四川省成都七中2011-2012学年高三入学考试数学(理科)试卷

四川省成都七中2011-2012学年高三入学考试数学(理科)试卷

注意事项：本试题分为第I 卷和第II 卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。、

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要

求的。 1.已知全集U=R ，集合{|lg 0},{|21},()x U A x x B x A B =≤=≤ 则C =

A

2．设A 3 A 4 A

C 5

A 6

A 7.A C 8．设 A ．2

B ．—2

C ．1

D ．—1

9.已知球的半径为5，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为6，则两圆的圆心距为

A ．4

B C ．D ．1

10．将123)(x x +的展开式中各项重新排列，使含x 的正整数次幂的项互不相邻的排法共有多少种？

A ．10

13

313A A ? B ．3

11

1010A A + C ．9

9

413A A ? D ．3

11

1010A A ? 11

为2 A C 12.①所

A

131415．()x

当x 16. 给出定义：若2

2+≤<-m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x = m . 在

此基础上给出下列关于函数{}x x x f -=)(的四个命题：

①函数y =)(x f 的定义域为R ，值域为??

????21,0；

②函数y =)(x f 的图像关于直线2

k

x =

（Z k ∈）对称； ③函数y =)(x f 是周期函数，最小正周期为1；

④函数y =)(x f 在??

?

???-

21,21上是增函数. 则所有正确的命题的编号是______________.

17量

（Ⅰ）求锐角B 的大小，

（Ⅱ）如果2b =，求ABC ?的面积ABC S ?的最大值

18.（本小题共12分）某选手进行实弹射击训练，射击中每次射击的结果是相互独立的.已知他每次射击时，命中环数ξ的分布列如下表：

ξ8 9 10

P 0.1 0.5 0.4

该选手在训练时先射击三次，若三次射击的总环数不小于29环，则射击训练停止；若三次射击的总环数小于29环，则再射击三次，然后训练停止.

（I）求该选手在射击训练中恰好射击三次的概率；

（II）求该选手训练停止时，射击的次数η的分布列及期望.

19.（本小题满分12分）已知：如图，长方体中，、分别是棱,上的点，

,.

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）证明平面；（3）求二面角的正弦值.

20．（1（2

21.

22．（本题满分14分）已知函数2()ln ()f x ax x a R =+∈． （1）当1

2

a =

时，求()f x 在区间[]1,e 上的最大值和最小值； （2）如果函数()g x ，1()f x ，2()f x ，在公共定义域D 上，满足12()()()f x g x f x <<，那么就称为()

g x

一、二、三、17∴又∴ （0422=--+ac c a

又ac c a 22

2≥+ 代入上式得：4≤ac （当且仅当 2==c a 时等号成立。）

34

3

s i n 21≤==

?ac B ac S ABC （当且仅当 2==c a 时等号成立。）………12分

18.解：（I）“射击三次的总环数为30”的事件记为A，“射击三次的总环数为29” 的事件记为B. ---1分

则

3

()0.40.064

P A==，12

3

()C0.40.50.24

P B=?=

. ----------------------------4分

由已知，事件A与B互斥，所以射击三次的总环数不小于29环的概率为

()()()0.304

P A B P A P B

+=+=. -----------------------------------------------------6分即该选手恰好射击了三次的概率为0.304. ---------------------------7分（II）由（Ⅰ）的结果可得分布列如下

η 3 6

P 0.304 0．696

---------------------------------10分

30.30460.696 5.088

Eη=?+?=.

即该选手训练停止时射击的次数η

的期望为5.088. ---------------------------12分

19.解：法一：如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，设

,依题意得,,,

（1）易得,,

于是

所以异面直线与所成角的余弦值为

--------------------4分

（2）已知,,

于是·=0，·=0.

因此，,,又

所以平面--------------------7分

（3）设平面的法向量，则,即

不妨令X=1,可得。

由（2）可知，为平面的一个法向量。

于是，从而,

所以二面角的正弦值为--------------------12分

法二：（1）设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=

连接B

1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1D∥B1C，

由,可知EF∥BC1.

故是异面直线EF与A1D所成的角，

易知BM=CM=,

所以 ,

所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为--------------------4分（2）连接AC，设AC与DE交点N 因为，

所以，从而，

又由于,所以，

故AC ⊥DE,又因为CC 1⊥DE 且

，所以DE ⊥平面ACF ，从而AF ⊥DE.

连接BF ，同理可证B 1C ⊥平面ABF,从而AF ⊥B 1C, 所以AF ⊥A 1D 因为

，所以AF ⊥平面A 1ED. ----------------7分

（3）连接A 1N.FN,由（2）可知DE ⊥平面ACF,

又NF 平面ACF, A 1N 平面ACF ，所以DE ⊥NF,DE ⊥A 1N, 故

为二面角A 1-ED-F 的平面角.

易知，所以 所以，

,

在

。所以 正弦值为. 20∴∴（2）函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点

即方程4414

log (41)log (2)23x

x x a a +-

=?-有且只有一个实根 ………………6分 化简得：方程142223

x x

x a a +=?-有且只有一个实根

令20x

t =>，则方程24(1)103

a t at ---=有且只有一个正根 ………………8分

①3

14a t =?=-

，不合题意； ………………………9分 ②3

04

a ?=?=或3- ………………………10分

若3142a t =?=-，不合题意；若1

32

a t =-?=………………………11分

③一个正根与一个负根，即

1

011

a a --

21. n a ∴（2）b (211(2b (∴n （3）设332112<

++n n a a a S

22.解：（1）当21a =时，x ln x 21)x (f 2+=，x

1

x x 1x )x (f 2+=+='；

对于∈x [1, e]，有0)x (f >'，∴)x (f 在区间[1, e]上为增函数，

∴2

e 1)e (

f )x (f 2

max +==，21)1(f )x (f min ==． …………3 分

（2）①在区间（1，+∞）上，函数)x (f 是)x (f ),x (f 21的“活动函数”，则)x (f )x (f )x (f 21<<

令x ax x a x f x f x p ln 2)2

1()()()(2

2+--=-=<0，对∈x （1，+∞）恒成立，

且h （x ）=f 1（x ） – f （x ）=x ln a ax 2x 2

1

22-+-<0对∈x （1，+∞）恒成立， …5分

∵x

x a x x ax x a x a x a x p ]

1)12)[(1(12)12(12)12()`(2---=+--=+--= （*）

1）若1a >

，令0)`(=x p ，得极值点1x 1=，1

x 2=，

当 当 p

2 h

h` h （x ）在（1,+∞）递减，只要h （1） ≤ 0, 得022≤+-

a ，解得4

≤a ． …8分 而p `（x ）=x x a x ]1)12)[(1(---对x ∈（1,+∞） 且41

≤a 有p `（x ） <0．

只要p （1） ≤ 0, 0221≤--a a ，解得2

1

-≥a ,

所以．4

1

21≤≤-a ． …………12分

②当32a =

时，x 3

4

x 21)x (f ,x ln 95x 34x 61)x (f 2221+=++=

则y=f 2（x ） –f 1（x ）=3

1x 2 –95

lnx, x ∈（1，+∞）．

因为y /

=x

x x x 95695322-=->0，y=f 2（x ） –f 1（x ）在 （1，+∞）为增函数， 所以f 2（x ） –f 1（x ）> f 2（1） –f 1（1）=1

．

设