正实数
D.非负实数 23．若x 、y 分别是
5的整数部分与小数部分,则2xy+y2的值为 ( )
A. 2
B.5
C.8
D. 1
三、解答题
1.求下列各式中的x ：
（1）0252=-x （2）4(x+1)2-169=0
2、已知：x －2的平方根是±2，2x ＋y ＋7的立方根是3，求x 2
＋y 2
的算术平方根．
二 二次根式
一、单项选择题
1.下列式子一定是二次根式的是 （ ） A.2--x B.x C.22+x D.22-x
2.若
b b -=-3)3(2，则 （ ）
A.b>3
B.b<3
C.b ≥3
D.b ≤3 3.若
13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 （ ）
A.m=0
B.m=1
C.m=2
D.m=3 4.化简
)22(28+-得 （ ）
A.—2
B.
22- C.2 D.224-
5.下列根式中，最简二次根式是 ( )
A.
a 25 B.2
2b a + C.
2
a
D.5.0 6.如果
)6(6-=-?x x x x ，那么 （ ）
A.x ≥0
B.x ≥6
C.0≤x ≤6
D.x 为一切实数 7.若x ＜2，化简
x x -+-3)2(2的正确结果是 （ ）
A.-1
B.1
C.2x-5
D.5-2x 8.设a
b a
1,322=
-=，则a 、b 大小关系是( )
A.a=b
B.a ＞b
C.a ＜b
D.a ＞-b 9.若最简二次根式
a a 241-+与是同类二次根式，则a 的值为 （ ）
A.43-=a
B.3
4
=a C.1=a D.1-=a
10．已知10182
22=++x x x x
，则x 等于 （ ） A.4 B.±2 C.2 D.±4
11．“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P
，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ）．
A 、代入法
B 、换元法
C 、数形结合
D 、分类讨论 12. 若数轴上表示数x 的点在原点的左边，则化简2
3x
x +
的结果是
A 、-4x
B 、4x
C 、-2x
D 、2x
4
2
4-的平方根是）（⑤－13.有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定
是有理数；③负数没有立方根；④17-是17的平方根．其中正确有( ) A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 14．下列说法正确的个数（ ）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
二、填空题
1.52-
的绝对值是__________，它的倒数__________.
2.当x___________时，
52+x 有意义，若
x
x
-2有意义，则x________.
3.化简=?0
4.0225_________，=-22108117_____________.
4.
=?y xy 82 ，=?2712 .
5.比较大小：
.（填“＞”
、“=”、“＜”） 6.已知矩形长为32cm ，宽6为cm ，那么这个矩形对角线长为_____ cm.
7.
232
31+-与的关系是 .
8.当x= 时，二次根式1+x 取最小值，其最小值为 .
9..若
3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3
.
10________. 11．
10
在两个连续整数a 和b 之间，a<
10
12．已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 满足：a b c c -+-+-+=34102502 || 请你判断△ABC 的形状是 13．计算： ()()（）； 12121+-= ()()（）；23232+-= ()()（）；32323+-= ()()（）45252+-=. 通过以上计算，观察规律，写出用n （n 为正整数）表示上面规律的等式___________. 21 2414+ ＝③① ② ( ) 3 3 16 25 16 25 4 5 2 - = - - - = - - = π π 3 232＝④+ 三、计算题 1.2 1 4 181 22-+- ； 2.3)154276485(÷+-； 3.（1 ）- （2 ） 4.20092008? 四、化简并求值 1.已知：1 32-= x ，求12 +-x x 的值. 2. 已知x=32-,求232--x x 的值。 专题复习 二次根式 知识点归纳： 一．实数： 1. 数的分类： ?????? ??无理数分数整数有理数实数（定义分） ???? ? ????????? ?负无理数负有理数负实数负无理数正有理数正实数实数（大小分）0 2. 平方根的性质： （1） 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 （2） 算术平方根a 具有双重非负性，即：0,0≥≥a a . （3） ?? ?<-≥==) 0()0(2 a a a a a a )0()(2 ≥=a a a 3. 立方根的性质： （1） 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. （2） a a =3 3 a a =33)( 二．二次根式： 1.二次根式的概念：式子a ),0(≥a 叫做二次根式，具有双重非负性。 2.最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数不含开的尽方的整数和整式。 3.同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数相同。 4.分母有理化：把分母化为有理数的过程，即去分母中的根号的过程。 5.二次根式运算法则： 加减法：合并同类二次根式； 乘法：)0,0(≥≥= ?b a ab b a 除法： )0,0(>≥= b a b a b a 6.常见化简：?????<-≥=) 0()0(22a b a a b a b a )0(1>= =a a a a a a a 或 典型例题讲解及变式练习： 例1 若一个数的平方根是2a-1和-a+2，求这个正数的平方。 练习： 1. 已知某数有两个平方根，分别为a+3和2a-15，求这个数平方的倒数。 2. 已知13-+=m n m A 为m+3n 的算术平方根，121+-=n m B 为2 1m -的立方根，求A+B 的值。 3．已知12-a 的平方根是3±，3a+b-1的立方根是4，求a+2b 的值。 练习： 1.0)2(132 =-++++c b a ，求12 -+c b a 的算术平方根。 《实数和二次根式》知识点 1.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a 的平方根，也就是若x a 2=，则x叫做a的平方根。 2.开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。 3.平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 4.平方根的表示：当a≥0时，a的平方根记为±a。 5.算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，零的算术平方根是零。 注：（1）非负数才有算术平方根 （2）非负数的算术平方根仍为非负数 6.算术平方根的表示：当a≥0时，a的算术平方根记作a 7.立方根： （1）定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫a的立方根，也就是若x a 3=，则x叫做a的立方根。 （2）立方根的表示：a3 （3）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方。开立方和立方互为逆运算，开立方的结果是立方根。 （4）性质：一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。 8.平方根和立方根的区别 （1）被开方数的取值范围不同 （2）正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个，负数没有平方根，而它有一个立方根。 9.实数：有理数和无理数统称为实数。 实数与数轴上的点一一对应。 分类： 实数有理数正有理数负有理数有限小数或无限循环小数无理数正无理数负无理数无限不循环小数0????????????????????????? 10.实数的相反数、绝对值、倒数、比较大小、运算律和运算法则的应用类似于有理数中的。 11.二次根式：一般地，式子a a ()≥0叫做二次根式。 注：（1）含有二次根号 “” （2）被开方数a 是代数式且a 必须是非负数 （3）二次根式a a ()≥0是a 的算术平方根，因此a a ≥≥00() 12.二次根式的基本性质： ()()a a a 20=≥ 二次根式定义及性质 教学内容： 1.学习目标：理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：， ，，并利用它们进行计算和化简． 2.重点：；，及其运用． 3.难点：利用，，解决具体问题. 知识点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 知识点二：二次根式的性质 1.； 2.； 3.； 4. 积的算术平方根的性质：； 5. 商的算术平方根的性质：. 知识点三：代数式 形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression). 经典例题透析 类型一：二次根式的概念 例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)； 不是二次根式的有：、、、． 例2、当x是多少时，在实数范围内有意义？ 思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥时，在实数范围内有意义． 总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 举一反三 【变式1】x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？ (1)； (2)； 解：(1)由≥0，解得：x取任意实数 ∴当x取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义. (2)由x-1≥0，且x-1≠0，解得：x＞1 ∴当x＞1时，二次根式在实数范围内都有意义. 二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识框图 二、知识要点梳理 知识点一、二次根式的主要性质： 1.； 2.； 3.； 4.积的算术平方根的性质：； 5.商的算术平方根的性质：. 6.若，则. 知识点二、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理； (3) 乘法公式的推广： 2．二次根式的加减运算 先化简，再运算， 3．二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2）121+-x （3）45++x x (6). （7）若1)1(-=-x x x x ， 则x 的取值范围是 （8）若1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a -+-=，则2 2004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 10.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10< 二次根式 1. 二次根式的概念： 形如 的式子叫做二次根式． 2. 二次根式的性质： （1） ( a ) 2 （ ≥ ）；（ ） a ；（ ） a 2 ___(a 0) 0(a ≥ 0) ____ ___(a 0) a 02 3 ___(a 0) 3. 二次根式的乘除： 乘法运算： a b ___(a 0,b 0) 计算公式： 除法运算： a ___(a 0,b 0) b 最简二次根式： (1) (2) (3) 4. 概念： 1. 2.同类二次根式： 5. 二次根式的加减： ( 一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式． 6. 二次根式化简求值步骤： (1) “一分”：分解因数（因式） 、平方数（式）；(2) “二移”： 根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面； (3) “三化”：化去被开方数中的分母． 7. 二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． （2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用．（3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 一元二次方程 1.一元二次方程： 1)一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程． 2)一元二次方程的一般形式： ax 2 bx c 0(a 0) ． 它的特征：等式左边是一个关于未知数 x 的二次多项式，等式右边是零． ax 2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常 数项． 2.一元二次方程的解法： 1)直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法． 直接开平方法适用于解形如( x a) 2 b 的一元二次方程．根据平方根的定义可知， x a 是 b 的平方根，当 b 0 时，x a b ， x a b ，当b<0时，方程没有实数根． 2) 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式 a 22ab b2(a b) 2，把公式中的a看 做未知数 x，并用 x 代替，则有x22bx b 2( x b)2． 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上 1 次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式． 3)公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法． 一元二次方程 ax 2bx c 0(a0) 的求根公式： x bb 24ac (b24ac 0) 2a 4)因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法． 分解因式法的步骤：把方程右边化为 0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里 指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式． 实数和二次根式知识点梳理 1．平方根的定义：若x2=a,那么x 叫a 的平方根，（即a 的平方根是x ）；注意： （1）a 叫x 的平方数，（2）已知x 求a 叫乘方，已知a 求x 叫开方，乘方与开方互为逆运算. 2．平方根的性质： （1）正数的平方根是一对相反数； （2）0的平方根还是0； （3）负数没有平方根. 3．平方根的表示方法：a 的平方根表示为a 和a -.注意：a 可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算. 4．算术平方根：正数a 的正的平方根叫a 的算术平方根，表示为a .注意：0的算术平方根还是0. 5．三个重要非负数： a2≥0 ,|a|≥0 ，a ≥0 .注意：非负数之和为0，说明它们都是0. 6．两个重要公式： （1） () a a 2=; (a ≥0) （2） ???<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 . 7．立方根的定义：若x3=a,那么x 叫a 的立方根，（即a 的立方根是x ）.注意： （1）a 叫x 的立方数；（2）a 的立方根表示为3a ；即把a 开三次方. 8．立方根的性质： （1）正数的立方根是一个正数； （2）0的立方根还是0； （3）负数的立方根是一个负数. 9．立方根的特性：33a a -=-. 10．无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：π和开方开不尽的数是无理数. 11．实数：有理数和无理数统称实数. 12．实数的分类：（1）?????????????????????????无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数与无限循环小负有理数正有理数有理数实数0（2） ?????负实数正实数实数0 . 13．数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应. 14．无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示；如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意：（1）近似计算时，中间过程要多保留一位；（2）要求记忆：414.12= 732.13= 236.25=. 实数和二次根式真题专项归类 八年级数学 时间：90分钟，满分：120分 一、选择题.(每小题3分，共33分) ( )1. (2013石家庄)4的平方根是________ A.2 B. 4 C. 2± D.4± ( )2.(2013上海中考)下列式子中，属于最简二次根式的是________ A. 9 B.7 C.20 D. 13 ( )3.(2013沧县)估算272-的值________ A. 在1到2之间 B.在2到3之间 C.在3到4之间 D.在4到5之间 ( )4.(2012故城) 在实数32,0,4,,93 π-中，无理数有________ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ( )5.(2012广东佛山中考)化简2(21)÷-的结果是________ A. 221- B.22- C.12- D.22+ ( )6.(2012衡水市桃城区)在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是________ A. 3 和18 B. 3 和 13 C. 2a b 和2ab D. 1a + 和1a - ( )7.(2014河北中考),a b 是两个连续整数，若7,a b <<则,a b 是________ A.2，3 B.3，2 C.3，4 D.6，8 ( )8.(2013泊头)如果分式 1 x x -有意义，那么x 的取值范围是________ A. 0x ≥ B. 1x ≠ C. 0x > D. 0x ≥ 且 1x ≠ ( )9.(2013永年)已知21440,a b b -+-+=则 21 ab a b +-的值为________ A.3 B.-3 C.1 D.7 ( )10.(2012浙江宁波中考)如图是老年活动中心门口放着的一个招牌，这个招牌是由三个特大号的骰子摞在一起而组成的，每个骰子的六个面的点数分别是1到6，其中可以看见7 个面，其余11个面是看不见的，则看不见的面上的点数总和是________ A.41 B.40 C.39 D.38 ( )11.(2013台湾中考),,k m n 为三个整数，若13515k =，45015,m =1806, n = 专题复习 二次根式 知识点归纳： 一．实数： 1. 数的分类： ?????? ??无理数分数整数有理数实数（定义分） ???? ? ????????? ?负无理数负有理数负实数负无理数正有理数正实数实数（大小分）0 2. 平方根的性质： （1） 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 （2） 算术平方根a 具有双重非负性，即：0,0≥≥a a . （3） ?? ?<-≥==) 0()0(2 a a a a a a )0()(2 ≥=a a a 3. 立方根的性质： （1） , （2） 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. （3） a a =3 3 a a =33)( 二．二次根式： 1.二次根式的概念：式子a ),0(≥a 叫做二次根式，具有双重非负性。 2.最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数不含开的尽方的整数和整式。 3.同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数相同。 4.分母有理化：把分母化为有理数的过程，即去分母中的根号的过程。 5.二次根式运算法则： 加减法：合并同类二次根式； 乘法：)0,0(≥≥= ?b a ab b a … 除法： )0,0(>≥= b a b a b a 6.常见化简：?????<-≥=) 0() 0(2 2a b a a b a b a )0(1>= = a a a a a a a 或 典型例题讲解及变式练习： 例1 若一个数的平方根是2a-1和-a+2，求这个正数的平方。 练习： 1. 已知某数有两个平方根，分别为a+3和2a-15，求这个数平方的倒数。 ^ 2. 已知13-+=m n m A 为m+3n 的算术平方根，121+-=n m B 为2 1m -的立方根，求A+B 的值。 3．已知12-a 的平方根是3±，3a+b-1的立方根是4，求a+2b 的值。 ） 练习： 1.0)2(132 =-++++c b a ，求12 -+c b a 的算术平方根。 《实数与二次根式》全章复习与巩固 一、目标与策略 姓名： 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ● 1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根. ● 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根. ● 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化. ● 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围. ● 5.理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. ● 6.熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. ● 7.了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 学习策略： ● 本章的概念、公式比较多，有难于理解，因此熟记概念和公示是本章的难点和重点； ● 要注意知识点的相互联系,二次根式的化简一定要注意被开方数小于0的这种情况，主要依据是公式 (0) 0(0-a(a a a a a >?? ==?? 第十六章 二次根式 知识点： 1、二次根式的概念：形如（a ≥0）的式子叫做二次根式。“”＝ “”，叫做二次根号，简称根号。根号下面的整体“a ”叫做被开方数。 2、二次根式有意义的条件：a ≥0； 二次根式没有意义的条件：a 小于0； 例1、 a +1表示二次根式的条件是______。 例2、已知y=2x -+2x -+5，求x y 的值。 例3、若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值。 例4、 当x ______时，12--x 有意义，当x ______时，3 1+x 有意义。 例5、若无意义2+x ，则x 的取值范围是______。 例6、（1）当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ （2）当x 是多少时， 2x 在实数范围内有意义？3x 呢？ 3、二次根式的双重非负性： ≥0；a ≥0 。 例1、 已知＋ ＝０，求ｘ，ｙ的值． 例2、 若实数ａ、ｂ满足 ＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿． 例3、 已知实ａ满足，求ａ-2010的值． 例４、 在实数范围内，求代数式 的值． 例5、 设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值． 例6、已知9966 x x x x --=--，且x 为偶数，求（1+x ）22541x x x -+-的值． 4、二次根式的性质： (3) 例1、(1) ()25.1=________ (2) ()252 =________ (3) ()2 2.0-=________ (4) 272??? ? ??=________ 例2、化简 （1）9=_____ （2）2(4)-=_____ （3）25=_____ (4)2 52??? ??--=_____ （4）2(3)- =_____ 例3.（1）若2a =a ，则a 可以是什么数？ （2）若2a =-a ，则a 是什么数？ （3）2a >a ，则a 是什么数？ 例4.当x>2，化简2(2)x --2(12)x -． 5、积的算术平方根的性质 (a ≥0，b ≥0)即两个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式的 算术平方根的积。 ， 6、商的算术平方根的性质 (a ≥0，b ＞0) 商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 。 例1、计算 （1）57 （2139（3927 （412 6 例2、化简 （1916?（21681?（3229x y （4）54 实数和二次根式的基本 概念 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 一．实数的基本概念 1．无理数的概念： （1）定义：无限不循环小数叫做无理数. （2）解读： 1）无理数的两个重要特征：①无限小数；②不循环. 2）无理数的常见类型： ①具有特定意义的数。如π等； ②……（每相邻两个1之间依次多一个2）等； ③开方开不尽的数，如2，34等. 那么，是否所有带根号的数都是无理数呢 3）有理数与无理数的区别：有理数总可以表示为有限小数或无限循环小数，反之，有限小数和无限循环小数也必定是有理数；而无理数是无限不循环小数，无限不循环小数也必定是无理数. 2．实数的概念及分类： （1）定义：有理数和无理数统称为实数. （2）分类： ①按定义分： ?? ? ? ?? ? ? 整数 有理数 实数分数---有限小数或无限循环小数无理数-------无限不循环小数 知识点睛 实数、二次根式的基本概念 ②按性质分：0??????????????? 正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 （3）实数的性质： ①相反数：a 与b 互为相反数0a b ?+=. ②绝对值：,00,0,0a a a a a a >??==??-?=?-≤? （4）实数和数轴上的点是一一对应的. π是一个超越数，用尺规作图的方法是不能在数轴上表示的；可以用物理方法来表示：用一个直径为1的圆形从数轴的零点开始转动，正好转一圈的那个点就是π，因为直径为1的圆的周长为π。 （5）实数的运算顺序：先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里的。 （6）实数中非负数的四种形式及其性质： 形式：①0a ≥；②20a ≥ 0≥（0a ≥ 0a ≥. 性质：①非负数有最小值0；②有限个非负数之和仍然是非负数；③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. （7）实数中无理数的常见类型： ①所有开不尽的方根都是无理数，且不可认为带根号的数都是无理数； ②圆周率π及含有π的数是无理数，例如：21π+等； ③……. （一）根据实数的定义解题： 【例1】下列各数，哪些是有理数，哪些是无理数哪些是正实数 － 131…， π， ， 23， ， ， …（相邻两个2之间0的个数逐次加1 ）， . 【例2 】在实数010.1235中无理数的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 实数的运算练习一 （1) (2)48512739+- （ 3) 10 1 2 52403-- （4)2)32)(347(-+ （５)20)21(82 1 )73(4--?++ （6）102006)21()23()1(-+--- (7)10)2 1()2006(312-+---+ （8)02)36(2218)3(----+-- （9）3 2 6? (1０）4327-? ? (1１）2)13(- ? (13）3 6 （12)22)52()2511(- ? （１４）75.0125.204 1 12484--+- （1５)1215.09002.0+ ? (16)250580?-? （17)3 721? (1８）)25)(51(-+ ? （19）2)3 13(- （２0)8 92334?÷ （21）20032002)23()23(+?- (22)75.0421*******+-+ ? (23）33 3322227 1912105+-?--- (2４)753 1 31234+- （２5）3122112-- (26）5 1 45203-+ ? （２７)48122+ (28)325092-+ ? (2９)2)2 31(- 实数的运算练习二 （1）3 181083315275--+ （2）758 1312325.0---+ （3）??? ? ??--???? ??-5.0431381448 （4）() 147162752722 3 +-+ （5） ??? ? ??-+-67.123 256133223 （6）( ) 326125.021 322--??? ? ??-+ （7）3 44273125242965++-+ （８)??? ? ??--???? ??+121580325.12712 （9）))((36163--?-; （10）633 1 2?? （11）)(102 132531-?? （12）z y x 10010101??- 一．实数的基本概念 1．无理数的概念： （1）定义：无限不循环小数叫做无理数. （2）解读： 1）无理数的两个重要特征：①无限小数；②不循环. 2）无理数的常见类型： ①具有特定意义的数。如π等； ②具有特定结构的无限小数，如0.1212212221……（每相邻两个1之间依次多一个2）等； ③开方开不尽的数，如2，34等. 那么，是否所有带根号的数都是无理数呢？？？ 3）有理数与无理数的区别：有理数总可以表示为有限小数或无限循环小数，反之，有限小数和无限循环小数也必定是有理数；而无理数是无限不循环小数，无限不循环小数也必定是无理数. 2．实数的概念及分类： （1）定义：有理数和无理数统称为实数. （2）分类： ①按定义分： ?? ? ? ?? ? ? 整数 有理数 实数分数---有限小数或无限循环小数无理数-------无限不循环小数 知识点睛 实数、二次根式的基本概念 ②按性质分：0??????????????? 正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 {} ?????????????????????????????????正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数 （3）实数的性质： ①相反数：a 与b 互为相反数0a b ?+=. ②绝对值：,00,0,0a a a a a a >??==??-?=?-≤? （4）实数和数轴上的点是一一对应的. π是一个超越数，用尺规作图的方法是不能在数轴上表示的；可以用物理方法来表示：用一个直径为1的圆形从数轴的零点开始转动，正好转一圈的那个点就是π，因为直径为1的圆的周长为π。 （5）实数的运算顺序：先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里的。 （6）实数中非负数的四种形式及其性质： 形式：①0a ≥；②2 0a ≥ 0≥（0a ≥） 0a ≥. 性质：①非负数有最小值0；②有限个非负数之和仍然是非负数；③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. （7）实数中无理数的常见类型： ①所有开不尽的方根都是无理数，且不可认为带根号的数都是无理数； ②圆周率π及含有π的数是无理数，例如：21π+等； ③看似循环，但实质不循环的无限小数是无理数，例如：1.023*******……. 实数 中考要求 重难点 1.平方根、立方根的有关概念以及其区别和联系； 2.会求一个数的平方根和立方根并了解其限定条件 3.能进行实数的运算 4. 课前预习 无理数的发现──第一次数学危机 大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论．当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性．他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此．这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机． 到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了．他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中．欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致．今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处．第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击．这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了．危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！ 例题精讲 模块一平方根、算术平方根 平方根: 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根． 也就是说，若2x a =，则x就叫做a的平方根． 一个非负数a的平方根可用符号表示为“”． 算术平方根： 一个正数a有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a的算术平方根，可用符号表示为 ；0有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根．（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究） 一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若0 ≥． a≥0平方根的计算： 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方． 开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根． 对定义和性质的考察 【例1】判断题： （1( ) （2）2a的算术平方根是a．( ) （36 =，则6 a=-．( ) （4）若264 x=，则8 x==±．( ) （58 ±．( ) （6）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等．( ) （7）如果一个数的平方根存在，那么必有两个，且互为相反数．( ) （8）2a -没有平方根．( ) （9）如果两个非负数相等，那么他们各自的算术平方根也相等．( ) 【难度】1星 【解析】略 【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×；（6）×；（7）×；（8）×；（9）√． 【巩固】若A=A的算术平方根是_________． 【难度】2星 【解析】A22 a+，故A的算术平方根为216 (16) a+． 【答案】216 a+ 【巩固】设a a的值是________． 【难度】2星 【解析】a48a必须是完全平方数，因为2 =? 4843 整数的整数a为3． 【答案】3 【例2】x为何值时，下列各式有意义？ （1（2（3 初中数学实数与二次根式的基本概念进阶考试要求： 重难点： 1.平方根、立方根的有关概念以及其区别和联系； 2.能进行实数的运算 3.二次根式(0) a≥的内涵，(0) a≥是一个非负数；2a =(0) a≥；a = (0) a≥ 及其运用． 4.二次根式乘除法的规定及其运用． 5.二次根式的加减运算． 例题精讲： 实数 模块一实数的概念及分类 1．实数的概念 实数：有理数和无理数的统称． 2．实数的分类 0???????? ???? ???????? ??? ???????????? ???????????? 正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 注意： （1）实数还可按正数，零，负数分类． （2）整数可分为奇数，偶数，零是偶数，偶数一般用2n （n 为整数)表示；奇数一般 用2n 1- 或2n 1+ （n 为整数）表示． （3）正数和零常称为非负数． （4）带根号的数不一定是无理数，如9． 【例1】 下列实数 31 7 ，π-，3.14159 21中无理数有（ ）． A ．个 B ．个 C ．个 D ．个 【难度】1星 【解析】是不是有理数，要看化简之后的结果，所以无理数有π- 【答案】A 【巩固】有下列说法： （1）无理数就是开方开不尽的数； （2）无理数是无限不循环小数； （3）无理数包括正无理数、零、负无理数； （4）无理数都可以用数轴上的点来表示． 其中正确的说法的个数是（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 【难度】1星 【解析】略． 【答案】C 模块二 数轴、相反数、倒数、绝对值 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的一条直线叫数轴. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0. （1）实数a 的相反数是a -. （2）实数a 和b 互为相反数，则a+b =0. （3）从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称. 倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数；0没有倒数. 倒数等于它本身的数是±1. （1）实数a (a ≠0)的倒数是 1a . 2345 二次根式的知识点汇总 知识点一： 二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 例1、1x x>0）、、1x y +、 x ≥0，y?≥0） ． ”；第二，被开方数是正数或0． 知识点二：取值范围 1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时， 有意义，是二次根式，所以要使二次 根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，没有意义。 例2．当x 例3．当x 11x +在实数范围内有意义？ 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。 注：因为二次根式（）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负 数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若 ，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若 ，则a=0,b=0。 例4(1)已知，求x y 的值．(2)=0，求a 2004+b 2004的值 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若， 则，如：，. 例1 计算 ）2 1．）2 2．（2 3．2 4．（ 2 例2在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身， 即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 例1 化简 （1（2（3（4 例2 填空：当a≥0；当a<0，?并根据这一性质回答下列问题． （1，则a可以是什么数？（2，则a是什么数？（3，则a是什么数？ 第 1 页 共 4 页 八年级上册第十二章实数和二次根式综合复习测试题 一、选择题：（每小题3分） 1．（2009年黄石市）下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ） A B C D 2．（2009 ） A ． B - C D ．3．(2009年安顺)下列计算正确的是（ ） A = B 1 C ． D ．=4．（2009年济宁市）已知a 等于（ ） A . a B . a - C . － 1 D . 0 5．(2009年鄂州)使代数式4 3--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 6．（2009 2的值( ) A ．在1到2之间 B ．在2到3之间 C ．在3到4之间 D ．在4到5之间 7．（2009 2 ()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 8．（2009年天津市）若x y ， 为实数，且20x +，则2009 x y ?? ? ?? 的值 为（ ）A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 二、填空题：（每空3分） 9．（2009 年内蒙古包头）函数y =x 的取值范围 是 ． 10．（2009年崇左）当x ≤0 时，化简1x -的结果是 ． 11．（2009 = ． 12．（2009 的结果是 ． 13．（09湖南怀化） 若()2 240a c -+-=，则=+-c b a ． 14．（2009 年佛山市）（1 是有理数？ A ． B ．2 C D E ．0 问题的答案是（只需填字母）： ； （2） 则这个数的一般形式是什么（用代数式） ． 二次根式知识点归纳及典型例题 1.二次根式定义：形如（a≥0）的式子，叫做二次根式. 2.二次根式的性质： ①≥0(a≥0),这是因为(a≥0)表示a的算术平方根，根据算术平方根的意义， 当a>0时，>0，当a=0时，= 0 . ∴≥0.利用这一性质，可以解决下面问题：若，则x=－2，y=2. ②()2= a (a≥0)，在探究这一性质时，教科书所采用的方法是不完全归纳法，而 根据算术平方根的意义有：如果x2=a(x≥0)，则x=，所以代入上式得()2=a．③= a (a≥0) ，根据算术平方根的意义该性质的推导过程应是：因为当a≥0 时，a2的算术平方根是a, 所以. 3.代数式：用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示的数的字母连接起来的式子，叫代数式. 4.利用二次根式性质化简：利用=a(a≥0)化简某些代数式时，一般应将被开方数化为完全平方式，如化简(x>－1)=. 典例讲解 例1、填空题：（1）式子中x的取值范围是______________. （2）当x满足条件______________时，式子有意义. （3）当x=__________时，有最小值，最小值是_________. （4）如果是正整数，那么x能取的最小自然数是________. 答案：（1）x>－2 （2）x≥0且x≠1 （3）－25；9 （4）6 例2、选择题： （1）化简的值为（） A. 4 B.－4 C.±4 D. 16 （2）下列各组数中，互为相反数的是（） A. －2与 B. C.－2和 D. 2和 （3）若x≥0，那么等于（） A.x B.－x C.－2x D. 2x （4）当a≥1，则=（） A.2a－1 B. 1－2a C.－1 D. 1 （5）在实数范围内分解因式：x2－3=（） A.(x＋3)(x－3) B.(x＋)(x－) C.(x＋)(x－) D.(x＋9)(x－9) 答案：（1）A （2）A （3）B （4）A （5）C 例3、用带有根号的式子表示： （1）已知一个正方体的表面积是S.求它的棱长. 解：设它的棱长为x，则所以,故它的棱长为． （2）一个圆的半径是10cm，是它面积2倍的正方形的边长为多少？ 解：设这个正方形的边长为xcm.则所以． 正方形的边长为㎝． 实数の运算练习一 （1） （2）48512739+- (3) 10 1 2 52403-- （4）2)32)(347(-+ （5）20)21(82 1 )73(4--?++ （6）102006)21()23()1(-+--- （7）10)2 1()2006(312-+---+ （8）02)36(2218)3(----+-- （9）3 2 6? （10）4327-? （11）2)13(- （13）3 6 （12）22)5 2 ()2511(- （14）75.0125.204 1 12 484--+- （15）1215.09002.0+ （16）250580?-? （17）3 721? （18）)25)(51(-+ （19）2)3 13(- （20）8 9 2334? ÷ （21）20032002)23()23(+?- （22）75.042 1 6122118+-+ （23）33 3322227 1912105+- ?--- （24）753 131234+- （25）3 122112-- （26）5 1 45203-+ （27）48122+ （28）325092-+ （29）2)2 31(- 实数の运算练习二 （1）3 181083315275--+ （2）758 1312325.0---+ （3）??? ? ??--???? ??-5.0431381448 （4）() 147162752722 3 +-+ （5） ??? ? ??-+-67.123 256133223 （6）( ) 326125.021 322--??? ? ??-+ （7）3 44273125242965++-+ （8）??? ? ??--???? ??+121580325.12712 （9）))((36163--?-； （10）633 1 2?? （11）)(102 132531-?? （12）z y x 10010101??-专题复实数和二次根式
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