现代设计方法及其应用第一次作业(遗传算法)汇总

1、多目标优化的基本方法是什么？

答：多目标优化问题与单目标优化问题的差异非常大。在有单个目标时，人们寻找最好的解，这个解比其他所有的解都要好。在有多个目标时，由于存在目标之间的无法比较和冲突现象，不一定有在所有目标上都是最优的解。一个解可能在某个目标上是最好的，但在其他目标上是最差的。因此在有多个目标时，通常存在一系列无法简单进行相互比较的解。这种解称作非支配解或最优解，它们的特点是：无法在改进任何目标函数的同时不削弱至少一个其他目标函数。对于一个给定的判据空间中的非支配解，它在决策空间中的原象点称作有效的或非劣的。中的一点是有效的当且仅当它的象在中是非支配的。多目标问题解的基本特征之一是存在一组无法相互进行比较的有效解。在实际的决策情况中，通常需要从非支配解中选择一个作为给定问题的最终解。然而，如果不提供对于不同目标附加的偏好信息，很可能无法从解中进行选择。因此，如何从这些可选择的非支配解中做出最后的选择本质上依赖于个人主观的偏好。从概念上讲，偏好是通过采用某人对目标的价值判断来对有效集合中无法进行比较的解给出排序。偏好反映了某人根据对问题事先掌握的知识对所有目标进行的折中或者对某个目标进行的强调。给定了偏好我们就可以将非支配集中可选的解进行排序，然后获得最终解，这就是通常决策过程的结果。这个最终解称作最优妥协解。

几乎现实世界中的所有问题都存在多个目标，而这些目标通常是相互冲突，相互竞争的。一个目标的改善往往同时引起其他目标性能的降低。也就是说，不存在使各目标函数同时达到最优的解，而只能对他们进行协调和折衷处理。多目标优化问题就是寻找满足约束条件和所有目标函数的一组决策变量和相应各目标函数值的集合（Pareto 最优解），并将其提供给决策者。由决策者根据偏好或效用函数确定可接受的各目标函数值及相应的决策状态。

多目标优化方法主要有两大类： 1．直接法

直接求出非劣解，然后再选择较好的解。 2．间接法

2.1 将多目标优化问题转化为单目标优化问题。 2.1.1主要目标法

求解时从多目标中选择一个目标作为主要目标而其他目标只需满足一定要求即可，因此可将这些目标转化成约束条件，也就是用约束条件的形式保证其他目标不致太差，这样就变成单目标处理方法。 例如，多目标函数f1(x),f2(x),.....,fn(x)中选择fk(x)作为主要目标，这时问题变为求 min fk(x) D={x|f min ≤f i(x)≤f max},D 为解所对应的其他目标函数应满足上下限。 2.1.2统一目标法

通过某种方法将原来多目标函数构造成一个新的目标函数，从而将多目标函数转变为单目标函数求解。

2.1.2.1线性加权和法

根据各目标函数的重要程度给予相应的权数，然后各目标函数与权数相乘再求和即构成单目标函数。例如，根据各目标函数)(1x f ,)(2x f ,...,)(x fn 的重要程度，对应确定一组权数1ω，2ω，.. n ω进行构造n n f f f x f ωωω+++=

...)(2211,其中1

n

i i w =∑=1，,

0i w ≥。

于是求f(X)的最优解即为多目标函数的最优解。（重点是权数的确定） 下面介绍两种确定权数的方法：

（1）容限法。求出各目标函数在区域的变化范围a ≤f(x)≤b ，则取2

b a +=

?为其容限，

则权数为21

?

=

ω。这种方法目的是在评价函数中使子目标在数量级上达到统一平衡。 （2）求出各目标函数的极小值*i f ，然后分别取倒数作为各自的权数。

2.1.2.2理想点法

一般很难使各子目标函数同时达到最优，但是可以使各子目标尽可能接近目标则可较好的求出非劣解，先用单目标优化法求出各自的最优点Xi*和最优值fi*，构造各评价函数

f(x)=2*1/21

(){

[()]}n

i

i

i f x f x f

==-∑

然后求极值min f ，变为单目标优化问题。在理想点法基础上如果再引入权数则称为平方加权法。

2.1.3功效系数法

功效系数法又叫功效函数法，它是根据多目标规划原理，对每一项评价指标确定一个满意值和不允许值，以满意值为上限，以不允许值为下限，计算各指标实现满意值的程度，并以此确定各指标的分数，再经过加权平均进行综合，从而评价被研究对象的综合状况。运用功效系数法进行业绩评价，企业中不同的业绩因素得以综合，包括财务的和非财务的、定向的和非定量的。多目标优化问题中各单目标函数要求不一，有的要求极大值，有的要求极小值，有的要求一个合适值，为了反映这些要求的不同，引入功效函数di ，其值即为功效系数，规定di ∈(0,1)，当fi 满意时，di=1，fi 不满意时，di=0，请他情况取0-1之间的的数。这样组成评价函数12...n n d d d d = ，d=1则最满意，d=0则有不符合要求的f 。

系数di 的确定：先求出区间上各个目标函数的最大值max i f 和最小值min i f ， 在n 个子函数中，当某个子函数的值越大，功效系数越小时用公式 max max min ()

i f f x d f f -=

-。

求其功效系数，反之用公式min

max min

()i f x f d f f -=

-求系数。

功效系数法的基本思想是先按各子目标值的优劣分别求出其对应的功效系数，然后再构造评价函数max ()f x =12...n n d d d d =便可转化为单目标优化问题。

此方法特点：

1、直接按要求的性能指标来评价函数,直观,且初步试算后,调整方便,

2、无论各子目标的量级和量纲如何.最终都转化为在[0,1]区间取值,而且一旦有一个子目标达不到要求,则其相应的功效系数为0,从而使评价函数也为0,表明不能接受所得设计方案.

3、可以处理既非越大越好，也非越小越好的目标函数。

2.2 将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题。如分层系列法等。

基本思想：将多目标优化问题中的n个目标函数分清主次，按照其重要程度逐一排除，然后依次对各个目标函数求最优解，只是后一目标应在前一目标最优解的集合域内寻优。现在假设f1(x)最重要f2(x)其次，f3(x)再其次，依次类推。首先在域内对第一个目标函数f1(x)求解求得最优解，然后在第一个目标函数的最优解集合域内，求第二个目标函数的最优值，也就是将第一个目标函数转化成辅助约束。然后在第一个和第二个目标函数的辅助约束下求第三个目标函数的最优解，依次进行下去，最后求得最后的目标函数的最优解即为多目标优化问题的最优解。

特点：在求解过程中可能会出现中断现象，使求解过程无法继续进行下去。

当求解到第k个目标函数的最优解是唯一时，则再往后求第(k+1)、 (k+2)…, n个目标函数的解就完全没有意义了。尤其是当求得的第一个目标函数的最优解是唯一时.则失去了多目标优化的意义了。为此引入“宽容分层序列法”。这种方法是将分层序列法中的最优解放宽要求,

即求后一个函数的最优解时,是前一个函数接近最优就行,如图2所示:

不作宽容时，为最优解，但考虑

2()

f x以后，则取(1)

x为最优解，这时存在一个宽容值ε1，第一个函数也就存在一个误差。

多目标优化方法的新进展——遗传算法的应用

遗传算法是模拟自然界生物进化过程与机制，求解优化与搜索问题的一类自组织、自适应的人工智能技术。由于遗传算法是对整个群体进行的进化运算操作，它着眼于个体的集合，而多目标优化问题的非劣解一般也是一个集合，遗传算法的这个特性表明遗传算法非常适合求解多目标优化问题。近年来，遗传算法应用于多目标优化领域。

2、根据实例，谈谈混合遗传算法的基本思想是什么？它的构成原则是什么？

（１）混合遗传算法的基本思想

遗传算法直接对解对象进行选择、交叉和变异操作，而对所求解的目标函数没有太多的数学要求，可以处理任意形式的目标函数和约束，通用性强；并且具有内在的隐并行性，有

图2 最优解的结果

较强的全局搜索能力，搜索速度较快。但是，遗传算法却存在两个严重的问题：

①“早熟”问题在遗传算法中，个体多样性的维护是通过交叉算子和变异算子来实现的，但是在按照个体适值进行选择之后，高于种群平均适值的个体在下一代种群中会得到较多的复制，而低于种群平均适值的个体在下一代种群中则会得到较少的复制，从而使得种群的多样性被减少。这样反复选择复制下去，会使得某个优秀个体在种群中占有一定的优势，并且这种优势会被不断强化。如果这个个体不是全局最优解，只是局部最优解，则出现了“早熟”问题。

②局部搜索能力低遗传算法的局部搜索主要是通过交叉算子和变异算子来实现的，其中交叉算子起着主要的作用，而变异算子则是起着辅助的作用。但是在进化后期，种群中含有大量相同的个体或模式，交叉操作的搜索效率会显著降低，而变异操作几乎演变成随机搜索，导致了遗传算法的局部搜索能力低。

混合遗传算法是在原有遗传算法的基础上，引入人工免疫算法的个体浓度调节机制来促进或抑制个体的产生，并在选择算子中同时考虑个体的适值和个体的浓度，保持种群中个体的多样性，避免“早熟”情况的出现。另外，在原有遗传算法的基础上，引入模拟退火算法增强算法的局部搜索能力和提高算法收敛到全局最优解的能力。混合遗传算法的基本流程如下所示：①问题识别；②编码，设置参数；③随机生成一定数目的个体初始化种群；④计算个体的适值；⑤判断种群是否满足终止条件。如果满足，则输出结果；如果不满足，则执行⑥；⑥计算各个个体的浓度；⑦执行选择运算产生新种群⑧对新种群执行交叉运算；

⑨对新种群执行变异运算；⑩对种群中的个体执行模拟退火运算返回④。混合遗传算法的流程图如图１所示。

（2）混合遗传算法的基本构成原则

①尽量采用原有算法的编码。这样就便于利用原有算法的相关知识，也便于实现混合遗传算法。

②利用原有算法的优点。这样就可以保证由混合遗传算法所求到的解的质量不会低于由原有算法所求到的解的质量。

③改进遗传算子。设计能适应新的编码方式的遗传算子，并在遗传算子中融入与问题相关的启发性知识，这样就可以使得混合遗传算法即能保持混合遗传算法的全局寻找特点，又能提高其运行效率。

3、如图一一曲柄摇杆机构M 为连杆BC 上一点，mm 为预期的运动轨迹，要求设计该曲柄摇杆机构的有关参数，使连杆上的点M 在曲柄转动一周中，运动轨迹MM 最佳地逼近预期轨迹mm 。

图一曲柄摇杆机构

设计一再现预期轨迹mm 的曲柄摇杆机构。已知mm y mm

x A A 10,67==，等分数12=s ，对应的轨迹mm 上12个点的坐标值如表一，许用传动角???=30v 。

表一12点的坐标值

i

1 2 3 4 5 6 7 8

9

10

11

1

2

()

?'i ?

0 30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

3

30

mm x mi

5

48.5 42 34 29 30 34 42 48 55 56 51

mm y mi

9

1

111

107

90

67

45

28

17

12

14

24

5

2

1、传统优化设计方法

平面连杆机构的优化设计： 1确定设计变量

X=[x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6,x 7,x 8,x 9]T =[l 1,l 2,l 3,l 4,l 5,x A ,y A ,θ,α]T

2建立目标函数

2

122

12

])()[()(i Mi i i Mi y y x x x f -+-=∑=

连杆上的点M 的坐标为：

)cos()cos(51δθ?α++++=l l x x A M )sin()sin(51δθ?α++++=l l y y A M

设B 、D 两点的距离为d 则?cos 2412

42

1l l l l d -+=

d

l ?

βsin arctan

1= αβδ+--+=d

l l d l 22

32222arccos

令变量的上下限为：

X u =[x u1,x u2,x u3,x u4,x u5,x u6,x u7,x u8,x u9]T

X l =[x l1,x l2,x l3,x l4,x l5,x l6,x l7,x l8,x l9]T

约束条件为：

9,3,2,10)12( =≤-=-i x x i g ui i 9,3,2,10

)2( =≤-=i x x i g i li

由曲柄摇杆运行中三角形的约束条件为：

)24(0)23(0)22(0)21(0)20(0)19(423143213241413121≤--+=≤--+=≤--+=≤-=≤-=≤-=x x x x g x x x x g x x x x g x x g x x g x x g

考虑最小传动角条件，约束条件为：

1502)

(arccos

)26(0

2)(arccos )25(3

22

1423

223

22

142322≤-+-+=≥--+=?x x x x x x g x x x x x x g

1、遗传算法

利用matlab 中遗传算法模块进行解题

本题中共有五个杆x1,x2,x3,x4,x5,变量角α，θ，ψ等 将杆长x1,x2,x3,x4作为自变量进行优化，若ψ角确定后则四个杆的位置就相应的确定了。对x1,x2,x3,x4,x5,α，θ进行优化，使MM 的运动轨迹和mm 的运动轨迹进行拟合。

经分析本题中均为线性约束，无非线性约束。

令ψ角和M 的X 轴坐标与mm 曲线的x 轴坐标相重合，然后求Y 轴坐标相差的平方和最小为所求目标函数。

第一步打开optimtool 选择ge 遗传算法工具箱

第二步输入参数

1.建立目标函数文件fmin.m function [ fout ] = fmin(x)

xA=67;yA=10;

xm=[50 48.5 42 34 29 30 34 42 48 55 56 51];

ym=[91 111 107 90 67 45 28 17 12 14 24 52];

F=0;

for i=1:1:12;

wm=30*(i-1)*pi/180;

tm=acos((x(2)^2+((x(1))^2+(x(4))^2-2*x(1)*x(4)*cos(wm))-x(3)^2)/(2*x(2)*(sq rt((x(1))^2+(x(4))^2-2*x(1)*x(4)*cos(wm)))))-(atan(x(1)*sin(wm)/(sqrt((x(1))^2+ (x(4))^2-2*x(1)*x(4)*cos(wm)))))+x(9)*pi/180);

xM=xA+x(1)*cos(x(9)*pi/180+wm)+x(5)*cos(x(8)*pi/180+tm);

yM=yA+x(1)*sin(x(9)*pi/180+wm)+x(5)*sin(x(8)*pi/180+tm);

G=(xM-xm(i))^2+(yM-ym(i))^2;

F=F+G;

fout=F/12;

%fout=-fout;

end

2.设置变量数为9

3.变量不等式为（声明）

A=[1 -1 0 0 0 0 0 0 0;1 0 -1 0 0 0 0 0 0;1 0 0 -1 0 0 0 0 0;1 -1 -1 1 0 0 0 0 0;1 1 -1 -1 0 0 0 0 0;1 -1 1 -1 0 0 0 0 0];b=[0;0;0;0;0;0];

边界vlb=[0; 0; 0; 0; 0;0; 0;0;0];vub=[200; 200; 200; 200; 200;200;

200;200;200];

4.建立feixianxing.m定义非线性约束：

function [g,ceq]=mycon(x)

g(1)=30-acos((x(2)^2+(x(3)^2-(x(4)-x(1))^2)/2*x(2)*x(3))*180/pi;

g(2)=acos((x(2)^2+(x(3)^2-(x(4)+x(1))^2)/2*x(2)*x(3))*180/pi-150;

ceq=[];

end

由图可以看到 优化后杆长 l 1=44.3 l 2=70.5 l 3=140.1 l 4=134.2 l 5=50.2 , α=7.3° θ=24.8° 遗传算法概念过程 (1)编码

采用遗传算法一维染色体中最常用的符号集{1,0}编码，即 2

122

12

])()[()(i Mi i i Mi

y y x x

x f -+-=

∑=

求解的坐标值转换为遗传空间中的1,0表示的按一定结构组成的染色体或个体。 （2）初始群体的建立

遗传算法是对群体进行的进化操作，需要给其准备一些表示起始搜索点的初始群体数据。群体的规模大小取为12，每个个体通过随机的方法产生。

（3）适应度计算 目标函数总取非负值，并且以求函数最小值为优化目标，故可直接利用目标函数作为个体的适应度。

（4）选择运算

采用适应度比例方法，即赌轮选择机制，在这种选择机制中，个体每次被选中的概率与其在群体环境中的相对适应度成正比

（5）交叉运算

交叉运算是遗传算法中产生新个体的主要操作过程，它以某一概率相互交换某两个个体之间的部分染色体。可以采用单点交叉的方法运算。

（6）变异运算

变异运算是对个体的某一个或某一些基因上的基因值按某一较小的概率进行改变，它也是产生新个体的一种操作方法。可采用基本位变异的方法来进行变异运算。

(7)确定遗传算法的运行参数：群体大小M=12，终止进化代数G=300，交叉概率Pc=0.6,变异概率Pm=0.1