北大金秋营数学2017年

2017年北大数学金秋营试题

1、已知三角形ABC 外心为O ，BO ∩AC=F,CO ∩AB=E,FE 的中垂线交BC 于D,DE ∩BF=M,DF ∩CE=N,若EM,FN 的垂直平分线交于EF 上一点K,求证：∠BAC=60。

2、已知m=42，且集合S={1,2,…51m},A 为S 的子集，且满足|A|=50m, 证明：存在X ，Y ? S ，使得

(1) X ∩ Y=Y ∩ A =A ∩ X =Φ；

（2）X 的所有元素之和与Y 的所有元素之和相等；

（3）X 的所有元素平方和与Y 的所有元素平方和相等；

3、给定素数p ，已知正整数n,a ，且gcd （a,p ）=1，证明：存在无穷多个正整数k,使得p n |(k k -a)。

4、正实数a i ，i=1,2,…n 满足a i <2i , i=1,2,…n,求λ的最小值，满足 {a i n j=1n i=1a j }≤

λ {n i=1a i }.

5、实数x i ≠0, i=1,2,…n 满足 x i n i=1=0,试求 x i 2n i=1 1

x i 2n i=1的最小值。

6、若[0，n]的n 元子集S 满足:0∈S,n ∈S.若{x+y|x,y ∈S}恰有2n 个元素，则称S 为n-好的，求n-好的S 的总数。

7、函数f:R →R 满足：?x,y ∈R,f(f(x)+y)=f(f(y)-x)+2x,求所有的f.

8、给定正整数p,q,求证：对于任意的素数r 满足0

自主招生数学专题一不等式(习题补充版)

自主招生数学专题一：不等式 不等式是初等代数研究的问题之一，常见的考点包括未必局限于均值不等式（AM-GM不等式）、Cauchy不等式、排序不等式、Jensen不等式、三角不等式…某些求导才能求得函数最值的题也可以用卡尔松不等式、赫尔德不等式.还有一些常用的技巧还包括构造局部不等式、裂项、换元、线性规划、调整法等等.在不等式的凑配过程中我们还会用到因式分解、待定系数法、主元法等方法，还需要时刻注意不等式的取等条件. 近年来，有些同学跟我反映夏令营、自主招生的不等式题不会做，为了部分缓解(看来受生物实验毒害不浅)大家对不等式的恐惧,提升大家的能力,我整理了这个专题.在选题的过程中参考了《自招宝典》《自主招生直通车》《数学奥林匹克小丛书》以及一些竞赛或学科营中的题目，和之前在“高思教育”“北京数学学校”的课堂笔记，在此对他们表示感谢. 面对一道不等式,为什么有人能想到换元?为什么有人会这么凑系数?为什么会想到如此放缩?巧夺天工的证明往往蕴含了自然而优美的逻辑.希望通过对以下例题的探讨等够带大家初步领略不等式的妙处，提升大家对不等式的感觉. 【知识梳理】 1证明均值不等式 2用不包括向量法在内的三种方法证明Cauchy不等式 3证明排序不等式

【重要例题】 1(2015北大体验营)1=++c b a 求) 1)(1)(1(c b a abc ---的最大值 21=++c b a 求证:1)9111≥++c b a 2)3 1 222≥++c b a 3)127≤abc 4)3≤++c b a 5)3311 1 ≥+ + c b a 6)63115≤+∑a 7)(2011江西预赛)最大值求32c ab 3(2016清华自主招生)12 ==∑∑x x 求xyz 最值(原题为不定项选择题) 4设0,,>c b a ,求证2≥+++c b c b a a c 5(2008南开)5262 +=+++a bc ac ab ,0,,>c b a 求c b a 23++的最小值 6(2009清华自招)设0,,>z y x ,a,b,c 是x,y,z 的一个排列，求证3 ≥++z c y b x a 7求2 211x y y x -+-的最大值 8(2010浙大),,11 +=∈=∑R x x i n i i 求证41 3 >-∑ i i x x

北京大学金秋营数学试题(部分含答案)

2019年北京大学优秀中学生数学金秋营试 题 学科专业能力测试一 第一天 2019年10月14日下午14:00—17:30 1、在△ABC内部有一点P满足∠PAB=∠PCB=，L在AC上且BL平分∠ABC，延长PL交△APC的外接圆于Q。证明：BQ平分∠AQC. 2、对于的一个排列{}定义函数 f()=.求所有的排列中，f()的最小值。 3、求所有正整数a,b,c满足对任意实数u,v,0≤u＜v≤1.存在正整数n,使得{}∈(u,v)成立. 4、设p为奇素数，p≡1(mod 4).正整数a,b满足-p=1. 设q也为奇素数，(q,bp)=1.考虑同余方程-2a+1≡0(mod q).证明下述3个论述等价: （1）p为模q的二次剩余； （2）同余方程存在一个解； （3）同余方程存在四个互不相同的解。 学科专业能力测试二 第二天 2019年10月15日上午09:00-12：00

5、设函数f(x)=,且x∈[-1,1]时，|f(x)| ≤1，求||的最大可能值。 6、一个班里有50人，相互之间发短信，若在三个人A,B,C之间，仅有A给B 发过短信，B给C发过短信，C给A发过短信。则称A,B,C三个人构成一个“循环”，试求这50个人中“循环”个数的最大可能值。 7、试求所有正整数a,使得对任意正整数k ,都存在正整数n,使得an+2019是一个正整数的k次方。 8、对（0，1）中的实数称其中两个为相邻的，如果这两个数的十进制表示中只有一位不同，是否可以将（0，1）中的实数10染色，使得任意两个相邻的数颜色都不相同？ 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。 【部分试题参考解答】 其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知

北大金秋营数学2015年

2015年北京大学数学金秋营试题 1、设△ABC的垂心为H，中点三角形的内切圆为T，圆心为S。直线l‖AB，m‖AC，且都与T相切（AB,l；AC,m分别在S同侧），l与m交于T.射线AT上一点N 满足AN=2AT，Q是优弧（BAC）的中点，点R让四边形AHRQ成为平行四边形。证明：HR⊥RN。 2、给定整数k＞3.证明：方程mn+nr+rm=k(m+n+r)至少有3k+3[k+4 3 ]+1组整数解（m,n,r）. 3、给定正整数k.A,B,C三个人玩一个游戏（A一边,B和C一边）：A先从集合{1，2，…，n}中取k个数交给B，B从这k个数中选择k-1个有序地给C，若C能够确定B没给C的数是什么，则B,C赢了，求最大的正整数n，使B,C有必胜策略。 4、确定全部f∈Z[x](deg f≤2),使存在g∈Z[x],满足x3-1|f(x)g(x)-1. 5、设S,T?N，满足0∈S，且存在正实数u,v,使|S∩{1,2,…,n}|≥ un,|T∩{1,2,…,n }|≥vn,对任意正整数n成立。证明：若u+v≥1，则Z+?S+T。 6、平面上是否存在某个有限点集A和某个有限直线集B，满足A中的每个点恰好在B中三条直线上，且B中每条直线恰好经过A中的三个点。 7、设p是奇素数，g∈Z|x|,deg g=m,k∈Z+,设g（px) k =c i mk i=0 x i ， 其中x k =x x?1…(x?k+1) k! 。证明：c j∈Z，且p j?[k p]|c j(j=0,1,…,mk). 8、设k∈Z+, S={(m+1 k ,n)|m,n∈Z},T={(m+2 k ,n)|m,n∈Z}. 求所有正整数k,使得存在a,b,c,d∈R及映射 F:R2→R2,F(x,y)=(ax+by,cx+dy),满足F(S)=T.

2015北大 高校自主招生数学试题及解答

2015北大 一.选择题 1.整数x,y,z 满足xy+yz+zx=1，则(1+2x )(1+2y )(1+2z )可能取到的值为（） A ．16900 B ．17900 C ．18900 D ．前三个答案都不对 2.在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任两个的和都不等于99，也不等于100．这50个数的和可能等于（） A ．3524 B ．3624 C ．3724 D ．前三个答案都不对 3.已知x ∈[0, 2π]，对任意实数a ，函数y=2cos x ?2a cosx+1的最小值记为g(a )，则当a 取遍所有实数时，g(a )的最大值为（ ）A ．1B ．2 C ．3 D ．前三个答案都不对4.已知2010?202是2n 的整数倍，则正整数n 的最大值为（ ）A ．21B ．22C ．23D ．前三个答案都不对5.在凸四边形ABCD 中， BC=4，∠ADC=60°，∠BAD=90°，四边形ABCD 的面积等于2 AB CD BC AD ?+?，则CD 的长（精确到小数点后1位）为（） A ．6.9 B ．7.1 C ．7.3 D ．前三个答案都不对 二.填空题6.满足等式120151 11+(1)2015 x x +=+（的整数x 的个数是_______．7.已知a ,b,c,d ∈[2,4]，则2 2222()()() ab cd a d b c +++的最大值与最小值的和为___________ 8.对于任意实数x ∈[1,5],|2x +px+q|≤2,__________ 9.设x=2222b c a bc +-,y=2222a c b ac +-,z=2222b a c ba +-,且x+y+z=1，则201520152015x y z ++的值为___10.设12,,...,n A A A 都是9元集合{1,2,3,…,9}的子集，已知|i A |为奇数，1≤i ≤n,|i j A A ?|为偶数，1≤i ≠j ≤n ，则n 的最大值为____________ 三．解答题 11.已知数列{n a }为正项等比数列，且3412a a a a +--=5,求56a a +的最小值 12.已知f (x)为二次函数，且a ,f (a ),f (f (a )),f (f (f (a )))成正项等比数列，求证：f (a )=a 13.称四个顶点都在三角形边上的正方形为此三角形的内接正方形。若锐角△ABC 的三边满足a >b>c ，求证：这个三角形内接正方形边长的最小值为sin sin ac B a c B +14.从O 出发的两条射线12,l l ，已知直线l 交12,l l 于A 、B 两点，且AOB S ?=c(c 为定值),记AB 的中点为X ，求证：X 的轨迹为双曲线 15.已知i a (i=1,2,3,…,10)满足：1210...a a a +++=30，1210...a a a <21，求证：i a ?，使得i a <1

北京大学量子力学期末试题word资料11页

量 子 力 学 习 题 （三年级用） 北京大学物理学院 二O O 三年 第一章 绪论 1、计算下列情况的Broglie de -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie de -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量可能值。 第二章 波函数与波动力学 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1 121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结 论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于

的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 求： ?)t ,x (=?2 第三章 一维定态问题 1、粒子处于位场 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+= 这即“出射”波和“入射”波之间的关系， 证明：0 1 1222112112 22 2 21 212211 =+=+=+**S S S S S S S S 这表明S 是么正矩阵 4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数 5、求粒子在下列位场中运动的能级 6、粒子以动能E 入射，受到双δ势垒作用

2016年清华大学数学金秋营试题

2016年清华大学数学金秋营试题 考试时间：2016年10月13-14日，共6道题 1、给定△A 1A 2A 3及其内部一点P ，设△A 1A 2A 3，△PA 2A 3，△PA 3A 1，△PA 1A 2的外接 圆的圆心分别为O, O 1，O 2，O 3，设直线OO 1与O 2O 3相交于点M ，试比较23MO MO 与 12 31 PA A PA A S S ??的大小，其中，12 31 ，PA A PA A S S ??分别表示△PA 1A 2，△PA 3A 1的面积。 2、给定正整数n ，求最大的正整数k ，使得如下命题成立：对每个i =1,2,….,2n,设Ai 是若干个相邻的整数构成的集合（即每个Ai 都是形如 {}1,2,... a a a r +++的集合，其中a 是整数，r 是正整数），如果对任何 1i n ≤≤，()n+12j n ≤≤都有i j A A ≠?，则存在整数x ，使得集合 {} 12i i n x A ≤≤?包含至少k 个不同的元素。 3、对由有限个实数构成的集合Y ，定义（Y ） σ为Y 中所有元素之和 y Y （Y ）=y σ∈∑ 给定正整数m, n 与正实数12...m x x x <<<，设A 1，A 2，…A n 是集合 {}1 2 ,,...m x x x 的非空子集，求如下表达式 11() ()()n n i j i j i j A A A A σσσ==?∑∑ 所能取到的最小值。 4、设G 是连通的简单图，所有顶点构成的集合为V ，所有边构成的集合为E ，称E 的子集H 为G 的“偶度子图”，如果对任何x V ∈,H 中一共有偶数条边以x 为顶点。设,V v =,E e =请问G 一共有多少个“偶度子图”？，注意：E 的空子集?也被视为一个“偶度子图”。