2017届浙江省温州中学高三2月奥赛班数学模拟评估试题卷

2017年温州中学奥赛班数学模拟评估

{ M A T H E M A T I C S }

（本卷满分：150 分 考试时间：150 分钟）

一、填空题（共15小题，1~14题5分，15题6分，计76分）． 1. 已知122≤+y x ，则222y xy x -+的最大值为 ．

2. 已知()()()?

?????≤-+-=5421,2

2y x y x A ，(){}a y x y x B ≤-+-=221,，若B A ?，则a 的取

值范围是 ． 3. 已知0>x ，0>y ，y x a +=，22y xy x b ++=，xy m c =，若存在正数m 使得对于任

意正数y x ,，可使c b a ,,为三角形的三边构成三角形，则m 的值是 ．

4. 若不等式x

k

x x x x x +->++1ln 11ln 在0>x 且1≠x 时恒成立，则k 的取值范围是 ． 5. 已知现有4个半径为1的球两两外切，则这4个球的外切正四面体的棱长

是 ．

6. 已知椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 与直线x y l 21:1=，x y l 21:2-=，过椭圆上一点P 作21l l ，的

平行线，分别交21l l ，于M ，N 两点．若MN 为定值，则b

a

的值是 ．

7. A 是集合{1,2,3,…,14}的子集，从A 中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等

差数列，则A 中元素个数的最大值是 ．

8. 模长为1的复数x ，y ，z 满足0≠++z y x ，则z

y x zx

yz xy ++++的值是 ．

9. 若a x x x x =-3sin sin 2sin 4sin 在[)π,0有唯一解，则a 的值是 ． 10. 已知点()0，m A ()R ∈m 和双曲线122=-y x 右支上的两个动点B ，C ，在动点B ，C 运动的过

程中，若存在三个等边三角形ABC ，则点A 横坐标的取值范围是 ． 11. 若λ为实数，若关于x 的方程x x x =-+-1222λ有实数解，则λ的取值范围

是 ．

12. 在正三角形ABC 的底边BC 上取中点M ，在与底边BC 相邻的两条边BA 和CA 上分别取点

P 、Q ，若线段PQ 对M 的张角∠PMQ 为锐角，则称点P 、Q 亲密．若点P 、Q 在BA 、CA 上的位置随机均匀分布，则P 、Q 亲密的概率称为正三角形的亲密度．则正三角形的亲密度为 ．

13. 正六边形ABCDEF 的对角线AC 和CE 分别被内点M 和N 分割，且有r CE

CN

AC AM ==．如果B 、M 、N 共线，则r 的值为 ．

14. 已知AB 为21x y -=上在y 轴两侧的点，则过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值

是 ．

15. xyz O -坐标系内xoy 平面内220x y -≤≤绕y 轴旋转一周构成一个不透光立体，在()101，，设

置一光源，在xoy 平面内有一以原点为圆心C 被光照到的长度为π2，则曲线C 上未被照到的长度为 ．

班级：

姓名：

二、解答题（共4小题，16、17题16分，18题18分，19题24分，计74分）．

16. 已知正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1的棱长为1，动点P 在正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1表面上运动，且

()

30<<=r r PA ．记点P 的轨迹的长度为()r f ．求关于r 的方程()k r f =的解的个数的所有可能的值．

17. 过抛物线px y 22=（p 为不等于2的素数）的焦点F ，作与x 轴不垂直的直线l 交抛物线于

M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线交MN 于点P ，交x 轴于点Q ． (Ⅰ) 求PQ 的中点R 的轨迹L 的方程；

(Ⅱ) 证明：轨迹L 上有无穷多个整点，但L 上任意整点到原点的距离均不是整数．

18. ⑴ 已知数列{}n a 中，211=a ，()

*+∈???

??=Νn a a n n 2sin 1π，n S 为数列{}n a 的前n

项和，求证：2

5

->n S n ．

⑵ 在数列{}n a 中，11=a ，()1211++=++n ca a n n n ，*∈Νn ，其中实数0≠c ． (Ⅰ) 求{}n a 的通项公式；

(Ⅱ) 若对一切*∈Νk 有122->k k a a ，求c 的取值范围．

19. ⑴ 已知函数()x m x f ln =与函数()()021

>-=

x x

x x h 的图像有且只有一条公 切线，求实数m 的值．

⑵ 已知函数()b ax x y +-=ln 有两个不同的零点1x ，2x ，

求证：22111

a

x x a e b <<+．

2017年2月温州中学奥赛班模拟数学评估试题<答题卷 >制备人：前进者2017年温州中学奥赛班数学模拟评估（参考答案）

[ MATHEMATICS Examination paper reference answer ]

（本卷满分： 150 分）

一、填空题（共15小题，1~14题5分，15．．题．6．分．

，计76分）． 1

2、 ?

??

?

???∞+，25 3、 ()

3232+-， 4、 (]0，∞- 5、

2+ 6、 2 7、 8 8、 1 9、 1 10、

(

)

∞+，6 11、 ??

?

???340， 12、

43ln 36- （注：第12题若写0.676也得分）

13、

33 14、 9

3

8 15、 ()12-r π

二、解答题（本大题分4小题，共80分）．

16、(16分)(可能有多种解法)

17、(16分)(可能有多种解法)

(Ⅰ)解：px y 22=的焦点F ???

??02，p ，

设直线l 的方程为??? ?

?

-=2p x k y ()0≠k ，

由??

??????

??-==222p x k y px

y ，得()0412222

22=++-k p x p pk x k ， 设M ，N 的横坐标为x 1，x 2，

则2

2212k p

pk x x +=+，

得2

221222k p

pk x x x p +=+=，k p p k p pk k y p =???? ??-+=22222， 由PQ ⊥l ， 得PQ 的斜率为k

1

-

， 故PQ 的方程为????

??+--=-22221k p pk x k k p y ， 代入y Q =0，

得2

22222322k p

pk k p pk p x Q +=++=， 设R 的坐标为()y x ,，

则()()???????

=+=+=+=k p

y y y k p p x x x Q P Q P 221212

，整理得：()()04222≠==-y y k p p x p ，

∴ PQ 的中点R 的轨迹L 的方程为()()042≠-=y p x p y ；

(8分)

(Ⅱ)证明：显然对任意非零整数t ，

点()()

pt t p ，142+都是l 上的整点，故l 上有无穷多个整点． 反设l 上由一个整点()y x ,到原点的距离为正数m ， 不妨设x ＞0，y ＞0，m ＞0，

则()

?????-==+p x p y m y x 22

224，

∵ p 是奇素数，于是y 整除p ，

由②可推出x 整除p ，再由①可推出m 整除p ， 令x=px 1，y=py 1，m=pm 1，

则有?????-==+1

412121

2121x y m y x ，

由③，④得：211214

1

m x x =-+

， 于是()()178182

12

1=-+m x ，

则8x 1 + 1 + 8m 1 =17， 8x 1 + 1﹣8m 1 =1， 得x 1 =m 1 =1，故y 1 =0，

有y = py 1 =0，与l 上的点满足y ≠ 0矛盾．

∴轨迹l 上有无穷多个整点，但l 上任意整点到原点的距离均不是整数．

(16分)

18、(18分)(可能有多种解法)

（1）

(8分)

（2）

(18分)

19、(24分)(可能有多种解法)

（1）

(10分)

(24分)