代数方程复习(教师版讲义)

基本内容 代数方程复习

知识精要

一、基本概念：

一元整式方程：方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式。

二项方程：一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边为零的方程。其一般式为

Ax^n+b=0(其中a ≠0, b ≠0,n 为正整数).

双二次方程:只含有偶数次项的一元四次方程.其一般形式为:ax^4+bx^2+c=0(a ≠0) 无理方程：方程中含有根式,并且被开方数含有未知数的代数式.

二元二次方程组:仅含有两个未知数,并且含有未知数项的最高次数为2的整式方程.

二、整式方程的解法

1. 一元一次方程和一元二次方程的解法

2. 含字母系数的整式方程的解法

3. 特殊的高次方程的解法

（1）二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n

的解法

二项方程的定义：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另外一边是零，那么这样的方程叫做二项方程。关于x 的一元n 次二项方程的一般形式是

),0,0(0是正整数n b a b ax n ≠≠=+

二项方程的解法及根的情况：

一般地，二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n

可变形为a

b x n -

= 可见，解一元n 次二项方程，可以转化为求一个已知数的n 次方根，运用开方运算可以求出这个方程的根。 二项方程的根的情况：

对于二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n

， 当n 为奇数时，方程只有且只有一个实数根。

当n 为偶数时，如果0

0>ab ，那么方程没有实数根。

（2）双二次方程的解法 双二次方程的定义：

只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程。 关于x 的双二次方程的一般形式是)0(02

4

≠=++a c bx ax 双二次方程的解法：

可以用“换元法”解形如)0,0,0(02

4

≠≠≠=++c b a c bx ax 的双二次方程。就是用y 代替方程中的x 2，同时用y 2代替x 4，将方程转化为关于y 的一元二次方程ay 2+by +c =0。解这个关于y 的一元二次方程即可。 （3）因式分解法解高次方程

解高于一次的方程，基本思想就是是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。 用因式分解的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解。

三、可化为一元二次方程的分式方程的解

1．适宜用“去分母”的方法的分式方程

解分式方程，通常是通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程来解。解分式方程要注意验根！ 2.适宜用“换元法”的分式方程

适宜用换元法的分式方程有两种，一是二次项与一次项相同的，采取同底换元法；二是不看

系数，方程的未知项呈倒数关系的，可采取倒数换元法 四、无理方程的解法

解无理方程的基本思路是把无理方程化为有理方程，通常采用“两边平方”的方法解。对有些特殊的无理方程，可以用“换元法”解。 解无理方程一定要验根！

在初中阶段，我们主要学习下面两种无理方程的解法。 1.只有一个含未知数根式的无理方程

当方程中只有一个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使这个二次根式单独在一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。 2.有两个含未知数根式的无理方程

当方程中有两个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使乙个二次根式单独在一边，另外一个二次根式在方程的另一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。 3.适宜用换元法解的无理方程

如果无理方程中，二次根式里面的未知项和二次根式外面的未知项相同，可以使用换元法来解。

一、巩固训练：

已知下列关于x 的方程：

其中无理方程是_______________，分式方程的是_________________整式方程的是___________。

二、热身练习解下列方程：

.3231)6(;

21

)5(;

721)4(;071)3(;015)2(;015122=-++=+=+-=-+=++=++x

x x x

x x a x x x x x ）（

22(1)1(1)bx x b =+> 3(2)6181x -=

4(3)(2)170y --= （4）x 4-9x 2+14=0

2654

(5)111x x x x x ++=

--+ （6）2711

322=-+-x x x x 2

1

,2,21321-==±=x x x

（7）;323x x =-- （8）.12=-

+x x

2=x 4

1=x

（9）???=++=--4

168062

222y xy x y xy x ???

???

?±=±=727

6y x ??

?±=±=1

2

y x

三、列方程解应用题

1、小杰与小丽分别从相距27千米的A 、B 两地同时出发相向而行，3小时后相遇.，相遇后两人按原来的速度继续前进， 小杰到达B 地比小丽到达A 地早 1小时21分，求两人的行进速度分别是多少？

解：小杰的速度为x 千米/小时，小丽的速度为y 千米/小时

??

?

??=+=+y x y x 27602112727

33 解得??

?==45y x

精解名题

例题1. 解下列关于x 的方程

（1）(3a-2)x=2（3-x ） （2）bx 2-1=1-x 2（b≠-1） 解（1）去括号，得 3ax-2x=6-2x 移项，得 3ax-2x+2x=6

合并同类项，得 3ax=6 ※ 当a ≠0时，方程※是一元一次方程，解得 a

x 2=

； 当a=0时，方程※变成 0·x=6，这时不论x 取什么值，等式0·x=6都不成立，因此方程无解。

所以，当a ≠0时，原方程的根是a

x 2

=；当a=0时，原方程无解。 （2）移项，得 bx 2

+x 2

=1+1

合并同类项，得（b+1）x 2

=2 因为b ≠-1，所以b+1≠0 两边同除以b+1，得 1

2

2

+=

b x ※ 当b+1＞0时，由方程※解得 1

2

2++±

=b b x ；

当b+1＜0时，方程※中

01

2

<+b ，这时方程没有实数根。 所以，当b+1＞0时，原方程的根是1221++=

b b x ，1

2

22++-=b b x ；

当b+1＜0时，原方程没有实数根。

例题2. 判断下列方程是不是二项方程，如果是二项方程，求出它的根。 （1）x 3-64=0 （2）x 4+x=0

（3）x 5= -9 （4）x 3+x=1 解：（1）、（3）是二项方程，（2）、（4）不是二项方程。 下面解方程（1）、（3）：

（1）移项，得 x 3=64 开方，得 3

64=

x

即 x=4 （3）开方，得 5

9-=

x

即 59-=x

例题3. 解下列方程：

（1）2x 3+7x 2-4x=0 （2）x 3-2x 2+x-2=0 解：（1）方程左边因式分解，得

x(2x 2

+7x-4)=0 x(x+4)(2x-1)=0

得x=0或x+4=0或2x-1=0 ∴原方程的根是 x=0，x=-4，x=2

1

注意：不要漏掉x=0这个根!

（2）方程左边因式分解，得

(x 3-2x 2

) +(x-2)=0

x 2

(x-2)+(x-2)=0

（x-2）(x 2

+1)=0

即 x-2=0或x 2

+1=0 解方程x-2=0得 x=2

方程x 2

+1=0没有实数根 所以，原方程的根是 x=2 例4解方程：

213221

x x

x x --=- 解：解：设

y x

x =-1

2，则原方程化为0322=--y y 解得1,321-==y y 当31=y 时，得1-=x

当11-=y 时，得31=x ,经检验，11-=x ，3

1

2=x 是原方程的解。

例5、 解方程

3

111412x 1+-+=+-+x x x 解：（2

5

-

=x ）

例题6 解下列方程： （1）

01222=+--x x （2）12=-+x x

（1）原方程可变形为

1222+=-x x

两边平方，得 x 2

-2=2x+1

整理，得 x 2

-2x-3=0 解得 x 1=-1,x 2=3

经检验，x=-1是增根，舍去；x=3是原方程的根。 所以，原方程的根是 x=3

例题7 解方程 4634222

2

+-=+-x x x x 解：设

422+-x x =y ，则3x 2-6x+12=3y 2 ，则3x 2-6x=3y 2-12

原方程化为 2y=3y 2

-12+4

整理，得 3y 2

-2y-8=0 解得 y 1=2，y 2=3

4-

当y=2时，422+-x x =2，422+-x x =4，解得x=0或x=2；

y=34-

时，422

+-x x =3

4-，次方程无解。 经检验，x=0，x=2都是原方程的根。 所以，原方程的根是 x 1=0，x 2=2 例8、求满足条件0211y 65222

2

=--+++

+-y x y x xy x 的x ，y 的值

解：根据题意，可得方程组???=--++=+-0

2110

652

222y x y x y xy x 得???==??

???-=-=???==?????-=-=1

3,5153,24,515244332211

y x x x y x y x

例9． 列方程解应用题

A B ，两地盛产柑桔，A 地有柑桔200吨，B 地有柑桔300吨．现将这些柑桔运到C 、D 两个冷藏仓库，已知C 仓库可储存240吨，D 仓库可储存260吨；从A 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A 地运往C 仓库的柑桔重量为x 吨，A 、B 两地运往两仓库的柑桔运输费用分别为A y 元和B y 元．

（1

）请填写下表后分别求出A B y y ，与x 之间的函数关系式，并写出定义域；

C D

总计 A x 吨

200吨 B

300吨 总计

240吨

260吨

500吨

（2）试讨论A B ，两地中，哪个运费较少； 解：

26．（1）解：

C D

总计 A x 吨

(200)x -吨

200吨 B

(240)x -吨 (60)x +吨 300吨 总计

240吨

260吨

500吨

55000(0200)A y x x =-+≤≤， 34680(0200)B y x x =+≤≤．

（2）当A B y y =时，550003468040x x x -+=+=，； 当A B y y >时，550003468040x x x -+>+<，； 当A B y y <时，550003468040x x x -+<+>，． ∴当40x =时，A B y y =即两地运费相等；

当040x <≤时，A B y y >即B 地运费较少； 当40200x <≤时，A B y y <即A 地费用较少．

例10. 如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m ），用80m 长的篱笆围一个矩形场地．

⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m 2

?

⑵能否使所围矩形场地的面积为810m 2

，为什么?

仓 库 产

地

仓

库

产 地

解：⑴设所围矩形ABCD 的长AB 为x 米，则宽AD 为

米．

依题意，得

即，

解此方程，得

∵墙的长度不超过45m ，∴

不合题意，应舍去．

当

时，

所以，当所围矩形的长为30m 、宽为25m 时，能使矩形的面积为750m ２

． ⑵不能．因为由

得

又∵

＝(－80)2

－4×1×1620=－80＜0，

∴上述方程没有实数根．

因此，不能使所围矩形场地的面积为810m 2

巩固练习

1. 解方程：

x x x --+=12

1

1

分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根

解：方程两边都乘以()()x x +-11，得

是原方程的根

经检验：，

33

)1)(1()1(22==∴-+=--+x x x x x x x

2. 解方程

x x x x x x x x +++++=+++++12672356

分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现

()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母

的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。 解：原方程变形为：

x x x x x x x x ++-++=++-++6756231

2

方程两边通分，得

1671

236723836

92

()()()()

()()()()x x x x x x x x x x ++=

++++=++=-∴=-

所以即

经检验：原方程的根是x =-92

。

3. 解方程：612444444

0222

2

y y y y y y y

y +++---++-=2 分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。

解：原方程变形为：62222222022

2

()()()()()()()y y y y y y

y y ++-+--++-= 约分，得6222220

2

y y y y

y y +-+-++-=()()

方程两边都乘以()()y y +-22，得 6220

2

2

()()y y y --++= 整理，得经检验：是原方程的根。

216

8

8y y y =∴==

注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。 4．若解分式方程

2111

x x m x x x x

+-++=

+产生增根，则m 的值是（ ） A. --12或

B. -

12或 C. 12或

D. 1

2或- 分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：

x x ==-01或，化简原方程为：21122

x m x -+=+()()，把x x ==-01或代入解得

m =-12或，故选择D 。

5. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？ 分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。

解：设甲班每小时种x 棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树， 由题意得：

6066

2

x x =

+

60120662020222

x x

x x x +=∴==∴+=经检验：是原方程的根

答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵。 说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。

6. 轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度

分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。

解：设船在静水中的速度为x 千米/小时，水流速度为y 千米/小时

由题意，得80

42740707x y x y

x y x y ++-=++-=???????

解得：经检验：是原方程的根

x y x y ==??

?==???

17

3

17

3

答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时。

7. m 为何值时，关于x 的方程

2243

2x m x x x

-+-=+2会产生增根？

解：方程两边都乘以x 2

4-，得2436x m x x ++=- 整理，得()m x -=-110

当时，如果方程产生增根，那么，即或（）若，则（）若，则（）综上所述，当或时，原方程产生增根

m x m x x x x m m x m m m ≠=-

--===-=-

-=∴=-=---=-∴==-110

1

40221210

124

2210

1

26

3462 说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根

8. 某车间要生产220件产品，做完100件后改进了操作方法，每天多加工10件，最后总共用4天完成了任务．求改进操作方法后，每天生产多少件产品？ 解：设改进操作方法后每天生产件产品，则改进前每天生产件产品．

依题意有．

整理得．

解得

或

． 时，，

舍去．

．

答：改进操作方法后每天生产60件产品

自我测试

1. 甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（ ）

A.

S

a b

+

B.

S av b - C. S av a b -+ D. 2S

a b

+ 2. 如果关于x 的方程2313

x m

x m -=--有增根，则的值等于（）

A. -3

B. -2

C. -1

D. 3

3. 解方程：

（） (11101121231)

9102x x x x x x x ++++++++++=()()()()()()

（）2112141024x x x x x x x x

-++++++=

4. 求x 为何值时，代数式293132

x x x x

++---的值等于2？

5. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的2

3

，求甲、乙两队单独完成各需多少天？

参考答案

1. 由已知，此人步行的路程为av 千米，所以乘车的路程为（）S av -千米。 又已知乘车的时间为b 小时，故汽车的速度为S a v

b

B -千米小时，应选。

/ 2. 把方程两边都乘以x x m

x m -=--∴=+3235，得.

若方程有增根，则x m m B =+=∴=-3532，即应选。

3. （1）分析：方程左边很特殊，从第二项起各分式的分母为两因式之积，两因式的值都相差1，且相邻两项的分母中都有相同的因式。因此，可利用1111

1

n n n n ()+=-

+裂项，即用“互为相反数的和为0”将原方程化简 解：原方程可变为

11011121213191

10

2x x x x x x x +++-+++-+++-+=…

∴

+=+==-

=-

1

1

222112

12

x x x x 即经检验：原方程的根是

（2）分析：用因式分解（提公因式法）简化解法

解：x x x x x

(

)1111214

10

24-++++++= 因为其中的1111214

124

-++++++x x x x

=

++--+++

+=-+++

+=-++=-≠∴=111214121214141418100

224224448x x x x x x x x x x x x

经检验：x =0是原方程的根。 4. 解：由已知得

293132

2

x x x x

++---= 即解得经检验：是原方程的根。

23313223313203

2

3

2

+

+---=∴+---==

=x x x x x x x x

∴=++---当时，代数式x x x x x

3

2293132的值等于2。 5. 设：乙队单独完成所需天数x 天，则甲队单独完成需2

3

x 天。 由题意，得

121123

1x x

x ++=()

即

解得：1231

6

x x x

x ++== 经检验x =6是原方程的根 x x ==62

3

4

时， 答：甲、乙两队单独完成分别需4天，6天。