特殊平行四边形单元过关测试题

矩形练习题

1．矩形的对边 是 ，对角线 且 ，四个角都是 。 2．矩形是面积的60，一边长为5，则它的一条对角线长等于 。

3、如果矩形的一边长为8，一条对角线长为10，那么这个矩形面积是__________。 4.若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 . 5．平行四边形没有而矩形具有的性质是（ ）

A 、对角线相等

B 、对角线互相垂直

C 、对角线互相平分

D 、对角相等

6、下列叙述错误的是（ ）

A.平行四边形的对角线互相平分。

B.平行四边形的四个内角相等。

C.矩形的对角线相等。

D.有一个角时90o的平行四边形是矩形

7．矩形ABCD 的对角线相交于点O ，如果ABC ?的周长比AOB ?的周长大10cm ，则AD 的长是（ ） A 、5cm

B 、7.5cm

C 、10cm

D 、12.5cm

8、下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A 、平行四边形

B 、等边三角形

C 、矩形

D 、直角三角形 二、解答题

1．如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，?=∠120AOD ，AB=4cm ，求此矩形的面积。

2、矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，MA ⊥MD ，若矩形的周长为48cm,则矩形的面积是多少？

D

B

C

M

3．如图，□ABCD 中，AE 、BF 、CG 、DH 分别是各内角的平分线，E 、F 、G 、H 为它们的交点，求证：四边形EFGH 的矩形。

4. 如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点，求证：四边形EFGH 是矩形．

菱形的性质及判定

1 下列四边形中不一定为菱形的是（ ）

A ．对角线相等的平行四边形

B ．每条对角线平分一组对角的四边形

C ．对角线互相垂直的平行四边形

D ．用两个全等的等边三角形拼成的四边形 2 下列命题中错误．．

的是 （ ） Ａ．平行四边形的对边相等 Ｂ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 Ｃ．矩形的对角线相等 Ｄ．对角线相等的四边形是矩形 3 如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ）

①AC BD ⊥ ②90BAD ∠=

③AB BC = ④AC BD =

A ．①③

B ．②③

C ．③④

D ．①②③

H

G O

F

E

D

C B

A

A

B

C

D

4 菱形的周长为32cm ，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（ ）

A ．8cm 和

B ．4cm 和

C ．8cm 和

D ．4cm 和

5 如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ）

A ． 32

B ． 33

C ． 34

D ． 3

6 如上图，四边形ABCD 是菱形，过点A 作BD 的平行线交CD 的延长线于点E ，则下列式子不成立．．．

的是（ ） A. DE DA = B. CE BD = C. 90=∠EAC ° D. E ABC ∠=∠2

7 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O E ，为AB 的中点，且OE a =，则菱形ABCD 的周长为（ ） A ．16a

B ．12a

C ．8a

D ．4a

8 如图，菱形ABCD 的边长为2，45ABC ∠=

，则点D 的坐标为 ．

9 如图，菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC ，垂足为E ，4cm AB =．那么，菱形ABCD 的面积是 ，对角线BD 的长是 ．

10 已知菱形ABCD 的面积是2

12cm ，对角线4AC =cm ，则菱形的边长是 cm

11 如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E 、F ，连接CE ，则CE 的长________.

F A

D E

B

C

A B

C

D

E

O

B

12 如图，矩形ABCD 的两条线段交于点O ，过点O 作AC 的垂线EF,分别交AD 、BC 于点E 、F ，连接CE,已知CDE ?的周长为24cm ，则矩形ABCD 的周长是 cm

13 如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A 点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动，行走2008厘米后停下，则这只蚂蚁停在 点．

14 如图，菱形ABCD 中，O 是对角线AC BD ，的交点，5cm AB =，4cm AO =，则BD = cm ．

15 如图所示，已知□ABCD ，AC ，BD 相交于点O ，?添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）

14题图 15题图 16题图

16 如图2所示，D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且DE ∥AB ，DF ∥CA ，要使四边形AFDE 是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可） 17. 菱形ABCD 的周长为48cm ，∠BAD ：∠ABC=1：2，则BD=_____，菱形的面积是______． 18. 在菱形ABCD 中，AB=4，AB 边上的高DE 垂直平分边AB ，则BD=_____，AC=_____． 19. 如图所示，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=CD=BC ，四边形ABCD 是菱形吗？?说明理由．

C

A

D E B G

F

A

D

O

E B C

20. 如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想

21. 已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．

求证：四边形AEDF是菱形．

22. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由．

23. 如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB CD ，的延长线分别交于E F ，．

（1）求证：BOE DOF △≌△；

（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A E C F ，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．

24.如图，四边形ABCD 中，AB CD ∥，AC 平分BAD ，CE AD ∥交AB 于E ． （1）求证：四边形AECD 是菱形；

（2）若点E 是AB 的中点，试判断ABC △的形状，并说明理由．

25. 已知：如图所示，菱形ABCD 中，E ，F 分别是CB ，CD 上的点，且BE=DF ． （1）试说明：AE=AF ；

（2）若∠B=60°，点E ，F 分别为BC 和CD 的中点，试说明：△AEF 为等边三角形．

F

D

O

C

B E A

26. 如图8，在

ABCD 中，E F ，分别为边AB CD ，的中点，连接DE BF BD ，，．

（1）求证：ADE CBF △≌△．（5分）

（2）若AD BD ，则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．（5分）

正方形的判定

一．选择题（共8小题）

1．已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB=BC ，②∠ABC=90°，③AC=BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ） A ．选①② B ．选②③

C ．选①③

D ．选②④

2．下列说法中，正确的是（ ）

A ．相等的角一定是对顶角

B ．四个角都相等的四边形一定是正方形

C ．平行四边形的对角线互相平分

D ．矩形的对角线一定垂直 3．下列命题中是假命题的是（ ）

A ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

B ．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形

C ．一组邻边相等的平行四边形是菱形

D ．一组邻边相等的矩形是正方形

4．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的有（ ）

①当AB=BC 时，它是菱形；②当AC ⊥BD 时，它是菱形；③当∠ABC=90°时，它是矩形；④当AC=BD 时，它是正方形．

A ．1组

B ．2组

C ．3组

D ．4组

A

B

C

D

E

F

5．四边形ABCD的对角线AC=BD，AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是（）

A．正方形B．菱形C．矩形D．任意四边形

6．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（）

A．AB=AD且AC⊥BD B．AB=AD且AC=BD

C．∠A=∠B且AC=BD D．AC和BD互相垂直平分

7．下列命题中，真命题是（）

A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形

C．对角线互相平分的四边形是平行四边形

D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形

8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）

A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF

二．填空题（共6小题）

9．能使平行四边形ABCD为正方形的条件是_________（填上一个符合题目要求的条件即可）．

10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件_________时，四边形DECF是正方形．

（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）

11．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：_________，使得该菱形为正方形．

12．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是．

13．已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是_________．

14．要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为_________．

三．解答题（共8小题）

15．已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．

16．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P 作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．

（1）求证：∠ADB=∠CDB；

（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．

17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．

（1）求证：CE=AD；

（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；

（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．

18．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE．

（1）求证：四边形ADCF是平行四边形．

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．

20．如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分别为E、F．

（1）求证：∠CAB=∠DAB；（2）若∠CAD=90°，求证：四边形AEMF是正方形．

21．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．

（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；

（2）当点O运动到何处时，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？

（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE_________是菱形吗？（填“可能”或“不可能”）

22．已知：如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥AC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF．

（1）求证：∠ECF=90°；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，△ABC应该满足条件：_________，就能使矩形AECF变为正方形．（直接添加条件，无需证明）

特殊平行四边形单元过关测试题

一、

精心选一选，想信你一定能选对！（每题4分，共48分）

1．不能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（ ） （A ）AB 平行且等于CD 。 （B ）∠A=∠C ，∠B=∠D 。 （C ）AB=AD ，BC=CD 。 （D ）AB=CD ，AD=BC 。 2．下面性质中菱形有而矩形没有的是（ ）

（A ）邻角互补（B ）内角和为360°（C ）对角线相等 （D ）对角线互相垂直 3．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） （A ）四条边相等 （B ）对角线互相垂直平分 （C ）对角线平分一组对角 （D ）对角线相等

4、顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是（ ）

A 、平行四边形

B 、矩形

C 、菱形

D 、正方形 5.如图,□ABCD 中,∠C=108°,B

E 平分∠ABC,则∠ABE 等于( ) A.18° B.36° C.72° D.108° 6．下列命题中，真命题是（ ） A 、有两边相等的平行四边形是菱形 B 、对角线垂直的四边形是菱形

C 、四个角相等的菱形是正方形

D 、两条对角线相等的四边形是矩形 7、平行四边形各内角平分线若围成一个四边形，则这个四边形一定是（ ） A 、矩形 B 、平行四边形 C 、菱形 D 、正方形 8、下列四边形中，是中心对称而不是轴对称的是（ ） A 、平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D 、正方形 二、细心填一填，相信你填得又快又准！（每题4分，共24分） 9、□ABCD 中，∠A =50°，则∠B =__________，∠C =__________。

10、已知菱形两条对角线的长分别为5cm 和8cm ，则这个菱形的面积是______cm ．

11、菱形ABCD 的周长为36，其相邻两内角的度数比为1:5，则 此菱形的面积为_________。 12、对角线长为22的正方形的周长为___________，面积为__________。

13、如图，过矩形ABCD 的对角线BD 上一点K 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ ，那么图中矩形AMKP 的面积S 1与矩形QCNK 的面积S 2的关系是S 1 S 2（填“＞”或“＜”或“＝” ）

E

D

C

B A

B

第13题图 第14题图

14、如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、DC 上，BF ∥DE ，若AD=12cm ，AB=7cm ，?且AE ：EB=5：2，则阴影部分的面积为_______cm

三、用心做一做，培养你的综合运用能力，相信你是最棒的

15、（12分）已知：如图 ，AD 是 ∠BAC 的角平分线，DE ∥AC ，DF ∥AB 。 求证：四边形AEDF 是菱形。

16、（9分）E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，EF ⊥BC ，EG

⊥CD ，?垂足分别是F 、G ，求证：AE=FG ．

A P G F

E

D

C

B

17、（8分）已知菱形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，∠BAD=120°，求∠ABD 的度数。

N

M

Q

D

C

B

A D O

18、(9分)如图，在□ABCD 中，∠DAB=60°，点E 、F 分别在CD 、AB 的延长线上，且AE=AD ，CF=CB ．

(1)求证：四边形AFCE 是平行四边形．

(2)若去掉已知条件的“∠DAB=60°，上述的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 19．（12分）如图，△ABC 中，点O 为AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的外角平分线CF 于点F ，交∠ACB 内角平分线CE 于E ． （1）求证：EO=FO ；

（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论；

（3）若AC 边上存在点O ，使四边形AECF 是正方形，猜想△ABC 的形状并证明你的结论。

矩形的性质与判定练习题

一、选择题

1、下面的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ( ) A. 角 B. 任意三角形 C. 矩形 D. 等腰三角形

2、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )

A. 对角相等

B. 对边相等

C. 对角线相等

D. 对角线互相平分 3、能够判断一个四边形是矩形的条件是 ( )

A ．对角线相等

B ．对角线垂直

C ．对角线互相平分且相等

D ．对角线垂直且相等．

4、四边形ABCD 的对角线交于点O ，在下列条件中，不能说明它是矩形的是 （ ） A. AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=90° B.∠BAD=∠ABC =90°,∠BAD+∠ADC=180° C ∠BAD=∠BCD,∠ABC+∠ADC=180°

D. AO=CO,BO=DO,AC=BD

5、若顺次连结一个四边形的四边中点所组成的四边形是矩形，则原四边形一定是（ ） A ．一般平行四边形 B ．对角线互相垂直的四边形 C ．对角线相等的四边形 D ．矩形

6、两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所成的四边形是（ ）

A.一般平行四边形

B.菱形

C.矩形

D.正方形

7、若矩形的一条角平分线分一边为3cm 和5cm 两部分，则矩形的周长为（ ）cm. A ．22 B ．26

C ．22或26

D ．28

8、由矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分直角为1：3两部分，则该垂线

与另一条对角线的夹角为（ ）

A 、22.5°

B 、45°

C 、30°

D 、60° 9、如图，在矩形ABCD 中，D

E ⊥AC,∠ADE=

2

1

∠CDE,那么∠BDC 等于 （ ） A ．60° B ．45° C ．30° D ．22.5° 二、填空题 1、矩形是轴对称图形，它有______条对称轴．

2、已知矩形的一条对角线长是8cm ，两条对角线的一个交角为60°，则矩形的周长为______.

3、矩形的两条对角线夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的长是 ，对角

线长是

.

4、矩形ABCD 的对角线相交于点O ，AC=2AB ，则△COD 为________三角形.

5、矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm ，对角线是13cm ，那么矩形的周长是_

7、一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为___________. 8、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm 和6cm ，则它的面积为 .

9、如果一个矩形较短的边长为5cm ．两条对角线所夹的角为60°，则这个矩形的面积是_____cm 2

.

10、矩形一个角的平分线分矩形一边成2cm 和3cm ，则这个矩形的面积为 .

C

B

A D

11、如图，在矩形ABCD 中，已知AB=8cm ，BC=10cm ，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的

点F 处，折痕为AE ，则CE 的长为 ．

12、已知：如图，矩形ABCD 中，E 在DC 上，AB=AE=2BC ，则∠EBC= .

13、如图，两张宽为1cm 的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分部分是四边形ABCD,已知∠BAD=60

°则重叠部分的面积是 cm 2

．

一、精心选一选（每小题3分，共30分）

1．已知一矩形的周长是24cm ，相邻两边之比是1:2，那么这个矩形的面积是（ ） A ．24cm 2

B ．32cm 2

C ．48cm 2

D ．128cm 2

2．矩形具有而一般的平行四边形不具有的特征是（ ） A ．对角线相等

B ．对边相等

C ．对角相等

D ．对角线互相平分

3．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．矩形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．平行四边形

4．下列条件中，不能判定四边形ABCD 是菱形的是（ ） A ．□ ABCD 中，AB =BC B ．□ ABCD 中，AC ⊥BD C ．□ ABCD 中，AC =BD

D ．□ ABCD 中，AC 平分∠BAD

5．若直角三角形中两直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线是（ ） A ．13

B ．6

C ．6.5

D ．6.5或6

6．菱形和矩形都具有的性质是（ ） A ．对角线相等

B ．对角线互相平分

C ．对角线平分一组对角

D ．对角线互相垂直

7．已知：如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC,∠ADE=2

1∠CDE,那么∠BDC 等于（ ） A ．60° B ．45° C ．30° D ．22.5°

8．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm ，则菱形的面积为（ ）

A ．23cm

B

．24cm

C

2

D ．2

9．菱形相邻两角的比为1:2，那么菱形的对角线与边长的比为（ ）

C

B A

D

A ．1:2:3

B ．1:2:1

C ．1:3:2

D ．1:3:1

10．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ）

A ．3

B ．2

C ．3

D ．32

二、专心填一填（每小题3分，共30分）

11．若矩形的一条角平分线分一边为3cm 和5cm 两部分，则矩形的周长为 ． 12．如图，四边形ABCD 是平行四边形，使它成为矩形的条件可以是 ． 13．若矩形短边长4cm ，两对角线的夹角为60度，则对角线长是 cm ．

14．如图，在菱形ABCD 中,∠BAD =80度，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，

连接DF ，则∠CDF 的度数为 ．

（第12题图） （第14题图） （第16题图） （第17题图） 15．顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是 ． 16．如图，一斜坡AB 的中点为D ，BC =1，CD =1.5，则斜坡的坡长 ． 17．如图，在扇形中，∠AOB =90度，OA=5，C 是弧AB 上一点，且CD ⊥OB ，CE ⊥OA ，垂

足分别为点D 、E ，则DE = ．

18．菱形OABC

在平面直角坐标系中的位置如图所示，45AOC OC ∠==°，B 的坐

标为 ．

19．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm ，若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==， 则1=∠ 度．

（第18题图） （第19题图） （第20题图） 20．如图，两张宽为1cm 的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分部分是四边形ABCD,已知

1 A

B

C

∠BAD=30°则重叠部分的面积是 cm2．

三、解答题

1、已知，如图，E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，且AE=BF. 求证：DE=CF.

2、已知，如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD

的中点，顺次连结E、F、G、H所得的四边形EFGH是矩形吗？说明理由.

4、已知，如图，□ABCD中，AC，BD交于O，AE⊥BC于E，EO交AD于F．

求证：四边形AECF是矩形．

9、如图，将矩形纸片折叠，先折出折痕(对角线)BD，再折使AD边与对角线BD重合，A点落

到A’处，得折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG的长.

10、已知，如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，DF ⊥AE 于F ．若AE=BC ，求证：CE=FE ．

11、已知，如图，等边△ABC 中，AD=DC ，BF=FC ，△BDE 是等边三角形．求证：四边形AEBF 是矩形．

12、如图，矩形ABCD 的两边AB=3，BC=4，P 是AD 上任一点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F 。求PE+PF 的值.

13、已知，如图，矩形ABCD 中，E 在DC 上，AE ⊥BE ，BE=2

1

AB ，DE=3cm ，求AB 的长.

15、已知，如图，矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于E ．若∠CAE=15°，求∠BOE 的大小．

三、耐心做一做（本题有5小题，共40分）

21．（本题6分）已知：如图所示，在矩形ABCD 中，AF ＝BE ．

求证：DE ＝CF ．

22．（本题8分）如图 ，ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，306ACD BD ∠==°，．

（1）求证：△ABD 是正三角形； （2）求 AC 的长（结果可保留根号）．

24．（本题8分）工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：

（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB =CD ，EF =GH ；

（2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理是 ． （3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是 ．

①

O D A

A D C

B