【2014潍坊市一模】山东省潍坊市2014届高三3月模拟考试 数学(文)试题 Word版含解析

山东省潍坊市2014届高三3月模拟考试

数学（文科）试题

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.

1．若复数2满足z(1+i )=2i ，则在复平面内z 对应的点的坐标是( ) (A)(1，1) (B)(1，-l) (C)(-l ，1) (D)(-l ，-l) 【答案】A 【解析】 试题分析：

()12z i i +=()()()2122211112

i i i i z i i i i -+∴=

===+++- 所以在复平面内z 对应的点是()1,1,故选A. 考点：1、复数的运算；2、复平面.

2. 设全集U=R ，集合A={|21x x >}，B={|15x x -≤≤}，则U ()A B e等于( )

(A)[-1，0) (B)(0，5] (C)[-1，0] (D)[0，5]

3. 已知命题p 、q ，“p ?为真”是“p q ∧为假”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】

试题分析：因为p ?为真，所以p 为假，那么p q ∧为假，所以“p ?为真”是“p q ∧为假”的充分条件；反过来，若“p q ∧为假”，则，“p 真q 假”或“p 假q 真”或“p 假q 假”，所以由“p q ∧为假”不能推出p ?为真；

综上可知，“p ?为真”是“p q ∧为假”的充分不必要条件. 考点：命题与充要条件.

4. 若圆C 经过(1，0)，(3，0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( )

(A) 22(2)(2)3x y -+±= (B) 22(2)(3x y -+=

(C) 22(2)(2)4x y -+±= (D) 22(2)(4x y -+=

5. 运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为( ) (A) 1007 (B) 1008 (C) 2013 (D) 2014

【答案】A 【解析】

试题分析：1n =，条件2014n <成立，第一次运行， ()0

11,k 2,n 2s =-?==；

条件2014n <成立，第二次运行， ()()01

1112,k 3,n 3s =-?+-?==

6.高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为( ) (A) 13 (B) 17 (C) 19 (D) 21 【答案】C 【解析】

试题分析：从56名学生中抽取4人，用系统抽样法，则分段间隔为14，若第一段抽出的号码为5，则其它段抽取的号应为：19，33，47；所以答案应选C. 考点：系统抽样. 7. 函数||

x y a

=与sin y ax =(0a >且1a ≠)在同一直角坐标系下的图象可能是

8. 三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，又SA=AB= BC=1，则球O 的表面积为( )

(B) 32π

(C) 3π (D) 12π 【答案】C

【解析】

试题分析：因为AB BC ⊥，所以AC 是ABC ?所在截面圆的直径， 又因为SA ⊥平面ABC ，所以SAC ?所在的截面圆是球的大圆

9. 对任意实数a，b定义运算“?”：

,1,

, 1.

b a b

a b

a a b

-≥

?

?=?

-<

?

设2

()(1)(4)

f x x x

=-?+，若函数

()

y f x k

=+的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是( ) (A)(-2，1) (B)[0，1]

(C)[-2，0) (D)[-2，1)

考点：1、新定义；2、分段函数；3、数形结合的思想.

10. 如图，已知直线l ：y =k(x +1)(k>0)与抛物线C ：y 2

=4x 相交于A 、B 两点，且A 、B 两点在抛物线C 准线上的射影分别是M 、N ，若|AM|=2|BN|，则k 的值是( )

(A)

13

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）

11．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为(3，4)，则cos2α= ．

【答案】

7 25 -

【解析】

试题分析：根据三角函数的定义知：4sin 5

y r α=

== 所以，2

2

4327cos 212sin 12152525αα??

=-=-?=-=- ???

所以，答案应填7

25

-

. 考点：1、三角函数的定义；2、二倍角公式.

12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

【答案】12 【解析】

试题分析：由三视图可知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，高为4，底面两直角边长分别为2和3，所以，该三棱柱的体积为：1

234122

???= 所以答案应填：12

考点：1、三视图；2、棱柱的体积.

13．若x 、y 满足条件2102101x y x y y x --≤??

++≥??≤+?

，则z =x +3y 的最大值是 .

【答案】11 【解析】

试题分析：不等式组在直角坐标平面内所对应的区域如下图阴影部分所示：

14．已知a>b>0,ab=1，则22

a b a b

+-的最小值为 ．

【答案】【解析】 试题分析：

0,0a b a b >>∴->

()

()2

2

2

22

a b ab a b

a b a b a b a b

-++∴==-+≥---≥

当且仅当()2

a b a b

-=

-即：a b =+.

所以答案应填

考点：基本不等式.

15．已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有(1)(1)f x f x +=--．当(2,3)x ∈时，

2()log (1)f x x =-

给出以下4个结论：

①函数()y f x =的图象关于点(k ，0)(k ∈Z)成中心对称； ②函数|()|y f x =是以2为周期的周期函数； ③当(1,0)x ∈-时，2()log (1)f x x =--； ④函数(||)y f x =在(k ，k+1)( k ∈Z)上单调递增． 其一中所有正确结论的序号为

由图象可知①②正确，④不正确； 另外，当()1,0x ∈-时，()22,3x -∈

所以，()()()222log 21log 1f x x x -=--=- 又因为()f x 是以2这周期的奇函数 所以，()()()2f x f x f x -=-=- 所以，()()2log 1f x x -=-

所以，()()()2log 1,1,0f x x x =--∈-，所以③也正确 故答案应填：①②③

考点： 函数的图象与性质的综合应用

三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16．(本小题满分l2分) 已知函数()sin cos f x x x =+．

(I)求函数()y f x =在[0,2]x π∈上的单调递增区间；

(Ⅱ)在?ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知m =(a ，b)，n =(f (C),1)且m //n ，求B ．

(Ⅱ)由题意()sin cos ,f C C C =+

//m n ，()10a f C b ∴?-?=，即()sinC cosC a b =+……………………………………7分

由正弦定理：

sin sin a b

A B

=， 得：()sinA sin sin cos sinBsinC sinBcosC B C C =+=+，………………………………8分 在ABC ?中，()sin sin sinBcosC cosBsinC,A B C =+=+

sinBsinC cosBsinC,∴=………………………………………………………………………10分

又sin 0,sinB cosB C ≠∴=，…………………………………………………………………11分

tan 1B ∴=，又0,4

B B π

π<<∴=

.……………………………………………………12分

考点：1、三角函数的性质；2、正弦定理；3、向量共线的条件.

17．(本小题满分12分)

如图，底面是等腰梯形的四棱锥E —ABCD 中，EA ⊥平面ABCD ，AB//CD ，AB=2CD ，∠ABC=3

π． (I)设F 为EA 的中点，证明：DF//平面EBC ； (II)若AE=AB=2，求三棱锥B —CDE 的体积．

【答案】(II)

又

//FG CD

所以四边形CDFG 为平行四边形，……………………………………4分

//DF CG ,………………………………………………………………5分

又DF ?/平面EBC

CG ?平面EBC

//DF ∴平面EBC ………………………………………………………………6分

(II)等腰梯形ABC 中, 作CH AB ⊥于H ,则1

2

BH =

, 在Rt BHC ?中,60ABC ∠=,则13

tan 602CH ==

9分 又EA ⊥平面ACD ,

所以,三棱锥B CDE -的体积1

3

B CDE E BD

C BC

D V V S EA --?==??……………………10分

=111232??=

12分 考点：1、直线与平面平行的判定；2、棱锥的体积.

18. (本小题满分l2分)

甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：

甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15，边界忽略不计)即为中奖．

乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．

问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?

19．(本小题满分12分)

已知数列{n a }的前n 项和21n n S a n =+-，数列{n b }满足113(1)n n n n b n a na ++=+-，且13b =． (I)求n a ，n b ；

(Ⅱ)设n T 为数列{n b }的前n 项和，求n T ． 【答案】(I) 21n a n =+;1413n n n b --=；(Ⅱ)1

1545

223n

n n T -+=-? 【解析】

试题分析：(I) 由21n n S a n =+-构造另一个等式211(1)1,n n S a n --=+-- 两式相减,根据n S 与n a 的关系可求数列{}n a 的通项公式n a ,再将所得n a 的表达式代入到113(1)n n n n b n a na ++?=+- 中即可求数列{n b } 的通项公式;

20．(本小题满分13分)

已知函数3()f x x x =-

(I)判断

()

f x x

的单调性； (Ⅱ)求函数()y f x =的零点的个数；

(III)令2()ln

g x x =，若函数()y g x =在(0，1e )内有极值，求实数a 的取值范围；

【答案】(I) ()

f x x

在()0,+∞单调递增；(Ⅱ) 2 (III) 【解析】

试题分析：(I) ()()21f x x x

x ?==-，先求其定义域：()0,+∞，在其定义域上由()x ?导数符号判断的的单调性.

设()2

(2)1h x x a x =-++，

则()0h x =有两个不同的根12,x x ，且一根在10,e ?? ???

内, 不妨设11

0x e

<<

，由于121x x ?=，所以,2x e >………………………………………………11分 由于()01h =,则只需10h e ??< ???

，即()211210,a e e

-++<………………………………12分 解得:1

2a e e

>+

-……………………………………………………………………………13分 考点：1、求导法则；2、函数的零点；3、导数在研究函数性质中的应用.

21．(本小题满分14分)

已知双曲线C ：22

221x y a b

-=的焦距为0x =．以双曲线C 的实

轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ，过原点O 的动直线与椭圆E 交于A 、B 两点． (I)求椭圆E 的方程；

(II)若点P 为椭圆的左顶点，2PG GO =，求22||||GA GB +的取值范围； (Ⅲ)若椭圆上点P 满足|PA|=|PB|，求证

222

112

||||||OA OB OP ++为定值.

()11,B x y --,由22

112133

x y +=,将22GA GB +表示成1x 的函数,从而求出它的取值范围.

(Ⅲ) ①若,A B 在椭圆的短轴顶点上，则点P 在椭圆的长轴顶点上,,OA OB b OP a ===可得

2

2

2

1122OA

OB

OP

+

+

=;②若,A B 在椭圆的长轴顶点时，则点P 在椭圆的短轴顶点上,

,OA OB a OP b ===,可得2

2

2

1122OA

OB

OP

+

+

=③当点,,A B P 不是椭圆顶点时，设直线l 的方程

为()0y kx k =≠,由22,213

3y kx x y =???+

=??解得：2

22112233,1212k x y k k ==++于是写出222112OA OB OP ++的表达式并化简可得定值

.