讲义三角恒等变换1
学生： 陈栋杰 科目： 数学 第 阶段第 次课 教师： 于利
()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ
αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2
1cos2sin 2
2tan tan 21tan 令 ＝
＝
αβαβαβαβααα
αααβα
αβααβα
αα
αα=±=???→=-↓=-=-±±=
?-↓=
-
典型例题
（1）下列各式中，值为
1
2
的是 A 、1515sin cos
B 、2
2
1212cos sin π
π
- C 、22251225tan .tan .- D 、1302
cos +
（2）已知3
5
sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为____
（3）131080
sin sin -
的值是______ ； (4)已知0tan110a =，求0
tan 50的值，
课 题
三角恒等变换
教学目标
（1）了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；
（2） 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；
(3)运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式
重点、难点
三角恒等变换公式 三角恒等变换的方法和技巧 考点及考试要求
三角恒等变换公式 三角恒等变换的方法和技巧
教学内容
考点一： 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
基本的技巧有: ★★★
（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，
2()()αβαβα=+--，22
αβ
αβ++=?
，
(
)()
2
2
2αβ
β
ααβ+=-
--
等），
例4、821
.,sin ,cos(),cos .1729
αβααββ=-=已知为锐角，
求的值
41
,,cos ,tan(),cos .53
αβααββ=-=-针对性练习、为锐角求的值
3312
5.,sin(),cos(),cos 2.2
4513
π
πβααβαββ<<<
+=--=例已知
求的值
针对性练习
12
cos ,sin ,,0,cos .2923222βαππαβαβαπβ+????-=--=<<<< ? ?????
已知且求
考点二. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。 例1、已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4
π
α+的值是_____
例2、已知02
π
βαπ<<<<，且129cos()β
α-
=-，2
23
sin()αβ-=，求cos()αβ+
例3、已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3
cos()5
αβ+=-，则y 与x 的函数关系为_____
考点
(2)三角函数名互化(切割化弦)，
例1、求值sin50(13tan10)+
例2、已知sin cos 2
1,tan()1cos 23
αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值
例1、已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝_____ 例2、设ABC ?中，33tan A tan B tan Atan B ++=，3
4
sin Acos A =，则此三角形是____三角形
3tan
tan
tan
tan
;12
6
12
6
π
π
π
π
++?例、
针对性练习
tan111tan114tan111tan114?+?+???
例4、tan18tan 423tan18tan 42?+?+???
针对性练习
tan()tan()3tan()tan()6666x x x x ππππ??-++++?-????
考点四、公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=± 。
考点五、常值变换主要指“1”的变换（2
2
1sin cos x x =+， 例1、已知tan 2α=，求2
2
sin sin cos 3cos αααα+-
例2、化简下列各式
(1)1sin ;(2)1cos αα--
1sin 2cos 21sin 2cos 22.(1)
;(2)1sin 2cos 21sin 2cos 2θθθθ
θθθθ
+--+++--化简：
针对性练习
1
sin cos ,0,sin 2cos 2.3
x x x x x π+=<<1.已知求和
两式相加减，平方相加减
34
1.sin sin ,cos cos ,cos().55
αβαβαβ+=+=-例已知求
针对性练习
1、11
cos sin ,sin cos ,sin().23
αβαβαβ+=-=-已知求 2、sin sin sin 0,cos cos cos 0,cos()αβγαβγαβ++=++=-已知求
13
2.cos(),cos(),tan tan .55
αβαβαβ+=-=例已知求的值
针对性练习
1、11tan sin(),sin(),.23tan ααβαββ
+=
-=已知求的值
一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）
1.cos36cos72??例求值：
例2.sin10sin 30sin 50sin 70????
针对性练习1、sin 6sin 42sin 66sin 78????
例3、2345cos cos
cos cos cos 11
11111111
π
ππππ
针对性练习1、cos
cos cos 242
n x x x
考点六、给值求角
要点：先确定角的范围（尽可能缩小），再选择恰当的函数
2510
1.,,cos ,sin ,.510
αβαβαβ=
=+例为锐角求的值
针对性练习
1、510,,sin ,sin ,510
αβαβαβ==+已知为钝角且求的值
111
2.,,,tan ,tan ,tan ,.258αβγαβγαβγ===++例为锐角求
例11
3.tan(),tan ,(0,),(0,),2.27
αββαπβπαβ-==-∈∈-已知且求的值
针对性练习 1、2
0,0,3sin sin(2),4tan
1tan ,4422
π
π
α
α
αββαβαβ<<
<<
=+=-+已知且求的值
222.3sin 2sin 1,3sin 22sin 20,,2.αβαβαβαβ+=-=+已知为锐角，求
考点七、三角函数次数的降升(降幂公式：2
1cos 2cos 2αα+=
，2
1cos 2sin 2
αα-=与升幂公式：
21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=)。
例1、若32
(,)αππ∈，化简111122222
cos α++为_____ 例2、函数2553f (x )sin xcos x cos x =-5
32
(x R )+∈的单调递增区间为
课后练习
一、选择题：
1、 =-0
015cot 15tan （ ） A.2 B.32+ C.4 D. 32- 2．已知θ是第三象限的角，若sin cos sin 4
4
5
9
2θθθ+=
，则等于（ ） A.
22
3
B. -
22
3
C. 43
D. -
2
3
3．0
20
3sin 702cos 10
--=（ ）A. 12 B.
2
2
C. 2
D. 32
4．函数)3
cos(cos π
-
?=x x y 的最小正周期是
（ ）
（A ）π2
（B ）π
（C ）
2
π
（D ）
4
π 5．若παπ223<<，则
α2cos 2
1212121++等于
（ ）
（A ）2
sin
α （B ）2
cos
α
（C ）2
cos
α
-
（D ）2
cos
α
±
6．若f (sinx )＝2－cos 2x ，则f (cosx )＝（ ）
A .2－sin 2x
B .2＋sin 2x
C .2－cos 2x
D .2＋cos 2x
7．已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ）
Ａ．32
Ｂ．3
Ｃ．
158
Ｄ．
157
二.填空题:
8．已知βα,均为锐角，且=-=+αβαβαtan ),sin()cos(则 .
9已知，且，则的值为sin cos cos sin θθπθπ
θθ?=
<<-1842。 10已知1sin cos 5θθ+=，且324
θππ
≤≤，则cos 2θ的值是 ________ ．
11．已知函数)cos(3)sin()(θθ-++=x x x f 为偶函数，θ的值是 。 三、解答题：
12．已知α为第二象限角，且 sin α=,415求1
2cos 2sin )
4sin(+++ααπ
α的值. 13．已知232,534cos παππα<
≤=???
?
?
+
求??? ?
?
+42cos πα的值 14．已知21)tan(=β-α，7
1
tan -=β，)0,(,π-∈βα，求β-α2的值。
练习
一、选择题
1．已知(,0)2
x π
∈-，4
cos 5
x =
，则=x 2tan （ ） A ．
247 B ．247- C ．7
24 D ．724-
2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ）
A .
5π B .2
π
C .π
D .2π 3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．无法判定 4．设0
sin14cos14a =+，0
sin16cos16b =+，6
2
c =
，则,,a b c 大小关系（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．a c b << 5．函数2sin(2)cos[2()]y x x ππ=-+是（ ）
A .周期为
4π的奇函数 B .周期为4
π
的偶函数
C .周期为
2π的奇函数 D .周期为2
π
的偶函数 6．已知2cos 23
θ=
，则44
sin cos θθ+的值为（ ） A ．
1813 B ．1811 C ．9
7
D ．1- 二、填空题
1．求值：0
tan 20tan 403tan 20tan 40++=_____________。
2．若
1tan 2008,1tan αα+=-则1
tan 2cos 2αα
+= 。
3．函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________。 4．已知23
sin
cos
,2
2
3
θ
θ
+=
那么sin θ的值为 ,cos 2θ的值为 。 5．ABC ?的三个内角为A 、B 、C ，当A 为 时，cos 2cos 2
B C
A ++取得最大值，且这个最大值为 。
三、解答题
1．已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.
2．若,2
2
sin sin =
+βα求βαcos cos +的取值范围。 3．求值：00100
1cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20
-+--
4．已知函数.,2
cos 32sin
R x x
x y ∈+= （1）求y 取最大值时相应的x 的集合；
（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象.
高中数学必修四第三章-三角恒等变换知识点总结
第三章 三角恒等变换 一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin 22sin cos ααα =222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α αααα=-=-=- ?2 2 1cos 2cos 1cos 2sin 2 2 α α αα+=-=， ?2 cos 21cos 2 αα+= ，2 1cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan α αα =-． 三、辅助角公式： () 22sin cos sin α+=++a x b x a b x ， 2 2 2 2 cos sin a b a b a b ???= = ++其中由，决定
四、三角变换方法： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的 相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4 α的二倍； ②2 304560304515o o o o o o =-=-=； ③()ααββ=+-；④ ()4 24 π π π αα+= --； ⑤2()()()()44 ππ ααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如 在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。 （3）“1”的代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转 化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： 221sin cos sin90tan45o o αα=+== （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式， 一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。 （5）三角函数式的变换通常从：“角、名、形、幂”四方面入手； 基本原则是：见切化弦，异角化同角，倍角化单角，异名化同名， 高次降低次，特殊值与特殊角的三角函数互化等。
三角恒等变换讲义
《三角恒等变换》 广州卓越教育集团教育学院2011级第三期数学班沈荣春 开心哈哈 三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。 同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割。 制胜装备 （1）和与差的三角函数公式 （a）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式； （b）能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式； （c）能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解他们的内在联系； （2）简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换； 战前动员 失之毫厘，谬以千里 1967年8月23日，苏联的联盟一号宇宙飞船在返回大气层时，突然发生了恶性事故——减速降落伞无法打开。苏联中央领导研究后决定：向全国实况转播这次事故。当电视台的播音员用沉重的语调宣布，宇宙飞船在两小时后将坠毁，观众将目睹宇航员弗拉迪米·科马洛夫殉难的消息后，举国上下顿时被震撼了，人们都沉浸在巨大的悲痛之中。 在电视上，观众们看到了宇航员科马洛夫镇定自若的形象。他面带微笑叮嘱女儿说：“你学习时，要认真对待每一个小数点。联盟一号今天发生的一切，就是因为地面检查时忽略了一个小数点……” 即使是一个小数点的错误，也会导致永远无法弥补的悲壮告别。 古罗马的恺撒大帝有句名言：“在战争中，重大事件常常就是小事所造成的后果。” 换成我们中国的警句大概就是“失之毫厘，谬以千里”吧。
战况分析 扫清障碍 1．两角和与差的三角函数 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ±±= 。 2．二倍角公式 αααcos sin 22sin =； ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 22tan tan 21tan α αα = -。 3．半角公式 2cos 12 sin αα -± = 2c o s 12c o s αα+±= αααc o s 1c o s 12t a n +-±= （α α ααα sin cos 1cos 1sin 2 tan -=+= ） 4．三角函数式的化简 常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。 （1）降幂公式 ααα2sin 21cos sin = ；22cos 1sin 2αα-=；2 2cos 1cos 2 αα+=。
高三数学解三角形一对一讲义
XX教育，让每个孩子更优秀! XX教育学科教师辅导讲义 组长签字： 一、导入目录 1、必备基础知识 2、不同类型典型例题及应用 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~二、课前自主学习 梳理中学阶段学习的三角形的相关知识和定理 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~三、知识梳理+经典例题 知识点一：三角形中各元素间的关系 1、在直角△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sinA ＝cosB ＝c a ，cosA ＝sinB ＝c b ，tanA ＝b a 。 2、斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a2＝b2＋c2－2bccosA ； b2＝c2＋a2－2cacosB ； c2＝a2＋b2－2abcosC 知识点二：三角形的面积公式 （1）?S ＝21aha ＝21bhb ＝21 chc （ha 、hb 、hc 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）?S ＝21absinC ＝21bcsinA ＝21 acsinB ； （3）三角形面积=abc/4R(其中R 是三角形外接圆半径） (4) S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] =（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)] （其中（p=(a+b+c)/2） ） 知识点三：解三角形 由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）
三角恒等变换知识点和例题
三角恒等变换基本解题方法 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα αα αβααβααβααααα =±=???→=-↓=-=-±±=?-↓=-m m 如（1）下列各式中，值为12 的是 A 、1515sin cos o o B 、221212cos sin ππ - C 、22251225tan .tan .-o o D （2）命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 A 、充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件 （3）已知35 sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为____ （4 ）11080sin sin -o o 的值是______ (5)已知0tan110a =，求0tan 50的值（用a ，乙求得的结果是212a a -，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______ 2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与 角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--， 22αβαβ++=?，()() 222αββααβ+=---等），
高考数学第一轮复习10--三角恒等变换
高中数学苏教版必修4三角函数知识点总结 一、角的概念和弧度制： （1）在直角坐标系内讨论角： 角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。 （2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0 Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α 角终边关于x y =轴对称的角的集合： ； ②一些特殊角集合的表示： 终边在坐标轴上角的集合： ； 终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示： ①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ； 第一、三象限角： ； ②写出图中所表示的区间角： （4）正确理解角： 要正确理解“o o 90~0间的角”= ； “第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o 90的角”= ； （5）由α的终边所在的象限，通过 来判断2 α 所在的象限。 来判断3 α 所在的象限
（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一 已知角α的弧度数的绝对值r l = ||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。 （7）弧长公式： ；半径公式： ； 扇形面积公式： ； 二、任意角的三角函数： （1）任意角的三角函数定义： 以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个 异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ； =αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ； 如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。注意r>0 （2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线； 比较)2 , 0(π ∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系： 。 （3）特殊角的三角函数值： 三、同角三角函数的关系与诱导公式：
三角恒等变换(讲义)
三角恒等变换（讲义） ? 知识点睛 一、两角差的余弦公式推导 如图，在平面直角坐标系x O y 内作单位圆O ，以O x 为始边 作角αβ，，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ．则 (cos sin )OA αα??→=，，(cos sin )OB ββ??→ =，， ∴(cos sin )(cos sin )OA OB ααββ??→??→?==， ，?_____________． （1） （2） 设OA ??→与OB ??→的夹角为θ， 则OA OB ??→??→?=cos OA OB θ??→??→ ?=_____________， ∴______________________________________． 由图1可知，2k αβθ=π++，由图2可知，_____________， 于是αβ-=____________， ∴cos()αβ-=__________________________， ∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，记作()C αβ-． 二、两角差的其他公式 利用诱导公式可得 ()S αβ-：sin()=sin cos cos sin αβαβαβ-- ()T αβ-：tan tan tan()= 1tan tan αβαβαβ --+ 以β代β-，可得到()C αβ+，()S αβ+，()T αβ+ ()C αβ+：________________________ ()S αβ+：________________________ ()T αβ+：________________________ ()C αβ+，()S αβ+，()T αβ+这三个公式叫做和角公式； ()C αβ-，()S αβ-，()T αβ-这三个公式叫做差角公式． 三、倍角公式
三角恒等变换知识点总结
、知识点总结 1、两角和与差的正弦、 ⑴cos cos ⑶sin si n 三角恒等变换专题 余弦和正切公式: cos sin si n :⑵ cos cos cos si n si n cos cos si n :⑷ sin si n cos cos si n ⑸tan tan tan 1 tan tan ⑹ta n tan tan 1 tan tan 2、二倍角的正弦、 余弦和正切公式： ⑴ sin 2 2si n cos 1 sin 2 ⑵ cos2 cos 2 ?2 sin 2cos 2 升幕公式 1 cos 2cos 2 — 2 降幕公式 2 cos cos2 1 (tan (tan 1 cos 2 ,1 sin 2 .2 sin tan tan 2 cos tan tan 2 sin cos tan tan tan tan (si n ） ； ). cos )2 1 2si n 2 2sin 2 — 2 1 cos2 ⑶tan2 1 2ta n tan 2 万能公式 半角公式 2 tan a cos - 2 a tan - 2 1 "一个三角函数，一个角，一次方”的y A sin （ x a 2 2 a tan — 2 2 a tan - 2 4、合一变形 把两个三角函数的和或差化为 形式。 sin 2 si n ，其中tan 5. (1)积化和差公式 1 cos = [sin( 2 1 cos =— [cos( 2 和差化积公式 si n cos (2) si n + )+sin( + )+cos( +sin = 2 sin ------ cos --- 2 2 )] )] cos si n si n 1 sin = [sin( + )-sin( 2 1 sin = - — [cos( + )-cos( 2 )] )] -sin = 2 cos ----- sin --- 2 2
三角恒等变换公式
三角恒等变换公式 1.两角和与差的三角函数 和（差）角公式： sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β tan(α±β)= β αβαtan tan 1tan tan ± 倍角公式： sin 2α =2sin αcos α cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1 - sin 2α tan2α=αα2tan 1tan 2- 2.和差化积与积化和差公式 积化和差公式： 2sin αcos β=sin(α+β)+sin(α-β) 2cos αsin β= sin(α+β)-sin(α-β) 2cos αcos β= cos(α+β)+cos(α-β) -2sin αsin β=cos(α+β)-cos(α-β) 和差化积公式： sin α+ sin β=2sin 2βα+cos 2 β α- sin α- sin β=2cos 2βα+sin 2 βα- cos α+ cos β=2cos 2βα+cos 2 βα- cos α- cos β=-2sin 2βα+sin 2βα- 3.万能公式与半角公式 万能公式：
sin α=2tan 12tan 22 αα+ cos α=2tan 12tan 12 2 αα+- tan α=2tan 12tan 22 αα- 半角公式： sin 2 cos 12αα -±= cos 2 cos 12αα+±= tan ααα cos 1cos 12+-± ==ααsin cos 1-=ααcos 1sin + 其他： cos 2 2cos 12αα+= sin 22cos 12αα-= 1+cos2α=2cos α2 1-cos2α=2sin α2
角函数讲义适用于高三第一轮复习
角函数讲义适用于高三 第一轮复习 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
三 角恒等 变换 知识点睛 1．同角三角函数的基本关系式：1cos sin 22=+αααα α tan cos sin = 2．诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 3．两角和与差的公式 4．倍角公式αααcos sin 22sin =1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=ααααα 5．降幂公式22cos 1sin 2αα-= 22cos 1cos 2αα+=ααα2sin 2 1 cos sin = 6．幅角公式x b x a ωωcos sin +)sin(22?ω++=x b a ，其中a b =?tan 7．和差化积、积化和差公式（此系列公式知道怎么推导就行，无需特别记忆） 8．补充公式ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±，2 cos 2 sin sin 1α α α±=± 例题精讲 解析：（1）由题意，5sin 1cos 2-=--=αα，4cos tan -==αα （2）由题意，125cos sin tan -== ααα且1cos sin 22=+αα，解得135sin -=α，13 12 cos = α （3）∵0cos <α，∴α是第二或第三象限角 当α是第二象限角时，1715cos 1sin 2= -=αα，815 cos sin tan -==ααα 当α是第三象限角时，1715cos 1sin 2- =--=αα，8 15 cos sin tan == ααα 点评：利用同角三角函数的基本关系式能够做到三角函数值“知一求二”，但要注意正负 符号的确定
知识讲解-三角恒等变换-基础
三角恒等变换 【考纲要求】 1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、两角和、差的正、余弦公式 ()sin()sin cos cos sin ()S αβαβαβαβ±±=± ()cos()cos cos sin sin ()C αβαβαβαβ±±=m ()tan tan tan()()1tan tan T αβαβ αβαβ ±±±= - 要点诠释： 1．公式的适用条件(定义域) ：前两个公式()S αβ±,()C αβ±对任意实数α，β都成立，这表明该公式是R 上的恒等式；公式()T αβ±③中,∈，且R αβk (k Z)2 ±≠ +∈、、π αβαβπ 2．正向用公式()S αβ±,()C αβ±，能把和差角()±αβ的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角()±αβ 的弦函数。公式()T αβ±正向用是用单角的正切值表示和差角 ()±αβ的正切值化简。 考点二、二倍角公式 1. 在两角和的三角函数公式()()(),,S C T αβαβαβαβ+++=中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式 222,,S C T ααα： sin 22sin cos ααα= 2()S α；
ααα22sin cos 2cos -=2()C α； 22tan tan 21tan α αα = -2()T α。 要点诠释： 1．在公式22,S C αα中，角α没有限制，但公式2T α中，只有当)(2 24 Z k k k ∈+≠+ ≠ππ αππ α和时才成立； 2. 余弦的二倍角公式有三种：ααα2 2 sin cos 2cos -=＝1cos 22 -α＝α2 sin 21-；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。 3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍， 24α α是的二倍，332 α α是 的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公 式的关键。 考点三、二倍角公式的推论 降幂公式：ααα2sin 21 cos sin = ； 22cos 1sin 2 αα-=； 22cos 1cos 2 αα+=. 万能公式：α α α2 tan 1tan 22sin +=； α α α2 2tan 1tan 12cos +-=. 半角公式：2cos 12 sin α α -± =； 2cos 12 cos α α +± =； α α α cos 1cos 12 tan +-± =. 其中根号的符号由2 α 所在的象限决定. 要点诠释： (1)半角公式中正负号的选取由 2 α 所在的象限确定； (2)半角都是相对于某个角来说的，如2 3α 可以看作是3α的半角，2α可以看作是4α的半角等等。 (3)正切半角公式成立的条件是α≠2k π+π(k ∈Z)
2014届高考数学一轮复习教学案简单的三角恒等变换
第六节 简单的三角恒等变换 [知识能否忆起] 半角公式(不要求记忆) 1．用cos α表示sin 2α2，cos 2α2，tan 2α 2 . sin 2α2＝1－cos α2；cos 2α2＝1＋cos α2；tan 2α2＝1－cos α 1＋cos α. 2．用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2. sin α 2＝± 1－cos α2；cos α 2＝± 1＋cos α 2 ； tan α2 ＝± 1－cos α 1＋cos α . 3．用sin α，cos α表示tan α 2. tan α2＝sin α 1＋cos α＝1－cos αsin α . [小题能否全取] 1．(教材习题改编)已知cos α＝13，α∈(π，2π)，则cos α 2等于( ) A.6 3 B ．－63 C. 3 3 D ．－ 33 解析：选B ∵cos α＝13，α∈(π，2π)，∴α2∈???? π2，π， ∴cos α 2＝－ 1＋cos α 2 ＝－ 1＋132＝－63 . 2．已知函数f (x )＝cos 2????π4＋x －cos 2????π4－x ，则f ??? ?π 12等于( )
A.12 B ．－12 C. 3 2 D ．－ 32 解析：选B f (x )＝cos 2????π4＋x －sin 2????x ＋π4＝－sin 2x ，∴f ????π12＝－sin π6＝－12. 3．已知tan α＝1 2，则cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α等于( ) A ．3 B ．6 C ．12 D.3 2 解析：选A cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α＝2cos 2α＋2sin α·cos α cos 2 α ＝2＋2tan α＝3. 4. sin 20°cos 20° cos 50° ＝________. 解析：sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝1 2sin 40° sin 40°＝1 2. 答案：1 2 5．若1＋tan α1－tan α＝2 013，则1cos 2α＋tan 2α＝________. 解析：1 cos 2α＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝(cos α＋sin α)2cos 2α－sin 2α ＝ cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α 1－tan α ＝2 013. 答案：2 013 三角恒等变换的常见形式 三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明． (1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及 和、差、倍角公式进行转化求解． (2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利 用条件进行转化求解． (3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名， 不同角则化同角，利用公式求解变形即可．
必修四三角函数和三角恒等变换知识点及题型分类的总结
三角函数知识点总结 1、任意角： 正角： ；负角： ；零角： ； 2、角α的顶点与 重合，角的始边与 重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 终边在x 轴上的角的集合为 终边在y 轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 3、与角α终边相同的角的集合为 4、已知α是第几象限角，确定()*n n α ∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份， 再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象 限对应的标号即为n α 终边所落在的区域． 5、 叫做1弧度． 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是 ． 7、弧度制与角度制的换算公式： 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l= ．S= 9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距 离是() 220r r x y =+>，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：． 12、同角三角函数的基本关系：(1) ; (2) ;(3) 13、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．
2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第四章 4.3 第2课时 简单的三角恒等变换
第2课时 简单的三角恒等变换 三角函数式的化简 1．化简：2cos 4x －2cos 2x ＋ 1 2 2tan ????π4－x sin 2????π4＋x ＝ . 答案 1 2 cos 2x 解析 原式＝1 2 (4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin ????π4－x cos ????π 4－x ·cos 2???? π4－x ＝(2cos 2x －1)2 4sin ????π4－x cos ??? ?π4－x ＝cos 22x 2sin ??? ?π2－2x ＝cos 22x 2cos 2x ＝1 2cos 2x . 2．当π<α<2π时，化简：(1＋sin α＋cos α)????sin α2 －cos α 22＋2cos α＝ . 答案 cos α 解析 原式＝ ? ???2cos 2α2＋2sin α2cos α2???? sin α2－cos α24cos 2 α 2
＝2cos α 2? ???cos α2＋sin α2????sin α2－cos α22????cos α2 ＝cos α 2(－cos α) ??? ?cos α2. ∵π<α<2π，∴π2<α2<π.∴cos α 2<0. ∴原式＝－cos α 2 cos α －cos α2 ＝cos α. 3．化简：sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－1 2cos 2αcos 2β＝ . 答案 12 解析 方法一(从“角”入手，化复角为单角) 原式＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－1 2(2cos 2α－1)(2cos 2β－1) ＝sin 2αsin 2β－cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β－1 2 ＝sin 2αsin 2β＋cos 2αsin 2β＋cos 2β－1 2 ＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝1 2 . 方法二(从“名”入手，化异名为同名) 原式＝sin 2αsin 2β＋(1－sin 2α)cos 2β－1 2cos 2αcos 2β ＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－1 2cos 2αcos 2β ＝cos 2β－sin 2αcos 2β－1 2cos 2αcos 2β ＝cos 2β－cos 2β????sin 2α＋1 2cos 2α ＝1＋cos 2β2－12cos 2β＝1 2 . 4．化简：sin (2α＋β)sin α －2cos(α＋β)．
三角恒等变换知识点总结详解
第三章 三角恒等变换 一、知识点总结 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= +? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+） ； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-） ． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=．2 2 2 )cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2 222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ?升幂公式2 sin 2cos 1,2cos 2cos 12 2 α αα α=-=+ ?降幂公式2cos 21cos 2αα+= ，2 1cos 2sin 2 αα-=． ⑶2 2tan tan 21tan α αα = -． 3、 ? （后两个不用判断符号，更加好用） 4、合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(??形式。()sin cos ααα?A +B = +，其中tan ?B = A ． 5．（1）积化和差公式 sin α·cos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)]cos α·sin β=21 [sin(α+β)-sin(α-β)] cos α·cos β=21[cos(α+β)+cos(α-β)]sin α·sin β= -2 1 [cos(α+β)-cos(α-β)] （2）和差化积公式 sin α+sin β= 2 cos 2 sin 2β αβ α-+sin α-sin β=2 sin 2 cos 2β αβ α-+ αααα ααα半角公式cos 1cos 12tan 2cos 12sin ;2cos 12cos : +-±=-± =+±=2 tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin : 2 2 2α α αααα万能公式+-=+=
简单的三角恒等变换(讲义)
简单的三角恒等变换 【学习目标】 1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧； 3．了解积化和差、和差化积公 式的推导过程，能初步运用公式进行互化； 4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会 换元思想的作用，发展推理能力和运算能力； 5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理 问题的能力． 要点梳理】 要点一：升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式： 22 1 cos2 2cos ， 1 cos2 2sin 降幂公式： 2 1 cos 2 2 1 cos2 cos ， sin 22 要点诠释： 利用二倍角公式的等价变形： 1 cos 2sin 2 ， 1 cos 2cos 2 进行“升、降幂”变换，即由左边的 22 “一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为 “降幂”变换． 要点二：辅助角公式 1．形如 asinx b cosx 的三角函数式的变形： asin x bcosx asin x b cosx = a 2 b 2 sin x cos a 2 b 2 sin(x ) （其 中 角所在 象限由 a,b 的 符号确 定， 角的值 由 tan b 确定， 或由 sin b 和 a 确定， 或由 a 2 b 2 a cos 共同确定．） a 2 b 2 2．辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式 asinx bcosx = a 2 b 2 sin （x ）（或 asinx bcosx = a 2 b 2 cos （ ） ），将形如 asinx bcosx （ a, b 不同时为零）收缩为一个三角函数 a 2 b 2 sin （x ）（或 a 2 b 2 cos （ ））．这种 恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数， 这样做有利于函数式的化 简、求值等． a a 2 b 2 sinx cosx 令 cos a a 2 b 2 ,sin cosxsin b a 2 b 2 b
三角恒等变换 知识点总结
三角恒等变换 知识点总结 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ --=+ ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ ++=- ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴ sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ?升幂公式2 sin 2cos 1,2cos 2cos 122α ααα=-=+ ?降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2 αα-=． 3、 22tan tan 21tan ααα= -． 4、 ?（后两个不用判断符号，更加好用） 5、合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(??形式。()sin cos ααα?A +B =+，其中tan ?B =A ． 6、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角 与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的 αα半角公式2t an 2cos :==2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin :2 22αααααα万能公式+-=+=
高三一轮复习测试题(三角函数三角恒等变换)
高三一轮复习测试题（三角函数+三角恒等变换） （时间：120分钟分数：150分） 、选择题5' 12 60': 1.将 300化为弧度为（ ） A 4 m 5 7 f 7 A. ； B .- ； C. — ; D. 3 3 6 4 2.如果点P （sin cos ,2 cos ）位于第三象限，那么角 所在象限是（ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.下列选项中叙述正确的是 ( ) A. 三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B. 锐角是第一象限的角 C. 第二象限的角比第一象限的角大 D. 终边不同的角同一三角函数值不相等 4.下列函数中为偶函数的是（ ） A. y sin | x| B . y sin 2x C. y sin x D . y sin x 1 则( A. A B. C. D. B 5已知函数y Asi n( x ） B 的一部分图象如右图所示，如果 A 0, 0,| | x f （X ） cos —则下列等式恒成 立的是 （） 2 A. f(2 x) f(x) B. f(2 x) f (x) C. f (4 x) f (x) D. f(4 x) f(x) 7.已知 是三角形的一个内角，且sin 2 cos -,则这个三角形 3 A.锐角三角形 B .钝角三角形 C.不等腰的直角三角形 D .等腰直角三角形 & 1 2si n( 2)cos( 2）等于 ( ) A. sin 2 cos2 B .cos2 sin 2 ( D C . sin2 cos2 sin2 cos2 2 :
9.若角 的终边落在直线y 2x 上，则sin 的值为 ) 、填空题4' 4 16' 2 且sin2x sinx cosx 则x 的范围是 三、解答题74' A. 1 B. 逅C. 2.5 D. 1 5 5 5 2 10 . 函数 cosx y 2 的最小值是 ( ) cosx 1 A. 1 B. 3 C. 2 3 D 2 2 11 . 设a 1 0 cos6 2 3 sin 60 ,b 2 2ta n130 c 1 tan 2130 ' 1 cos50 彳 2 0 一则有（ ） 5 A. a b c B. a b c C. b c a D. a c b 12.已知函数y A sin( x ）在同一周期内，当x -时有最大值2,当x=0时有最小值 17.已知角 P (-4, 3),求 cos (― 2 )sin( cos (口 2 )si n* 2 的值 -2，那么函数的解析式为（ ） A. y 2sin 3x 2 B . y 2 sin(3x —) 2 y 2 si n(3x —) y 丄sin3x 2 13. 设 a sin( 1),b cos( 1),c tan( 1）,则a,b,c 的大小关系是 14. 已知sin cos 乜，则cos(- 3 2 15. 函数y lg 1 tanx 的定义域是 16.
【人教A版】高中数学重点难点突破：简单的三角恒等变换 同步讲义
【人教A 版】高中数学重点难点突破：简单的三角恒等变换 同步讲义 （学生版） 【重难点知识点网络】： 1 同角三角函数的基本关系式 ：22sin cos 1θθ+=，tan θ=θ θ cos sin ， 2 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 3 和角与差角公式 sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±= .ααααcos sin 21)cos (sin 2 ±=± ?由点(,)a b 的象限决定,tan b a ?= ). 3 二倍角公式及降幂公式 sin 22sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 22tan tan 21tan α αα = -. 221cos 21cos 2sin ,cos 22 αα αα-+= = 4 三角函数的周期公式 函数sin()y x ω?=+，(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期2|| T π ω= ； 函数tan()y x ω?=+，,2 x k k Z π π≠+ ∈(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期|| T πω= .
三角函数的图像： 【重难点题型突破】： 一、和差公式的化简及求值 例1．（1）（2019·山东高一期末）10208020cos cos cos sin ?-??=（ ） A ． 2 B ． C ． 12 D ．12 - （2）．（2018·广东高一期末）sin 49sin19cos19sin 41??+??=（） A ． 1 2 B ．12 - C D ． 【变式训练1-1】、（1）．（2019·兰州市第五中学高一期末）sin15 =（ ） A ． 4 B ． 4 C ． 24 + D ． 4 （2）．已知()2tan 5αβ+= ，1tan 44πβ??-= ???，那么tan 4πα? ?+= ?? ?（ ） A ． 1318 B ． 13 22 C ． 322 D ． 518 例2．（2020届甘肃省高三第一次高考诊断）已知tan 3α=，则sin 22πα? ? + = ?? ? （ ） A ．45 - B ． 35 C ． 35 D ． 45