8-导数的概念及其运算

第十节 导数的概念及其运算

1．已知直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的一条切线，则m 的值为

A ．0

B ．2

C ．1

D ．3

2．函数f (x )＝e x sin x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( )

A.3π4

B.π3

C.π4

D.π6

3．下列求导运算正确的是( )

A.()x ＋1x ′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2

C ．(3x )′＝3x log 3e

D ．(x 2cos x )′＝－2sin x 4．若函数f (x )＝2x ＋ln x 且f ′(a )＝0，则2a ln 2a ＝( )A ．1 B ．－1C ．－ln 2 D ．ln 2

5．已知f (x )＝x (2 014＋ln x )，f ′(x 0)＝2 015，则x 0＝( )

A ．e 2

B ．1

C ．ln 2

D ．e

6．若函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________.

7．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1()π2

＋f 2()π2＋…＋f 2 016()π2＝________.

探究一 求切线方程问题

8．函数f (x )＝ln x －2x x

的图象在点(1，－2)处的切线方程为( ) 探究二 确定切点坐标问题

9．已知直线m ：x ＋2y －3＝0，函数y ＝3x ＋cos x 的图象与直线l 相切于P 点，若l ⊥m ，则P 点的坐标可能是( )

A.()－π2，－3π2

B.()π2，3π2

C.()3π2，π2

D.()－3π2，－π2

探究三 已知切线求参数范围

10．若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线，则a 的取值范围为( )

A.[)e 28，＋∞

B.(]0，e 28

C.[)e 24，＋∞

D.(]

0，e 24 探究四 切线的综合应用

11．若点P 是函数f (x )＝x 2－ln x 图象上的任意一点，则点P 到直线x －y －2＝0的最小距离为( ) A.22 B.2C.12

D ．3 12．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋

154x －9都相切，则a 等于 A ．－1或－2564 B ．－1或214C ．－74或－2564 D ．－74

或7 13.已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1,3)，则实数b 的值为________．

A 组 考点能力演练

1．曲线y ＝x 2上点P 处的切线的倾斜角为π4

，则点P 的坐标为( ) A ．(0,0) B ．(2,4)C.()14，116 D.()

12，14

2．曲线y ＝1－2x ＋2

在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2

3.已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )

A ．f ′(x A )>f ′(x

B )B ．f ′(x A )

C ．f ′(x A )＝f ′(x B )

D ．不能确定

4．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )

A ．－1

B ．0

C ．2

D ．4

5．已知函数f (x )＝ln x ＋tan α????α∈()0，π2的导函数为f ′(x )，

若使得f ′(x 0)＝f (x 0)成立的x 0满足x 0

<1，则α的取值范围为( )A.()0，π4 B.()π4，π2 C.()π6，π4 D.()0，π3 6．若函数f (x )＝ln x x

，则f ′(2)＝________. 7．如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任意一点的切线的倾斜角α的取值范围是________．

8．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝

9．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．

(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；

(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．

10．已知函数f (x )＝13

x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；

(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．

1．若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1，则下列结论中一定错误的是( )

A ．f ()1k <1k

B ．f ()1k >1k －1

C ．f ????1k －1<1k －1

D ．f ????1k －1>k k －1 2．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．

3．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.

4．已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．

5．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x

(x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．