华中师范大学《数学通讯》20115发表
华中师范大学《数学通讯》2011 5 发表
“对称”—经久不衰的高考考点
华东师范大学松江实验高级中学 董顶国
邮编 201600 电话137********
每年的高考，较多问题都渗透着对“对称”内容的考察。在解答它们时，若能挖掘潜在的对称性，根据几
何图形的对称、数据、位置、关系等所隐含着的对称性特点，则能在纷繁的困惑中求得简捷的突破，获得问题的最优解。
一、巧用空间图形的对称简化求解
例1（09安徽卷理10）
考察正方体6个面的中心，从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ） （A ）
751 （B ）752 （C ）753 （D ）75
4 [解析] 如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这
6个点中任意选两个点连成直线，共有22
661515225C C ?=?=
种不同取法，先研究点A 为端点的平行直线有四对，由对称性知平行直线共642?÷=12对，所以所求概率为
124
22575
p =
=，选D
例2（2010江西理10）过正方体1111ABCD A BC D -的顶点A 作直线L ，
使L 与棱
AB ,AD ,1AA 所成的角都相等，这样的直线L 可以作（ ）
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
【解析】通过点A 的直线AB 、AD 、1AA 把空间分为八个卦限，由其自身的对称性可知位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC 1符合题意，该线实质是穿过相
对的两个卦限的直
线，再由棱AB ,AD ,1AA 所在直线的无限延展性及线线角的定义知另3条穿过相对的两个卦限的直线，故选D
二、巧用曲线的对称简化求解
例3（2006四川卷）如图把椭圆
22
12516
x y +=的长轴AB 分成8分，过每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于1P ,2P ,……7P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则127......PF P F P F +++=_____
A B
E D F
C A
B
E D
F
C ·
· ·
·
·
·
【解析】只需取椭圆的另一焦点与1P ,2P ,……7P 七个点分别连接，由结论1和对称性可知
()127
1
(145352)
PF P F P F +++=??= 例4（08湖北卷理10）过点(112)E ，作圆22241640x y x y ++--=的弦，
其中弦长为整数的共有（ ）
A ．16条
B ．17条
C ．32条
D ．34条 【解析】过点
E 的最短弦10AB =，过点E 的最长弦26CD =
过点E 的弦由最短弦AB 到最长弦CD 的变化时，中间共有 15条弦的弦长为整数，由对称性另一侧亦有15条弦的弦长 为整数，故过点E 且弦长为整数的弦共有15+15+2=32条
所以应选C
三、利用函数图像中的对称性简化求解
例5（2010上海卷理8）对任意不等于1的正数a ，函数)3(log )(+=x x f a 的
反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是 ；
【解析】由互为反函数的两个函数图像关于直线y=x 对称，无需求反函数，只需研究函数)3(log )(+=x x f a 图象恒
过点(2,0)-，所以其反函数的图像都过点(0,2)P -。
【点评】反函数是高考常考的知识点，一般难度都不大.当与反函数图像有关时，要注意反函数与原函数的图象关于
直线y x =对称.
例6（2006上海22）
已知函数x
a
x y +
=有如下性质：如果常数a > 0，那么该函数在]a ,0(上是减函数，在),a [+∞上是增函数。 ⑴ 略；⑵研究函数22
x
c x y +=（常数c > 0）在定义域内的单调性，并说明理由；
⑶ 对函数x a x y +=和22
x
c x y +=（常数a > 0）作出推广 ，使它们都是你所推广
的函数的特例。研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）。 【解析】（1）略(2) 利用定义容易考察函数y=22
x c x +
在[4c ,+∞)上是增函数；在(0,4
c
]上是减函数. 又y=2
2x c x +是偶函数，函数图像关于y 轴对称的函数在(－∞,－4c ]上是减函数, 在[－4c ,0)上是增函数；
(3) 可以把函数推广为y=n n
x a x +(常数a>0),其中n 是正整数.
当n 是奇数时,函数y=n n
x
a x +在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数,
在(－∞,－n a 2]上是增函数, 在[－n a 2,0)上是减函数； 当n 是偶数时,函数y=n n
x
a
x +
在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数, 在(－∞,－n a 2]
上是减函数, 在[－n a 2,0)上是增函数；
【点评】知奇、偶性的函数单调性的考察可只研究y 轴一侧的单调性，由其图象的对称性得y 轴另一侧的单调性。 四、考察数列中项的对称性
D
例7（2007上海20）
如果有穷数列123n a a a a ，，，，（n 为正整数）满足条件n a a =1，12-=n a a ，
…，1a a n =，即1+-=i n i a a （12i n = ，，，），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列01m
m m m
C C C ，，，就是“对称数列”．
（1）设{}n b 是项数为7的“对称数列”，其中1234b b b b ，
，，是等差数列，且21=b ，114=b ． 依次写出{}n b 的每一项；
（2）设{}n c 是项数为12-k (正整数1>k )的“对称数列”，其中121k k k c c c +- ，，，是首项为50，公差为4-的等差数列．记
{}n c 各项的和为12-k S ．当k 为何值时，12-k S 取得最大值？并求出12-k S 的最大值；
（3）对于确定的正整数1>m ，写出所有项数不超过m 2的“对称数列”，使得211222m - ，，，， 依次是该数列中连续的
项；当m 1500>时，
求其中一个“对称数列”前2008项的和2008S ．
【解析】：（1）设{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ， ∴
数列{}n b 为25811852，，，
，，，． （2）12112112-+--+++++++=k k k k k c c c c c c S k k k k c c c c -+++=-+)(2121 ， 50134)13(42212-?+--=-k S k ， ∴
当13=k 时，12-k S 取得最大值． 12-k S 的最大值为626．
（3）所有可能的“对称数列”有四种形式，对每种形式的数列分2008m ≥，
15002007m <≤分别求解，限于篇幅，略
【点评】该题紧扣数列中项的对称特征，由特殊到一般，步步为营，前两问灵活考察了等差数列的通项公式及前n
项和公式，最后一问在第二问对项的对称理解的基础上，融入等比数列的考察，较好的渗透分类讨论的思想。无论从知识考察的广度，还是思维层次的深度都有较好的体现。 五、利用排列中元素位置的对称性
例8 （2007年山东高考模拟题）由数字1、2、3、4、5、6 组成所有可能的没有重复数字的四位数，它们的和是 【解析】：本题容易使解题者产生用列举法解题的念头，由于合乎要求的四位数多达(6×5×4×3)=360个，可见这种想法是行不通的。
通过观察我们发现，这列数从小到大依次是： 1234，1235，1236，……，6541，6542，6543。此数列具有一定的对称性：1234+6543=1235+6542=1236+6541=……=7777。显然，所有四位数的和为(360/2)×7777=1399860。 【点评】
六、利用式子结构形式的对称
例9（2004年江苏数学竞赛题）已知方程组22
x y z x y z m
?+=?++=?，有唯一的一组解（x,y,z ），
求实数m 及原方程组的解。
【解析】：方程组是关于x,y 对称的，若（x,y,z ）是一组解，则（y,x,z ）显然也是方程组的一组解。由方程组有唯
一解知x=y 。故原方程组可化为222x z x z m
?=?+=?，消去z 得。由△=0得1
2m =-故原方程组的解是
111,,222??-- ???
【点评】某些数学命题所涉及的数式是呈现对称的结构，若能围绕它展开联想性思维，则能帮助我们发现解题捷径。
总之，在数学解题中，我们要用对称的眼光去审视问题，深入挖掘题中潜在的对称性，不仅为解决数学问题提供一种新的捷径，而能让学生体会数学的对称美。使学生在“美”的情境中，激发学习兴趣，发展思维能力，增强创新意识。
10/24/2010