2014年高考导数专题(含详细解答) - 含答案

导数及其应用

导数的运算

1. 几种常见的函数导数：

①、c '= （c 为常数）； ②、n

(x )'= （R n ∈）； ③、)(sin 'x = ；④、)(cos 'x = ；

⑤、x

)'= ； ⑥、x (e )'= ； ⑦、a (log x )'= ； ⑧、(ln x )'= .

2. 求导数的四则运算法则：

()u v u v '''±=±；v u v u uv '+'=')(；2)(v v u v u v u '-'=' )0(2

'''

≠-=??? ??v v u v vu v u

注：① v u ,必须是可导函数. *3. 复合函数的求导法则： )()())((x u f x f x ??'?'=' 或 '

?'='x u x u y y

一、求曲线的切线（导数几何意义）

导数几何意义：0()f x '表示函数()y f x =在点(0x ，0()f x )处切线L 的斜率；

函数()y f x =在点(0x ，0()f x )处切线L 方程为000()()()y f x f x x x '-=-

1.（2009全国卷Ⅱ理）曲线21

y x =

-在点()1,1处的切线方程为

( )

A . 20x y --=

B . 20x y +-=

C .450x y +-=

D . 450x y --= 2.【2012高考广东理12】曲线y =x 3－x ＋3在点（1，3）处的切线方程为．

变式一：

3.（2009江西卷理）设函数2

()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线

()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为

( )

A ．4

B ．14-

C ．2

D ．12

- 4.【2009安徽卷理】已知函数()f x 在R 上满足2

()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处

的切线方程是

( )

A .21y x =-

B .y x =

C .32y x =-

D .23y x =-+

变式二：

5.（2009江苏卷）在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3

:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在

点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 . 6.【2009陕西卷理】设曲线1

*()n y x

n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =，则

1299a a a +++的值为 .

7.（2010辽宁理数）已知点P 在曲线y =

e +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 A 、[0,4

) B 、[,)42ππ C 、3(,]24ππ D 、3[,)4ππ

变式三：

8.（2009全国卷Ⅰ理）已知直线y =x ＋1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为( )

A .1

B . 2

C .－1

D .－2 9.【2009江西卷文】若存在过点(1,0)的直线与曲线3

y x =和215

y ax x =+-都相切，则a 等于

( )

A ．1-或25-

64 B ．1-或214 C ．74-或25

-64

D ．74-或7

10.（2010全国卷理数2）若曲线1

y x -=在点12,a a -?

? ???

处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =

A 、64

B 、32

C 、16

D 、8 11.【2012高考安徽理19】（本小题满分13分）设1

()(0)x

f x ae b a ae =+

+>. （I ）求()f x 在[0,)+∞上的最小值；

（II ）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为3

y x =；求,a b 的值. 12. 【2009福建卷理】若曲线()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 .

二、求单调性或单调区间

1、利用导数判定函数单调性的方法：设函数)(x f y =在某个区间D 内可导，

如果)(x f '＞0，则)(x f y =在区间D 上为增函数；如果)(x f '＜0，则)(x f y =在区间D 上为减函数；如果)(x f '=0恒成立，则)(x f y =在区间D 上为常数.

2、利用导数求函数单调区间的方法：不等式)(x f '＞0的解集与函数)(x f y =定义域的交集，就是)(x f y =的增区间；不等式)(x f '＜0的解集与函数)(x f y =定义域的交集，就是)(x f y =的减区间.

1、函数x

e x x

f )3()(-=的单调递增区间是

( )

A . )2,(-∞

B .(0,3)

C .(1,4)

D . ),2(+∞

2.（2009江苏卷）函数3

()15336f x x x x =--+的单调减区间为 . 3.（2009安徽理）（本小题12分）已知函数2

()(2ln ),(0)f x x a x a =-

+->，讨论()f x 的单调性.

4.【2009天津卷理】（本小题满分12分）已知函数22()(23)(),x

f x x ax a a e x R =+-+∈其中a R ∈

(1)当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； (2)当2

a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值.

三、求函数的极值与最值

1、极值的判别方法：当函数)(x f 在点0x 处连续时，

① 如果在0x 附近的左侧)(x f '＞0，右侧)(x f '＜0，那么)(0x f 是极大值； ② 如果在0x 附近的左侧)(x f '＜0，右侧)(x f '＞0，那么)(0x f 是极小值. 也就是说0x 是极值点的充分条件为0x 点两侧导数异号，而不是)(x f '=0. 2、最值的求法：求f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤如下：

(1) 求 f (x ) 在区间 (a ，b ) 内的极值(极大值或极小值)；

(2) 将 y = f (x ) 的各极值与端点处的函数值 f (a )、f (b ) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.

注：极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 1.【2012高考陕西理7】设函数()x

f x xe =，则（）

A . 1x =为()f x 的极大值点

B .1x =为()f x 的极小值点

C . 1x =-为()f x 的极大值点

D . 1x =-为()f x 的极小值点[学 2.（2011·广东高考理科·Ｔ12）函数

32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值.

3.【2012高考重庆理16】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）设13

()ln 1,22

f x a x x x =+

++其中a R ∈，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴. （Ⅰ）求a 的值；

（Ⅱ）求函数()f x 的极值.

4.（2011·福建卷理科·Ｔ18）(本小题满分13分) 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单

位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3

y x x =

+--，其中3

（II ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 5．【2011·江苏高考·Ｔ17】请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为

60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,D 四个点重合与图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包

装盒.E,F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设)(cm x FB AE ==.

（1）某广告商要求包装盒的侧面积S )(2

cm 最大，试问x 应取何值？

（2）某厂商要求包装盒的容积V )(3

cm 最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒

的高与底面边长的比值.

四、判断函数的零点

1.（2010天津理数）函数f(x )=23x

x +的零点所在的一个区间是 A .（－2，－1）； B .（－1,0）； C .（0,1）； D .（1,2） 2.（2009天津卷理）设函数1

()ln (0),3

f x x x x =

->则()y f x =

( )

A .在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点；

B .在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点；

C .在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点；

D .在区间1

(,1)e

内无零点，在区间(1,)e 内有零点.

3.【2012高考全国卷理10】已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图像与x 轴恰有两个公共点，则c ＝

A .－2或2 ；

B .－9或3 ；

C .－1或1；

D .－3或1

4.【2012高考江苏18】（16分）若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数)(x f y = 的极

值点. 已知a b ，是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点．（1）求a 和b 的值；

（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；

（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．

五、导数与图像

1．（2011·安徽高考理科·Ｔ10）函数

()()

m f x ax x =-在区

间[]0,1上的图象如图所示，则,m n 的值可能是 A ．1,1m n == B ．1,2m n == C ．2,1m n == D ．3,1m n ==

2.（2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是

( )

A ．

B ．

C ．

D ．

3.【2010江西理数】如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()()

00S t S =，则导函数()'y S t =的图像大致为

六、导数与不等式

利用导数求解（证明）不等式主要方法是：将不等式()()t x g x ≥左右两边的多项式移到一边，构造出一个新的函数()()()f x t x g x =-，通过对()f x 求导，根据()f x '的大小和导数的性质，结合已知条件进行求解或证明.

1.（2011·江西高考理科·Ｔ4）若()2

24ln f x x x x =--，则()f x '＞0的解集为

A ．()0,+∞

B . ()()1,02,-?+∞

C . ()2,+∞

D . ()1,0-

2.（2011·辽宁高考理科·Ｔ11）函数f （x ）的定义域为R ，f （－1）=2，对任意x ∈R ，2)(>'x f ，则f （x ）＞2x ＋4的解集为

A .（－1，1）

B .（－1，＋∞）

C .（－∞，－1）

D .（－∞，＋∞）

3.【2009江西卷理】（本小题满分12分）设函数()x

e f x x

(1) 求函数()f x 的单调区间；

(2) 若0k >，求不等式()f '()(1)()0x k x f x +->的解集．

b a

o x

y b a

y o x

b y

4.（2009全国卷Ⅰ理）本小题满分12分.

设函数()3233f x x bx cx =++在两个极值点12x x 、，且12[1

0],[1,2].x x ∈-∈，（I ）求b c 、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点(),b c 的区域； (II)证明：()21102

f x -≤≤-

5.（2009全国卷Ⅱ理）(本题满分12分) 设函数()()2

1f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、，且12x x <

（I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性；（II ）证明：()2122

In f x ->

6.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）已知函数f (x )=2

1x 2

－ax ＋(a －1)ln x ，1a >. （1）讨论函数()f x 的单调性；

（2）证明：若5a <，则对任意x 1，x 2∈(0,)+∞，x 1≠x 2，有1212

()()

1f x f x x x ->--.

7.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）已知函数32()(3)x f x x x ax b e -=+++

（1）如3a b ==-，求()f x 的单调区间；

（2）若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调增加，在(,2),(,)αβ+∞单调减少，证明βα-＜6.

8.【2012高考新课标理21】（本题满分12分）已知函数()f x 满足12

1()(1)(0)2

x f x f e f x x -'=-+；（1）求()f x 的解析式及单调区间；（2）若2

1()2

f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值.

9.【2012高考辽宁理21】（本小题满分12分) 设()ln(1)1(,,,)f x x x ax b a b R a b =++

+++∈为常数，曲线

()y f x =与直线3

y x =

在(0，0)点相切. (Ⅰ)求,a b 的值.

(Ⅱ)证明：当02x <<时，9()6

f x x <+.

10.【2012高考山东理22】(本小题满分13分) 已知函数ln ()x

x k

f x e +=（k 为常数， 2.71828e =???是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. （Ⅰ）求k 的值；

（Ⅱ）求()f x 的单调区间；

（Ⅲ）设2()()'()g x x x f x =+,其中'()f x 为()f x 的导函数.证明：对任意2

0,()1x g x e -><+.

七、求参数范围

1.（2009北京理）（本小题共13分）设函数

()(0)kx f x xe k =≠

（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围.

2．（2011·安徽高考理科·Ｔ16）设2

()1x

e f x ax =+，其中a 为正实数

（Ⅰ）当a 4

时，求()f x 的极值点；（Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围.

3. （2011·新课标全国高考理科·Ｔ21）已知函数ln ()1a x b

f x x x

++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=. （Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k

f x x x

>+-，求k 的取值范围.

4．（2011·北京高考理科·T18）(13分)已知函数

2()()x

f x x k e

=-.

（I ）求()f x 的单调区间；

（II ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有1

()f x e

≤，求k 的取值范围.

5.(2009陕西卷理)（本小题满分12分）已知函数1()ln(1),01x

f x ax x x

-=++

≥+，其中0a > ()I 若()f x 在x =1处取得极值，求a 的值； ()II 求()f x 的单调区间；

（Ⅲ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围.

6.（2011·浙江高考理科·Ｔ22）（本题满分14分）设函数()f x ＝2

()ln x a x -，a ∈R

（Ⅰ）若x ＝e 为()y f x =的极值点，求实数a ；

（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈（0,3e ]，恒有()f x ≤42e 成立. 注：e 为自然对数的底数．

7.【2012高考浙江理22】(本小题满分14分) 已知a ＞0，b ∈R ，函数()3

42f x ax bx a b =--+．

(Ⅰ) 证明：当0≤x ≤1时，

(ⅰ) 函数()f x 的最大值为|2a －b |﹢a ；(ⅱ) ()f x ＋|2a －b |﹢a ≥0；

(Ⅱ) 若－1≤()f x ≤1对x ∈[0，1]恒成立，求a ＋b 的取值范围．

8.【2012高考湖南理22】（本小题满分13分）已知函数()f x =ax

e x =-，其中a ≠0.

(1) 若对一切x ∈R ，()f x ≥1恒成立，求a 的取值集合.

(2) 在函数()f x 的图像上取定两点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 12()x x <，记直线AB 的斜率为K ，问：是否存在x 0∈（x 1，x 2），使0()f x k '>成立？若存在，求0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.

9.【2012高考天津理20】(本题满分14分) 已知函数)ln()(a x x x f +-=的最小值为0，其中.0>a

（Ⅰ）求a 的值；

（Ⅱ）若对任意的),,0[+∞∈x 有)(x f ≤2

kx 成立，求实数k 的最小值；（Ⅲ）证明∑=<+--n

i n i 1

2)12ln(122

（*

n ∈）.

10.（2009广东卷理）（本小题满分14分）已知二次函数()y g x =的导函数的图像与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠．设()

()g x f x x

．（1）若曲线()y f x =上的点P 到点(0,2)Q 的距离的最小值为2，求m 的值；（2）()k k R ∈如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点．

导数及其应用__答案

一、求曲线的切线（导数几何意义）

1、B ；

2、012=+-y x ；

3、A ；

4、A ；

5、（－2，15）；

6、－2；

7、D ；

8、B ；

9、A ；10. A .

11、【解析】（I ）设(1)x

t e t =≥；则2222

111

a t y at

b y a at at at -'=++?=-=， ①当1a ≥时， ()f x 的最小值为1

a b a

++.②当01a <<时， ()f x 的最小值为2b +. （II ）221

a b e =

； 12、{}|0a a <. 二、求单调性或单调区间

1、D ；

2、(1,11)-；

3、①当022a <<时，()f x 在(0,)+∞上是增函数.②当22a =时，()f x 在(0,)+∞上

也是增函数. ③当22a >时，()f x 在28(0,

)2a a --和28

(,)2a a +-+∞上单调递增，在2288

(,)22

a a a a --+-是上单调递减.

4、（I ）3e ；（II ）（1）a 若＞3

2，函数的极大值为.3)2()2(2)(2a

ae a f a f a x x f -=---=，且处取得极大值在函数函数的极小值为.)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极小值在函数（2）a 若＜3

，则函数的极大值为.)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极小值在数函数的极小值为.3)2()2(2)(2a

ae a f a f a x x f -=---=，且处取得极大值在函数

三、求函数的极值与最值

1、D ；

2、2；

3、（1）1a =-；（2）()f x 在1x =处取得极小值()13f =.

4、（I ）2a =；（II ）当4x =时，函数()f x 取得最大值42.

5、（1）当15=x 时，S 取得最大值.（2）当20=x 时取最大值，此时

=a h 四、判断函数的零点

1、B ；

2、D ；

3、A ；

4、（1）==3a b -0，；（2）()g x 的极值点是－2；（3）当=2c 时，函数()y h x =有5 个零点；当2c <时，函数()y h x =有9 个零点.

五、导数与图像

1、m=1，n=2；

2、A ；

3、A .

六、导数与不等式

1、C ；

2、B .

3、 (1) ()f x 的单调增区间是[1,)+∞；单调减区间是(,0)(0,1]-∞，

.(2)当 01k <<时，解集是1{1}x x k <<；当 1k =时，解集是?；当 1k >时，解集是1

{1}x x k

<<.

4.(1)略；(2)由题意有()2

2223630f x x bx c '=++=．．．．．．．．．．．．①

由①、②消去b 可得()32221322

f x x x =-+．又

2[1,2]x ∈，且[2,0]c ∈-，21

10()2

f x ∴-≤≤-.

5、解: （I ）()2222(1)11a x x a f x x x x x ++'=+=>-++，令2()22g x x x a =++，其对称轴为12

x =-. 由题意知12x x 、是方程()0g x =的两个均大于1-的不相等的实根，其充要条件为480

(1)0

a g a ?=->??

-=>?，得

102

a <<

⑴ 当1(1,)x x ∈-时，()0,()f x f x '>∴在1(1,)x -内为增函数； ⑵ 当12(,)x x x ∈时，()0,()f x f x '<∴在12(,)x x 内为减函数； ⑶ 当2,()x x ∈+∞时，()0,()f x f x '>∴在2,()x +∞内为增函数；（II ）由（I ）21

(0)0,02

g a x =>∴-

<<，222(2)a x x =-+2 ()()()22222222221(2)1f x x aln x x x x ln x ∴=++=-++2

设()()2

1(22)1()2

h x x x x ln x x =-++>-，

则()()()22(21)122(21)1h x x x ln x x x ln x '=-++-=-++ ⑴ 当1(,0)2x ∈-时，()0,()h x h x '>∴在1

[,0)2

单调递增； ⑵ 当(0,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 在(0,)+∞单调递减.

()1112ln 2(,0),()224x h x h -∴∈->-=

当时，故()22122

()4