高二数学选修4-4《极坐标与参数方程》测试题

高二数学选修4-4《极坐标与参数方程》测试题

（时间：120分钟，总分：150分） 姓名： 学号:

一．选择题（每小题5分，共50分）

1.曲线的极坐标方程θρsin 4=化为直角坐标为（ ）。

A.4)2(22=++y x

B. 4)2(22=-+y x

C. 4)2(22=+-y x

D. 4)2(22=++y x 2.已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ）。 A.1=ρ B. θρcos = C. θρcos 1-= D. θ

ρcos 1

= 3.直线12+=x y 的参数方程是（ ）。

A.???+==1

22

2

t y t x B. ???+=-=1412t y t x C. ???-=-=121t y t x D.

??

?+==1

sin 2sin θθy x

4.方程?????

=+=2

1y t t x 表示的曲线是（ ）。 A.一条直线 B.两条射线 C.一条线段 D.抛物线的一部分

5.参数方程???+-=+=θ

θ2cos 1sin 22y x （θ为参数）化为普通方程是（ ）。

A.042=+-y x

B. 042=-+y x

C. 042=+-y x ]3,2[∈x

D. 042=-+y x

]3,2[∈x

6.设点P 对应的复数为-3+3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ） A.(23，

π43) B. (23-，π45) C. (3，π45) D. (-3，π4

3) 7.直线l ：02=++kx y 与曲线C ：θρcos 2=相交，则k 的取值范围是（ ）。 A.43-

≤k B. 4

3

-≥k C. R k ∈ D. R k ∈但0≠k 8.在极坐标系中，曲线)3

sin(4π

θρ-=关于（ ）。

A.直线3

π

θ=

对称 B.直线65πθ=

对称 C.点(2，3

π

)中心对称 D.极点中心对称

9.若圆的方程为??

?+=+-=θθsin 23cos 21y x ，直线的方程为???-=-=1

61

2t y t x ，则直线与圆的位置关系是（ ）。

A.过圆心

B.相交而不过圆心

C.相切

D.相离

10.参数方程?

???

-==1

112

t t y t x （t 为参数）所表示的曲线是（ ）。

A

B C D 二．填空题（每小题5分，共20分）

11.在同一平面直角坐标系中，直线22=-y x 变成直线42='-'y x 的伸缩变换是 。 12.在极坐标中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点，则|AB|= 。

13.设直线参数方程为???

???

?

+=+=t y t x 23322（t 为参数），则它的斜截式方程为 。 14.曲线C ：??

?+-==θ

θsin 1cos y x （θ为参数）的普通方程为 ；如果曲线C 与直线0=++a y x 有公共点，那么实数a 的取值范围为 。 三．解答题（共80分）

15. 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：（12分） ⑴???==??

sin 4cos 5y x （?为参数）； ⑵???=-=t

y t x 431（t 为参数）

16. 已知三点A （5，2π），B （-8，π611），C （3，π6

7

），求证ΔABC 为正三角形。（12分）

17. 已知x 、y 满足4)2()1(22=++-y x ，求y x S -=3的最值。（14分）

18. 如图，连结原点O 和抛物线2

2x y =上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM|=|MP|，求P 点的轨迹方程，并说明曲线类型。（14分）

19. 如图，过抛物线px y 22=（p ＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA 、OB 。 ⑴设OA 的斜率为k ，试用k 表示点A 、B 的坐标； ⑵求弦AB 中点M 的轨迹方程。（14分）

20. 在气象台A 正西方向300千米处有一台风中心，它以每小时40千米的速度向东北方向移动，距台风中心250千米以内的地方都要受其影响。问：从现在起，大约多长时间后，气象台A 所在地将遭受台风影响？持续多长时间？（14分） （注：65.27=，41.12=）

极坐标与参数方程测试题答案

一．选择题（每小题5分，共50分） 二．填空题（每小题5分，共20分） 11．??

?='='y

y x

x 4；12．32； 13．3233-+=x y ；14．1)1(22=++y x ；

2121+≤≤-a 。

三．解答题（共80分）

15．（12分）解：⑴．∵???==??

sin 4cos 5y x ∴?????==?

?sin 4

cos 5y x

两边平方相加，得

??222

2sin cos 1625+=+y x 即

116

252

2=+y x ∴曲线是长轴在x 轴，中心在原点的椭圆。 ⑵．∵???=-=t

y t

x 431∴由4y t =代入t x 31-=，得 431y x ?-=∴0434=-+y x ∴它表示一条

直线。

16．（12分）证法一：如图，由题意，得 |OA|=5 |OB|=8 |OC|=3

3

265π

ππ=-=∠-∠=∠xOA xOB BOA

πππ32

267=-=∠COA

πππ3

1

6567=-=∠BOC

∴

在

Δ

AOB

中

，

由

余

弦定于理得

72

1

582583

cos

||||2||||||2222=?

??-+=?-+=π

OA OB OA OB AB 同理，得72

1

382383

cos

||||2||||||2222=?

??-+=?-+=π

OB OC OC OB BC 72

1

5323532cos

||||2||||||2222=???++=?-+=πOA OC OC OA AC 即 |AB|=|BC|=|AC| ∴ΔABC 为正三角形。

证法二：把A 、B 、C 的极坐标转化成直角坐标，利用两点间的距离公式也可。

17．（14分）解：由4)2()1(22=++-y x 可知曲线表示以（1，-2）为圆心，半径等于2的圆。

令 θcos 21+=x θs i n

22+-=y ，则 )sin(1025sin 2cos 65)sin 22()cos 21(33?θθθθθ++=-+=+--+=-=y x S

其中32

6

tan -=-=

?∴当1)sin(=+?θ时，S 有最大值，为1025max +=S 当1)sin(-=+?θ时，S 有最小值，为1025min -=S ∴S 最大值为1025max +=S ；S 最小值为1025min -=S 。 18．（14分）解法一：∵抛物线标准方程为y x 2

12

=

∴它的参数方程为??

???==2

2121t y t x 得 M(t 21，2

21t )

设P （x ，y ），则M 是OP 的中点∴?????+=

+=202

120212y t x t 即 ???==2t y t x （t 为参数）消去参数t ，得2x y =

∴所求P 点的轨迹方程为2

x y =；它是以y 轴为对称轴，焦点为（0，

41

）的抛物线。 解法二：设P （x ，y ），M （x 0，y 0），则由中点坐标公式，得 20x x = 2

0y

y =

∵M 点在抛物线上∴M （

2x ，2y ）适合方程22x y = 即

2)2

(22x

y ?= 即 2x y = 。 19．（14分）解：⑴．∵OA 的方程为kx y =

∴联立方程?

?

?==px y kx y 22

解得 22k p x A = k p

y A 2= 以k 1-代上式中的k ，解方程组?????

=-=px

y x k y 212

解得 22pk x B = pk y B 2-=∴A （

2

2k

p ，k p 2），B （2

2pk

⑵．设AB 中点M （

x ，y ），则由中点坐标公式，得??

??

?-=+=)

1

()1

(2

2k k p y k k p x

消去参数k ，得222p px y -= ；即为M 点轨迹的普通方程。 20．（14分）解：如图，以气象台为坐标原点，正东方向为x 轴正方向，建立直角坐标系，则现在台风中心B 1的坐标为（-300，0）。根据题意，可知，t 小时后，B 的坐标为（?+-45cos 40300t ，

?45sin 40t ），即（t 220300+-，t 220），因为以台风

中心为圆心，以250千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响，所以B 在圆上或圆内时，气象台将受台风影响。 所以令250||≤AB ，即222250)220()220300(≤++-t t 整理得027********

≤+-t t 解得

4

7

5215475215+≤≤-t ，61.899.1≤≤t

故大约2小时后，气象台A 所在地将遭受台风影响，大约持续6个半小时。