直线与圆锥曲线的位置关系练习题

直线与圆锥曲线的位置关系练习题 编题：陈海生

一、选择题

1．双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线

l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是( ) A ．k ＞－b a B ．k ＜b a C ．k ＞b a 或k ＜－b

a

D ．－b a ＜k ＜b

a

2．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2

＋y 2

＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2

4＝1

的交点个数是( ) A ．至多为1

B ．2

C ．1

D ．0

3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24

＋y 2

＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为( )

A ．2

B.455

C.4105

D.8105

4．设双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双

曲线的离心率为( ) A.54

B ．5

C.

52

D. 5

5．已知A ，B 为抛物线C ：y 2＝4x 上的两个不同的点，F 为抛物线C 的焦点，若FA →＝－4FB →

，则直线AB 的斜率为( ) A ．±2

3

B ．±32

C ．±34

D ．±43

6.过点(0,2)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有( C )

A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．无数条

7.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2

4

＝1的位置关系为( A )

A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．不确定

8.已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线

的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( A ) A ．(1,2) B ．(1,2] C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 9.过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是原点，若|AF|＝3，则△AOB 的面积为( C )

A .22

B .2

C .322

D ．2 2 10．已知对k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2

m ＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围

是( )

A ．(0, 1)

B ．(0,5)

C ．[1,5)∪(5，＋∞)

D ．[1,5) 11．直线l ：y ＝x ＋3与曲线y 29－x ·|x |

4

＝1交点的个数为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

12．已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双

曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(－1,2) C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)

13．斜率为1的直线l 与椭圆x 24

＋y 2

＝1交于不同两点A 、B ，则|AB |的最大值为( )

A ．2 B.455 C.4105 D.810

5

14．设离心率为e 的双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且

斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是( ) A ．k 2－e 2＞1 B ．k 2－e 2＜1 C ．e 2－k 2＞1 D ．e 2－k 2＜1 二、填空题

1．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2

m ＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________．

2．已知(4，2)是直线l 被椭圆x 236＋y 2

9＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________．

3．(2013·汕头模拟)已知点P 在直线x ＋y ＋5＝0上，点Q 在抛物线y 2＝2x 上，则|PQ |的最小值等于________．

4.若椭圆x 23＋y 2

m

＝1与直线x ＋2y －2＝0有两个不同的交点，则m 的取值范围是 .

5.已知两定点M(－2,0)，N(2,0)，若直线上存在点P ，使得|PM|－|PN|＝2，则称该直线为“A 型直线”，给出下列直线：①y ＝x ＋1；②y ＝3x ＋2；③y ＝－x ＋3；④y ＝－2x.其中是“A 型直线”的序号是 . 三、解答题

1．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2

＋y 2

b

2＝1(0

B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．

(1)求|AB |；

(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．

2.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，△ABC 的三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 所在直线l 的方程为4x ＋y －20＝0. (1)求抛物线C 的方程；

(2)若O 是坐标原点，P ，Q 是抛物线C 上的两动点，且满足PO ⊥OQ ，证明：直线PQ 过定点．

3.设椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O

为坐标原点．

(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－1

2，求椭圆的离心率；

(2)若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |> 3.

4.已知i ，j 是x ，y 轴正方向的单位向量，设a ＝xi ＋(y －1)j ，b ＝xi ＋(y ＋1)j ， 且满足|a |＋|b |＝2 2.

(1)求点P (x ，y )的轨迹C 的方程；

(2)设点F (0,1)，点A ，B ，C ，D 在曲线C 上，若AF →

与FB →

共线，CF →

与FD →

共线，

且AF →·CF →

＝0.求四边形ACBD 的面积的最小值和最大值．

5．(2013·佛山质检)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 23＋y 2

＝1.如图8－9－3所示，

斜率为k (k ＞0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝－3于点D (－3，m )．

(1)求m 2＋k 2的最小值； (2)若|OG |2＝|OD |·|OE |，求证：直线l 过定点．

直线与圆锥曲线的位置关系练习题解析及答案

一、选择题

1．【解析】 由双曲线的几何意义，－b a ＜k ＜b

a .【答案】 D

2．【解析】 由题意知：

4m 2＋n

2＞2，即m 2＋n 2

＜2， ∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 2

4＝1的内部，因此直线与椭圆有2个交点．【答案】 B

3．【解析】 设椭圆与直线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，

由?????x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t .

消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则有x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4（t 2－1）5.

∴|AB |＝1＋k 2

|x 1－x 2|＝2·（－85t ）2

－4×4（t 2－1）5＝425

5－t 2，

当t ＝0时，|AB |max ＝

410

5

.【答案】 C 4．【解析】 双曲线x 2a 2－y 2b

2＝1的一条渐近线为y ＝b

a x ，

由方程组?????y ＝b a x ，y ＝x 2＋1消去y 得，x 2－b a x ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝(b a )2－4＝0，b

a

＝2，

e ＝c

a ＝a 2＋

b 2a

＝ 1＋（b

a

）2＝ 5.【答案】 D

5．【解析】 焦点F (1，0)，直线AB 的斜率必存在，且不为0.

故可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入y 2＝4x 中化简得ky 2－4y －4k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4

k

，①y 1y 2＝－4，②

又由FA →＝－4FB →

可得y 1＝－4y 2，③联立①②③式解得k ＝±43

.【答案】 D

6、解析：易知y 轴与抛物线切于原点满足条件；直线y ＝2与抛物线的对称轴平行也满足条件；另外画出图形，易知有一条直线与抛物线切于x 轴上方，故这样的直线有3条．选C .

7. 选A .

8、解析：双曲线渐近线斜率小于直线的斜率，即b

a

所以双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋(b

a

)2<2，即1＜e ＜2，故选A .

9、解析：设∠AFx ＝θ(0<θ<π)及|BF|＝m ，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，

得3＝2＋3cos θ?cos θ＝13.又m ＝2＋m cos (π－θ)?m ＝21＋cos θ＝3

2，

△AOB 的面积为S ＝12·|OF|·|AB|sin θ＝12×1×(3＋32)×223＝32

2

，故选C .

10.解析：直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，只要(0,1)不在椭圆x 25

＋y 2

m ＝1外部即可．

从而m ≥1，又因为椭圆x 25

＋y 2

m ＝1中m ≠5，所以m 的取值范围是[1,5)∪(5，＋∞).

答案： C

11.解析：当x ≥0时，曲线为y 29－x 24＝1；当x ＜0时，曲线为y 29＋x 2

4＝1，如图所示，

直线l ：y ＝x ＋3过(0,3)，又由于双曲线y 29－x 24＝1的渐近线y ＝32x 的斜率3

2＞1，故直线

l 与曲线y 29－x 24＝1(x ≥0)有两个交点，显然l 与半椭圆y 29＋x 2

4＝1(x ≤0)有两个交点，(0,3)记了

两次，所以共3个交点. 答案：D

12.解析：过F 的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则其斜率为正的渐近线的倾斜角应不小于l 的倾斜角，已知l 的倾斜角是60°，从而b a ≥3，故c

a

≥2. 答案：D

13.答案：C

14.解析：由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k 只需满足－b a ＜k ＜b

a ，

即k 2

＜b 2a 2＝c 2－a

2

a

2＝e 2－1.答案：C

二、填空题

1【解析】 直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，由题意知????

?m ＞0，

m ≠5，m ≥1，

∴m ≥1，且m ≠5.

【答案】 m ≥1，且m ≠5

2【解析】 设直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且A (x 1

，y 1

)，B (x 2

，y 2

)，则???

x 2136＋y 21

9

＝1，x 22

36＋y

22

9＝1，

两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24（y 1＋y 2），又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－1

2，

故直线l 的方程为y －2＝－1

2

(x －4)，即x ＋2y －8＝0.

【答案】 x ＋2y －8＝0 3．【解析】 设直线l ′平行于直线x ＋y ＋5＝0，且与抛物线相切，设l ′：y ＝－x ＋m ，

由?

????y ＝－x ＋m ，y 2＝2x 得y 2＋2y －2m ＝0，由Δ＝4＋8m ＝0，得m ＝－12.

则两直线距离d ＝|5－12|

2＝924，即|PQ |min ＝924.【答案】 92

4

4解析：由?????

x 2

3＋y 2

m ＝1

x ＋2y －2＝0消去x 并整理得(3＋4m)y 2－8my ＋m ＝0，

根据条件得?????

m ≠3m>0Δ＝64m 2－4m (4m ＋3)>0

，解得1

4

3.

5解析：由条件知考虑给出直线与双曲线x 2

－y 2

3

＝1右支的交点情况，作图易知①③直

线与双曲线右支有交点，故填①③.

三、解答题

1．解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4，

又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝4

3.

(2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组????

?

y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，

化简得(1＋b 2

)x 2

＋2cx ＋1－2b 2

＝0.则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 2

1＋b 2

.

因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|，即4

3＝2|x 2－x 1|.

则89＝(x 1＋x 2)2

－4x 1x 2＝4(1－b )2(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝8b 4(1＋b 2)

2，解得b ＝22. 2．解：(1)设抛物线C 的方程为y 2

＝2mx ，由?

????

4x ＋y －20＝0，y 2＝2mx ，

得2y 2＋my －20m ＝0.∵Δ>0，∴m >0或m <－160.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－m 2，∴x 1＋x 2＝????5－y 14＋????5－y 24＝10＋m

8. 再设A (x 3，y 3)，由于△ABC 的重心为F ????

m 2，0， 则???

x 1

＋x 2

＋x 3

3＝m

2

，y 1

＋y 2

＋y

3

3＝0，

解得???

x 3＝11m 8

－10，

y 3

＝m

2.

∵点A 在抛物线上，∴????m 22＝2m ????11m 8－10.∴m ＝8，抛物线C 的方程为y 2＝16x . (2)证明：当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，显然k ≠0，b ≠0，∵PO ⊥OQ ，∴k PO k OQ ＝－1，设P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，∴x P x Q ＋y P y Q ＝0.

将直线y ＝kx ＋b 代入抛物线方程，得ky 2－16y ＋16b ＝0，

∴y P y Q ＝16b k .从而x P x Q ＝y 2P y 2

Q

162＝b 2k 2，∴b 2k

2＋16b k ＝0.∵k ≠0，b ≠0.

∴直线PQ 的方程为y ＝kx －16k ，PQ 过点(16,0)； 当PQ 的斜率不存在时，显然PQ ⊥x 轴，又PO ⊥OQ ，

∴△POQ 为等腰三角形．由?????

y ＝|x |，

y 2＝16x ，

得P (16,16)，Q (16，－16)，此时直线PQ 过点(16,0)，∴直线PQ 恒过定点(16,0)．

3.解：(1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由题意，有x 2

0a 2＋y 20

b

2＝1.①

由A (－a,0)，B (a,0)得k AP ＝

y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0

x 0－a

. 由k AP ·k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 2

0＝0. 由于y 0≠0，故a 2

＝2b 2

.于是e 2

＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22

.

(2)证明：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)． 由条件得?????

y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 2

0b

2＝1.消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b 2.②

由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 2

0＋2ax 0＝0.

而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2????a b 2＋4. 由a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3，所以|k |> 3. 4.解析：(1)∵|a |＋|b |＝22，∴x 2＋(y －1)2＋x 2＋(y ＋1)2＝2 2.

由椭圆的定义可知，动点P (x ，y )的轨迹是以点F 1(0，－1)，F 2(0,1)为焦点，以22为长轴的椭圆．∴点P (x ，y )的轨迹C 的方程为：x 2

＋y 2

2

＝1.

(2)由条件知AB 和CD 是椭圆的两条弦，相交于焦点F (0,1)，且AB ⊥CD ，直线AB 、CD 中至少有一条存在斜率，不妨设AB 的斜率为k ，又AB 过点F (0,1)，故AB 的方程为y ＝kx ＋1，将此式代入椭圆方程得(2＋k 2)x 2＋2kx －1＝0，设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＝－k －2k 2＋22＋k 2，x 2＝－k ＋2k 2＋22＋k 2

，

从而|AB |2

＝(x 1－x 2)2

＋(y 1－y 2)2

＝8(1＋k 2)2(2＋k 2)2，亦即|AB |＝22(1＋k 2)

2＋k 2

.

①当k ≠0时，CD 的斜率为－1

k ，同上可推得|CD |＝22????1＋????－1k 22＋???

?－1k 2，

故四边形ABCD 面积S ＝12|AB ||CD |＝1

2×8(1＋k 2)???

?1＋1

k 2(2＋k 2)????2＋1k 2＝4????2＋k 2＋1

k 25＋2k 2＋2k 2.

令u ＝k 2＋1

k 2，得S ＝4(2＋u )5＋2u

＝2????1－15＋2u .

∵u ＝k 2＋1k 2≥2，当k ＝±1时u ＝2，S ＝16

9，且S 是以u 为自变量的增函数，

∴16

9

≤S ＜2. ②当k ＝0时，CD 为椭圆长轴，|CD |＝22，|AB |＝2，∴S ＝1

2|AB ||CD |＝2.

故四边形ABCD 面积的最小值和最大值分别为16

9

，2.

5． 【解】 (1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (k ＞0)．由题意知t ＞0.

由方程组?????y ＝kx ＋t ，x 2

3＋y 2

＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0.由题意知Δ＞0，所以3k 2＋1＞t 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－6kt

3k 2＋1，

所以y 1＋y 2＝

2t 3k 2

＋1.所以x E ＝－3kt 3k 2＋1，y E ＝t

3k 2＋1

， 此时k OE ＝y E x E ＝－13k .所以OE 所在直线的方程为y ＝－1

3k x .

由题意知D (－3，m )在直线OE 上，所以m ＝1

k

，即mk ＝1，

所以m 2＋k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时等号成立．此时由Δ＞0，得0＜t ＜2. 因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2＋k 2取最小值2. (2)证明 由(1)知OD 所在直线的方程为y ＝－13k

x ，将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0， 解得G (－

3k 3k 2＋1，13k 2＋1

)．又E (－3kt 3k 2＋1，t 3k 2

＋1)，D (－3，1

k )， 由距离公式及t ＞0，得|OG |2＝(－3k 3k 2＋1)2＋(13k 2＋1)2

＝9k 2＋13k 2＋1，

|OD |＝

（－3）2

＋（1k ）2

＝9k 2＋1k

，

|OE |＝（－3kt 3k 2＋1）2＋（t 3k 2＋1）2

＝t 9k 2＋13k 2＋1

.

由|OG |2＝|OD |·|OE |，得t ＝k .因此直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)． 所以直线l 恒过定点(－1，0)．