2014年高考导数专题(含详细解答) - 含答案
导数及其应用
导数的运算
1. 几种常见的函数导数:
①、c '= (c 为常数); ②、n
(x )'= (R n ∈); ③、)(sin 'x = ;④、)(cos 'x = ;
⑤、x
(a
)'= ; ⑥、x (e )'= ; ⑦、a (log x )'= ; ⑧、(ln x )'= .
2. 求导数的四则运算法则:
()u v u v '''±=±;v u v u uv '+'=')(;2)(v v u v u v u '-'=' )0(2
'''
≠-=??? ??v v u v vu v u
注:① v u ,必须是可导函数. *3. 复合函数的求导法则: )()())((x u f x f x ??'?'=' 或 '
?'='x u x u y y
一、求曲线的切线(导数几何意义)
导数几何意义:0()f x '表示函数()y f x =在点(0x ,0()f x )处切线L 的斜率;
函数()y f x =在点(0x ,0()f x )处切线L 方程为000()()()y f x f x x x '-=-
1.(2009全国卷Ⅱ理)曲线21
x
y x =
-在点()1,1处的切线方程为
( )
A . 20x y --=
B . 20x y +-=
C .450x y +-=
D . 450x y --= 2.【2012高考广东理12】曲线y =x 3-x +3在点(1,3)处的切线方程为 .
变式一:
3.(2009江西卷理)设函数2
()()f x g x x =+,曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+,则曲线
()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为
( )
A .4
B .14-
C .2
D .12
- 4.【2009安徽卷理】已知函数()f x 在R 上满足2
()2(2)88f x f x x x =--+-,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处
的切线方程是
( )
A .21y x =-
B .y x =
C .32y x =-
D .23y x =-+
变式二:
5.(2009江苏卷)在平面直角坐标系xoy 中,点P 在曲线3
:103C y x x =-+上,且在第二象限内,已知曲线C 在
点P 处的切线的斜率为2,则点P 的坐标为 . 6.【2009陕西卷理】设曲线1
*()n y x
n N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =,则
1299a a a +++的值为 .
7.(2010辽宁理数)已知点P 在曲线y =
4
1
x
e +上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是 A 、[0,4
π
) B 、[,)42ππ C 、3(,]24ππ D 、3[,)4ππ
变式三:
8.(2009全国卷Ⅰ理) 已知直线y =x +1与曲线y ln()x a =+相切,则α的值为( )
A .1
B . 2
C .-1
D .-2 9.【2009江西卷文】若存在过点(1,0)的直线与曲线3
y x =和215
94
y ax x =+-都相切,则a 等于
( )
A .1-或25-
64 B .1-或214 C .74-或25
-64
D .74-或7
10.(2010全国卷理数2)若曲线1
2
y x -=在点12,a a -?
? ???
处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18,则a =
A 、64
B 、32
C 、16
D 、8 11.【2012高考安徽理19】(本小题满分13分) 设1
()(0)x
x
f x ae b a ae =+
+>. (I )求()f x 在[0,)+∞上的最小值;
(II )设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为3
2
y x =;求,a b 的值. 12. 【2009福建卷理】若曲线()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是 .
二、求单调性或单调区间
1、利用导数判定函数单调性的方法:设函数)(x f y =在某个区间D 内可导,
如果)(x f '>0,则)(x f y =在区间D 上为增函数; 如果)(x f '<0,则)(x f y =在区间D 上为减函数; 如果)(x f '=0恒成立,则)(x f y =在区间D 上为常数.
2、利用导数求函数单调区间的方法:不等式)(x f '>0的解集与函数)(x f y =定义域的交集,就是)(x f y =的增区间;不等式)(x f '<0的解集与函数)(x f y =定义域的交集,就是)(x f y =的减区间.
1、函数x
e x x
f )3()(-=的单调递增区间是
( )
A . )2,(-∞
B .(0,3)
C .(1,4)
D . ),2(+∞
2.(2009江苏卷)函数3
2
()15336f x x x x =--+的单调减区间为 . 3.(2009安徽理)(本小题12分) 已知函数2
()(2ln ),(0)f x x a x a =-
+->,讨论()f x 的单调性.
4.【2009天津卷理】(本小题满分12分)已知函数22()(23)(),x
f x x ax a a e x R =+-+∈其中a R ∈
(1)当0a =时,求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率; (2)当2
3
a ≠时,求函数()f x 的单调区间与极值.
三、求函数的极值与最值
1、极值的判别方法:当函数)(x f 在点0x 处连续时,
① 如果在0x 附近的左侧)(x f '>0,右侧)(x f '<0,那么)(0x f 是极大值; ② 如果在0x 附近的左侧)(x f '<0,右侧)(x f '>0,那么)(0x f 是极小值. 也就是说0x 是极值点的充分条件为0x 点两侧导数异号,而不是)(x f '=0. 2、最值的求法:求f (x )在[a ,b ]上的最大值与最小值的步骤如下:
(1) 求 f (x ) 在区间 (a ,b ) 内的极值(极大值或极小值);
(2) 将 y = f (x ) 的各极值与端点处的函数值 f (a )、f (b ) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个最小值.
注:极值与最值的区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较. 1.【2012高考陕西理7】设函数()x
f x xe =,则( )
A . 1x =为()f x 的极大值点
B .1x =为()f x 的极小值点
C . 1x =-为()f x 的极大值点
D . 1x =-为()f x 的极小值点[学 2.(2011·广东高考理科·T12)函数
32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值.
3.【2012高考重庆理16】(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分.) 设13
()ln 1,22
f x a x x x =+
++其中a R ∈,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴. (Ⅰ) 求a 的值;
(Ⅱ)求函数()f x 的极值.
4.(2011·福建卷理科·T18)(本小题满分13分) 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y (单
位:千克)与销售价格x (单位:元/千克)满足关系式210(6)3
a
y x x =
+--,其中3 (II )若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 5.【2011·江苏高考·T17】请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D 四个点重合与图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包 装盒.E,F 在AB 上,是被切去的一个等腰直角三角形斜 边的两个端点,设)(cm x FB AE ==. (1)某广告商要求包装盒的侧面积S )(2 cm 最大,试问x 应取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积V )(3 cm 最大,试问x 应取何值?并求出此时包装盒 的高与底面边长的比值. 四、判断函数的零点 1.(2010天津理数)函数f(x )=23x x +的零点所在的一个区间是 A .(-2,-1); B .(-1,0); C .(0,1); D .(1,2) 2.(2009天津卷理)设函数1 ()ln (0),3 f x x x x = ->则()y f x = ( ) A .在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点; B .在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点; C .在区间1(,1)e 内有零点,在区间(1,)e 内无零点; D .在区间1 (,1)e 内无零点,在区间(1,)e 内有零点. 3.【2012高考全国卷理10】已知函数y =x 3-3x +c 的图像与x 轴恰有两个公共点,则c = A .-2或2 ; B .-9或3 ; C .-1或1; D .-3或1 4.【2012高考江苏18】(16分)若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值,则称0x 为函数)(x f y = 的极 值点. 已知a b ,是实数,1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点. (1)求a 和b 的值; (2)设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+,求()g x 的极值点; (3)设()(())h x f f x c =-,其中[22]c ∈-,,求函数()y h x =的零点个数. 五、导数与图像 1.(2011·安徽高考理科·T10)函数 ()() 1n m f x ax x =-在区 间[]0,1上的图象如图所示,则,m n 的值可能是 A .1,1m n == B .1,2m n == C .2,1m n == D .3,1m n == 2.(2009湖南卷文)若函数()y f x =的导函数...在区间[,]a b 上是增函数,则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是 ( ) A . B . C . D . 3.【2010江西理数】如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()() 00S t S =,则导函数()'y S t =的图像大致为 六、导数与不等式 利用导数求解(证明)不等式 主要方法是:将不等式()()t x g x ≥左右两边的多项式移到一边,构造出一个新的函数()()()f x t x g x =-,通过对()f x 求导,根据()f x '的大小和导数的性质,结合已知条件进行求解或证明. 1.(2011·江西高考理科·T4)若()2 24ln f x x x x =--,则()f x '>0的解集为 A .()0,+∞ B . ()()1,02,-?+∞ C . ()2,+∞ D . ()1,0- 2.(2011·辽宁高考理科·T11)函数f (x )的定义域为R ,f (-1)=2,对任意x ∈R ,2)(>'x f , 则f (x )>2x +4的解集为 A .(-1,1) B .(-1,+∞) C .(-∞,-1) D .(-∞,+∞) 3.【2009江西卷理】(本小题满分12分)设函数()x e f x x = (1) 求函数()f x 的单调区间; (2) 若0k >,求不等式()f '()(1)()0x k x f x +->的解集. a b a b a o x o x y b a o x y o x y b y 4.(2009全国卷Ⅰ理)本小题满分12分. 设函数()3233f x x bx cx =++在两个极值点12x x 、,且12[1 0],[1,2].x x ∈-∈, (I )求b c 、满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点(),b c 的区域; (II)证明:()21102 f x -≤≤- 5.(2009全国卷Ⅱ理)(本题满分12分) 设函数()()2 1f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、,且12x x < (I )求a 的取值范围,并讨论()f x 的单调性; (II )证明:()2122 4 In f x -> 6.(2009辽宁卷理)(本小题满分12分)已知函数f (x )=2 1x 2 -ax +(a -1)ln x ,1a >. (1)讨论函数()f x 的单调性; (2)证明:若5a <,则对任意x 1,x 2∈(0,)+∞,x 1≠x 2,有1212 ()() 1f x f x x x ->--. 7.(2009宁夏海南卷理)(本小题满分12分)已知函数32()(3)x f x x x ax b e -=+++ (1)如3a b ==-,求()f x 的单调区间; (2)若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调增加,在(,2),(,)αβ+∞单调减少,证明βα-<6. 8.【2012高考新课标理21】(本题满分12分)已知函数()f x 满足12 1()(1)(0)2 x f x f e f x x -'=-+; (1)求()f x 的解析式及单调区间; (2)若2 1()2 f x x ax b ≥++,求(1)a b +的最大值. 9.【2012高考辽宁理21】(本小题满分12分) 设()ln(1)1(,,,)f x x x ax b a b R a b =++ +++∈为常数,曲线 ()y f x =与直线3 2 y x = 在(0,0)点相切. (Ⅰ)求,a b 的值. (Ⅱ)证明:当02x <<时,9()6 x f x x <+. 10.【2012高考山东理22】(本小题满分13分) 已知函数ln ()x x k f x e +=(k 为常数, 2.71828e =???是自然对数的底数),曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. (Ⅰ)求k 的值; (Ⅱ)求()f x 的单调区间; (Ⅲ)设2()()'()g x x x f x =+,其中'()f x 为()f x 的导函数.证明:对任意2 0,()1x g x e -><+. 七、求参数范围 1.(2009北京理)(本小题共13分)设函数 ()(0)kx f x xe k =≠ (Ⅰ)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅲ)若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增,求k 的取值范围. 2.(2011·安徽高考理科·T16)设2 ()1x e f x ax =+,其中a 为正实数 (Ⅰ)当a 4 3 = 时,求()f x 的极值点; (Ⅱ)若()f x 为R 上的单调函数,求a 的取值范围. 3. (2011·新课标全国高考理科·T21)已知函数ln ()1a x b f x x x = ++,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=. (Ⅰ)求a 、b 的值; (Ⅱ)如果当0x >,且1x ≠时,ln ()1x k f x x x >+-,求k 的取值范围. 4.(2011·北京高考理科·T18)(13分)已知函数 2()()x k f x x k e =-. (I )求()f x 的单调区间; (II )若对于任意的(0,)x ∈+∞,都有1 ()f x e ≤,求k 的取值范围. 5.(2009陕西卷理)(本小题满分12分)已知函数1()ln(1),01x f x ax x x -=++ ≥+,其中0a > ()I 若()f x 在x =1处取得极值,求a 的值; ()II 求()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 的最小值为1,求a 的取值范围. 6.(2011·浙江高考理科·T22)(本题满分14分)设函数()f x =2 ()ln x a x -,a ∈R (Ⅰ)若x =e 为()y f x =的极值点,求实数a ; (Ⅱ)求实数a 的取值范围,使得对任意的x ∈(0,3e ],恒有()f x ≤42e 成立. 注:e 为自然对数的底数. 7.【2012高考浙江理22】(本小题满分14分) 已知a >0,b ∈R ,函数()3 42f x ax bx a b =--+. (Ⅰ) 证明:当0≤x ≤1时, (ⅰ) 函数()f x 的最大值为|2a -b |﹢a ;(ⅱ) ()f x +|2a -b |﹢a ≥0; (Ⅱ) 若-1≤()f x ≤1对x ∈[0,1]恒成立,求a +b 的取值范围. 8.【2012高考湖南理22】(本小题满分13分)已知函数()f x =ax e x =-,其中a ≠0. (1) 若对一切x ∈R ,()f x ≥1恒成立,求a 的取值集合. (2) 在函数()f x 的图像上取定两点11(,())A x f x ,22(,())B x f x 12()x x <,记直线AB 的斜率为K , 问:是否存在x 0∈(x 1,x 2),使0()f x k '>成立?若存在,求0x 的取值范围;若不存在,请说明理由. 9.【2012高考天津理20】(本题满分14分) 已知函数)ln()(a x x x f +-=的最小值为0,其中.0>a (Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)若对任意的),,0[+∞∈x 有)(x f ≤2 kx 成立,求实数k 的最小值; (Ⅲ)证明∑=<+--n i n i 1 2)12ln(122 (* N n ∈). 10.(2009广东卷理)(本小题满分14分)已知二次函数()y g x =的导函数的图像与直线2y x =平行,且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠.设() ()g x f x x = . (1)若曲线()y f x =上的点P 到点(0,2)Q 的距离的最小值为2,求m 的值; (2)()k k R ∈如何取值时,函数()y f x kx =-存在零点,并求出零点. 导数及其应用__答案 一、求曲线的切线(导数几何意义) 1、B ; 2、012=+-y x ; 3、A ; 4、A ; 5、(-2,15); 6、-2; 7、D ; 8、B ; 9、A ;10. A . 11、【解析】(I )设(1)x t e t =≥;则2222 111 a t y at b y a at at at -'=++?=-=, ①当1a ≥时, ()f x 的最小值为1 a b a ++.②当01a <<时, ()f x 的最小值为2b +. (II )221 ,2 a b e = = ; 12、{}|0a a <. 二、求单调性或单调区间 1、D ; 2、(1,11)-; 3、①当022a <<时,()f x 在(0,)+∞上是增函数.②当22a =时,()f x 在(0,)+∞上 也是增函数. ③当22a >时,()f x 在28(0, )2a a --和28 (,)2a a +-+∞上单调递增, 在2288 (,)22 a a a a --+-是上单调递减. 4、(I )3e ;(II )(1)a 若>3 2,函数的极大值为.3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=,且处取得极大值在函数函数的极小值为.)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ,且处取得极小值在函数 (2)a 若<3 2 ,则函数的极大值为.)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ,且处取得极小值在数函数的极小值为.3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=,且处取得极大值在函数 三、求函数的极值与最值 1、D ; 2、2; 3、(1)1a =-;(2)()f x 在1x =处取得极小值()13f =. 4、(I )2a =;(II )当4x =时,函数()f x 取得最大值42. 5、(1)当15=x 时,S 取得最大值.(2)当20=x 时取最大值,此时 2 1 =a h 四、判断函数的零点 1、B ; 2、D ; 3、A ; 4、(1)==3a b -0,;(2)()g x 的极值点是-2;(3)当=2c 时,函数()y h x =有5 个零点;当2c <时,函数()y h x =有9 个零点. 五、导数与图像 1、m=1,n=2; 2、A ; 3、A . 六、导数与不等式 1、C ; 2、B . 3、 (1) ()f x 的单调增区间是[1,)+∞; 单调减区间是(,0)(0,1]-∞, .(2)当 01k <<时, 解集是1{1}x x k <<;当 1k =时,解集是?;当 1k >时, 解集是1 {1}x x k <<. 4.(1)略;(2)由题意有()2 2223630f x x bx c '=++=............① 32 由①、②消去b 可得()32221322 c f x x x =-+.又 2[1,2]x ∈,且[2,0]c ∈-,21 10()2 f x ∴-≤≤-. 5、解: (I )()2222(1)11a x x a f x x x x x ++'=+=>-++,令2()22g x x x a =++,其对称轴为12 x =-. 由题意知12x x 、是方程()0g x =的两个均大于1-的不相等的实根,其充要条件为480 (1)0 a g a ?=->?? -=>?,得 102 a << ⑴ 当1(1,)x x ∈-时,()0,()f x f x '>∴在1(1,)x -内为增函数; ⑵ 当12(,)x x x ∈时,()0,()f x f x '<∴在12(,)x x 内为减函数; ⑶ 当2,()x x ∈+∞时,()0,()f x f x '>∴在2,()x +∞内为增函数; (II )由(I )21 (0)0,02 g a x =>∴- <<,222(2)a x x =-+2 ()()()22222222221(2)1f x x aln x x x x ln x ∴=++=-++2 设()()2 2 1(22)1()2 h x x x x ln x x =-++>-, 则()()()22(21)122(21)1h x x x ln x x x ln x '=-++-=-++ ⑴ 当1(,0)2x ∈-时,()0,()h x h x '>∴在1 [,0)2 - 单调递增; ⑵ 当(0,)x ∈+∞时,()0h x '<,()h x 在(0,)+∞单调递减. ()1112ln 2(,0),()224x h x h -∴∈->-= 当时,故()22122 ()4 In f x h x -=>. 6、解析: (1)()f x 的定义域为(0,)+∞. ()f x '2' 11(1)(1) ()a x ax a x x a f x x a x x x --+--+-=-+== 2分 (i )若11a -=,即2a =,则()f x '2 ' (1)()x f x x -=,故()f x 在(0,)+∞单调增加. (ii) 若11a -<,而1a >,故12a <<,则当(1,1)x a ∈-时,' ()0f x <; 当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时,' ()0f x > 故()f x 在(1,1)a -单调减少,在(0,1),(1,)a -+∞单调增加. (iii) 若11a ->,即2a >,同理可得()f x 在(1,1)a -单调减少,在(0,1),(1,)a -+∞单调增加. (2) 考虑函数 ()()g x f x x =+2 1(1)ln 2 x ax a x x = -+-+ 则211 ()(1)2(1)1(11)a a g x x a x a a x x --'=--+ ≥--=---g 由于1,即g(x )在(4, +∞)单调增加, 从而当120x x >>时有12()()0g x g x ->,即1212()()0f x f x x x -+->,故 1212 ()() 1f x f x x x ->--,当 120x x <<时,有 12211221 ()()()() 1f x f x f x f x x x x x --=>--- ·········12分 7、(1)()(,3),(0,3)303f x -∞--+∞在单调增加,在(,),(,)单调减. (2)3 2 23'()(3)(36)[(6)].x x x f x x x ax b e x x a e e x a x b a ---=-++++++=-+-+- 由条件得:3 '(2)0,22(6)0,4,f a b a b a =+-+-==-即故 从而3 '()[(6)42].x f x e x a x a -=-+-+-因为'()'()0,f f αβ== ∴3 (6)42(2)()()x a x a x x x αβ+-+-=---2 (2)(()).x x x αβαβ=--++ 将右边展开,与左边比较系数得,2, 2.a αβαβ+=-=- 故2 ()4124.a βαβααβ-=+-=- 又(2)(2)0,2()40.βααβαβ--<-++<即由此可得 6.a <- 于是 6.βα-> 8、解:(1)()f x 的解析式为2 1()2 x f x e x x =-+,且单调递增区间为(0,)+∞,单调递减区间为(,0)-∞ (2)2 1()()(1)02 x f x x ax b h x e a x b ≥ ++?=-+-≥,得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时,()0()h x y h x '>?=在x R ∈上单调递增 x →-∞时,()h x →-∞与()0h x ≥矛盾 ②当10a +>时,()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>?>+<+ 得:当ln(1)x a =+时,min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥ 2 2 (1)(1)(1)ln(1) (10)a b a a a a +≤+-+++> 令2 2()ln (0)F x x x x x =->;则()(12ln )F x x x '=- ()00,()0F x x e F x x e ''>?<<>, 则当x e =时,max ()2 e F x = 当1,a e b e = -=时,(1)a b +的最大值为 2 e (2)证:首先由均值不等式得:当>0x 时,()2 +11<+1+1=+2x x x ,故 +1<+12 x x 再次记()()9=- +6 x h x f x x ,则()()()()()()222 11542++154+654'=+-=-<-+12+14+12+1+6+6+6x x h x x x x x x x x ()()()() 3 2+6-216+1=4+1+6x x x x , 令()()()3 =+6-216+1g x x x ,则当0<<2x 时,()()2 '=3+6-216<0g x x 因此()g x 在()0,2内是减函数,又由()0=0g ,得()<0g x ,∴()'<0h x 因此()h x 在()0,2内是减函数,又由()0=0h ,得()<0h x ,于是当0<<2x 时, ()9<+6 x f x x …12分 10、解:(Ⅰ)k=1;(Ⅱ)()f x 的增区间为(0,1);减区间为(1,)+∞. (Ⅲ)21()()'()(1ln )x x g x x x f x e x x x +=+=?--,先研究1ln x x x --,再研究1x x e +. ① 记()1ln ,0i x x x x x =-->,'()ln 2i x x =--,令'()0i x =,得2x e -=, 当(0x ∈,2)e -时,'()0i x >,()i x 单增; 当2(x e -∈,)+∞时,'()0i x <,()i x 单减 . ∴22max ()()1i x i e e --==+,即21ln 1x x x e ---≤+. ② 记1(),0x x j x x e +=>,'()0x x j x e =-<,∴()j x 在(0,)+∞单减,∴()(0)1j x j <=, 即11x x e +< 综①、②知,2211()(1ln )(1)1x x x x g x x x x e e e e --++=--≤+<+. 七、求参数范围 1、(Ⅰ)y x =;(Ⅱ)由()f x '()()' 10kx f x kx e =+=,得()1 0x k k =-≠, 若0k >,则当1,x k ??∈-∞- ??? 时,()' 0f x <,函数()f x 单调递减, 当1,,x k ?? ∈- +∞ ??? 时,()'0f x >,函数()f x 单调递增, 若0k <,则当1,x k ??∈-∞- ?? ? 时,()' 0f x >,函数()f x 单调递增, 当1,,x k ?? ∈- +∞ ??? 时,()'0f x <,函数()f x 单调递减, (Ⅲ)由(Ⅱ)知,若0k >,则当且仅当1 1k - ≤-,即1k ≤时,函数()f x ()1,1-内单调递增, 若0k <,则当且仅当1 1k - ≥,即1k ≥-时,函数()f x ()1,1-内单调递增, 2、(Ⅰ)当时,34= a 令0)(='x f ,则03842 =+-x x .解得2 1,2321==x x , 列表得 x )2 1 ,(-∞ 2 1 )2 3,21( 2 3 ?? ? ??+∞,23 )(x f ' + 0 - 0 + )(x f ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴231= x 是极小值点,2 1 2=x 是极大值点. (Ⅱ)若)(x f 为R 上的单调函数,则)(x f '在R 上不变号,结合2 22)1(21)(ax ax ax e x f x +-+='与条件a >0, 知0122 ≥+-ax ax 在R 上恒成立,因此.0)1(4442 ≤-=-=?a a a a 由此并结合a>0,知10≤ 3、(Ⅰ)1a =,1b =. (Ⅱ)由(Ⅰ)知ln 1f ()1x x x x =++,∴22 ln 1(1)(1) ()()(2ln )11x k k x f x x x x x x ---+=+--. 考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1) k x x --(0)x >,则22 (1)(1)2'()k x x h x x -++=. ① 设0k ≤,由22 2 (1)(1)'()k x x h x x +--=知,当1x ≠时,'()0h x <,h(x )递减.而(1)0h =, 故当(0,1)x ∈时, ()0h x >,可得 2 1 ()01h x x >-; 当x ∈(1,+∞)时,h(x ) < 0,可得211 x - h (x )>0 从而当x >0,且x ≠1时,f (x )-(1ln -x x +x k )>0,即f (x )>1ln -x x +x k . ② 设0< k<1.由于2 (1)(1)2k x x -++=2 (1)21k x x k -++-的图像开口向下, 且2 44(1)0k ?=-->,对称轴x = 1 11k >-. 当x ∈(1,k -11)时,(k -1)(x 2 +1)+2x >0, 故h '(x )>0,而h (1)=0,故当x ∈(1, k -11)时,h(x ) > 0,可得2 11 x -h(x ) < 0,与题设矛盾. ③设k ≥1. ∵ x >0且x ≠1,∴此时2 (1)(1)20k x x -++>?' h (x )>0,而h (1)=0, 故当x ∈(1,+∞)时,h (x )>0,可得2 11 x - h (x )<0,与题设矛盾. 综合得,k 的取值范围为(-∞,0] 4、 (Ⅰ)当k>0时,()f x 的单调增区间是(,)k -∞-和(,)k +∞;单调减区间是(,)k k -. 当0k <时,()f x 的单调减区间是(,)k -∞和(,)k -+∞;单调增区间是(,)k k -. (Ⅱ)当0k >时,因为11(1)k k f k e e ++=>,∴不会有(0,)x ?∈+∞,1() f x e ≤. 当0k <时,由(1)知()f x 在(0,)+∞上的最大值是2 4()k f k e -=. ∴1(0,),()x f x e ?∈+∞≤等价于241()k f k e e -=≤,解得1 02 k -≤<. 故当(0,)x ?∈+∞,1()f x e ≤ 时,k 的取值范围是1 [,0)2 -. 5、解(Ⅰ) 1.a =(Ⅱ)①当2a ≥时,()f x 的单调增区间为(0,).+∞ ②当02a <<时, ()),a a f x a a +∞2-2-的单调减区间为(0, 单调增区间为(,). (Ⅲ)若()f x 得最小值为1,则a 的取值范围是[2,).+∞ 6、(Ⅰ)∴a e = 或3a e =. (Ⅱ) ①当01x <≤时,对于任意的实数a ,恒有2 ()04f x e ≤<成立, ②当13x e <≤,由题意,首先有2 2 (3)(3)ln(3)4f e e a e e =-≤, 解得2233ln(3)ln(3) e e e a e e e - ≤≤+, 由(Ⅰ)知'()()(2ln 1)a f x x a x x =-+-, 令 ()2ln 1a h x x x =+- ,则(1)10h a =-<,()2ln 0h a a =>, 且23ln(3)(3)2ln(3)12ln(3)133e e e a h e e e e e + =+- ≥+-=1 2(ln 3)03ln(3) e e - >. 又()h x 在(0,+∞)内单调递增,∴函数()h x 在(0,+∞)内有唯一零点,记此零点为0x , 则013x e <<,01x a <<. 从而,当0(0,)x x ∈时,'()0f x >;当0(,)x x a ∈时,'()0f x <;当(,)x a ∈+∞时,'()0f x >, 即()f x 在0(0,)x 内单调递增,在0,()x a 内单调递减,在(,)a +∞内单调递增. ∴要使2 ()4f x e ≤对](1,3x e ∈恒成立,只要 22 00022 ()()ln 4,(1)(3)(3)ln(3)4,(2) f x x a x e f e e a e e ?=-≤??=-≤?? 成立. 00()2ln 10a h x x =+- =,知0002ln a x x x =+ (3) 将(3)代入(1)得232004ln 4x x e ≤,又01x >,注意到函数23 ln x x 在[1,+∞)内单调递增,故01x e <≤ 再 由(3)以及函数2x ln x +x 在(1, +∞)内单调递增,可得13a e <≤. 由(2)解得,2233ln(3)ln(3)e e e a e e e - ≤≤+. ∴233ln(3) e e a e e -≤≤ 综上,a 的取值范围为233ln(3) e e a e e - ≤≤. 7、 (Ⅰ) (ⅰ)()2122f x ax b '=-. 当b ≤0时,()2122f x ax b '=->0在0≤x ≤1上恒成立, 此时()f x 的最大值为:()1423f a b a b a b =--+=-=|2a -b |﹢a ; 当b >0时,()2122f x ax b '=-在0≤x ≤1上的正负性不能判断, 此时()f x 的最大值为:()max 2max{(0)1}max{()3}32b a b a f x f f b a a b a b b a ->?==--=?- ,,(),(),=|2a -b |﹢a ; 综上所述:函数()f x 在0≤x ≤1上的最大值为|2a -b |﹢a ; (ⅱ) 要证()f x +|2a -b |﹢a ≥0,即证()g x =-()f x ≤|2a -b |﹢a . 亦即证()g x 在0≤x ≤1上的最大值小于(或等于)|2a -b |﹢a , ∵()342g x ax bx a b =-++-,∴令()2 12206b g x ax b x a '=-+=?= . 当b ≤0时,()2122g x ax b '=-+<0在0≤x ≤1上恒成立, 此时()g x 的最大值为:()03g a b a b =-<-=|2a -b |﹢a ; 当b <0时,()2122g x ax b '=-+在0≤x ≤1上的正负性不能判断, ()max max{( )1}6b g x g g a =,() 4max{2} 36463662b b a b b a a b b a b a b a b a b a =+--?≤+-?=?>?-? ,,, ≤|2a -b |﹢a ; 综上所述:函数()g x 在0≤x ≤1上的最大值小 于(或 等于)|2a -b |﹢a . (Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数()f x 在0≤x ≤1上的最大值为|2a -b |﹢a , 且函数()f x 在0≤x ≤1上的最小值比-(|2a -b |﹢a )要大. ∵-1≤()f x ≤1对x ∈[0,1]恒成立,∴|2a -b |﹢a ≤1. 取b 为纵轴,a 为横轴.则可行域为:21b a b a ≥?? -≤?和231b a a b ?-≤? ,目标函数为z =a +b . 作出可行域,由图易得:当目标函数为z =a +b 过P(1,2)时,有max 3z =. ∴所求a +b 的取值范围为:(]3-∞,. 8、解:(Ⅰ)若0a <,则对一切0x >,()f x 1ax e x =-<,这与题设矛盾,又0a ≠,故0a >. 而()1,ax f x ae '=-令11 ()0,ln .f x x a a '==得 当11ln x a a < 时,()0,()f x f x '<单调递减;当11 ln x a a >时,()0,()f x f x '>单调递增,故当11ln x a a =时,()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a =- 于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立,当且仅当 111 ln 1a a a -≥. ① 令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=- 当01t <<时,()0,()g t g t '>单调递增;当1t >时,()0,()g t g t '<单调递减. 故当1t =时,()g t 取最大值(1)1g =.因此,当且仅当1 1a =即1a =时,①式成立. 综上所述,a 的取值集合为{}1. (Ⅱ)由题意知,21212121()() 1.ax ax f x f x e e k x x x x --==--- 令2121 ()(),ax ax ax e e x f x k ae x x ?-'=-=-- 则121()12121()()1,ax a x x e x e a x x x x ?-??=----??- 212()21221 ()()1.ax a x x e x e a x x x x ?-??=---??- 令()1t F t e t =--,则()1t F t e '=-. 当0t <时,()0,()F t F t '<单调递减;当0t >时,()0,()F t F t '>单调递增. 故当0t =,()(0)0,F t F >=即10.t e t --> 从而21() 21()10a x x e a x x ---->,12()12()10,a x x e a x x ----> 又1210,ax e x x >-2 21 0,ax e x x >- ∴1()0,x ?<2()0.x ?> 2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题精心校对版题号一总分得分△注意事项:1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。2.本系列文档有相关的试题分类汇编,具体见封面。3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年(2011年-2020年)高考所有学科一、解答题(本大题共10小题,共0分)1.(2013年北京高考真题数学(文))已知函数2()sin cos f x x x x x (1)若曲线()y f x 在点(,())a f a 处与直线y b 相切,求a 与b 的值。(2)若曲线()y f x 与直线y b 有两个不同的交点,求b 的取值范围。2.(2012年北京高考真题数学(文))已知函数2()1(0)f x ax a ,3()g x x bx .(Ⅰ)若曲线()y f x 与曲线()y g x 在它们的交点(1,)c 处具有公共切线,求,a b 的值;(Ⅱ)当3a ,9b 时,若函数()()f x g x 在区间[,2]k 上的最大值为28,求k 的取值范围.3.(2011年北京高考真题数学(文))已知函数()()x f x x k e . (Ⅰ)求()f x 的单调区间;(Ⅱ)求()f x 在区间[0,1]上的最小值. 4.(2009年北京高考真题数学(文))姓名:__________班级:__________考号:__________●-------------------------密--------------封- -------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------● 第二部分 导数、微分及其导数的应用 知识汇总 一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则 若)(u f y =与)(x u φ=均可导,则[])(x f y φ=也可导,且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则 若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数,且)(y φ单调、可导,则 )(1)(y x f φ'= ',即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法 求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导(注意其中变量y 是x 的函数),然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法 对数求导法是先取对数,然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题: (1)幂指数函数y=)()(x v x u ;(2)由若干个因子的乘积或商的显函数,如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则 设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x),其中)(),(t t ?φ 可导,且)(t φ'≠0,则y=f(x)可导,且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法 二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = ', (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax 全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案) (2015年-2018年共11套) 函数与导数小题(共23小题) 一、函数奇偶性与周期性 1.(2015年1卷13)若函数f (x ) =ln(x x +为偶函数,则a= 【解析】由题知ln(y x = 是奇函数,所以ln(ln(x x ++- =22ln()ln 0a x x a +-==,解得a =1.考点:函数的奇偶性 2.(2018年2卷11)已知是定义域为的奇函数,满足 .若 , 则 A. B. 0 C. 2 D. 50 解:因为是定义域为 的奇函数,且 , 所以, 因此, 因为 ,所以, ,从而 ,选C. 3.(2016年2卷12)已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-,若函数1 x y x += 与()y f x =图像的交点为()11x y ,,()22x y ,,?,()m m x y ,,则()1 m i i i x y =+=∑( ) (A )0 (B )m (C )2m (D )4m 【解析】由()()2f x f x =-得()f x 关于()01, 对称,而11 1x y x x +==+也关于()01,对称, ∴对于每一组对称点'0i i x x += '=2i i y y +,∴()1 1 1 022 m m m i i i i i i i m x y x y m ===+=+=+? =∑∑∑,故选B . 二、函数、方程与不等式 4.(2015年2卷5)设函数211log (2),1, ()2,1,x x x f x x -+-=?≥? ,2(2)(log 12)f f -+=( ) (A )3 (B )6 (C )9 (D )12 导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则,了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?,那么函数y 相应地有增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0),比值x y ??叫做函数y=f (x )在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率,即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时,x y ??有极限,我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导,并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数,记作f’(x 0)或y’|0x x =。 即f (x 0)=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明: (1)函数f (x )在点x 0处可导,是指0→?x 时,x y ??有极限。如果x y ??不存在极限,就说函数在点x 0处不可导, 或说无导数。 (2)x ?是自变量x 在x 0处的改变量,0≠?x 时,而y ?是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数y=f (x )在点x 0处的导数的步骤: (1)求函数的增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0); (2)求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00; (3)取极限,得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是f’(x 0)。相应地,切线方程为y -y 0=f/(x 0)(x -x 0)。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即: ( .)' ''v u v u ±=± 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数, 即: .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数: .)(''Cu Cu = 法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方: ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -(v ≠0)。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解——求导——回代。法则:y '|x = y '|u ·u '|x 五、导数应用 1、单调区间: 一般地,设函数)(x f y =在某个区间可导, 高考数学真题汇编——函数与导数 1.【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 点睛:有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路:(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,判断图象的上、下位置;(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)由函数的周期性,判断图象的循环往复. 2.【2018年理天津卷】已知,,,则a,b,c的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析:由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解:由题意结合对数函数的性质可知:,, , 据此可得:.本题选择D选项. 点睛:对于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但很多时候,因幂的底数或指数不相同,不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确. 3.【2018年理新课标I卷】已知函数.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 A. [–1,0) B. [0,+∞) C. [–1,+∞) D. [1,+∞) 【答案】C 详解:画出函数的图像,在y轴右侧的去掉,再画出直线,之后上下移动,可以发现当直线过点A时,直线与函数图像有两个交点,并且向下可以无限移动,都可以保证直线与函数的图像有两个交点,即方程有两个解,也就是函数有两个零点,此时满足,即,故选C. 点睛:该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题,在求解的过程中,解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题,将式子移项变形,转化为两条曲线交点的问题,画出函数的图像以及相应的直线,在直线移动的过程中,利用数形结合思想,求得相应的结果. 4.【2018年理新课标I卷】设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 点睛:该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题,在求解的过程中,首先需要确定函数解析式,此时利用到结论多项式函数中,奇函数不存在偶次项,偶函数不存在奇次项,从而求得相应的参数值,之后利用求导公式求得,借助于导数的几何意义,结合直线方程的点斜式求得结果. 5.【2018年全国卷Ⅲ理】设,,则 2017年高考真题导数专题 一.解答题(共12小题) 1.已知函数f(x)2(a﹣2)﹣x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 2.已知函数f(x)2﹣﹣,且f(x)≥0. (1)求a; (2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2. 3.已知函数f(x)﹣1﹣. (1)若f(x)≥0,求a的值; (2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)…(1+)<m,求m的最小值. 4.已知函数f(x)321(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域; (2)证明:b2>3a; (3)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求a的取值范围.5.设函数f(x)=(1﹣x2). (1)讨论f(x)的单调性; (2)当x≥0时,f(x)≤1,求a的取值范围. 6.已知函数f(x)=(x﹣)e﹣x(x≥). (1)求f(x)的导函数; (2)求f(x)在区间[,+∞)上的取值范围. 7.已知函数f(x)2+2,g(x)(﹣2x﹣2),其中e≈2.17828…是自然对数的底数.(Ⅰ)求曲线(x)在点(π,f(π))处的切线方程; (Ⅱ)令h(x)(x)﹣a f(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. ) 10.已知函数f(x)3﹣2,a∈R, (1)当2时,求曲线(x)在点(3,f(3))处的切线方程; (2)设函数g(x)(x)+(x﹣a)﹣,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 11.设a,b∈R,≤1.已知函数f(x)3﹣6x2﹣3a(a﹣4),g(x)(x). (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)已知函数(x)和的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线, (i)求证:f(x)在0处的导数等于0; ()若关于x的不等式g(x)≤在区间[x0﹣1,x0+1]上恒成立,求b的取值范围. 12.已知函数f(x)(﹣a)﹣a2x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)≥0,求a的取值范围. 切线问题 1 已知函数31()4 f x x ax =++,()ln g x x =-.当a 为何值时,x 轴为曲线()y f x =的切线; 2 设函数1 (0ln x x be f x ae x x -=+,曲线()y f x =在点(1,(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+. 3已知函数ln ()1a x b f x x x = ++,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=.求a 、b 的值; 4 设函数()()23x x ax f x a R e +=∈若()f x 在0x =处取得极值,确定a 的值,并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程; 5已知函数f(x)=e x -ax(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ,曲线y =f(x)在点A 处的切线斜率为-1. 求a 的值及函数f(x)的极值; 6设函数,曲线在点处的切线方程为, 7已知函数.求曲线在点处的切线方程; 8设函数f (x )=x 2+ax +b ,g (x )=e x (cx +d ).若曲线y =f (x )和曲线y =g (x )都过点P (0,2),且在点P 处有相同的切线y =4x +2.求a ,b ,c ,d 的值; ()a x f x xe bx -=+()y f x =(2,(2))f (1)4y e x =-+()e cos x f x x x =-()y f x =(0,(0))f 单调性问题 1已知函数)(x f 满足212 1)0()1(')(x x f e f x f x +-=-.求)(x f 的解析式及单调区间; 2 讨论函数2()2 x x f x e x -=+ 的单调性,并证明当x >0时,(2)20x x e x -++>; 3已知函数()2x x f x e e x -=--. 讨论()f x 的单调性; 4 设1a >,函数a e x x f x -+=)1()(2.求)(x f 的单调区间 ; 5已知函数f (x )=a e 2x -b e -2x -cx (a ,b ,c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数,且曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的 切线的斜率为4-c . (1)确定a ,b 的值; (2)若c =3,判断f (x )的单调性; 6设,已知定义在R 上的函数在区间内有一个零点,为的导函数.求的单调区间; 7已知函数()ln()x f x e x m =-+. 设0x =是()f x 的极值点,求m ,并讨论()f x 的单调性; a ∈Z 432 ()2336f x x x x x a =+--+(1,2)0x ()g x ()f x ()g x (数学选修1-1)第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1.若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于( ) A .sin α B .cos α C .sin cos αα+ D .2sin α 2.若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限,则函数'()f x 的图象是( ) 3.已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是( ) A .),3[]3,(+∞--∞ B .]3,3[- C .),3()3,(+∞--∞ D .)3,3(- 4.对于R 上可导的任意函数()f x ,若满足'(1)()0x f x -≥,则必有( ) A . (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5.若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为( ) A .430x y --= B .450x y +-= C .430x y -+= D .430x y ++= 6.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示, 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点( A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 二、填空题 1.若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值,则常数c 的值为_________; 2.函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3.设函数())(0)f x ??π=+<<,若()()f x f x '+为奇函数,则?=__________ 4.设3 2 1()252 f x x x x =- -+,当]2,1[-∈x 时,()f x m <恒成立,则实数m 的 取值范围为 。 5.对正整数n ,设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1.求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2.求函数y = 3.已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-,不等式2()f x c <恒成立,求c 的取值范围。 4.已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞,是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件:(1))(x f 在(0,1)上是减函数,在[)1,+∞上是增函数;(2))(x f 的最小值是1,若存在,求出a b 、,若不存在,说明理由. (数学选修1-1)第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1.A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα== 2018年全国高考试题分类汇编-导数部分(含解析) 1.(2018·全国卷I 高考理科·T5)同(2018·全国卷I 高考文科·T6)设函数f (x )=x3+(a -1)x2+ax.若f (x )为奇函数,则曲线y=f (x )在点(0,0)处的切线方程为( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 2.(2018·全国卷II 高考理科·T13)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 3.(2018·全国卷II 高考文科·T13)曲线y=2lnx 在点(1,0)处的切线方程为 4.(2018·全国Ⅲ高考理科·T14)曲线y=(ax +1)ex 在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= . 5.(2018·天津高考文科·T10)已知函数f(x)=exlnx,f ′(x)为f(x)的导函数,则f ′(1)的值为 . 6.(2018·全国卷I 高考理科·T16)已知函数f (x )=2sinx+sin2x,则f (x )的最小值是 . 7.(2017·全国乙卷文科·T14)曲线y=x 2 + 1 x 在点(1,2)处的切线方程为 . 8.(2017·全国甲卷理科·T11)若x=-2是函数f (x )=(2x +ax-1)1x e -的极值点,则f (x )的极小值为 ( ) A.-1 B.-23e - C.53e - D.1 9.(2017 10.(2017递增,则称f (x )A.f (x )=2-x 11.(2017数a 12.(2017则称f (x )具有M ①f (x )=2-x ;②f (x 13.(2017·全国乙卷理科·T16)如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为5cm ,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O.D ,E ,F 为圆O 上的点,△DBC ,△ECA ,△FAB 分别是以BC ,CA ,AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC ,CA ,AB 为折痕折起△DBC ,△ECA ,△FAB ,使得D ,E ,F 重合,得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3 )的最大值为 . 14.(2017·天津高考文科·T10)已知a ∈R ,设函数f (x )=ax-lnx 的图象在点(1,f (1))处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为 . 15.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T12)若函数f (x )=x-1 3 sin2x+asinx 在(-∞,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是( ) A.[-1,1] B.11,3 ? ? -?? ?? C.11,33??- ???? D.11,3? ? --???? 16.(2016·四川高考理科·T9)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-< >?图象上点P 1,P 2处的 切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 17.(2016·四川高考文科·T6)已知a 为函数f (x )=x 3 -12x 的极小值点,则a=( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2 18.(2016·四川高考文科·T10)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-< >?图象上点P 1,P 2处的切线,l 1 与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 19.(2016·山东高考文科·T10)同(2016·山东高考理科·T10) 若函数y=f (x )的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 ( ) A.y=sinx B.y=lnx C.y=e x D.y=x 3 20.(2016·全国卷Ⅱ理科·T16)若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln (x+1)的切线,则b= . 1. 【 2016 高考四川文科】已知函数的极小值点,则=( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】 D 考点:函数导数与极值. 【名师点睛】本题考查函数的极值.在可导函数中函数的极值点是方程但是极大值点还是极小值点,需要通过这点两边的导数的正负性来判断,在 的解,附近,如 果时,,时,则是极小值点,如果时,,时,,则是极大值点, 2. 【 2015 高考福建,文A.充分而不必要条 件12】“对任意 B.必要而不充分条件 ,”是“ C .充分必要条件 D ”的() .既不充分也不必 要条件 【答案】 B 【解析】当时,,构造函数,则 .故在单调递增,故,则;当时,不等式等价于,构造函数 ,则,故在递增,故 ”是“,则.综上 ”的必要不充分条件,选 所述,“ 对任 意B. , 【考点定位】导数的应用. 【名师点睛】 本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用, 根 据已知条件构造函数,进而研究其图象与性质,是函数思想的体现,属于难题. 3. (2014 课标全国Ⅰ,文 12) 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 3 2 + 1,若 f ( ) 存在唯一的零点 x 0 ,且 x x x 0>0,则 a 的取值范围是 ( ) . A . (2 ,+∞ ) B . (1 ,+∞) C . ( -∞,- 2) D .( -∞,- 1) 答案: C 解析:当 a = 0 时, f ( x ) =- 3x 2+ 1 存在两个零点,不合题意; 当 a >0 时, f ′(x ) = 3ax 2- 6x = , 令 ′( ) = 0,得 x 1 = 0, , fx 所以 f ( x ) 在 x =0 处取得极大值 f (0) = 1,在 处取得极小值 , 要使 f ( x ) 有唯一的零点,需 ,但这时零点 x 0 一定小于 0,不合题意; 当 a <0 时, f ′(x ) = 3ax 2- 6x = , 令 f ′(x ) = 0,得 x 1=0, ,这时 f ( x ) 在 x =0 处取得极大值 f (0) = 1,在 处取得极小值 , 要使 f ( x ) 有唯一零点,应满足 ,解得 a <- 2( a > 2 舍去 ) ,且这时 零点 x 0 一定大于 0,满足题意,故 a 的取值范围是 ( -∞,- 2) . 名师点睛:本题考查导数法求函数的单调性与极值,函数的零点,考查分析转化能力,分类讨论思想, 较难题 . 注意区别函数的零点与极值点 . 4. 【 2014 辽宁文 12】当 时,不等式 恒成立,则实数 a 的取 值范围是() 导数及其应用高考题精选 1.(2010·海南高考·理科T3)曲线2 x y x = +在点()1,1--处的切线方程为() (A )21y x =+(B )21y x =-(C )23y x =--(D )22y x =-- 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义,以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数,解出斜率,然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为22 (2) y x '= +,所以,在点()1,1--处的切线斜率12 2 2(12)x k y =-' == =-+,所以,切线方程为12(1)y x +=+,即21y x =+,故选A. 2.(2010·山东高考文科·T8)已知某生产厂家的年利润y (单位:万元) 与年产量x (单位:万件)的函数关系式为3 1812343 y x x =-+-,则使该生产厂 家获得最大年利润的年产量为() (A)13万件(B)11万件 (C)9万件(D)7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题,考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C ,2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-(舍去),当9x <时'0y >;当9x >时'0y <,故当9x =时函数有极大值,也是最大值,故选C. 3.(2010·山东高考理科·T7)由曲线y=2 x ,y=3 x 围成的封闭图形面积为() (A ) 1 12 (B)14 (C)13 (D) 712 【命题立意】本题考查定积分的基础知识,由定积分求曲线围成封闭图形的 1.(新课标1)已知函数 有两个零点. (I)求a 的取值范围;(II)设x 1,x 2是的两个零点,证明: +x 2<2. 解:(Ⅰ) '()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a =-+-=-+. (i )设0a =,则()(2)x f x x e =-,()f x 只有一个零点.(ii )设0a >,则当(,1)x ∈-∞时,'()0f x <;当(1 ,)x ∈+∞时,'()0f x >.所 以 ()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,)+∞上单调递增.又(1)f e =-,(2)f a =,取b 满足0 b <且ln 2a b <,则22 3()(2)(1)()022 a f b b a b a b b >-+-=->,故()f x 存在两个零点. (iii )设0a <,由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-.若2 e a ≥-,则ln(2)1a -≤,故当 (1,)x ∈+∞时,'()0f x >,因此()f x 在(1,)+∞上单调递增.又当1x ≤时,()0f x <,所以() f x 不存在两个零点. 若2 e a <- ,则ln(2)1a ->,故当(1,ln(2))x a ∈-时,'()0f x <;当(ln(2),)x a ∈-+∞时,'()0f x >.因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减,在(ln(2),)a -+∞单调递增.又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点.综上,a 的取值范围为(0,)+∞. (Ⅱ)不妨设1 2x x <,由(Ⅰ)知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞,22(,1)x -∈-∞,()f x 在(,1) -∞上单调递减,所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-,即2(2)0f x -<. 由于 222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-,而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=,所以 222222(2)(2)x x f x x e x e --=---. 设 2()( 2 ) x x g x xe x e -=---, 则 2'()(1)()x x g x x e e -=--.所以当1x >时,'()0g x <,而(1)0g =,故当1x >时,()0g x <.从 而22()(2)0g x f x = -<,故122x x +<. 2(新课标2)(I)讨论函数x x 2f (x) x 2 -= +e 的单调性,并证明当x >0时,(2)20;x x e x -++> (II)证明:当[0,1)a ∈ 时,函数2 x =(0)x e ax a g x x -->() 有最小值.设g (x )的最小值为()h a , 求函数()h a 的值域. 2019年高中数学单元测试卷 导数及其应用 学校:__________ 姓名:__________ 班级:__________ 考号:__________ 一、选择题 1.22 (1cos )x dx π π-+?等于( ) A .π B . 2 C . π-2 D . π+2(2009福建理) 2.若()224ln f x x x x =--,则()'f x >0的解集为( ) A .()0,+∞ B. ()()1,02,-?+∞ C. ()2,+∞ D. ()1,0-(2011江西理4) 3.若[0,)x ∈+∞,则下列不等式恒成立的是 (A)2 1x e x x ++ (211) 1 24x x <-+ (C)21cos 12x x -… (D)21 ln(1)8 x x x +-… 4.如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()() 00S t S =,则导函数()' y S t =的图像大致为 二、填空题 5.已知3 2 ()26(f x x x m m =-+为常数)在[2,2]-上有最大值3,那么此函数在[2,2]-上的最小值为____________ 6.已知f (x )=x 3,g (x )=-x 2+x -29a ,若存在x 0∈[-1,a 3](a >0),使得f (x 0)<g (x 0),则实 数a 的取值范围是 ▲ .(0,-3+21 2) 7. 若函数32()4f x x x ax =+--在区间()1,1-恰有一个极值点,则实数a 的取值范围为 .[1,5) 8.曲线2 y 21x x =-+在点(1,0)处的切线方程为________ 9.已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10,则a b += . 10.已知32()33f x x bx cx =++有两个极值点12,x x ,且[][]121,0,1,2x x ∈-∈,则(1)f 的取值范围 . 11.已知函数ln ()x f x x = ,则()f x 的最大值为 12.函数y=x 3+lnx 在x=1处的导数为 . 13.若函数()()02 3 >-=a ax x x f 在区间?? ? ??+∞,320上是单调递增函数,则使方程()1000=x f 有整数解的实数a 的个数是 。 三、解答题 14. 已知函数()2 a f x x x =+,()ln g x x x =+,其中0a >. (1)若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点,求实数a 的值; (2)若对任意的[]12,1x x e ∈,(e 为自然对数的底数)都有()1f x ≥()2g x 成立,求实数a 的取值范围. . 高考文科数学专题复习导数训练题(文) 一、考点回顾和基础知识 1.导数的概念及其运算是导数应用的基础,是高考重点考查的内容.考查方式以客观题为主,主要考查导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义. 2.导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题.选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、不等式、数列的综合应用. 3.应用导数解决实际问题,关键是建立适当的数学模型(函数关系),如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最值. 2.导数(导函数的简称)的定义:设0x 是函数)(x f y =定义域的一点,如果自变量x 在0x 处有增量x ?,则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?;比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率;如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或0|'x x y =,即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注:①x ?是增量,我们也称为“改变量”,因为x ?可正,可负,但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ,)('x f y =的定义域为B ,则A 与B 关系为B A ?. 3.求导数的四则运算法则: ''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=?+++=? ''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=(c 为常数) 导数及其应用大题精选 姓名____________班级___________学号____________分数______________ 1 .已知函数)0()(>++ =a c x b ax x f 的图象在点(1,)1(f )处的切线方程为1-=x y . (1)用a 表示出c b ,; (2)若x x f ln )(≥在[1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围. 2 .已知2 ()I 若()f x 在x=1处取得极值,求a 的值; ()II 求()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 的最小值为1,求a 的取值范围 . 4 .已知函数 ()ln f x x x =. (Ⅰ)求()f x 的单调区间; (Ⅱ) 当1k ≤时,求证:()1f x kx ≥-恒成立. 5 .已知函数()ln a f x x x =- ,其中a ∈R . (Ⅰ)当2a =时,求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)如果对于任意(1,)x ∈+∞,都有()2f x x >-+,求a 的取值范围. 6 .已知函数 2()4ln f x ax x =-,a ∈R . (Ⅰ)当1 2 a = 时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)讨论()f x 的单调性. 7 .已知函数 ()e (1)x f x x =+. (Ⅰ)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)若对于任意的(,0)x ∈-∞,都有()f x k >,求k 的取值范围. 8 .已知函数 a ax x x f 23)(3+-=,)(R a ∈. (Ⅰ) 求)(x f 的单调区间; (Ⅱ)曲线)(x f y =与x 轴有且只有一个公共点,求a 的取值范围. 9 .已知函数 22()2ln (0)f x x a x a =->. (Ⅰ)若()f x 在1x =处取得极值,求实数a 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 在[1]e , 上没有零点,求实数a 的取值范围. 10.已知曲线 ()x f x ax e =-(0)a >. (Ⅰ)求曲线在点(0,(0)f )处的切线; (Ⅱ)若存在实数0x 使得0()0f x ≥,求a 的取值范围. 高考导数大题汇编理科 答案 YUKI was compiled on the morning of December 16, 2020 一、解答题 1. 解:(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞,' 112()e ln e e e .x x x x a b b f x a x x x x --=+-+ 由题意可得' (1)2,(1) e.f f ==故1,2a b ==. (Ⅱ)由(Ⅰ)知12e ()e ln ,x x f x x x -=+从而()1f x >等价于2 ln e .e x x x x ->- 设函数()ln g x x x =,则()1ln g x x '=+,所以当1 (0,)e x ∈时,' ()0g x <; 当1(,)e x ∈+∞时,' ()0g x >,故()g x 在1(0,)e 单调递减,在1(,)e +∞单调递增, 从而()g x 在(0,)+∞的最小值为11().e e g =-. 设函数2 ()e e x h x x -=-,则'()e (1)x h x x -=-,所以当(0,1)x ∈时,'()0h x >; 当(1,)x ∈+∞时,' ()0h x <,故()h x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减,从而()h x 在(0,)+∞的最大值为1(1)e h =- . 综上,当0x >时,()()g x h x >,即()1f x >. 2. 解题指南(1)根据导数公式求出函数的导数,利用分类讨论思想求解;(2)根据函数的单调性以及函数极值与导数的关系式确定函数的极值点,代入函数中求解. 解析(1)2/ 2 2 2(2)24(1) ()1(2)(1)(2)a x x ax a f x ax x ax x +-+-=-=++++ (*) 当1a ≥时,/ ()0f x >,此时,()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. 当01a <<时,由/ ()0f x = 得1 x = ,(2x =-舍去). 当1(0,)x x ∈时,/()0f x <;当1(,)x x ∈+∞时,/ ()0f x >. 故()f x 在区间1(0,)x 上单调递减,在区间1(,)x +∞上单调递增. 综上所述,当1a ≥时,()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. 当01a <<时,()f x 在区间(0, 上单调递减,在区间)+∞上单调递增. 由(*)式知,当1a ≥时,/ ()0f x >,此时()f x 不存在极值点,因而要使得()f x 有两个极值点, 必有01a <<.又()f x 的极值点只可能是1 x = 2x =-,且由定义可知,1 x a >- 且2x ≠- ,所以1a ->- 且2-≠-,解得1 2 a ≠- 此时,由(*)式易知,12,x x 分别是()f x 的极小值和极大值点,而 令2a - 01x <<. 记(g x (Ⅰ)当1 - 因此,g 1()( f x f +(Ⅱ)当0 因此,(g x 1()( f x f + 综上所 3. (1)证明函数. (2)解:由条 令t = 因为 当且 因此 (3)解:令函 当x ≥1时, 因此g (x )在 由于存在x 0故1 e+e 2 --令函数() h x2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题
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