概率论2015春A卷

2015年

一、填空题(共 5题，每题 3 分，共 15 分)

1. 设随机事件A 与B 互不相容，且P (A )=0.5,P (B )=0.2,则P (A|B )= 。

2. 设)4,1(~N X ，)1,1(~-N Y ，且二者独立，则2X ?Y ∽

。 3. 随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则==}2{X P 。 4. 设

n X X X ,,,21独立同分布，都服从正态分布)30(2，N ，则当∞→n 时，

)2(11

∑==n

i i n X n Y 依概率收敛于 。

5．随机变量X 和Y 的方差分别为1和1，相关系数为5.0，则随机变量Y X 2+的方差为 。

二、选择题(共 5 题，每题 3 分，共 15 分)

1. 随机变量X~N(?1,σ2),且P {?3≤X ≤?1}=0.4，则P{X ≥1}=（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4

2.设两个随机变量X 与Y 相互独立且同分布，P {X =?1}=P {Y =?1}=1

2, P {X =1}=

P {Y =1}=1

2

，则下列各式中成立的是（

） A.P {X =Y }=1

2

B. P {X =Y }=1

C. P {X +Y =0}=14

D. P {XY =1}=1

4

3. X 与Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E(XY)=（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4

4. 设二维随机变量(X,Y )~N(μ1,μ2,σ12,σ22

,ρ)，下列错误的是（ ） A 、 X~N (μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22) B 、 X 与Y 不相关的充分必要条件ρ=0 C 、E (X +Y )=μ1+μ2 D 、D (X +Y )=σ12+σ22

5. 设()()x F x f ,分别为X 的密度函数和分布函数，则有（ ）

A.{}()x f x X P ==

B.()()x F x X P ==

C.()10≤≤x f

D.()()x F x X P ≤=

三、计算题(共 5 题，共 60 分)

1. （15分）甲乙丙三人独立向同一飞行器射击，设甲乙丙的命中率分别为0.4、0.5、0.7。又设

0.5N(3,17)1/2e 7A A C B A X D D

恰有1人、2人、3人击中时该飞行器坠毁的概率分别为0.2、0.6、1 。现在三人向飞行器各射击一次，求飞行器坠毁的概率；若已知飞行器坠毁，求恰有2人击中飞机器的概率。

2. （15分） 设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为?

??≤≤=其它,01

,),(p 22y x y cx y x

（1）试确定常数c ；（2）求X 和Y 的边缘密度；（3）X 和Y 是否相互独立，为什么？

3.(10分) 设X 1,X 2,?,X n 是独立同分布的随机变量，密度函数为p(x)={

3

θ3

x 2,0

，其中

θ>0是参数，设Y =max {X 1,X 2,?,X n }, 求：Y 的期望和方差。 4. (10分) 设随机变量T 在区间[2，5]上服从均匀分布。现在对T 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。

5. (10分)证明正态分布具有再生性。

四、简述题(共 1题，共 10 分)

叙述随机变量序列四种收敛性的定义；并指出它们之间的关系。