2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法

2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法
2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法

选修4-2矩阵与变换 2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法

编写人: 编号:002

学习目标

1、 掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法规则。

2、 理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射。

学习过程:

一、预习:

(一)阅读教材,解决下列问题: 问题:已某电视台举行的歌唱比赛,甲、乙两选手初赛、复赛成绩如表:

初赛 复赛 甲

80 90 乙 60 85

规定比赛的最后成绩由初赛和复赛综合裁定,其中初赛占40%,复赛占60%.

则甲和乙的综合成绩分别是多少?

(二)一般地,我们规定行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵????

??2111b b 的乘法规则为:

二阶矩阵??????22211211

a a a a 与列向量??

????00y x 的乘法规则为:

(三)一般地,对于 则称T 为一个变换。 简记为:

练习

1、计算:(1)??????????

??121011 (2)??????-??????120110

2、已知平面上一个正方形ABCD (顺时针)的四个顶点用矩阵表示为????

??d c b a 4000,求a ,b ,c ,d 的值及正方形ABCD 的面积.

3、已知变换??????-+=??????'

'→??????y x y x y x y x 252,试将它写成矩阵的乘法形式.

二、课堂训练:

例1.计算??

????????

??y x 1002

思考:二阶矩阵M 与列向量的乘法??

????→??????y x M y x 和函数)(x f x →的定义有什么异同?

例2.(1)已知变换??

??????????=??????→??????y x y x y x 2341'',试将它写成坐标变换的形式; (2)已知变换??

????-=??????→??????y y x y x y x 3'',试将它写成矩阵乘法的形式;

例3.已知变换??

????-+=??????''→??????y x y x y x y x 252,试将它写成矩阵的乘法形式.

例4. 已知矩阵[])(x f A =,[]x x B -=1,??

??

??=a 2x C ,若A=BC ,求函数)x (f 在[1,2] 上的最小值.

三、课后巩固:

1、用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组???-=-=+1

y 2x 2y 3x 2其中正确的是( )

A 、??????-=????????????-122132y x

B 、??

????-=????????????-122312y x C 、??????-=????????????-122132y x D 、??

????-=????????????-121223y x 2、计算:??

????-??????321110=__________ 3、点A (1,2)在矩阵????

??-1022对应的变换作用下得到的点的坐标是___________ 4、设矩阵A 为二阶矩阵,且规定其元素,0=+ji ij a a i=1,2,j=1,2,且2a a 2112=-,试求A.

5. 若点A 在矩阵1222-????-??

对应的变换作用下下得到的点为(2,4),求点A 的坐标.

6、已知△ABO 的顶点坐标分别是A (4,2),B (2,4),O (0,0),计算在变换T M =1111????-??

之下三个顶点ABO 的对应点的坐标.

MATLAB中的矩阵与向量运算

4.1 数组运算和矩阵运算 从外观形状和数据结构来看,二维数组和数学中的矩阵没有区别.但是,矩阵作为一种变换或映射算符的体现,矩阵运算有着明确而严格的数学规则.而数组运算是MATLAB软件所定义的规则,其目的是为了数据管理方面,操作简单,指令形式自然和执行计算有效.所以,在使用MATLAB时,特别要明确搞清数组运算和矩阵运算的区别.表 4.1.1 数组运算和矩阵运算指令形式和实质内涵 数组运算矩阵运算 指令含义指令含义 A.'非共轭转置A'共轭转置 A=s把标量s赋给数组A的每个元素 s+B把标量s分别与数组B的每个元素相加s-B, B-s标量s分别与数组B的元素之差 s.*A标量s分别与数组A的元素之积s*A标量s分别与矩阵A的元素之积 s./B, B.\s标量s分别被数组B的元素除s*inv(B)矩阵B的逆乘标量s A.^n数组A的每个元素的n次方A^n A为方阵时,矩阵A的n次方 A+B数组对应元素的相加A+B矩阵相加 A-B数组对应元素的相减A-B矩阵相减 A.*B数组对应元素的相乘A*B内维相同矩阵的乘积 A./B A的元素被B的对应元素除A/B A右除B B.\A一定与上相同B\A A左除B(一般与右除不同) exp(A)以e为底,分别以A的元素为指数,求幂expm(A) A的矩阵指数函数 log(A) 对A的各元素求对数logm(A) A的矩阵对数函数 sqrt(A) 对A的积各元素求平方根sqrtm(A) A的矩阵平方函数 从上面可以看到,数组运算的运算如:乘,除,乘方,转置,要加"点".所以,我们要特别注意在求"乘,除,乘方,三角和指数函数"时,两种运算有着根本的区别.另外,在执行数组与数组运算时,参与运算的数组必须同维,运算所得的结果数组也是总与原数组同维. 4.2 数组的基本运算 在MATLAB中,数组运算是针对多个数执行同样的计算而运用的.MATLAB以一种非常直观的方式来处理数组. 4.2.1 点转置和共轭转置 . ' ——点转置.非共轭转置,相当于conj(A'). >> a=1:5; >> b=a. ' b = 1 2 3 4 5 >> c=b. ' c = 1 2 3 4 5 这表明对行向量的两次转置运算便得到原来的行向量. ' ——共轭转置.对向量进行转置运算并对每个元素取其共轭.如: >> d=a+i*a

矩阵与向量的运算及操作

%MATLAB支持教学中的矩阵类型P18 A=[123;456]%变量名=[第一行元素;第二行元素;……;第m行元素] A=ones(2,3)%ones(m,n)创建m*n阶全1矩阵 A=ones(3)%ones(n)创建n*n阶全1(方)矩阵 A=zeros(3,4)%zeros(m,n)创建m*n阶全0矩阵 A=zeros(4)%zeros(m,n)创建m*n阶全0方阵 A=eye(1)%eye(n)创建n阶单位矩阵 B=eye(2)%eye(n)创建n阶单位矩阵 C=eye(4)%eye(n)创建n阶单位矩阵 A=rand(2,3)%rand(m,n)创建m*n阶随机矩阵元素是(0,1)区间上均匀分布的伪随机实数 A=rand(1,1)%rand(m,n)创建m*n阶随机矩阵元素是(0,1)区间上均匀分布的伪随机实数 A=rand(1,3)%rand(m,n)创建m*n阶随机矩阵元素是(0,1)区间上均匀分布的伪随机实数 A=rand(1)%rand(m,n)创建n*n阶随机方阵元素是(0,1)区间上均匀分布的伪随机实数 A=rand(2)%rand(m,n)创建n*n阶随机方阵元素是(0,1)区间上均匀分布的伪随机实数 A=rand(3)%rand(m,n)创建n*n阶随机方阵元素是(0,1)区间上均匀分布的伪随机实数 %MATLAB矩阵的运算及操作P16 clc A=[123;456]; B=[222;333]; C=[1423;2501;3612]; A1=1:49 y=reshape(A1,7,7)' %取矩阵A中的行下标=i,列下标=j的元素A(行下标i,列下标j) A(1,1) A(2,3) %取矩阵A中的第i行元素返回值为行向量A(行下标i;:) A(1,:) A(2,:) %取矩阵A中的第j列元素返回值为列向量A(:;列下标j)

Mathematica矩阵的各种运算

Mathematica可进行矩阵的各种运算,如矩阵求逆、矩阵的转置、矩阵与向量的乘法等.下面列出主要的运算.记k为常数,u,v为向量,A,B为矩阵 k*A------------------------常数乘矩阵 k+u-----------------------向量u的每一个元素加上k u+v----------------------向量的对应元素相加 u.v-----------------------向量的内积 u*v-----------------------向量的对应元素相乘 A.u---------------------矩阵乘向量 u.A-----------------------向量乘矩阵 A.B--------------------------矩阵乘矩阵 Transpose[A]-----------------求矩阵A的转置阵 Inverse[A]--------------------求矩阵A的逆矩阵 Det[A]-------------------------求矩阵A的行列式 Eigenvalues[A]-----------------求数字阵A的特征值 Eigentvectors[A]---------------求数字阵A的特征向量 LinearSolve[A,v]---------------求解线性方程组Ax=v Chop[%n]-------------------舍去第n个输出中无实际意义小量 矩阵可以左乘以向量或右乘以向量, Mathematica也不区分“行”,或“列”向量,自动进行可能的运算. 例: In[1]:=A={{a,b},{c,d}}; v={x,y}; In[2]:=A.v (A左乘以v) Out[2]={ax+by,cx+dy} In[3]:=v.A (A右乘以v) Out[3]={ax+cy,bx+dy} In[4]:=Inverse[A] Out[4]= 如果矩阵的元素是近似数,则求出的逆矩阵也是近似的。 In[5]:=B={{1.2,5.7},{4.2,5.6}}; Inverse[B] Out[5]= In[6]:=%.B Out[6]= 结果与单位矩阵有微小误差,用函数Chop消去无实际意义小量 In[7]:=Chop[%] Out[7]={{1.,0},{0,1.}} 前面已介绍了用Solve解线性方程组,但对于矩阵形式Ax=v的线性方程组,用 LinearSolve[A,v]更方便. In[8]:=M={{2,1},{1,4}}; LinearSolve[M,{a,b}]

向量与矩阵运算

向量与矩阵运算 (摘自:华东师范大学数学系) §2.1向量及矩阵的生成 §2.1.1 通过语句和函数产生 §2.1.2 通过后缀为.m的命令文件产生 §2.2 矩阵操作 Matlab能处理数、向量和矩阵.但一个数事实上是一个1×1的矩阵,1个n 维向量也不过是一个1×n或n×1的矩阵.从这个角度上来讲,Matlab处理的所有的数据都是矩阵.Matlab的矩阵处理能力是非常灵活、强大的.以下我们将从矩阵的产生、基本运算、矩阵函数等几个方面来说明. §2.1向量及矩阵的生成 除了我们在上节介绍的直接列出矩阵元素的输入方法,矩阵还可以通过几种不同的方式输入到Matlab中. §2.1.1 通过语句和函数产生 1. 向量的产生 除了直接列出向量元素(即所谓的“穷举法”)外,最常用的用来产生相同增量的向量的方法是利用“:”算符(即所谓的“描述法”).在Matlab中,它是一个很重要的字符.如: z=1:5 z = 1 2 3 4 5

即产生一个1~5的单位增量是1的行向量,此为默认情况. 用“:”号也可以产生单位增量不等于1的行向量,语法是把增量放在起始量和结尾量的中间.如: x=0:pi/4:pi 即产生一个由0~pi的行向量,单位增量是pi/4=3.1416/4=0.7854. x = 0 0.7854 1.5708 2.3562 3 .1416 也可以产生单位增量为负数的行向量.如: y=6:-1:1 y = 6 5 4 3 2 1 2. 矩阵的产生 Matlab提供了一批产生矩阵的函数: 例如: ones(3) ans = 1 1 1 1 1 1 1 1 1

R语言中矩阵运算

R语言中矩阵运算 目录:矩阵的生成,矩阵的四则运算,矩阵的矩阵运算,矩阵的分解。 1.矩阵的生成 1_1将向量定义成数组 向量只有定义了维数向量(dim属性)后才能被看作是数组.比如: > z=1:12; > dim(z)=c(3,4); AA> z; [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] 1 4 7 10 [2,] 2 5 8 11 [3,] 3 6 9 12 注意:生成矩阵是按列排列的。 1_2用array ( )函数构造多维数组 用法为:array(data=NA,dim=length(data),dimnames=NULL) 参数描述:data:是一个向量数据。 dim:是数组各维的长度,缺省时为原向量的长度。 dimname:是数组维的名字,缺省时为空。 例子:

> x=array(1:20,dim=c(4,5)) > x [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [1,] 1 5 9 13 17 [2,] 2 6 10 14 18 [3,] 3 7 11 15 19 [4,] 4 8 12 16 20 1_3用matrix()函数构造矩阵 函数matrix)是构造矩阵(二维数组)的函数,其构造形式为 matrix(data=NA,nrow=1,ncol=1,byrow=FALSE,dimnames=NULL) 其中data是一个向量数据,nrow是矩阵的行数,ncol是矩阵的列数.当byrow=TRUE 时,生成矩阵的数据按行放置,缺省时相当于byrow=t,数据按列放置.dimname。是数组维的名字,缺省时为空.A 如构造一个3x5阶的矩阵 > A=matrix(1:15,nrow=3,byrow=TRUE) > A [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [1,] 1 2 3 4 5 [2,] 6 7 8 9 10 [3,] 11 12 13 14 15

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